Arbitrarily High-Order Structure-Preserving Parametric Finite Element Methods for Geometric PDEs via Local Pullback Flow Maps
National University of Singapore（新加坡国立大学）；Universität Tübingen（蒂宾根大学）
本文提出基于局部拉回流映射的任意高阶保结构参数有限元方法，用于表面扩散和保体积平均曲率流等几何PDE，通过共形和等分布两种表述实现面积/体积精确保持及周长/表面积耗散。
2026-10-06 cs.NA math.NA
Geometric structure-preserving parametric finite element approximations for the constrained Helfrich flow
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
提出一种基于速度分裂的两阶段参数有限元方法，用于约束Helfrich流，实现能量衰减、精确几何守恒和良好网格质量。
2026-06-16 cs.NA math.NA
Volume-preserving parametric finite element methods for axisymmetric geometric evolution equations
我们提出并分析了保体积参数有限元法的表面扩散，保守的中曲率流和中间的轴对称设置的演变规律。弱公式是根据轴对称曲面的母曲线给出的。所提出的数值方法是基于分段线性参数有限元。所构造的完全实用方案满足封闭体积守恒。此外，我们证明了离散格式的无条件稳定性，并考虑了离散格式的顶点分布。所介绍的方法是隐式的，并且可以通过牛顿迭代法非常有效且准确地求解所得的非线性系统。数值结果表明，所介绍的方案计算所考虑的轴对称几何流的精度和效率。
2022-03-26 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A structure-preserving parametric finite element method with optimal energy stability condition for anisotropic surface diffusion
提出一种保结构参数化有限元方法（SP-PFEM）求解各向异性表面扩散下闭合曲线演化，证明了能量稳定性的充要条件，并严格保持面积守恒与能量耗散。
2025-01-28 cs.NA math.NA
Structure-preserving parametric finite element methods for simulating axisymmetric solid-state dewetting problems with anisotropic surface energies
本文针对轴对称固态去湿问题，设计了两类保结构参数有限元算法，并基于新颖弱形式构建了两种网格性质良好的数值格式，理论证明体积守恒与能量稳定，数值实验验证了精度与效率。
2024-05-27 cs.NA math.NA
A structure-preserving parametric finite element method for geometric flows with anisotropic surface energy
本文提出并分析了保结构参数有限元法（SP-PFEM），用于求解具有任意各向异性表面能$γ(\boldsymbol{n})$的不同几何流下封闭曲线的演化问题，其中$\boldsymbol{n}\in \mathbb{S}^1$代表向外的单位法向量.通过引入依赖于$γ(\boldsymbol{n})$和Cahn-Hoffman $\boldsymbolξ$ -向量的新的表面能矩阵$\boldsymbol{G}_k(\boldsymbol{n})$以及对称正定矩阵与反对称矩阵之和的非负稳定化函数$k(\boldsymbol{n}):\ \mathbb{S}^1\to \mathbb{R}$，得到了各向异性表面扩散下封闭曲线演化的新的几何偏微分方程及其相应的变分形式.基于新的弱形式，我们提出了一种各向异性表面扩散的参数有限元法，并证明了它在$γ(\boldsymbol{n})$上的一个非常温和的条件下是面积守恒和能量耗散的。然后将SP-PFEM扩展到模拟闭曲线在其他各向异性几何流（包括各向异性曲率流和面积守恒各向异性曲率流）下的演化。大量的数值结果表明，效率和无条件的能量稳定性以及良好的网格质量属性的建议SP-PFEM模拟各向异性几何流动。
2022-11-01 cs.NA math.NA
Fully adaptive structure-preserving hyper-reduction of parametric Hamiltonian systems
