Coherence for adjunctions in a $3$-category via string diagrams
Manuel Araújo
本文在严格$3$-范畴中定义连贯伴随，并用弦图证明任意伴随可本质上唯一地扩展为连贯伴随。
我们在严格$3$-范畴中定义了连贯伴随，并利用弦图证明任何伴随都可以以一种本质上唯一的方式扩展为连贯伴随。
We define a coherent adjunction in a strict $3$-category and we use string diagrams to show that any adjunction can be extended to a coherent adjunction in an essentially unique way.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Coherence for adjunctions in a $4$-category
该研究定义了4-范畴中由有限k-态射（k≤4）及4-态射等式构成的相干伴随，证明了相关限制映射为平凡纤维化，并提出了n-范畴相干伴随的猜想。
An adjunction between a category of complete restriction monoids and a category of étale categories
我们证明，有一个附加物之间，我们称之为etale拓扑范畴和限制量子框架，导致一个附加物与一类完全限制幺半群。这推广了étale群胚和伪群之间的连接。
Sphericalization and the Universal Spherical Adjunction
本文通过简单程序逆转稳定∞-范畴伴随的扭和反扭函子，构造了球形伴随的左、右伴随，并描述了行走球形伴随，证明了每个球形函子有无限多个左、右伴随。
The unit of the total décalage adjunction
我们考虑了分解结构$\operatorname{Dec}$及其右伴随$T$ .这些函子是由序数和在任何双完全范畴$\mathcal{C}$中取值的单纯对象范畴上导出的。对于任何单纯对象$X$，我们用路径对象$X^{Δ[1]}$标识$T \operatorname{Dec}X$。然后，我们使用这个公式产生一个显式收缩同伦的单位$X\to T\operatorname{Dec}X$的附加$(\operatorname{Dec},T)$。当$\mathcal{C}$是一个范畴的代数性质的对象，然后，我们表明，该单位是一个弱等价的单纯对象在$\mathcal{C}$。
Adjunctions and Braided Objects
本文研究了给定幺半范畴中的辫对象范畴、代数范畴和双代数范畴，它们之间的伴随函子对以及它们之间的关系。特别地，我们构造了一个辫子本原函子和它的左伴随，辫子张量双代数函子，从辫子对象的范畴到辫子双代数的范畴。后者是通过一种特殊的构造方法得到的，即在辫子代数范畴中引入一个辫子张量代数函子作为遗忘函子的左伴随到辫子对象范畴中。这些函子的行为的情况下，当基范畴编织也被认为是。
Transfer of algebras over operads along derived Quillen adjunctions
设V是上纤维生成的monoidal模型范畴，M是monoidal V-模型范畴。给定V中的一个C-色余算子P，给出了M^C中的C-色余置换函子和C-色余置换函子保持P-代数结构的充分条件.特别是，我们展示了如何P-代数结构可以转移沿导出的Quillen算子的monoidal V-模型范畴，我们应用这一结果的Quillen算子定义的丰富Bousfield本地化和共本地化的M。作为应用，我们证明了在对称谱范畴中，对任意整数n，n-连通覆盖函子在连通环谱上保持A_{\infty}和E_{\infty}模谱.
Factorizing the Top-Loc adjunction through positive topologies
我们的特点是类Sambin的积极的拓扑作为一个纤维化的地区Loc类。纤维化是通过将格罗滕迪克结构应用于Loc原则而获得的。在正拓扑范畴和拓扑空间Top范畴之间构造了一个连接，并通过这个连接证明了Top和Loc因子之间的连接.
