Categorical Theory of $(\infty,ω)$-Categories
本文系统发展$(\infty,\omega)$-范畴理论，将松弛Grothendieck构造、Yoneda引理、松弛（余）极限及松弛Kan扩张等经典范畴论结果推广到该高阶范畴框架中。
2024-11-22 math.CT
Fibrations and Yoneda's lemma in an $\infty$-cosmos
我们使用术语$\infty$ -范畴和$\infty$ -函子来表示$\infty$ -宇宙中的对象和态射：一个满足一些公理的简单丰富范畴，让人想起一个丰富的范畴的对象。拟范畴、Segal范畴、完备Segal空间、标记单纯集、迭代完备Segal空间、$θ_n$ -空间以及它们各自的纤维化版本都是这个意义上的$\infty$ -范畴。本系列以前的工作表明，$\infty$ -范畴和$\infty$ -函子的基本范畴论只能参照$\infty$ -宇宙的公理来发展;实际上，大部分工作是同伦2-范畴、$\infty$ -范畴、$\infty$ -函子和自然变换的严格2-范畴的内部工作。在准范畴的$\infty$ -宇宙中，我们精确地重新获得了由Joyal和Lurie发展的相同的范畴论，尽管我们的定义自然是2-范畴的，没有利用区分每个模型的组合细节。本文介绍了一类$\infty$ -函子--carnivibration及其群胚变体。笛卡尔纤维化形成了一个基石，在抽象处理的“类范畴”结构的一个洛杉矶街，并发挥了重要作用，在卢里的工作准范畴。在建立了它们的基本理论之后，我们陈述并证明了Yoneda引理，它具有可表示纤维化映射的拟范畴与纤维在其表示元上的拟范畴之间的等价形式。一个配套文件将应用这些结果建立一个演算的模块之间的$\infty$类别，这将被用来定义和研究点态Kan扩展沿$\infty$…
2016-06-13 math.AT math.CT
Supermaps on generalised theories
Mathematical Institute, Slovak Academy of Sciences（斯洛伐克科学院数学研究所）；Université Paris-Saclay, CNRS, ENS Paris-Saclay, Inria, CentraleSupélec, Laboratoire Méthodes Formelles（巴黎萨克雷大学、法国国家科学研究中心、巴黎高等师范学院、法国国家信息与自动化研究所、中央理工-高等电力学院、形式方法实验室）
本文基于超映射理论，建立了一个Yoneda引理，用于描述任意电路理论中的高阶量子操作，并应用于boxworld的高阶过程和高阶真实量子理论的定义。
2026-06-23 cs.LO math.CT quant-ph
From observables and states to Hilbert space and back: a 2-categorical adjunction
给定一个C*-代数的表示，将其看作是物理可观测量的抽象集合，加上一个单位向量，人们通过限制获得代数上的一个状态。我们证明了Gelfand-Naimark-Segal（GNS）构造是这个限制的一个左伴随。为了正确地表述这个伴随，它必须被看作是一个弱自然变换，一个合适的2-范畴中的1-态射，而不是范畴之间的函子。弱自然性编码了GNS结构的功能性，而互操作的泛属性编码了GNS结构的特征性。数学定义和结果伴随着物理解释。
2018-03-24 math-ph math.CT math.MP
Two-variable fibrations, factorisation systems and $\infty$-categories of spans
本文在Barwick适当三元组框架下证明张成空间$\infty$-范畴的万有性质，引入正交适当三元组并证明其自等价性，进而统一推广了展开定理、正交分解系统、双变量纤维化及参数化伴随等多个范畴论结果。
2023-09-20 math.AT math.CT
Functor String Diagrams: A Novel Approach to Flexible Diagrams for Applied Category Theory
本文提出函子弦图方法，解决传统幺半弦图无法准确表示函子等范畴构造的问题，并通过证明Yoneda引理和支撑神经电路图验证其理论与应用价值。
2024-06-26 math.CT
The $(\infty,2)$-category of internal $(\infty,1)$-categories
本文研究了内部$(\infty,1)$-范畴的$(\infty,2)$-范畴的闭包性质及与模型范畴的对应关系。
