AI 中文总结
本文利用带符号系数的 van der Corput 性质的定量版本，改进了 Furstenberg–Sárközy 定理的上界，并证明该界在常数内是尖锐的。
AI 中文摘要
我们证明，若 $A\subseteq \mathbb{N}\cap[1,N]$ 不含非零平方差，则 $|A|\ll N\exp(-c\sqrt{\log N\log\log N})$，改进了 Green 和 Sawhney 近期的一个结果。证明利用了带符号系数的 van der Corput 性质的定量版本，并建立在 Slijepčević、Slijepčević–Ninčević 以及 Fan-Lott 先前构造的基础上。上界的证明是初等且自足的。我们还证明了平方的任何 van der Corput 见证的常系数匹配下界，表明我们的定量 van der Corput 界在常数 $c$ 内是尖锐的。
英文摘要
We show that if $A\subseteq \mathbb{N}\cap[1,N]$ has no nonzero square difference, then \[ |A|\ll N\exp(-c\sqrt{\log N\log\log N}), \] improving upon a recent result of Green and Sawhney. The proof exploits a quantitative version of the van der Corput property with signed coefficients and builds on previous constructions of Slijepčević, Slijepčević--Ninčević, and Fan-Lott. The proof of the upper bound is elementary and self-contained. We also prove a matching lower bound for the constant coefficient of any van der Corput witness for squares, showing that our quantitative van der Corput bound is sharp up to the constant $c$.
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