Manfred G. Madritsch, Robert F. Tichy
We establish Diophantine inequalities for the fractional parts of generalized polynomials $f$, in particular for sequences $ν(n)=\lfloor n^c\rfloor+n^k$ with $c>1$ a non-integral real number and $k\in\mathbb{N}$, as well as for $ν(p)$ where $p$ runs through all prime numbers. This is related to classical work of Heilbronn and to recent results of Bergelson \textit{et al.}
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Van der Corput sets in Z^d
在这篇部分说明性的论文中，我们研究了$\Z^d$中的van der Corput集，重点关注与调和分析和测度保持动力系统的递归性质的联系。我们证明了多维版本的一些经典结果$d=1$在\cite{K-MF}和\cite{R}，建立新的特征，介绍和讨论了一些修改的范德科普特集对应于各种概念的复发，提供了大量的例子，并制定一些自然的开放问题。
An explicit van der Corput estimate for $ζ(1/2+it)$
利用vanderCorput方法得到了临界线上的黎曼ζ函数的显式估计。给出了一个显式的van der Corput引理。
From van der Corput to modern constructions of sequences for quasi-Monte Carlo rules
1935年，J.G. van der Corput引入了一个序列，该序列具有模1的优良均匀分布特性。这个序列是基于一个非常简单的数字构造方案，相对于二进制数字扩展。现在的范德科普特序列，因为它是后来命名的，是许多均匀分布的序列的原型，也在多维的情况下。在拟蒙特卡罗方法中，需要这样的序列作为样本节点，该算法是用于数值积分的蒙特卡罗规则的确定性变体。自从它的介绍，许多人已经研究了范德科普特序列及其推广。这导致了大量的结果。在J.G.的125岁生日之际。vanderCorput我们调查了许多有趣的结果vanderCorput序列及其推广。通过这种方式，我们从van der Corput的思想转移到拟蒙特卡罗方法规则的最现代的序列构造，例如，广义Halton序列或Niederreiter的$(t,s)$ -序列。
How to construct generalized van der Corput sequences
作者最近引进的LS-点列是van der Corput序列的推广。它们是通过重新排序划分的相应LS序列的点来构造的。在这里，我们提出了另一种算法，它符合经典的一个van der Corput序列，是简单的计算比原来的建设。该算法基于自然数在基$L+S$中的表示，当$L=b$和S=0时，给出基$b$中的vanderCorput序列.在这种结构中，以及在范德科普特一个，它是必不可少的基础$L+S$中的表示数位的反转：在本文中，我们也给了一个很好的几何解释这个“神奇的”操作。
On van der Corput property of squares
我们证明了完满平方集合的van der Corput性质的上界是O（（log n）^{-1/3}），从而回答了Ruzsa和Montgomery所考虑的一个问题.我们通过构造非负值的赋范三角多项式来实现，其谱在不超过n的完满平方集合中，并且有一个小的自由系数a_0=O（（log n）^{-1/3}）。
On a Finite Field Analogue of van der Corput Differencing
本文研究有限域上一般双线性型的非平凡界，将其作为 van der Corput 差分法的类比，并利用 Poisson 求和与 Cauchy-Schwarz 迭代完成证明。
Let $d_N=ND_N(ω)$ be the discrepancy of the Van der Corput sequence in base $2$. We improve on the known bounds for the number of indices $N$ such that $d_N\leq \log N/100$. Moreover, we show that the summatory function of $d_N$ satisfies an exact formula involving a $1$-periodic, continuous function. Finally, we show that $d_N$ is invariant under digit reversal in base $2$.