针对参数化非线性哈密顿系统降阶的挑战，提出结合辛动力低秩近似与自适应保梯度超降阶的全自适应保结构方法，通过误差指示器动态调整降阶空间维度，在保留几何结构的同时实现线性计算成本。
2024-09-27 cs.NA math.NA
A symmetrized parametric finite element method for anisotropic surface diffusion in 3D
对于在三维（3D）中具有一般各向异性表面能$γ(\boldsymbol{n})$的各向异性表面扩散下的闭曲面的演化，其中$\boldsymbol{n}$是单位向外法向量，通过引入依赖于稳定化函数$k(\boldsymbol{n})$和Cahn-Hoffman $\boldsymbolξ$ -矢量的新的对称正定表面能矩阵$\boldsymbol{Z}_k(\boldsymbol{n})$，摘要提出了一种新的各向异性表面扩散方程的对称变分形式，该变分形式保持了两个重要的结构：体积守恒和能量耗散。在此基础上，提出了一种结构保持参数有限元法（SP-PFEM），用于离散对称化变分问题，该方法在离散层保持了体积。在一个相对温和和简单的条件下，$γ(\boldsymbol{n})$，我们表明，SP-PFEM是无条件的能量稳定的几乎所有各向异性表面能$γ(\boldsymbol{n})$在实际应用中出现。大量的数值结果表明，所提出的SP-PFEM求解三维各向异性表面扩散的效率和精度以及能量耗散。
2022-10-30 cs.NA math.NA
Structure Preserving Model Reduction of Parametric Hamiltonian Systems
École Polytechnique Fédérale de Lausanne（洛桑联邦理工学院）
本文提出一种贪心方法，用于参数哈密顿系统的降阶建模，通过捕捉哈密顿系统的辛结构确保降阶模型的稳定性，通过贪心选择基向量提高精度，并通过哈密顿量误差指示器识别最佳基向量，从而降低非线性哈密顿系统计算成本。
2017-03-24 cs.NA math.NA
A skeletal high-order structure preserving scheme for advection-diffusion equations
本文提出一种基于Hybrid High-Order方法、适用于一般网格的非线性保结构高阶格式，用于求解各向异性对流扩散方程，该格式保持解的正性和熵结构，数值实验验证了其预期收敛阶及长时间行为。
2023-07-20 cs.NA math.NA
An energy stable and positivity-preserving scheme for the Maxwell-Stefan diffusion system
本文对Maxwell-Stefan扩散方程组发展了一种新的有限差分格式。该格式是守恒的、能量稳定的和保正的。这些良好的性能源于变分结构，并证明了通过将有限差分格式转化为等价的最优化问题。该方案的解决方案出现的最优化问题的最小值，并因此获得能量稳定性和保正性。
2020-05-16 cs.NA math.NA
Structure-Preserving Interpolation for Model Reduction of Parametric Bilinear Systems
本文提出了一种参数双线性动力系统保结构模型降阶的插值框架。我们介绍了一个通用的设置，涵盖了各种不同的结构参数双线性系统，然后提供条件的投影空间的插值结构化子系统传递函数，使系统的结构和参数依赖关系被保留在降阶模型。两个基准测试的例子与不同的参数依赖性来证明理论分析。
2020-07-22 cs.NA cs.SY eess.SY
Predictor-corrector, BGN-based parametric finite element methods for surface diffusion
提出一种基于预测-校正和BGN的参数有限元方法，实现曲线与表面表面扩散的二阶时间精度，无需网格正则化，保持网格等分布，并适用于多种几何流，数值实验验证其优越性。
2024-12-14 cs.NA math.NA
A Stabilized Parametric Finite Element Method for Surface Diffusion with an Arbitrary Surface Energy
本文针对任意表面能下的各向异性表面扩散问题，提出一种保结构的稳定化参数有限元方法，并证明其无条件能量稳定性，通过数值实验验证了该方法在薄膜固态去湿模拟中的高效性与准确性。
2024-04-02 cs.NA math.NA