Frobenius algebras and ambidextrous adjunctions
本文解释了幺半范畴中的Frobenius对象与2-范畴中的映射之间的关系。特别地，我们证明了幺半范畴M中的每个Frobenius对象都是由M完全忠实地嵌入的某个2-范畴D中的一个混合点（同时左伴随和右伴随）产生的.由于二维拓扑量子场论等价于交换Frobenius代数，这一结果还表明，每个二维TQFT都是从某个2-范畴中的一个Ambijunction得到的。本文将伴随单子理论推广到任意2-范畴的情形，并利用Eilenberg-Moore对象下的自由完备化证明了这一定理。然后，我们通过用半严格monoidal 2-范畴M代替幺半范畴M，并用半严格3-范畴代替它嵌入的2-范畴D来对这个定理进行分类。为了陈述这个更强大的结果，我们必须首先定义“Frobenius pseudomonoid”的概念，它对Frobenius对象进行分类。然后，我们定义了一个“伪ambijunctions”的概念，分类的ambijunctions。在每一种情况下，我们的想法是，所有的通常公理现在只适用于连贯同构。最后，我们证明了半严格monoidal 2-范畴中的每一个Frobenius pseudomerius都是由半严格3-范畴中的一个pseudo ambijunction产生的。
Colored DG-operads and homotopy adjunction for DG-categories
将伪monoidal DG-范畴的方法推广为某些有色非对称DG-操作，我们引入了一个在DG-范畴中丰富的范畴的放松概念。我们构建模型结构的有色非对称DG-操作的类别和DGCat丰富的类别与一组固定的对象。这使得我们可以在两种情况下讨论强同伦映射。讨论了DG-范畴中的强同伦单子的概念和两个DG-函子的强同伦伴随数据的概念。
The 2-Adjunction that relates Universal Arrows and Extensive Monads
本文显式构造了连接万有箭头与广延单子的 2-伴随，该构造基于相应 2-范畴的同构，为 Gray-范畴上的伪伴随与伪单子理论奠定基础，并为计算机科学家提供研究广延单子的工具。
Hopf Parametric Adjoint Objects through a 2-adjunction of the type Adj-Mnd
本文在$\mathbf{Adj}$ - $\mathbf{Mnd}$型2-附加的上下文中定义并分析了Hopf参数算子.为此，本文对$Cat$的2-范畴伴随对象和2-范畴单子伴随对象的定义进行了修正和刻画。本文最后与应用所获得的结果对当前的分类表征的霍普夫单子。
Adjunctions in Quantaloid-enriched Categories
本文研究了关于在量子体Q上富集的范畴（简称Q-范畴）的伴随关系，涉及到以下类型的伴随关系：（1）Q-范畴之间的伴随函子;（2）Q-范畴之间的伴随分配子;（3）由Q-范畴构成的范畴之间的伴随函子。对于小量子群Q和Q-范畴之间的分配者，给出了反变与协变预层的Q-范畴之间的两个等价关系。这两个扩张分别推广了范畴论中Isbell扩张和Kan扩张的基本结构，因此，它们分别被称为Isbell扩张和Kan扩张。这些结构的功能性是本文的中心议题。为了实现这一点，引入了分发器之间的信息同态来将分发器（作为对象）组织到一个类别中。然后我们继续如下：首先，与Q-范畴之间的每个分配者相关联的Isbell附加和Kan附加产生两个单子，它们分别是（协变）函子和逆变函子从分配器和子态范畴到Q-闭包空间范畴;第二，证明了分配器对两个单子的不动点的分配分别为（协变）函子和逆变函子从分配子和子态范畴到骨架完备Q-范畴和左伴随函子范畴。作为上述过程的函子性的结果，给出了Q-范畴的自由余完备函子的三种因子分解。最后，作为应用，将形式概念分析理论和粗糙集理论推广到基于模糊集之间模糊关系的理论。
Colax adjunctions and lax-idempotent pseudomonads
本文将 Bunge-Gray 关于相对 Kan 扩张构造 colax 伴随的定理推广到 lax-幂等伪单子情形，建立 Kleisli 2-范畴的弱完备性并描述 colax 基变换伴随，同时给出二维单子理论经典结果的 lax 对偶版本。
Double Adjunctions and Free Monads
我们刻画了双重范畴的预层和泛方，然后将这些刻画应用于自由单子和双重范畴中的Eilenberg-Moore对象。我们改进了我们在“Monads in Double Categories”，JPAA 215：6，pages 1174-1197，2011中的早期结果，得出结论：如果具有共折叠的双范畴允许在其水平2-范畴中构造自由Monads，那么它也允许将自由Monads构造为双范畴。我们还证明了一个双重范畴承认Eilenberg-Moore对象当且仅当一定的参数化预层是表示。在此过程中，我们开发了双范畴上的参数化预层，并证明了双范畴Yoneda引理。
