On convergence of the projective integration method for stiff ordinary differential equations
School of Mathematics and Statistics, University of Sydney（悉尼大学数学与统计学院）
针对适用于中心流形理论的多尺度系统，证明了投影积分法的收敛性，并分析了误差来源，通过数值模拟验证了结果。
2013-01-29 cs.NA math.DS math.NA
Performance of Borel-Padé-Laplace integrator for the resolution of stiff and non-stiff problems
的Borel-Laplace级数求和技术，用作显式时间积分器的稳定性进行了分析。分析了其在刚性和非刚性问题上的数值性能。应用到普通和偏微分方程。结果进行了比较，与许多流行的计划设计的刚性和非刚性方程。
2022-03-23 cs.NA math.NA
On convergence of higher order schemes for the projective integration method for stiff ordinary differential equations
University of Sydney（悉尼大学）
本文研究了刚性多尺度系统中高阶投影积分法的收敛性，分析了微 solver 和宏 solver 的误差来源，并给出了稳定性条件。
2015-04-07 cs.NA math.NA
Convergence of a low-rank Lie--Trotter splitting for stiff matrix differential equations
Institut für Mathematik, Universität Innsbruck（因斯布鲁克大学数学研究所）；Mathematisches Institut, Universität Tübingen（蒂宾根大学数学研究所）
本文提出了一种数值积分器，用于确定大规模矩阵微分方程解的低秩近似。研究了半线性和刚性微分方程的低秩近似方法，通过将方程分为刚性和非刚性部分，并采用动态低秩方法进行分析，展示了如何通过数值实验验证理论。
2019-05-31 cs.NA math.NA
Performance Evaluation of Single-step Explicit Exponential Integration Methods on Stiff Ordinary Differential Equations
本研究评估了单步显式指数积分方法在刚性常微分方程上的性能，发现其精度和可扩展性显著落后于隐式方法，仅积分因子欧拉方法适用于重复低成本积分场景，揭示了显式指数方法的局限性并呼吁改进算法。
2024-11-28 cs.NA cs.SY eess.SY
Exponential integrators for large-scale stiff matrix Riccati differential equations
矩阵里卡蒂微分方程出现在许多不同的领域，并在控制理论领域中特别重要。本文考虑刚性矩阵里卡蒂微分方程大系统的数值积分。我们展示了如何应用指数Rosenbrock型积分得到近似解。考虑了两种典型的指数积分格式。实现问题的解决和一些低秩近似的基础上开发高品质的数值代数代码。数值比较表明，指数型积分器在求解大型刚性矩阵里卡蒂微分方程时具有较高的精度和效率.
2019-08-17 cs.NA math.NA
A Fully Adaptive Radau Method for the Efficient Solution of Stiff Ordinary Differential Equations at Low Tolerances
本文提出一种自适应时间与阶数、可按需生成任意精度 Radau IIA 系数的 Julia 实现，在低容差刚性 ODE 求解中显著优于经典 Fortran 版本及其他积分器。
2025-05-13 cs.MS cs.NA math.NA
DelayDiffEq: Generating Delay Differential Equation Solvers via Recursive Embedding of Ordinary Differential Equation Solvers
传统的延迟微分方程（DDE）求解器仅围绕单一方法设计，并且没有有效地使用其更发达的常微分方程（ODE）对应物的基础设施。在这项工作中，我们提出了DelayDiffEq，数值求解延迟微分方程（DDE）的Julia软件包，它利用了OrdinaryDiffEq中的众多数值算法来解决刚性和非刚性常微分方程，并设法解决具有挑战性的刚性DDE。我们描述了如何编译的ODE积分器本身，并占不连续传播，导致一个设计，是有效的DDE，同时使用所有的ODE内部。我们强调一些困难，数值DDE求解器必须解决，并解释如何DelayDiffEq处理这些问题。我们展示了如何DelayDiffEq是能够解决困难的方程，它的刚性DDE求解器如何在时间尺度分离的问题上提供效率，以及如何设计允许的通用性和灵活性，如被重新用于生成随机延迟微分方程的求解器。
2022-08-26 cs.MS cs.NA math.DS
Solving large number of non-stiff, low-dimensional ordinary differential equation systems on GPUs and CPUs: performance comparisons of MPGOS, ODEINT and DifferentialEquations.jl