Structure-preserving parametric finite element methods for anisotropic surface diffusion flow with minimal deformation formulation
本文针对各向异性表面扩散流，基于极小变形公式提出保结构参数有限元方法，通过调和映射改善网格质量，实现高阶时间精度、体积守恒与能量稳定。
2025-01-22 cs.NA math.NA
A high order accurate bound-preserving compact finite difference scheme for scalar convection diffusion equations
本文证明经典四阶紧致有限差分格式结合高阶强稳定保持时间离散满足弱单调性，可用简单限制器在不损失守恒性和高阶精度的条件下实现保界性质，并探讨了更高阶格式。
2023-10-24 cs.NA math.NA
Dictionary-based Online-adaptive Structure-preserving Model Order Reduction for Parametric Hamiltonian Systems
本文提出一种基于字典的在线自适应保结构 MOR 方法，通过状态、非线性项和 DEIM 点字典实现与全维无关的局部基调整，并在波动方程和 Sine-Gordon 模型上验证其效率。
2023-03-31 cs.NA math.NA
An energy-stable parametric finite element method for anisotropic surface diffusion
我们提出了一种能量稳定的参数有限元法（ES-PFEM）离散的运动下的闭曲线表面扩散与各向异性的表面能量$γ(θ)$ -各向异性的表面扩散-在两个维度，而$θ$是向外的单位法向量和垂直轴之间的角度。通过引入一个正定的表面能（密度）矩阵$G(θ)$，给出了一个新的各向异性表面扩散的变分形式，并证明了它满足面积/质量守恒和能量耗散.变分问题在空间离散的参数有限元法和面积/质量守恒和能量耗散建立半离散。然后，该问题进一步离散的时间（半隐式）向后欧拉法，使只有一个线性系是要解决在每个时间步长的全离散化，因此它是有效的。我们建立了全离散化的适定性，并确定了$γ(θ)$上的一些简单条件，使全离散化保持能量耗散，因此它是无条件能量稳定的。最后，ES-PFEM被应用于模拟具有各向异性表面能的薄膜的固态去湿，即在沿水平衬底移动的两个三重点处的适当边界条件下，在各向异性表面扩散下的开曲线的运动。数值结果表明，所提出的ES-PFEM的效率和精度以及能量耗散。
2021-08-20 cs.NA math.NA
Parametric Polynomial Preserving Recovery on Manifolds
University of Vienna（维也纳大学）；Humboldt University of Berlin（柏林洪堡大学）；The University of Melbourne（墨尔本大学）
本文研究了定义在离散流形上的数据的梯度恢复方案。提出的方法参数多项式保持恢复（PPPR）不需要精确流形的切空间，并且在文献中的一些重要梯度恢复方法中已被假设。PPPR的另一个优势是无需对称条件即可保证超收敛性。此外，还有数值证据表明PPPR的超收敛性具有高曲率稳定性，这区别于其他方法。作为应用，我们展示了其构建渐近精确的后验误差估计器的能力。在二维表面上进行了多个数值示例，以支持理论结果，并记录了与现有方法的比较。
2019-03-12 cs.NA math.DG math.NA
A unified structure-preserving parametric finite element method for anisotropic surface diffusion
本文提出统一的保结构参数有限元方法（SP-PFEM）处理任意各向异性表面能量密度下的曲线和曲面扩散，并通过局部能量估计新框架证明其无条件能量稳定性，数值实验验证了方法的有效性与保结构性质。
2024-08-31 cs.NA math.NA
Structure-preserving schemes for drift-diffusion systems on general meshes: DDFV vs HFV
本文针对一般网格上带混合边界条件的漂移-扩散模型，比较了DDFV与HFV两种保正性有限体积格式，并通过数值实验验证了它们的行为表现。
2023-07-20 cs.NA math.NA
Maximum principle preserving space and time flux limiting for Diagonally Implicit Runge-Kutta discretizations of scalar convection-diffusion equations