On van der Corput property of shifted primes
证明了移位素数集的van der Corput性质的上界为O（（log n）^{-1+o（1）}），从而回答了Ruzsa和Montgomery关于移位素数集p-1的一个问题.本文构造了一个赋范非负值余弦多项式，其谱在p-1，p<=n中，自由系数a_0=O（（logn）^{-1+o（1）}）.这意味着集合p-1的庞加莱性质有相同的界，也意味着与相关集合的均匀分布有关的几个性质有相同的界。
$L_p$-discrepancy of the symmetrized van der Corput sequence
众所周知，van der Corput序列的$p \in [1,\infty]$的$L_p$ -差异具有精确的数量级$O((\log N)/N)$。然而，根据Roth和Proinov，这对于$p \in (1,\infty)$来说不是关于下界的最佳可能。对于$p=2$的情况，众所周知，由于达文波特的对称化技巧导致对称化的van der Corput序列的最佳$L_2$ -差异率$O(\sqrt{\log N}/N)$。在本文中，我们证明了这个结果对所有$p \in (1,\infty)$都成立。证明是基于估计的Haar系数的相应的本地差异和使用的Littlewood-Paley不等式。
Error term improvements for van der Corput transforms
本文改进了指数和\sum_{a \le n \le b} g（n）exp（2π if（n））的vanderCorput变换中的误差项.对于许多函数g和f，我们可以在渐近中提取下一项，这表明以前的结果，如Karatsuba和Korolev的结果，是尖锐的。特别值得注意的是，本文的方法避免了使用截断的泊松公式，因此可以应用于更长的区间[a，b]，得到更好的结果。我们提供了在g（x）=1和f（x）=（x/3）^{3/2}的情况下的误差项的详细分析。
A van der Corput lemma for the p-adic numbers
本文证明了p-adic数上多项式的van der Corput引理的一个版本。
Regularities of the distribution of abstract van der Corput sequences
类似于$β$ -adic van der Corput序列，抽象van der Corput序列可以被定义为抽象计数系统。在某些假设下，这些序列是低差异序列。显式计算差异函数，并提供了$[0,y)$形式的有界剩余集的特征。
A van der Corput-type algorithm for LS-sequences of points
在本文中，我们关联到任何$LS$ -序列的分区${ρ_{L,S}^n}$相应的$LS$ -序列的点${ξ_{L,S}^n}$获得重新排序的点的每个分区与一个明确的算法。该过程开始于自然数$[n]_{L+S}$的基$L+S$中的表示，并以$LS$ -根式反函数$ϕ_{L,S}$结束，该函数是专门引入的，在取决于$L$和$S$的自然数的适当子序列处进行评估。这种构造与${ξ_{L,S}^n}$上的点通过适当的仿射函数的几何表示密切相关，并且提醒了基$b$上的van der Corput序列。关键词：均匀分布，序列的分区，范德科普特序列，差异。
Cyclic shifts of the van der Corput set
在[13]中，K. Roth证明了$N$点van der Corput集的循环移位的$L^2$差异的期望值由$\sqrt{\log N}$的常数倍数限制，从而保证存在具有渐近最小$L^2$差异的移位，[11]。在本文中，我们构建了一个具体的例子，这样的转变。
Entropic van der Corput's Difference Theorem
本研究证明了熵形式的范德科尔布特差定理，指出序列熵与其差分序列熵相等，揭示了模1均匀分布理论与熵的潜在关联，并将该熵版本拓展应用到多个均匀分布相关结果中。
Variants of the Littlewood conjecture, their connection to uniformly distributed sequences, and the exact order of the discrepancy of van der Corput--Kronecker-type sequences
本文利用有限域上 $X$-进 Littlewood 猜想的反例构造 van der Corput–Kronecker 型序列，并确定其差异度精确阶，从而支持一致分布理论中的最优差异度上界猜想。
Analytic van der Corput Lemma for p-adic and F_q((t)) oscillatory integrals, singular Fourier transforms, and restriction theorems
本文给出了实vanderCorput引理的p-adic和F_q（（t））模拟，其中相位充分光滑的实条件被相位是收敛的幂级数的条件所取代。这个van der Corput风格的结果，使我们能够在类比的真实情况下，研究奇异的傅里叶变换适当弯曲（解析）流形，并开辟了道路，为进一步的应用。作为这样的进一步应用，我们给出了L^p函数到非阿基米德局部域上适当弯曲的解析流形的傅里叶变换的限制定理，类似于E. Stein和C.弗利曼。
$LS$-successioni di punti nel quadrato
本硕士论文的主要目的是研究由Carbone在\cite{Carbone}中引入的点的$LS$ -序列，并找到它们到单位正方形的两个推广。在这里，我们还提出了一个新的算法提出了同一作者在\cite{Carbone2}，我们实现它，以便有一个图形化的描述这些序列。第1章包括一系列关于均匀分布理论和差异的结果（我们参考\cite{Drmota_Tichy}和\cite{Kuipers_Niederreiter}对这个问题进行全面调查）。在第二章中，我们把我们的注意力集中在$LS$ -序列的划分和点的单位区间，给予特别注意的排序的点“à la van der Corput \rq \rq和找到一种方法来计算它们有关的数字展开的自然数在基$L+S$。在第3章中，我们移动到单位正方形，在那里我们发现了$LS$ -序列的两个推广，这是在多维情况下van der Corput序列的历史发展之后。这就是为什么我们称第一个序列为$LS$ -van der Corput-Hammersley的点序列，第二个序列为$LS$ -Halton的序列。
On the finite pair correlation function of van der Corput sequences
本文推导了基 2 van der Corput 序列有限对相关函数的显式公式，并证明其极限仅对 $0 \leq s \leq 1/2$ 存在。