在本文中，不同的解决方案的技术和程序包，以解决大量的独立的常微分方程系统的性能特点进行了检查。所采用的硬件是Intel Core i7- 4820 K CPU，每核心具有30.4 GFLOPS峰值双精度性能，以及Nvidia GeForce Titan Black GPU，具有总计1707 GFLOPS峰值双精度性能。所测试的系统（Lorenz方程，Keller-Miksis方程和泄压阀模型）是非刚性的，具有低维。因此，代码的性能不受内存带宽的限制，Runge-Kutta型求解器是有效和合适的选择。测试的程序包是用C++编写的MPGOS，只针对GPU;用C++实现的ODEINT，支持在CPU和GPU上执行;最后，用Julia编写的DifferentialEquations.jl也支持在CPU和GPU上执行。使用GPU，程序包MPGOS是优越的。对于CPU计算，ODEINT程序包具有最佳性能。
2020-11-02 cs.DC cs.MS cs.NA
Structure-Preserving Neural Ordinary Differential Equations for Stiff Systems
Los Alamos National Laboratory（洛斯阿拉莫斯国家实验室）；University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）；Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
本文提出了一种保持结构的神经普通微分方程方法，通过指数积分器和Hurwitz矩阵分解提升稳定性，适用于刚性系统的建模与求解。
2025-12-28 cs.NA math.NA
Splitting-based randomized dynamical low-rank approximations for stiff matrix differential equations
Sichuan Normal University（四川师范大学）；Southwestern University of Finance and Economics（西南财经大学）
针对大规模半线性刚性矩阵微分方程，提出基于分裂的随机动态低秩近似求解低秩解。先将方程拆分为刚性线性和非刚性非线性子问题，对线性子问题用低秩指数积分器，非线性子问题采用两种随机低秩方法，并扩展到秩自适应场景。
2026-07-07 cs.NA math.NA
Convergence of a Low-Rank Strang Splitting for Stiff Matrix Differential Equations
University of L’Aquila（拉奎拉大学）；Gran Sasso Science Institute（格兰萨索科学研究所）
本文提出了一种适用于刚性矩阵微分方程的二阶Strang分裂方法，结合矩阵指数和低秩方案，证明了其二阶收敛性并验证了方法的鲁棒性和效率。
2026-02-07 cs.NA math.NA
Explicit stabilized multirate method for stiff differential equations
稳定化龙格-库塔法是求解大型刚性非线性微分方程的有效方法，因为它是完全显式的。例如，对于半离散抛物问题，稳定的龙格-库塔法克服了标准方法的严格稳定性条件，而不牺牲显式性。然而，当刚度仅由几个组件引起时，如在空间局部网格细化的存在下，它们的效率恶化。为了消除几个严重刚性构件对整个微分方程系统的失稳影响，我们导出了一个修正方程，它的刚度仅取决于其余的轻度刚性构件。通过应用稳定的龙格-库塔法对这个修改后的方程，然后我们设计了一个显式的多速率Runge-Kutta-Chebyshev（mRKC）方法，其稳定性条件是独立的一些严重的刚性组件。mRKC方法的稳定性证明了一个模型问题，而其效率和实用性通过一系列的数值实验证明。
2022-04-04 cs.NA math.NA
Explicit stabilized multirate method for stiff stochastic differential equations
稳定化显式方法对于大型刚性随机微分方程（SDEs）系统是特别有效的，这是由于它们的扩展稳定域。然而，他们失去了他们的效率时，一个严重的刚度是由非常少的“快”的自由度，因为刚性和非刚性条款同时评估。”[10]“受启发。Abdulle，M. Grote和G. Rosilho de Souza，预印本（2020），arXiv：2006.00744]我们引入了一个随机修改的方程，其刚度仅取决于“慢”项。通过整合这个修改后的方程与稳定的显式计划，我们设计了一个多速率方法，克服了瓶颈所造成的一些严重的刚性条款和恢复的效率稳定计划的大型系统的非线性SDES。该方案不基于任何尺度分离的假设，因此，它是受雇于随机抛物型偏微分方程的空间离散的局部加密网格上产生的问题。该多速率格式具有强1/2阶和弱1阶，并证明了其稳定性。数值实验证实了格式的有效性和准确性。
2021-08-12 cs.NA math.NA
Piecewise linear approximate solution of fractional order non-stiff and stiff differential-algebraic equations by orthogonal hybrid functions
C.V. Raman College of Engineering（C.V.拉曼工程学院）；National Institute of Technology, Rourkela（鲁尔基国家理工学院）
本文提出一种利用正交混合函数的数值方法，用于求解分数阶非刚性和刚性微分代数方程，通过正交混合函数域中的互补广义一次操作矩阵估计Riemann-Liouville分数阶积分，并验证了方法在步长趋近于零时收敛于精确解。
2018-01-31 cs.NA math.NA
Second order explicit stabilized multirate method for stiff differential equations with error control
Université de Genève（日内瓦大学）