我们提供了一个框架，高阶离散的非线性标量对流-扩散方程，满足离散最大值原理。所得到的格式在时间和空间上具有任意高阶精度，并且不受步长的限制，是稳定的和保持最大原理的。该计划是基于一个两层的极限策略，开始与高阶限制器为基础的方法，可能有小的振荡或最大原则的违规，其次是一个额外的限制步骤，消除这些违规行为，同时保持高阶精度。通过几个数值例子证明了所得到的方案的理想性能。
2021-09-17 cs.NA math.NA
A structure-preserving scheme for computing effective diffusivity and anomalous diffusion phenomena of random flows
本文提出一种保结构格式计算随机流的有效扩散系数与反常扩散幂律，通过分离随机微分方程构造一步求解方法，并提供了收敛性分析与误差估计，最终在2D和3D随机场中验证了有效性。
2024-05-29 cs.NA math.NA
Kolmogorov widths and low-rank approximations of parametric elliptic PDEs
研究了参数椭圆扩散PDEs的Kolmogorov n-宽度和低秩近似，证明在扩散系数为分段常数时，n-宽度衰减更快，从而为减少基底或POD方法的快速收敛提供理论依据。
2015-02-10 cs.NA math.NA
An asymptotic preserving hybrid-dG method for convection-diffusion equations on pipe networks
研究一维管网上对流-扩散问题奇摄动的数值逼近。在扩散消失极限条件下，网络连接处的边界条件和耦合条件的数量和类型发生变化，从而在管道的流出边界处产生奇异层。提出了一种混合间断Galerkin方法，为对流占优的情况提供了一种自然的迎风机制。此外，该方法自动处理的变量耦合和边界条件的消失扩散限制，导致一个渐进保持计划。详细分析了解的奇异性和离散化误差，并提出了一种自适应策略，使得阶最优误差估计在奇异扰动极限内一致成立.数值试验证实了理论结果。
2022-09-09 cs.NA math.NA
Fractional-step High-order and Bound-preserving Method for Convection Diffusion Equations
针对非线性对流占优扩散方程，提出基于分数步与高阶紧致有限差分的保界质量守恒格式，推广至二维并通过数值实验验证理论。
2024-09-13 cs.NA math.NA
Analytic and Gevrey class regularity for parametric semilinear reaction-diffusion problems and applications in uncertainty quantification
本文证明参数化半线性反应扩散 PDE 的解在系数与右端项为解析或 Gevrey 正则时具有同类参数正则性，并据此给出 Gaussian 与 QMC 求积的严格收敛估计。
2025-05-12 cs.NA math.NA
A finite volume method preserving the invariant region property for the quasimonotone reaction-diffusion systems
本文为含非递减、递减及混合拟单调函数的反应–扩散系统构造保持IRP的有限体积格式，结合DMP空间离散与向后Euler时间离散，证明其无条件保持不变区域，并通过迭代算法和数值算例验证。
2024-01-25 cs.NA math.NA
Structure-preserving scheme for fractional nonlinear diffusion equations
本文提出并分析了一种求解分数阶非线性扩散方程 Cauchy-Dirichlet 问题的保结构数值格式，严格证明了其能保持代数衰减和熄灭现象等连续方程性质，并提出了一种精确计算熄灭时间的新方法。
2024-09-27 cs.NA math.NA
A positivity-preserving finite volume element method for anisotropic diffusion problems on quadrilateral meshes
Institute of Applied Physics and Computational Mathematics（应用物理与计算数学研究所）；Laboratory of Computational Physics（计算物理实验室）
本文提出了一种非线性正保有限体积元方法，用于在四边形网格上求解各向异性扩散问题，通过新的两点通量技术避免了共法线的凸分解和中间未知数的引入，并证明了非线性系统的解的存在性，数值结果表明该方法在变形四边形网格上有效且具有二阶近似精度。