A central limit theorem with explicit error bound, and a large deviation result are proved for a sequence of weakly dependent random variables of a special form. As a corollary, under certain conditions on the function $f: [0,1] \to \mathbb{R}$ a central limit theorem and a large deviation result are obtained for the sum $\sum_{n=0}^{N-1} f(x_n)$, where $x_n$ is the base $b$ van der Corput sequence for an arbitrary integer $b \ge 2$. Similar results are also proved for the $L^p$ discrepancy of the same sequence for $1 \le p < \infty$. The main methods used in the proofs are the Berry-Esseen th…
Sárközy's theorem in $\mathbb{F}_q[t]$ via the van der Corput property
本文通过 van der Corput 性质，将 Green 处理整数中移位素数 Sárközy 定理的方法推广到函数域，改进了 Lê 和 Spencer 的界。
Strichartz and dispersive estimates for quantum bouncing ball model: exponential sums and Van der Corput methods in 1d semi-classical Schrödinger equations
本研究针对一维半经典薛定谔方程，通过Van der Corput方法改进Strichartz估计，将损失从1/4降至1/6+ε，并推测高维Friedlander模型亦适用。
Explicit van der Corput's $d$-th derivative estimate
本文给出 van der Corput 的 d 阶导数指数和估计的显式常数版本，纠正其 1937 年论文中的错误，并将结果应用于 zeta 和及 Titchmarsh 定理。
The intriguing search for permutations that generate generalised van der Corput sequences with exceptionally small discrepancy forms an important part of the research work of Henri Faure. On the occasion of Henri's 80th birthday we aim to survey (some of) his contributions over the last four decades which considerably improved our understanding of one-dimensional van der Corput sequences and inspired a lot of related work. We recall and compare the different approaches in the search for generalised van der Corput sequences with low discrepancy, i.e., using a single generating permutation versu…
Van der Corput and metric theorems for geometric progressions for self-similar measures
本文证明了非原子自相似测度的 van der Corput 引理，并以此证明 $( x^n \mod 1 )$ 的有限阶相关函数对几乎处处 $x$ 收敛于 Poisson 模型，同时完善了关于非仿射实解析 IFS 自共形测度具有多项式 Fourier 衰减的结论。
Lebesgue constants for the Walsh system and the discrepancy of the van der Corput sequence
本文揭示沃尔什系统勒贝格常数与范德科特序列星偏差的数学一致性，指出两者在理论研究中虽曾独立发展，但本质相同。
Relation between Turán extremum problem and van der Corput sets
令$K\subset\mathbb N$和$\mathbf T(K)$是一组三角多项式\[ T(x)=T_0+\sum_{k\in K, k\le H}T_k\cos(2πkx), \qquad H>1, \] $T(x)\ge0$，用于所有$x$和$T(0)=1$。假设$0<h\le1/2$和$K(h)$是满足以下条件的函数类\[ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\cos(2πnx) \]：$a_n\ge0$对于所有$n$，$f(0)=1$和$f(x)=0$对于$h\le|x|\le1/2$。研究了有理数$h=p/q$和集合$K=\bigcup\limits_{ν=0}^\infty\{qν+p,...,qν+q-p\}$的极值问题\[ δ(K)=\inf_{T\in\mathbf T(K)}T_0 \]与Turán极值问题\[ A(h)=\sup_{f\in K(h)}a_0=\sup_{f\in K(h)}\int_{-h}^hf(x) dx \]之间的关系. $δ(K)$问题是与van der Korput集的联系。解析数论中的Van der Korput集研究。
The van der Corput property for sums of two squares
本文证明了两个平方数之和集合的 van der Corput 性质的幂次节省形式，并由此得到强 Sárközy 型结果：若 A 中非零差都不是两个平方数之和，则 |A| ≪_ε N^{7/8+ε}，改进了 Rice 的拟多项式界，且该界形状最优。
The optimal van der Corput property for squares
本文利用带符号系数的 van der Corput 性质的定量版本，改进了 Furstenberg–Sárközy 定理的上界，并证明该界在常数内是尖锐的。