General facts on the Scott Adjunction
我们介绍，评论和发展斯科特附加，主要是从一个范畴理论家的角度来看。除了它的技术和概念方面，简而言之，我们提供了一个分类的斯科特拓扑偏序集上的有向上确界。从技术的角度来看，我们建立一个adjunction之间的可及范畴与定向colimits和Grothendieck拓扑。我们发现，拓扑的双范畴是丰富的$2$ -范畴的可访问类别与定向共极限，它有张量关于这种丰富。司各特附加词（ri-）自然地从这一观察中出现。
Monoidal Adjunctions - Linearity and Duality
本文在两个么半群对称闭范畴$\mathscr{A}$和$\mathscr{E}$以及么半群函子$F: \mathscr{E}\to \mathscr{A}$和$G: \mathscr{A}\to \mathscr{E}$的数据上解释了两个相关的构造。第一部分回顾并部分推广了A.科克：如果$F$是$G$的左伴随，并且这个伴随是monoidal的，我们可以给Eilenberg-Moore范畴$\mathscr{E}^T$配备对称monoidal闭范畴的结构，只要$\mathscr{E}$有均衡器和$\mathscr{E}^T$余均衡器，因为$T$是与这个伴随相关联的规范monad.在第二部分中，受Chu-结构的启发，我们建立了一个范畴$\mathscr{R}_{G}$，它也是对称monoidal闭的，条件是$\mathscr{E}$有回调。类似地，我们建立了一个范畴$\mathscr{L}^{F}$，它在$\mathscr{A}$具有我们称之为$F$ -推出和$F$ -拉回的条件下是对称monoidal闭的。当$F \dashv G$是一个Monoidal附加范畴时，我们证明了$\mathscr{L}^{F}$和$\mathscr{R}_{G}$同构为对称Monoidal闭范畴.我们还显示了$\mathscr{E}^T$是如何与两者。
Bar category of modules and homotopy adjunction for tensor functors
给定一个DG-范畴A，我们引入模Modbar（A）的bar范畴。它是A的导出范畴D（A）的DG-加强，D（A）同构于DG A-模范畴，且它们之间具有A-无限态射.然而，它本质上是在DG范畴的语言中定义的，不需要复杂的机器或A-无限范畴的符号约定。我们定义这些酒吧类别张量和Hom双函子，对偶函子，和扭曲的复杂的卷积。预期的应用是DG-双模作为三角范畴之间的正合函子的增强。作为一个演示，我们发展同伦附加理论的张量函子之间的导出范畴的DG-范畴。它允许我们在一个增强的设置中显示，给定一个函子F，其左伴随L和右伴随R，函子复形$FR \rightarrow FRFR \rightarrow FR \rightarrow Id$提升到一个典型的扭曲复形，其卷积是F的球面扭曲的平方。然后，我们写下四个诱导函子Postnikov塔计算这个卷积。
Homotopy coherent adjunctions and the formal theory of monads
在本文中，我们引入了一个coherant单纯范畴，我们称之为自由同伦相干的adjunction和特征的n-箭头使用图形演算，我们在这里开发。hom-spaces是适当的相干性，实际上是范畴的神经，这表明在每个维度上所有预期的相干方程都存在。为了证明我们的术语，我们证明了任何附加的准范畴扩展到同伦连贯的附加，而且这些扩展是同伦唯一的意义上说，相关的扩展空间是可收缩的Kan复合物。我们提取几个单纯函子的自由同伦相干的附加和准范畴是封闭的加权极限与这些权重。这些加权极限用于定义同伦相干单子的同伦相干单子的附加函数。证明了同伦凝聚单子的拟代数范畴中的每个顶点都是自由代数标准图的余降对象。最后，我们证明了拟范畴单子性定理，描述了从同伦相干附加到相关单子附加的典型比较函子是拟范畴等价的条件。我们的证据表明，贝克的论点的一个温和的变种是“所有的重量”-它的大部分独立的准范畴的情况下。
General 2-Dimensional Adjunctions, Universal Monads and Simplicial Structures