2019-02-13 cs.NA math.NA
Tensorial Reduced-Order Models for Parametric Coupled Reaction-Diffusion Systems: Application to Brain Tumor Growth Modeling
University of Houston（休斯顿大学）
本文提出张量降阶模型用于参数化前向算子的高效代理模型，应用于脑肿瘤生长模拟，通过比较经典POD ROM基线，展示了张量代理模型在多查询工作流中的高效性和准确性。
2026-03-14 cs.NA math.NA
Generative diffusion learning for parametric partial differential equations
Booz Allen Hamilton Inc（博思艾伦咨询公司）；Physical Modeling and Simulation Branch, DEVCOM Army Research Laboratory（DEVCOM陆军研究实验室物理建模与模拟分支）；Department of Mathematical Sciences, University of Delaware（特拉华大学数学科学系）
本文提出基于生成扩散模型的参数偏微分方程解算器，通过概率方法学习参数与解的映射关系，实现对噪声数据的自动置信区间估计，并与傅里叶网络运算符进行性能比较。
2026-04-17 cs.NA math.NA
A cost-effective nonlinear extremum-preserving finite volume scheme for highly anisotropic diffusion on Cartesian grids, with application to radiation belt dynamics
构造了一个新的求解各向异性扩散方程的非线性有限体积（FV）格式，该格式满足离散最小-最大值原理。该构造依赖于线性化方案满足比M-矩阵更少的限制性单调性条件，基于弱正则矩阵分裂并使用网格的笛卡尔结构（扩展到四边形网格也是可能的）。所得到的格式，通过表达通量作为线性通量的非线性组合，具有比其他非线性正性保持或最小-最大值原理保持计划更大的模板。其较大的“线性化”模板更接近实际的完整模板（包括出现在凸组合系数中的未知数），使得用于计算方案的解的Picard迭代能够更快地收敛。稳态无量纲数值试验以及对电子辐射带中高度各向异性扩散的模拟表明，新格式具有二阶收敛性，并证实了其计算效率优于通常的非线性FV格式。
2022-05-11 cs.NA math.NA
High order maximum principle preserving discontinuous Galerkin method for convection-diffusion equations
University of Houston（休斯顿大学）；Michigan Technological University（密歇根理工大学）
本文提出将参数化最大原理保持（MPP）限流器应用于不连续伽辽金方法，以解决对流-扩散方程的高阶精度问题，同时保持离散最大原理。
2014-04-15 cs.NA math.NA
Efficient bound preserving and asymptotic preserving semi-implicit schemes for the fast reaction-diffusion system
本文针对带潜热Stefan问题奇异极限的快速反应-扩散系统，提出一阶和二阶半隐式保界格式，在参数$ε$极小时仍能准确逼近界面传播，并保持正性、保界和$L^2$稳定性。
2024-04-29 cs.NA math.NA
Maximum Principle Preserving Finite Difference Scheme for 1-D Nonlocal-to-Local Diffusion Problems
在最近的一篇论文中（见[7]），引入了一种准非局部耦合方法，可以无缝地将一维空间中的非局部扩散模型与经典局部扩散模型连接起来。所提出的耦合框架消除了界面上的不一致性，保持了通量的平衡，并满足扩散问题的最大值原理。然而，在该文件中提出的数值方案不保持所有这些属性上的离散水平。在本文中，我们解决了这些问题，提出了一个新的有限差分格式，确保通量的平衡和离散最大值原理。我们严格证明了这些结果，并提供相应的稳定性和收敛性分析。此外，我们提供了Courant-Friedrichs-Lewy（CFL）条件的新计划和测试的一系列基准的例子，证实了理论研究结果。
2021-05-03 cs.NA math.NA
A nodally bound-preserving discontinuous Galerkin method for the drift-diffusion equation
