arXiv 2106.016372021-06-03math.APmath.DG

混合耦合椭圆型方程组的完全非平凡解

Fully nontrivial solutions to elliptic systems with mixed couplings

Monica Clapp, Angela Pistoia

摘要：

我们在$\mathbb R^N,$ $N\ge 3$中研究了系统$$-Δu_i+ λ_iu_i = \sum\limits_{j=1}^\ell β_{ij}|u_j|^p|u_i|^{p-2}u_i\ \hbox{in}\ Ω, \qquad i=1,\ldots,\ell,$$在有界或无界域$Ω$中完全非平凡解的存在性。$λ_i$是实数，非线性项可以是亚临界（$1<p<\frac{N}{N-2}$）、临界（$p=\frac{N}{N-2}$）或超临界增长（$p>\frac{N}{N-2}$）.矩阵$(β_{ij})$是对称的，并且允许块分解，使得对角项$β_{ii}$是正的，每个块内的相互作用力是吸引的（即，每个块中的所有条目$β_{ij}$是非负的）并且不同块之间的相互作用力是排斥的（即，所有其他条目都是非正的）。我们得到了新的完全非平凡解的存在性和多重性结果，即，解决方案，其中每个组件$u_i$都是非平凡的。我们还发现了完全同步的解决方案（即，对于所有$i=2,\ldots,\ell$的$u_i=c_i u_1$），当$p\in(1,2).$

英文摘要：

We study the existence of fully nontrivial solutions to the system $$-Δu_i+ λ_iu_i = \sum\limits_{j=1}^\ell β_{ij}|u_j|^p|u_i|^{p-2}u_i\ \hbox{in}\ Ω, \qquad i=1,\ldots,\ell,$$ in a bounded or unbounded domain $Ω$ in $\mathbb R^N,$ $N\ge 3$. The $λ_i$'s are real numbers, and the nonlinear term may have subcritical ($1<p<\frac{N}{N-2}$), critical ($p=\frac{N}{N-2}$), or supercritical growth ($p>\frac{N}{N-2}$). The matrix $(β_{ij})$ is symmetric and admits a block decomposition such that the diagonal entries $β_{ii}$ are positive, the interaction forces within each block are attractive (i.e., all entries $β_{ij}$ in each block are non-negative) and the interaction forces between different blocks are repulsive (i.e., all other entries are non-positive). We obtain new existence and multiplicity results of fully nontrivial solutions, i.e., solutions where every component $u_i$ is nontrivial. We also find fully synchronized solutions (i.e., $u_i=c_i u_1$ for all $i=2,\ldots,\ell$) in the purely cooperative case whenever $p\in(1,2).$

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摘要：

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