我们使用的一般概念的二维adjunction与给定的相干方程介绍的麦克唐纳-斯通，建立在早期工作的灰色，推导出相干方程的一般2单子，我们称之为一个宽松的灰色单子。在一个物体上的自由lax-Gray 2-monad可以看作是单纯范畴Delta的一个lax二维类似物的悬置。我们称之为lax-Gray Delta的模拟Delta LG。这类似于自由的1-monad Mnd（如Schanuel-Street所提出的）是由Mac Lane描述的单纯范畴Delta的悬置的具体例子。
Naturality of the $\infty$-Categorical Enriched Yoneda Embedding
本文通过将 Hinich 的 ∞-范畴丰富 Yoneda 嵌入构造为丰富预层函子与 Heine 函子之间部分伴随的单位，使其自然化，并进一步证明该部分伴随在原子对象上限制为真正的伴随。
Free bifibrations of $(\infty,2)$-categories, 2-simplicial objects and the walking adjunction
本文通过构造泛双纤维化，为$(\infty,2)$-范畴中自由附加伴随提供显式模型，并证明行走伴随的泛性质及单纯$2$-范畴的泛刻画。
Sweedler Theory for (co)algebras and the bar-cobar constructions
证明了dg-余代数范畴是对称monoidal闭的，dg-代数范畴是相对于余代数范畴的丰富范畴、张量范畴、余张量范畴和强monoidal范畴。我们应用这种形式主义，以重建几个已知的adjections，特别是酒吧，cobar的附加。
Monad and Comonad Objects through 2-adjunctions of the type Adj-Mnd
本文利用$\Adj$ - $\Mnd$型的2-解分析了分配律和混合分配律及其等价性。就分配律而言，分析了这种结构与2-范畴$\Adj_{\R}(Cat)$中的单子对象之间的等价性，其中这些单子对象对应于Eilenberg-Moore代数范畴的提升.其次，根据E. Manes and P. Mulry（2010），作者能够在所涉及的单子上用额外的自然性重新构建定理。另一方面，在2-附加的背景下，分析了混合分配律与同一2-范畴$\Adj_{\R}(Cat)$中的共单对象之间的等价性。这个comonad对象将对应于Eilenberg-Moore代数范畴上的comonad提升结构。最后，证明了代数和余代数上的混合分配律与一对Eilenberg-Moore提升之间的一个类似定理，并自然地证明了所涉及的单子和余单子上的等价性.本文遵循了作者和公司在前一期文章中提出的相同目标。也就是说，用2-对偶来分析经典单子理论，以提供证明的清晰性和等价性的自然性。
Generalized Clifford algebras, weighted polynomial laws, and adjunction
本文从伴随视角研究Clifford代数，引入加权多项式律范畴并证明Clifford代数函子为左伴随，推广了Krashen和Lieblich的构造，并应用于构造非交换系数的导出Clifford代数。
Extranatural transformations, adjunctions of two variables and conjugation
本文将普通伴随的共轭关系推广到双变量伴随，借助曲面图记号在形式范畴论框架下研究共轭，并阐明其可用于理解 Grothendieck 六运算中 Fausk-Hu-May 的投影公式与内部伴随构造。
Determination through Universals: An Application of Category Theory in the Life Sciences
范畴论具有基础性的重要性，因为它提供了概念性的透镜来表征数学中重要和普遍的东西-如果概念在数学中如此重要，那么它们也许会在经验科学中孤立出一些重要的概念。但是，由于避免了异态性或het的过度限制性的表述，限制性的表述阻碍了双折射的应用。通过使用hets重新制定一个附加词，它被分成两个部分，一个左半附加词和一个右半附加词（或半附加词）。半映射（本质上是一个使用hets的泛映射性质的公式）被证明是生命科学中应用的适当概念。本文给出了三个主要格式的半逼近刻画及其应用：1.通过接收通用（例如，自然选择，感知，语言习得，递归和语言理解）; 2.通过发送通用（例如，有意的行动，DNA机制，以建立氨基酸，层次结构的调控基因，以建立器官，干细胞，和语言的生产），和3。具有一个通用的接收和发送的双向确定（例如，感知/动作和语言理解/产生）。
The sheaves--spectrum adjunction
本文研究稳定可展示对称幺半∞范畴的smashing谱，证明其函子是谱层函子的右伴随，建立非稳定推广，并给出Clausen-Scholze范畴化locale的范畴表示。