针对局部网格细化导致显式稳定方法效率下降的问题，提出二阶多速率显式稳定方法mROCK2，实现高精度与误差控制，数值实验验证其准确高效。
2025-10-17 cs.NA math.NA
Schur Decomposition for Stiff Differential Equations
本文提出初值问题数值刚性的定量定义，并利用Schur分解避免在自适应步长模拟中计算矩阵指数，从而有效克服线性刚性问题。
2023-05-21 cs.CE cs.NA math.NA
Preconditioned Implicit-Exponential (IMEXP) Time Integrators for Stiff Differential Equations
University of California, Merced（加州大学默塞德分校）
本文提出两种新的时间积分器：隐式-显式指数（IMEXP）和混合指数方法，通过预条件器显著提升计算效率，扩展了指数方法的应用范围。
2016-05-10 cs.NA math.NA
A transformation-based approach for solving stiff two-point boundary value problems
提出了一种求解常微分方程刚性边值问题的新方法。它的思想本质上是对arXiv：1601.04272v8的概括和扩展。该方法可以被看作是一个方法框架，允许提高几乎所有已知的数值方法解决两点边值问题的“刚度阻力”的能力。后者在{ \it梯形方案}的示例上进行了演示，相应的C++信源编码可在\url{https://github.com/imathsoft/MathSoftDevelopment}获得。数值实验结果支持了理论结论。
2021-11-28 cs.NA math.NA
Semi-implicit Taylor schemes for stiff rough differential equations
研究了一类易于实现的半隐式Taylor型数值方法，用于求解由一般粗糙噪声（如分数阶布朗运动）驱动的多维随机微分方程.在乘性噪声的情况下，该方程被理解为在T.~里昂我们专注于方程的漂移系数可能是无界的，满足单侧利普希茨条件。我们证明了方法的适定性，提供了充分的分析，并推导出其收敛速度。数值实验表明，我们的计划是特别有用的情况下，刚性粗糙随机微分方程驱动的分数布朗运动。
2020-06-24 cs.NA math.NA math.PR
Stability-Optimized High Order Methods and Stiffness Detection for Pathwise Stiff Stochastic Differential Equations
University of California, Irvine（加州大学尔湾分校）
本文提出四种方法处理路径刚性SDE，包括稳定性优化自适应方法、刚性估计器、L稳定隐式方法和自适应IMEX方法，显著提升求解效率，尤其在刚性化学反应网络中效率提升达8倍。
2018-04-12 cs.NA math.NA math.PR
Fast IMEX Time Integration of Nonlinear Stiff Fractional Differential Equations
分数阶非线性微分方程的积分-微分性质决定了其长时间有效积分的难度。此外，由逆幂律核引入的固有的非光滑性降低了许多现有数值方法的精度和效率。我们发展了两个有效的一阶和二阶隐式显式（IMEX）方法，用于求解具有分数阶$α\in (0,1]$的刚性/非线性分数阶微分方程的精确时间积分，并证明了它们的收敛性和线性稳定性。所开发的方法是基于线性多步分数亚当斯-莫尔顿方法（FAMM），其次是外推的非线性力项。为了处理初始时刻附近的奇异性，我们采用Lubich样的修正得到的分数算子。所得到的线性稳定区域的开发IMEX方法是大于现有的IMEX方法在文献中。此外，稳定区域的大小随着分数阶值的减小而增大，这适用于刚性问题。我们还重写了IMEX方法的语言中的非线性Toeplitz系统，在那里我们采用了快速反演方案，以实现计算复杂度为$\mathcal{O}(N \log N)$，其中$N$表示的时间步长的数量。我们的计算结果表明，所开发的格式可以实现全球一阶和二阶精度的高振荡刚性/非线性问题的奇异性。
2019-09-09 cs.NA math.NA
Implicit low-rank Riemannian schemes for the time integration of stiff partial differential equations
National Center for Theoretical Sciences（国家理论科学中心）；University of Geneva（日内瓦大学）
针对刚性非线性偏微分方程的低秩时间积分，提出两种隐式数值格式，采用预条件黎曼信赖域方法，避免了固定点迭代对时间步长的限制，并在Allen-Cahn和Fisher-KPP方程上验证了效率。
2023-05-19 cs.NA math.NA
The Vanishing Gradient Problem for Stiff Neural Differential Equations
Department of Chemical Engineering（化学工程系）；University of California, Santa Barbara（加州大学圣芭芭拉分校）；Department of Mechanical Engineering（机械工程系）；Department of Computer Science（计算机科学系）
本文证明刚性神经微分方程中梯度消失是A-稳定和L-稳定积分方案的普遍特征，并严格推导出稳定性函数导数最慢衰减率为O(|z|^{-1})，揭示了刚性训练的根本限制。
2025-08-02 cs.AI cs.LG cs.NA
Optimal explicit stabilized integrator of weak order one for stiff and ergodic stochastic differential equations