2026-06-29 math.AT math.CT
Formal category theory in augmented virtual double categories
本文在增广虚拟双范畴中形式化Kan扩张、Yoneda嵌入、全范畴与小余完备化等经典范畴论概念，并证明Yoneda嵌入存在性等价于相应内hom存在性，同时给出沿泛态射提升Yoneda嵌入的一般结果。
2024-04-02 math.CT
Basic Category Theory
本教材面向数学背景薄弱的读者，以泛性质为核心，通过伴随函子、可表函子和极限三种方式阐述该概念，结合大量例子与细致解释，帮助理解范畴论基础。
2025-08-26 math.AT math.CT math.LO
Double Adjunctions and Free Monads
我们刻画了双重范畴的预层和泛方，然后将这些刻画应用于自由单子和双重范畴中的Eilenberg-Moore对象。我们改进了我们在“Monads in Double Categories”，JPAA 215：6，pages 1174-1197，2011中的早期结果，得出结论：如果具有共折叠的双范畴允许在其水平2-范畴中构造自由Monads，那么它也允许将自由Monads构造为双范畴。我们还证明了一个双重范畴承认Eilenberg-Moore对象当且仅当一定的参数化预层是表示。在此过程中，我们开发了双范畴上的参数化预层，并证明了双范畴Yoneda引理。
2011-12-20 math.CT
The weight complex functor is symmetric monoidal
Bondarko的（强）权复函子是Voevodsky的三角化模范畴到经典Chow模的链复形的同伦范畴的三角化函子。它的构造对任何配备了权结构的dg增强三角范畴都是有效的。本文考虑稳定对称monoidal $\infty$范畴中的权复函子。在自然相容性假设下，证明了权复函子是对称幺半群。为了证明这一结果，我们开发了添加剂和稳定的对称monoidal变体的$\infty$分类米田嵌入，这可能是独立的利益。
2019-04-02 math.AG math.CT
A Layered Architecture for Universal Causality
Adobe Research（奥多比研究院）；University of Massachusetts, Amherst（马萨诸塞大学阿默斯特分校）
我们提出了一个分层的层次架构称为UCLA（通用因果分层架构），它结合了多层次的分类抽象的因果推理。在最高层，因果干预是使用序数的单纯类别组合建模的。在第二层，因果模型由图类型类别定义。因果结构上的非随机“外科手术”操作，如边缘删除，使用退化和脸算子从上面的单纯层捕获。第三个范畴抽象层对应于因果推理中的数据层。第四个同伦层包括强加在上面的实例层上的附加结构，例如拓扑空间，它可以评估数据集上的因果模型。函子映射在UCLA中的每对层之间。层之间的每个函子都由一个通用箭头来表征，它定义了每对范畴层之间的同构。这些通用箭头通过米田引理定义了通用元素和表示，并反过来导致了基于Grothendieck引入的构造的一个新的元素类别。每对层之间的因果推理被定义为提升问题，一个交换图，其对象是类别，其态射是被表征为不同类型的纤维化的函子。我们说明了加州大学洛杉矶分校的架构，使用一系列的例子，包括整数值的多集，代表一个非图形框架的条件独立性，因果模型的基础上，使用对称monoidal类别的图形和字符串图。我们用元素范畴神经的同伦余限来定义因果效应。
2022-12-18 cs.AI cs.LG math.CT
Infinity category theory from scratch
我们使用术语“$\infty$ -categories”和“$\infty$ -functors”来表示“$\infty$ -cosmos”中的对象和态射。“拟范畴、Segal范畴、完备Segal空间、自然标记单纯集、迭代完备Segal空间、$θ_n$ -空间以及它们各自的纤维化版本在这个意义上都是$\infty$ -范畴。我们表明，基本的范畴论的$\infty$ -范畴和$\infty$ -函子可以从一个$\infty$ -宇宙的公理发展;事实上，大部分的工作是内部的一个严格的2-范畴的$\infty$ -范畴，$\infty$ -函子，和自然变换。在准范畴的$\infty$ -宇宙中，我们精确地重新获得了Joyal和Lurie所发展的同一理论，尽管在大多数情况下，我们的定义是2-范畴的而不是组合的，是标准概念的新的化身。在第一讲中，我们定义了一个$\infty$ -宇宙，并引入了它的“同伦2-范畴”，利用形式范畴论定义和研究了$\infty$ -范畴之间的等价和互逆。在第二讲中，我们研究了取值于$\infty$ -范畴的图的（上）极限以及（上）极限与极限之间的关系。在第三讲中，我们引入了逗号$\infty$ -范畴，它们被用来编码（余）极限和伴随性的泛性质，并证明了“模型独立性”结果。在第四讲中，我们介绍了（上）卡氏纤维化，描述了$\infty$ -范畴之间的“模”演算，并利用…