The costructure-cosemantics adjunction for comodels for computational effects
方程代数理论及其生成的单子可以用来对计算效果进行编码，这是公认的。Power和Shkaravska的一个重要见解是，代数理论T的余模-即，相反类别中的模型Set^op --为评估T编码的计算效果提供了合适的环境。正如Power和Shkaravska已经指出的，取余模型会产生一个从可访问单子到集合上可访问的余单子的函子。在本文中，我们表明，这个函子是一个附加词的一部分-的“结构-共语义附加词”的标题-并进行了彻底的调查，其性质。我们表明，一方面，共语义函子采取它的形象，我们称之为小范畴诱导的前层共单子;另一方面，共结构采取它的形象，在小范畴诱导的前层单子。特别是，一个可访问的单子的共语义comonad将诱导一个明确描述的类别称为其行为类别，编码的静态和动态属性的comodels。类似地，一个可访问的comonad的余结构单子将由编码comonad余代数的静态和动态性质的行为范畴诱导。我们把这些结果联系在一起，表明costructure-cosemantic的附加是幂等的，与不动点的任何一方精确地给出了预层单子和comonads。一路上，我们用计算和数学中的许多例子来说明我们的结果的价值。
The span-squares adjunction
本文通过将跨接构造视为从双重∞-范畴到∞-范畴的函子，证明其具有由方块双重∞-范畴定义的右伴随，并利用该伴随给出代数K-理论不同模型（Q、S、协边模型和方块构造）之间等价的新证明。
Injective Spaces via Adjunction
我们在过去几年的工作表明，不仅（例如）所有拓扑空间的集合产生一个范畴，而且每个拓扑空间都可以单独看作一个范畴，通过将超滤子和拓扑空间$X$的点之间的收敛关系$\mathfrak{x}\to x$解释为$X$中的箭头。自然地，这个观点打开了一扇大门，可以使用（丰富的）范畴论的概念和思想来研究（例如）拓扑空间。本文在拓扑理论的背景下研究了余完备性、伴随函子和Kan扩张。证明了余完备空间是内射空间，并且是$\SET$上一个合适单子的代数。这样我们得到了关于内射拓扑空间和连续格的已知结果的丰富版本。
On the twisted tensor product of small dg categories
给定两个定义在域上的小dg范畴$C,D$，引入它们的（非对称）扭曲张量积$C\overset{\sim}{\otimes} D$ .证明了$-\overset{\sim}{\otimes} D$与函子$Coh(D,-)$是左伴随的，其中$Coh(D,E)$是dg函子$D\to E$及其相干自然变换的dg范畴.这个附加在小dg范畴中成立（而不在dg范畴$\mathrm{Hot}$的同伦范畴中）。我们证明了对于$C,D$凝聚，该凝聚下降到同伦范畴中相应的凝聚。然后与Toën的结果进行比较，证明了对于$C,D$余量，作为同伦范畴$\mathrm{Hot}$的对象，$C\overset{\sim}{\otimes} D$同构于$C\otimes D$.
Topological categories, quantaloids and Isbell adjunctions
在相当基本的条款，本文介绍，并扩大了，最近的结果加纳的概念拓扑的一个具体函子被归入下的概念，全余完备性丰富的范畴论。受20世纪70年代一些关键结果的启发，本文从量子体理论中发展了所有需要的成分，以便将范畴拓扑的基本结果置于量子体丰富的范畴论的背景下，这是一个以前从其他领域（如量子逻辑和层理论）汲取其动机和应用的领域。
Hopf monads on monoidal categories
我们在任意monoidal范畴上定义了Hopf monad，推广了以前对带π的幺半范畴给出的定义.一个霍普夫单子是一个双单子（或opmonoidal单子），其融合算子是可逆的。这个定义可以用霍普夫变换来表示，它是具有可逆性条件的共单调变换。在具有内部Homs的幺半范畴范畴上，一个Hopf单子是一个允许左对极和右对极的双单子。霍普夫单子将霍普夫代数推广到了非辫子情形。他们还推广了Hopf代数胚（这是线性Hopf单子上的一类双模承认右伴随）。证明了任何有限张量范畴都是Hopf代数体上的有限维模范畴。任何在幺半范畴C中心的霍普夫代数都产生C上的一个Hopf单子。这样得到的Hopf单子就是增广的Hopf单子。更一般地，如果一个Hopf单子T是一个Hopf单子P的收缩，则P是T与T-模范畴的中心的一个Hopf代数的向量积（推广了霍普夫代数的Radford-Majid玻色化）。我们证明了一个Hopf附加函数的余幺半群余幺半群是由一个余交换中心余代数正则表示的。作为一个推论，我们得到了一个扩展的Sweedler的Hopf模分解定理的Hopf单子（实际上是较弱的概念，前Hopf单子）。