本文提出并分析了一种用于漂移-扩散模型的节点保界间断伽辽金方法，通过凸子集公式确保解在拉格朗日节点处的非负性，并利用数值实验验证了其有效性。
2025-03-29 cs.NA math.NA
Maximum principle preserving nonlocal diffusion model with Dirichlet boundary condition
本文提出一类具有Dirichlet边界条件且保持极值原理的非局部扩散模型，利用其变分结构证明适定性与收敛性，并通过设计权函数实现最优的二阶收敛。
2024-08-12 cs.NA math.AP math.NA
Accelerated replica exchange stochastic gradient Langevin diffusion enhanced Bayesian DeepONet for solving noisy parametric PDEs
Purdue University（普渡大学）
Deep Operator Networks~（DeepONet）是一种完全不同的神经网络，我们训练它来近似非线性算子，包括参数偏微分方程（PDE）的求解算子。DeepONets已经显示出卓越的近似和泛化能力，即使在使用相对较小的数据集进行训练时也是如此。然而，当训练数据被噪声污染时，DeepONets的性能会恶化，这种情况在实践中经常发生。为了使DeepONets能够使用噪声数据进行训练，我们建议使用复制交换Langevin扩散的贝叶斯框架。这样的框架使用两个粒子，一个用于探索，另一个用于利用DeepONets的损失函数。我们表明，所提出的框架的探索和利用能力使（1）在嘈杂的场景中提高DeepONets的训练收敛性，以及（2）为参数PDE的预测解附加不确定性估计。此外，我们还发现，与使用最先进的基于梯度的优化算法（例如Adam）训练的香草DeepONets相比，复制交换Langeving扩散（显着）还提高了DeepONet在嘈杂场景中的平均预测准确性。为了降低副本的潜在高计算成本，在这项工作中，我们提出了一个用于复制交换Langevin扩散的加速训练框架，该框架利用DeepONets的神经网络架构将其计算成本降低了25%，而不会影响所提出的框架的性能。最后，我们使用一系列的实验四个参数偏微分方程的问题，说明了所提出的贝叶斯框架的有效性。
2021-11-03 cs.LG cs.NA math.NA
An asymptotic preserving scheme for Lévy-Fokker-Planck equation with fractional diffusion limit
本文发展了一种求解分数阶扩散标度Lévy-Fokker-Planck方程的数值方法。有两个主要挑战。一个来自双重非定域性，即需要将分数拉普拉斯算子应用于幂律衰减分布。另一个是由长时间/小平均自由程尺度引起的，这给方程引入了刚度。为了解决第一个困难，我们使用一个变量变换，将无界区域转化为有界区域，然后应用基于切比雪夫多项式的准谱方法。为了处理多尺度，我们提出了一个渐进保持计划的基础上，一个新的微观-宏观分解，使用的结构的检验函数在证明分数扩散极限解析。最后，通过一组数值算例说明了该格式的有效性和精度.
2021-03-21 cs.NA math.NA
A Multilevel Monte Carlo Asymptotic-Preserving Particle Method for Kinetic Equations in the Diffusion Limit
本文提出了一种基于粒子的动力学方程渐近保持格式的多层蒙特卡罗方法。动力学方程模拟粒子在位置-速度相空间中的传输和碰撞。在扩散标度下，动力学方程在零平均自由程极限下收敛为平流-扩散方程，经典的粒子技术在此极限下受到严格的时间步长限制.渐近保持方案提供了一个解决方案，这个时间步长的限制，但引入一阶误差的时间步长。我们演示了如何多层次的蒙特卡罗方法可以被用来作为一个偏差减少技术进行准确的模拟扩散制度，同时利用降低模拟成本的渐近保持计划。我们描述了如何实现必要的相关性，在不同的级别的模拟路径，并通过数值实验证明该方法的潜力。
2020-05-20 cs.NA math.NA
Structure-preserving semi-convex-splitting numerical scheme for a Cahn-Hilliard cross-diffusion system in lymphangiogenesis
本文提出了一种带稳定化的全离散半凸分裂有限元格式求解Cahn-Hilliard交叉扩散系统，证明了其能量稳定、质量守恒及保界性，并通过FreeFEM二维实验验证了相分离与模式形成。
2024-06-04 cs.NA math.NA
