We propose a new approach to generate a reliable reduced model for a parametric elliptic problem, in the presence of noisy data. The reference model reduction procedure is the directional HiPOD method, which combines Hierarchical Model reduction with a standard Proper Orthogonal Decomposition, according to an offline/online paradigm. In this paper we show that directional HiPOD looses in terms of accuracy when problem data are affected by noise. This is due to the interpolation driving the online phase, since it replicates, by definition, the noise trend. To overcome this limit, we replace interpolation with Machine Learning fitting models which better discriminate relevant physical features in the data from irrelevant unstructured noise. The numerical assessment, although preliminary, confirms the potentialities of the new approach.
Deep Operator Networks~（DeepONet）是一种完全不同的神经网络，我们训练它来近似非线性算子，包括参数偏微分方程（PDE）的求解算子。DeepONets已经显示出卓越的近似和泛化能力，即使在使用相对较小的数据集进行训练时也是如此。然而，当训练数据被噪声污染时，DeepONets的性能会恶化，这种情况在实践中经常发生。为了使DeepONets能够使用噪声数据进行训练，我们建议使用复制交换Langevin扩散的贝叶斯框架。这样的框架使用两个粒子，一个用于探索，另一个用于利用DeepONets的损失函数。我们表明，所提出的框架的探索和利用能力使（1）在嘈杂的场景中提高DeepONets的训练收敛性，以及（2）为参数PDE的预测解附加不确定性估计。此外，我们还发现，与使用最先进的基于梯度的优化算法（例如Adam）训练的香草DeepONets相比，复制交换Langeving扩散（显着）还提高了DeepONet在嘈杂场景中的平均预测准确性。为了降低副本的潜在高计算成本，在这项工作中，我们提出了一个用于复制交换Langevin扩散的加速训练框架，该框架利用DeepONets的神经网络架构将其计算成本降低了25%，而不会影响所提出的框架的性能。最后，我们使用一系列的实验四个参数偏微分方程的问题，说明了所提出的贝叶斯框架的有效性。
Adaptation of uncertainty-penalized Bayesian information criterion for parametric partial differential equation discovery
Graduate School of Information Science and Technology, Osaka University（大阪大学信息科学与技术研究生院）；SANKEN (The Institute of Scientific and Industrial Research), Osaka University（大阪大学产业科学研究所（SANKEN））
Parametric Neural r-Adaptivity for Isogeometric Analysis via Residual Minimization
Universidad del Paı́s Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea (UPV/EHU)（巴斯克大学）；Basque Center for Applied Mathematics (BCAM)（巴斯克应用数学中心）；Basque Foundation for Science (Ikerbasque)（巴斯克科学基金会）
Noise-robust multi-fidelity surrogate modelling for parametric partial differential equations
Consiglio Nazionale delle Ricerche – Istituto di Matematica Applicata e Tecnologie Informatiche “E. Magenes” (CNR–IMATI)（意大利国家研究委员会 - 应用数学与信息技术研究所 "E. Magenes"）；Universitat Politècnica de Catalunya - BarcelonaTech (UPC)（加泰罗尼亚理工大学）；Centre Internacional de Mètodes Numèrics en Enginyeria (CIMNE)（国际工程数值方法中心）
Generative diffusion learning for parametric partial differential equations
Booz Allen Hamilton Inc（博思艾伦咨询公司）；Physical Modeling and Simulation Branch, DEVCOM Army Research Laboratory（DEVCOM陆军研究实验室物理建模与模拟分支）；Department of Mathematical Sciences, University of Delaware（特拉华大学数学科学系）
Parametric Hyperbolic Conservation Laws: A Unified Framework for Conservation, Entropy Stability, and Hyperbolicity
Department of Mathematics, Dartmouth College（数学系，达特茅斯学院）；Department of Computational Applied Mathematics and Operations Research, and Ken Kennedy Institute, Rice University（计算应用数学与运筹学系，肯尼迪研究所，莱斯大学）