Diagrams, Fibrations, and the Decomposition of Colimits
本文的贡献是双重的。在Grothendieck的纤维范畴论的框架内，我们提出了一个基本的2-推理网络，围绕一个给定的范畴中的所有小图的范畴的形成和一个函子的Grothendieck范畴到小范畴的范畴的形成。我们证明了效用的这些precautions，在一定程度上通过推导三个公式（共）限制：一个“扭曲”的推广著名的富比尼公式，作为第一次建立的Chachólski和Scherer;一个新的“一般colimit分解公式”;和一个特殊情况下的一般公式，这实际上启动了这项工作，并证明了独立的Batanin和Berger。我们给出了三个证明这个colimit分解公式，使用的方法，提供了相当不同的见解。我们的网络的“基地”的2-abractions扩展早期的工作Ehresmann学校和吉他，并承诺是独立的利益。它涉及到形成一个任意函子的图范畴，这个函子被看作局部小范畴范畴的箭头范畴的对象，而不是仅仅是一个范畴的对象。新兴的广义Guitart 2-伴随因子的左伴随通过分裂Grothendieck（共）纤维化和严格（共）索引范畴的2-等价，我们在这里最一般地允许2维变化的基础范畴。
How strict is strictification?
本文的主题是严格化附加的高级结构，它联系了三维范畴论的两个基本基础：$2$-范畴的$\mathbf{Gray}$-范畴和双范畴的三范畴。我们表明，-远远不需要充分的弱点所提供的定义的tricategory理论-这个附加可以$\textit{strictly}$丰富的对称封闭multicategory的bicategories定义的Verity。此外，我们表明，这个附加的基础上的附加的双范畴丰富的对称multicategories。附录介绍了伪双范畴的对称闭多范畴，Verity的双范畴的对称多范畴完全嵌入其中。
Monads in Double Categories
我们将Street单子形式理论的基本概念从2-范畴的设置扩展到双范畴的设置。特别地，我们在双重范畴C中引入了单子的双重范畴Mnd（C），并定义了双重范畴允许自由单子的构造意味着什么。我们的主要定理表明，在一定的条件下，一个双重范畴是一个框架双范畴，如果它的水平2-范畴允许自由单子的构造，则它允许自由单子的构造。我们应用这个结果得到了双映射，它扩展了图和范畴之间的关联以及多项式内函子和多项式单子之间的关联。
From Multirelations to Meet-Relations: A Relational Duality for Semilattices with Adjunctions
本文提出了一种基于二元meet-关系的半格与伴随（SLatas）的relational对偶，通过引入MoS空间类别并建立其与模态半格的对偶等价，以及通过A-关系定义RelSP类别并证明SLata与RelSP之间的对偶等价，进一步通过引入normal mS空间概念，展示了多关系结构如何从meet-关系中恢复，从而证明RelSP与SLataSp的同构性。
The Leibniz adjunction in homotopy type theory, with an application to simplicial type theory
本文证明在单纯类型论中，若类型有(2,1)-角形唯一填充，则所有内(n,k)-角形也有唯一填充，推广了Riehl和Shulman的结果，主要工具是莱布尼茨伴随。
Monad interleaving: a construction of the operad for Leinster's weak $ω$-categories
我们展示了如何“交错”单子的操作和单子的收缩类\coll的集合，构建单子的操作与收缩的Leinster。我们首先分解的附加运算和附加的收缩成一个链的adjunctions每个行为的基础球集的一个维度上的时间。然后，我们展示了相互稳定的条件，使我们能够交替的维度由维自由函子。因此，我们给出了遗忘函子$\owc \lra \coll$的左伴随的一个明确的结构，从操作范畴与收缩的集合的范畴。通过将此应用于初始（空）集合，我们得到明确的初始操作与压缩，其代数的定义是弱$ω$ -范畴的Leinster。
General affine adjunctions, Nullstellensätze, and dualities
我们介绍和调查的标准“系统解决方案”的仿射代数几何的附加范畴理论的抽象。然后，我们将进一步研究这些几何代数在不同层次的一般性，从句法类别（可能无限）代数方程类。在这样做的时候，我们讨论了我们的框架和建立良好的理论具体的双重防御的二重性之间的关系。在一般代数的背景下，我们证明了一个类似的希尔伯特的零点，从而实现了一个完整的特性的不动点的代数侧的附加。