This paper establishes a connection between a problem in Potential Theory and Mathematical Physics, arranging points so as to minimize an energy functional, and a problem in Combinatorics and Number Theory, constructing 'well-distributed' sequences of points on $[0,1)$. Let $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ be (i) symmetric $f(x) = f(1-x)$, (ii) twice differentiable on $(0,1)$, and (iii) such that $f''(x)>0$ for all $x \in (0,1)$. We study the greedy dynamical system, where, given an initial set $\{x_0, \ldots, x_{N-1}\} \subset [0,1)$, the point $x_N$ is obtained as $$ x_{N} = \arg\min_{x \in …
L_p- and S_{p,q}^rB-discrepancy of the symmetrized van der Corput sequence and modified Hammersley point sets in arbitrary bases
本文研究了对称van der Corput序列和修改Hammersley点集在任意基底中的局部偏差，给出了Besov空间中的偏差范数上界，从而得到L_p-偏差界，并证明了序列在L_p-和S_{p,q}^rB-偏差上达到最优阶。
Low Discrepancy Digital Kronecker-Van der Corput Sequences
本文利用函数域上的 Diophantine 逼近及 $t$-$LC$ 反例，构造并证明了由数字 Kronecker 与 Van der Corput 序列组成的二维混合序列可具有低偏差。
Solutions to 6 problems in recurrence and Van der Corput sets
本文解决了关于优良回归集与van der Corput集的六个开放问题，证明了若干划分正则性及vdC集与算子回归集的关联，并由AI辅助生成初始证明后经人工验证与整理。
Van der Corput and Halton sequences are well-known low-discrepancy sequences. Almost twenty years ago Ninomiya defined analogues of van der Corput sequences for $β$-numeration and proved that they also form low-discrepancy sequences if $β$ is a Pisot number. Only very recently Robert Tichy and his co-authors succeeded in proving that $\boldsymbolβ$-adic Halton sequences are equidistributed for certain parameters $\boldsymbolβ=(β_1,\ldots,β_s)$ using methods from ergodic theory. In the present paper we continue this research and give discrepancy estimates for $\boldsymbolβ$-adic Halton sequence…
The divisor function in arithmetic progressions to smooth moduli
本文利用vanderCorput方法的$q$ -模拟方法，研究了模为$q$的等差数列中的除数函数.我们表明，预期的渐近公式适用于更大范围的$q$比以前已知的，只要$q$有一定的因式分解。
Estimates for character sums and Dirichlet $L$-functions to smooth moduli
我们使用van der Corput方法的$q$ -模拟来估计短特征和以平滑模。若$χ$是模无平方的本原Dirichlet特征标，则$q^δ$ -光滑整数$q$证明了$$L(\frac12,χ)\ll_εq^{\frac{27}{164}+O(δ)+ε}.$$
We give upper bounds for the number of integral solutions of bounded height to a system of equations $f_i(x_1,\ldots,x_n) = 0$, $1 \leq i \leq r$, where the $f_i$ are polynomials with integer coefficients. The estimates are obtained by generalising an approach due to Heath-Brown, using a certain $q$-analogue of van der Corput's method, to the case of systems of polynomials of differing degree. Our results apply for a wider range of $n$, in terms of the degrees of the polynomials $f_i$, than bounds obtained with the circle method.
Explicit Exponential Sum Estimates and Approximate Functional Equations for the Zeta Function
该研究给出Van der Corput截断泊松求和公式（B过程）的显式版本，改进了相关显式结果的误差项，并将其应用于黎曼ζ函数近似函数方程，在部分范围优化了Simonič2020年的结果。
We derive explicit formulas for integrals of certain symmetric polynomials used in Keiju Sono's multidimensional sieve of $E_2$-numbers, i.e., integers which are products of two distinct primes. We use these computations to produce the currently best-known bounds for gaps between multiple $E_2$-numbers. For example, we show there are infinitely many occurrences of four $E_2$-numbers within a gap size of 94 unconditionally and within a gap size of 32 assuming the Elliott-Halberstam conjecture for primes and sifted $E_2$-numbers.
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