关于类多项式函数的小小数部分
On small fractional parts of polynomial-like functions
摘要：
在最近的一篇论文中，Madritsch和Tichy建立了多项式样函数小数部分的丢番图不等式。特别地，对于$f(x)=x^k+x^c$，其中$k$是正整数，$c>1$是非整数，以及任何固定的$ξ\in [0,1]$，他们获得了对于明确给出的$ρ_1(c,k)>0$的\[\min_{2\leq p\leq X} \Vert ξ\lfloor f(p)\rfloor \Vert\ll_{k,c,ε} X^{-ρ_1(c,k)+ε}\]。在本注记中，我们改进了他们在$c>k$和$c>4$情形下的结果。
英文摘要：
In a recent paper, Madritsch and Tichy established Diophantine inequalities for the fractional parts of polynomial-like functions. In particular, for $f(x)=x^k+x^c$ where $k$ is a positive integer and $c>1$ is a non-integer, and any fixed $ξ\in [0,1]$ they obtained \[\min_{2\leq p\leq X} \Vert ξ\lfloor f(p)\rfloor \Vert\ll_{k,c,ε} X^{-ρ_1(c,k)+ε}\] for $ρ_1(c,k)>0$ explicitly given. In the present note, we improve upon their results in the case $c>k$ and $c>4$.
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