The factorization system of a radical on a homological category
研究同调范畴上根的分解系统，借助早期论文中通过伴随转移分解系统的技术，建立了二者的关联。
Limits, Colimits, and Spectra of Modelled Spaces
本文提出 $T_0$-模型谱的替代构造以重新证明 Coste 对偶伴随，并将其推广到相对谱，证明相关建模空间范畴存在极限与余极限。
Data structures for quasistrict higher categories
我们提出了新的准严格高阶范畴的数据结构，其中结合律和单位律严格成立。与传统的高阶范畴的代数定义相比，我们的方法具有较低的公理复杂性，并且我们用它给出了拟严格4-范畴的一个实用定义。它也适合于计算机实现，我们利用这一点给出了一个新的机器验证的代数证明，每一个adjunction的1-细胞在一个准严格的4类可以提升到一个连贯的adjunction满足蝴蝶方程。
Algebraic theories and commutativity in a sheaf topos
对于Grothendieck topos $\mathcal E$的定义$\mathcal C$的任何位置，我们定义了一个$\mathcal C$ -ary Lawvere理论$τ: \mathscr C \to \mathscr T$的概念，其模型范畴是$\mathcal E$上的栈。当$\mathcal C=\aleph_0$和$\mathcal E = \operatorname{\mathbf {Set}}$的定义与Lawvere的有限性理论一致时，我们的定义与Lawvere的有限性理论一致.我们构造了一个模型的纤维范畴$\operatorname{\mathbf {Mod}}^{\mathscr T}$作为$\mathcal E$上的一个栈，并证明了它是$\mathcal E$ -完全和$\mathcal E$ -余完全的.我们证明了存在一个自由遗忘的附加$F \dashv U: \operatorname{\mathbf {Mod}}^{\mathscr T} \rightleftarrows \mathscr E$。如果$τ$在某种意义上是一个交换理论，那么我们得到了模型范畴上的一个"局部monoidal闭“结构，它增强了自由遗忘到对称monoidal $\mathcal E$ -范畴的一个附加.我们的结果给出了一个构造monoidal $\mathcal E$ -c…
Complete Segal Objects
我们定义了完整的Segal对象，它扮演着内部高阶范畴对象的角色。然后，我们研究他们使用可表示的笛卡尔纤维化，特别是定义完整的Segal对象的约束和限制。最后，我们使用Segal对象来定义一个局部笛卡尔闭范畴中的univalence，这是不presentable和推广以前的一些结果的非presentable设置。
Generalization of formal monad theory to lax functors
本文通过两种方法将形式幺半群理论推广到松弛函子，定义了松弛教义伴随并证明余反射嵌入，同时推广了Beck分配律刻画定理。
Change of Enrichment for Monoidal Model Categories
研究幺半模型范畴的富集变化，将经典范畴论定理扩展到该范畴，在特定假设下改进先前结果。以链复形范畴为例，其两种幺半结构产生幺半模型范畴，还借此重现增广dg - 范畴的平方零扩张伴随。
Sheafifiable homotopy model categories
如果一个奎伦模型范畴可以用某种逻辑语法来指定（直观地说，“是代数/组合足够”），这样它就可以在任何层范畴中定义，那么奎伦公理在任何地点上的满足是它们在集范畴上被满足的纯粹形式上的结果。这样的数据产生了一个函子，从拓扑和几何态射范畴到奎伦模型范畴和奎伦映射。
$A_{\infty}$-structures in monoidal DG categories and strong homotopy unitality
本文在任意幺半DG范畴中借助无界扭曲复形定义A∞代数、余代数、模与余模，引入强同伦幺性，构造自由-遗忘同伦伴随及导出范畴，并证明A∞代数与余代数的同伦伴随给出导出模-余模等价，应用于A∞单子与增强正合单子。
A cottage industry of lax extensions