2019-09-19 math.AT math.CT
Categorified algebra and equivariant homotopy theory
本论文包括三个集合的结果，都由一个共同的主题。主题是通过代数技术研究范畴，将范畴本身视为代数对象。这种范畴论的代数方法是非对易代数几何的核心，正如最近在非对易动机研究中取得的进展所实现的那样。在对称么半群和半环$\infty$范畴的一般情况下，我们成功地证明了代数结果，它们分别对阿贝尔群和环进行了分类。例如，我们证明了有限集的半环范畴Fin上的模是余范畴monoidal $\infty$ -范畴，Burn上的模（Burnside $\infty$ -范畴）是加性$\infty$ -范畴.因此，我们可以把Lawvere理论看作是循环的$\text{Fin}^\text{op}$ -模，从而为Lawvere理论的高级范畴研究提供了代数基础。我们证明了Lawvere理论的功能作为一个家的代数Yoneda引理。最后，我们提供证据的形式之间的对偶天真和真正的等变同伦理论，在一个组理论的Eilenberg-Watts定理。这建立了等变同伦理论和动机同伦理论之间的平行关系，其中伯恩赛德构造类似于森田理论。我们推测，这种关系可以精确的范围内的非交换动机的领域与一个元素。
2018-05-22 math.AG math.AT math.CT
The Schwarz-Voronov Embedding of ${\mathbb Z}_{2}^{n}$-Manifolds
非正式地，${\mathbb Z}_2^n$ -流形是具有${\mathbb Z}_2^n$ -分次坐标和由它们的${\mathbb Z}_2^n$ -度的标准标量积确定的符号规则的“流形”。这样的流形可以在层理论的框架中理解，就像超流形一样，但有显着的差异，特别是在积分理论中。本文通过点的函子在范畴框架内重新定义了${\mathbb Z}_2^n$ -流形的概念。我们表明，它是足够的考虑${\mathbb Z}_2^n$ -点，即，平凡的${\mathbb Z}_2^n$ -流形，其中约化流形只是一个单一的点，作为“探针”时，采用函子的点。这使得我们可以构造一个完全忠实的限制Yoneda嵌入的范畴的${\mathbb Z}_2^n$ -流形到一个子范畴的逆变函子从范畴的${\mathbb Z}_2^n$ -点的范畴的Fréchet流形代数。我们把这种嵌入称为Schwarz-Voronov嵌入。进一步证明了${\mathbb Z}_2^n$ -流形范畴等价于前一个局部平凡函子范畴的全子范畴。
2020-01-08 math-ph math.CT math.DG
The tensor embedding for a grothendieck cosmos
虽然米田嵌入及其推广在文献中得到了广泛的研究，但所谓的张量嵌入却很少受到关注。本文研究了闭对称monoidal范畴的张量嵌入，并展示了它是如何与几何纯性的概念相联系的，这一概念最近在Enochs，Estrada，Gillespie和Odabaeirs的著作中得到了研究。更确切地说，对于一个Gro\-thendieck宇宙-即一个双完全的Grothendick范畴$\mathcal{V}$与封闭的对称monoidal结构-我们证明了几何纯正合范畴$(\mathcal{V},\mathscr{E}_\otimes)$有足够的相对内射，事实上，每个对象有一个几何纯内射信封。我们还证明了对于某些正则基数$λ$，张量嵌入产生了$(\mathcal{V},\mathscr{E}_\otimes)$和$λ$ -从$\mbox{Pres}(\mathcal{V})$到$\mathcal{V}$的共连续$\mathcal{V}$ -函子范畴之间的精确等价，其中前者是$\mathcal{V}$中$λ$ -可表示对象的完全$\mathcal{V}$ -子范畴.在许多感兴趣的情况下，$λ$可以被选择为$\aleph_0$，并且张量嵌入将$\mathcal{V}$中的几何纯内射对象与从$\mathrm{fp}(\mathcal{V})$到$\mathcal{V}$的$\mathcal{V}$ -函子的阿贝尔…
2019-11-28 math.AG math.CT math.RT