Energy-stable parametric finite element approximations for regularized solid-state dewetting in strongly anisotropic materials
本文针对强各向异性材料中的固态去湿问题，建立等价正则化尖锐界面模型，提出能量稳定且保面积守恒的参数有限元格式，并通过数值实验验证其精度、效率、网格质量和长时间计算适用性。
2024-07-05 cs.NA math.NA
Pattern formation of a pathway-based diffusion model: linear stability analysis and an asymptotic preserving method
本文研究了基于路径扩散模型（PBDM）的线性稳定性，通过广义特征值问题分析小扰动，证明快速响应下PBDM收敛于各向异性扩散模型，并提出渐近保持（AP）格式，数值模拟验证了斑图形成理论与AP格式的收敛性。
2023-03-31 cs.NA math.NA
A second-order accurate, operator splitting scheme for reaction-diffusion systems in an energetic variational formulation
针对具有详细平衡项的反应扩散方程组，提出了一种时间上二阶精度、保正性和无条件能量稳定的算子分裂数值格式，并分析了该格式的收敛性.该方案是基于能量变分公式设计的，其中反应部分根据反应轨迹重新制定，反应和扩散部分耗散相同的自由能。在反应阶段，反应轨迹方程由二阶Crank-Nicolson型方法近似。唯一的可解性，保正性和能量稳定性的基础上建立的凸性分析。在扩散阶段，如果扩散系数是常数，则应用精确积分器，如果扩散过程变为非线性，则应用Crank-Nicolson型方案。在任何一种情况下，保正性和能量稳定性都可以在理论上成立。此外，在这两个阶段的数值算法相结合的斯特朗分裂方法导致二阶精度，结构保持原反应扩散系统的计划。数值实验表明，所提出的方案的准确性。
2021-09-07 cs.NA math.NA
Hierarchical model reduction driven by machine learning for parametric advection-diffusion-reaction problems in the presence of noisy data
Oak Ridge National Laboratory（橡树岭国家实验室）；Politecnico di Milano（米兰理工大学）
我们提出了一种新的方法来产生一个可靠的降阶模型的参数椭圆问题，在存在噪声的数据。参考模型降阶过程是定向HiPOD方法，该方法根据离线/在线范例将分层模型降阶与标准本征正交分解相结合。在本文中，我们表明，定向HiPOD损失的准确性时，问题数据受到噪声的影响。这是由于插值驱动在线阶段，因为它复制了噪声趋势。为了克服这一限制，我们用机器学习拟合模型代替插值，更好地区分数据中的相关物理特征和不相关的非结构化噪声。数值评估虽然是初步的，但证实了新方法的潜力。
2022-04-01 cs.LG cs.NA math.NA
High order asymptotic preserving scheme for linear kinetic equations with diffusive scaling
本文构造并分析了扩散标度下线性动力学方程的高阶渐近保持格式，通过微观-宏观重构和高阶时间积分器，使格式在$ε$趋于零时免受扩散稳定性条件限制，并验证了其有效性。
2023-05-22 cs.NA math.NA
A symmetrized parametric finite element method for anisotropic surface diffusion of closed curves
本文讨论了一个长期存在的问题，即如何设计一个能量稳定的数值格式来求解具有一般各向异性表面能$γ(\boldsymbol{n})$的二维{ \sl各向异性表面扩散}封闭曲线的运动，其中$\boldsymbol{n}$是向外的单位法向量.通过引入一个依赖于Cahn-Hoffman $\boldsymbolξ$ -向量的对称正定表面能矩阵$Z_k(\boldsymbol{n})$和一个稳定化函数$k(\boldsymbol{n})$，我们首先将各向异性表面扩散转化为一个保守形式，然后导出了一个新的具有弱各向异性和强各向异性表面能的各向异性表面扩散的对称变分形式.提出了对称变分公式的空间半离散化，并证明了其面积（或质量）守恒和能量耗散。半离散化，然后在时间上离散的隐式结构保持计划（SP-PFEM），保持在离散化水平的面积或半隐式能量稳定的方法（ES-PFEM），只需要解决一个线性系在每个时间步。在一个相对简单和温和的条件下，$γ(\boldsymbol{n})$，我们表明SP-PFEM和ES-PFEM是无条件能量稳定的几乎所有的各向异性表面能$γ(\boldsymbol{n})$在实际应用中出现。具体来说，对于几种常用的各向异性表面能，我们明确地构造了$Z_k(\boldsymbol{n})$。最后，大量的数值结果报告，以证明所提出的数值方案的高性能。