在这项工作中，我们描述了一个adjunction之间的逗号范畴的集合为基础的单子下的V-幂集单子和范畴的关联宽松扩展的集合为基础的单子的V-关系的范畴。在这个过程中，我们给出了单子的Kleisli扩张到V-关系范畴的一般构造。
Diagrammatic category theory
本文提出用弦图直观表示范畴论基本概念（如泛性质、极限、Kan扩张等）的证明，并介绍计算（余）端的方法，帮助初学者直观理解范畴论基础。
Ordered Locales
本文通过引入有序 locale 范畴，将 Stone 对偶扩展到预序拓扑空间，并建立其与满足开锥条件空间之间的伴随及范畴等价。
The folk model category structure on strict $ω$-categories is monoidal
本文证明了Lafont，Métayer和Worytkiewicz提出的严格$ω$ -范畴范畴上的民间模型范畴结构是monoidal的，首先证明了它对Gray张量积是monoidal的，其次证明了它对第一作者和Maltsiniotis提出的$ω$ -范畴的并是monoidal的.此外，我们表明，格雷张量积诱导，通过附加，严格的$(m,n)$ -范畴的张量积，这张量积也是兼容的民间模型的范畴结构。特别地，我们得到了严格$ω$ -群胚范畴上的一个么半群模型范畴结构。我们证明了这种么半群模型范畴结构满足么半群公理，从而第二作者所研究的Gray么半群范畴具有自然的模型范畴结构。
CaTT contexts are finite computads
本文比较了弱ω-范畴的两种类型论描述，证明CaTT语法范畴与有限computads范畴等价，并建立了模型范畴与球状集合上单态代数范畴的直接联系。
Płonka Adjunction
本文在范畴论框架下研究签名及其无0元运算子签名的相关结构，证明多组伴随关系，核心结论是Płonka $Σ^{≠0}$-代数到超半格归纳系统的函子存在左伴随即Płonka和。
The monotone-light factorization for n-categories via n-preorders
该研究从对称幺半伴随的性质推导出发，证明n-范畴到n-预序的反射具有稳定单位，确定了n-范畴上的单调-轻量因子分解系统，并刻画了有效下降态射的特征。
Stone Duality for Topological Convexity Spaces
本文研究拓扑凸空间的范畴，扩展石对偶到拓扑凸空间与sup-格之间的伴随，并通过预凸空间范畴来因子该伴随。
Morphisms and comorphisms of sites II -- Distributors of sites
本文提出 site 的分配子概念以统一态射与余态射，并建立其与相关层拓扑斯几何态射范畴间的伴随及连续情形等价。
Homomorphisms of Gray-categories as pseudo algebras
给定灰色范畴$P$和$L$，存在一个灰色范畴$\mathrm{Tricat}_{\mathrm{ls}}(P,L)$，它是由定义域$P$和余域$L$、三转、三改和扰动的局部严格三同态构成的。如果定义域$P$是小的，余域$L$是余完备的，我们证明了这个灰色范畴同构于由左Kan扩张导出的灰色单子$T$的伪代数、伪函子、变换和修改的灰色范畴$\mathrm{Ps}$-$T$ - $\mathrm{Alg}$.受二维单子理论中类似情形的启发，我们应用三维单子理论的凝聚理论，证明了在局部严格三同态的Gray范畴中包含的函子范畴在充实意义下有一个左伴随，使得该伴随的单位分量是内部双等价的.证明了具有小整环和余完备余整环的Gray范畴之间的任何局部严格三同态都与Gray函子双等价。此外，Hom Gray-伴随给出了局部严格三同态与Gray-函子之间的三变换的Hom 2-范畴与函子Gray-范畴中相应的Hom 2-范畴的同构.一个值得注意的例子是局部严格的灰值预层与小域。我们的研究结果在三维下降理论中的应用，并指向一个Yoneda引理的方向。
Monadic vs Adjoint Decomposition
众所周知，所谓的一元分解，应用于通过张量和本原函子将双代数范畴连接到向量空间范畴的附接，返回双代数和（限制）李代数之间的通常附接。此外，在这个框架中，增广单子和组合秩的概念发挥了核心作用。为了将这些结果置于更广泛的背景下，我们被引导用我们称之为伴随分解的东西来代替一元分解。与第一种构造相比，这种构造具有降低计算复杂性的优点。我们通过嵌入连接两个分解，并通过使用Grothendieck纤维化的相对版本，我们调查其性质。作为一个应用程序，在这个更广泛的设置，通过使用的概念，增强单子，我们引入了一个概念的组合秩，除其他外，预计给一些提示的长度上的一元分解。
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