2022-10-26 cs.NA math.NA
On Asymptotic Preserving schemes for a class of Stochastic Differential Equations in averaging and diffusion approximation regimes
本文对一类快慢随机微分方程引入并研究了与依分布收敛有关的渐近保持格式的概念。在某些例子中，粗糙的方案不能捕捉到由平均和扩散近似程序产生的正确的极限方程。我们提出了渐近保持方案的例子：当时间尺度分离消失时，得到一个限制方案，它被证明是一致的分布与限制随机微分方程。数值实验说明了所提出的渐近保持计划的几个例子的重要性。此外，在平均制度，误差估计得到和所提出的计划被证明是一致准确的。
2020-11-04 cs.NA math.NA math.PR
Analysis of an asymptotic preserving scheme for linear kinetic equations in the diffusion limit
Duke University（杜克大学）；Université de Bordeaux（波尔多大学）
本文对线性输运方程在动力学和扩散区域中的渐近保持格式进行数学分析，证明了格式在平均自由程下的均匀稳定性和精度，并给出了显式CFL条件。
2009-10-03 cs.NA math.NA
A boundary-oriented reduced Schwarz domain decomposition technique for parametric advection-diffusion problems
本文针对太阳能接收器中大量相同平行管道的热流快速求解问题，提出一种边界导向的降阶Schwarz域分解算法，通过离线构建的降阶映射替代大部分管道计算，并证明其误差有界，在较小重叠长度下实现低于2%的L2误差。
2023-05-30 cs.NA math.NA
A positivity-preserving and energy stable scheme for a quantum diffusion equation
本文提出了一种新的全离散有限差分格式来求解一维和二维量子扩散方程。这是第一个完全离散化的计划，证明了保正性和能量稳定的属性，只使用标准的有限差分离散。证明四阶偏微分方程保正性的困难在于缺少一个最大值原理。为了克服这个困难，我们重新制定的计划作为一个最优化问题的基础上变分结构和使用奇异性的能量泛函附近的边界值，以排除非正解的可能性。该方案也被证明是质量守恒和一致的。
2020-04-08 cs.NA math.NA quant-ph
Numerical Solution of the Parametric Diffusion Equation by Deep Neural Networks
Technische Universität Berlin（柏林工业大学）；University of Vienna（维也纳大学）；University of Tromsø（特罗姆瑟大学）
我们进行了全面的数值研究的近似理论结果神经网络的实际学习问题的背景下，数值分析。作为底层模型，我们研究了基于机器学习的参数化偏微分方程求解。在这里，逼近论预测，该模型的性能应该只依赖于非常温和的参数空间的尺寸，并由参数偏微分方程的解决方案的流形的内在尺寸。我们使用各种方法来建立测试用例之间的可比性，通过最大限度地减少测试用例的选择对学习问题的优化和采样方面的影响。我们发现强有力的支持的假设，近似理论的影响严重影响的实际行为的学习问题，在数值分析。
2020-04-25 cs.LG cs.NA math.NA
Fully Discrete Positivity-Preserving and Energy-Dissipating Schemes for Aggregation-Diffusion Equations with a Gradient Flow Structure
我们提出了全离散的，隐式的时间有限体积格式的一般家庭的非线性和非局部的Fokker-Planck方程的梯度流结构，通常被称为聚集-扩散方程，在任何维度。该格式具有保正性和能量耗散性，这对它们的实际应用是必不可少的。一阶格式无条件地验证了一般非线性扩散和相互作用势的这些性质，而二阶格式则提供了CFL条件。扫描维分裂允许这些计划在更高的维度，同时保持其结构特性的有效建设。数值实验验证了该格式的有效性，并表明其能够处理聚集-扩散方程中典型的复杂现象，如自由边界、亚稳态、合并和相变。
2020-09-17 cs.NA math.AP math.NA