本文提出一种新的显式稳定方案，用于刚性和遍历随机微分方程，该方案在无噪声情况下与经典确定性稳定方案一致，并在均方稳定性领域达到最优扩展稳定性域。
2018-06-26 cs.NA math.NA
Modified Singly-Runge-Kutta-TASE methods for the numerical solution of stiff differential equations
本文通过为Runge-Kutta各阶段引入不同TASE算子，提出改进型单重RKTASE方法，并借助W-方法理论构造二阶和三阶格式，显著提升了刚性微分方程求解的效率与精度。
2024-07-01 cs.NA math.NA
A class of flexible and efficient partitioned Runge-Kutta-Chebyshev methods for some time-dependent partial differential equations
本文针对空间半离散化后含中等刚性与非刚性项的常微分方程，提出一类二阶分区显式稳定化方法，其RKC级数s和RK级数m均可灵活调整，并通过多个数值算例验证了方法的灵活性与适用性。
2025-09-22 cs.NA math.NA
Split-step Milstein methods for multi-channel stiff stochastic differential systems
Middle Tennessee State University（中田纳西州立大学）；Western Illinois University（西伊利诺伊大学）；Oak Ridge National Laboratory（橡树岭国家实验室）
本文研究多通道噪声驱动的刚性随机微分方程的分裂步Milstein方法，分析其强收敛性及均方稳定性，通过数值例子验证方法的有效性。
2014-11-26 cs.NA math.DS math.NA
A power series method for solving ordinary and partial differentials equations motivated by domain growth
本文提出一种受区域增长启发的幂级数方法，用于求解常微分与偏微分方程，并通过求解随机游走常微分方程组、非线性方程及波动、扩散和拟线性偏微分方程验证了其有效性。
2019-01-11 cs.NA math.NA
Exponential Euler method for stiff stochastic differential equations with additive fractional Brownian noise
针对含刚性线性项与 H>1/2 加性 fBm 噪声的随机微分方程，提出指数 Euler 格式，证明其强收敛速率接近 H，并得到唯一平稳解的轨道渐近稳定性。
2024-05-09 cs.NA math.NA math.PR
Approximation of Stieltjes ordinary differential equations
本文研究了一种新的基于求积公式的数值方法，该方法用于求解Stieltjes常微分方程的Lebesgue-Stieltjes积分。这种新的方法使我们能够数值近似模型的基础上Stieltjes常微分方程，没有明确的解决方案是已知的。我们证明了与数值方法的一致性、收敛性和稳定性有关的几个理论结果。我们还得到了Stieltjes线性常微分方程的显式解，并利用它来验证数值方法。最后，我们提出了一些数值结果，我们已经获得了一个现实的人口模型的基础上的Stieltjes微分方程。
2020-02-19 cs.NA math.NA
Evaluation of a Fractional-Calculus-based Numerical Approach to solve Ordinary Differential Equations
本文评估了一种基于分数阶微积分理论求解常微分方程的新数值方法，针对泊松型和施图姆-刘维尔型问题在不同边界条件下与有限差分法进行比较分析。
2023-05-26 cs.NA math.NA
Stiff-PINN: Physics-Informed Neural Network for Stiff Chemical Kinetics
近年来发展起来的物理信息神经网络（PINN）通过将物理定律编码到神经网络的损失函数中，使得网络不仅符合测量、初始和边界条件，而且满足控制方程，在许多科学和工程学科中取得了成功。本文首先研究了PINN在求解控制方程为刚性常微分方程的刚性化学动力学问题中的性能。结果阐明了利用PINN在刚性ODE系统的挑战。因此，我们采用准稳态假设（QSSA）来降低常微分方程系统的刚度，然后PINN可以成功地应用于转换的非/轻度刚性组系统。因此，研究结果表明，刚性可能是在所研究的刚性化学动力学系统的规则PINN的失败的主要原因。开发的刚性PINN的方法，利用QSSA，使PINN解决刚性化学动力学将开放的可能性，适用于PINN的各种反应扩散系统，涉及刚性动力学。
2021-08-20 cs.NA math.NA physics.chem-ph
Time-Accurate and highly-Stable Explicit operators for stiff differential equations
无条件稳定的隐式时间推进方法是求解刚性微分方程的有效方法。在这项工作中，提出了一种新的框架来处理刚性物理条款隐式。源自对流、扩散和源项（通常与反应有关）的物理和数值刚度都可以通过统一框架中的一组预定义的时间精确和高度稳定的显式（TASE）算子来处理。建议的TASE运营商作为预条件的刚性条款，可以部署到任何现有的显式时间推进方法直截了当。由此产生的时间积分方法仍然是原来的显式时间推进计划，但几乎无条件的稳定性。通过Richardson外推，TASE算子可以被设计为任意高阶精度，从而保持了原显式时间推进方法的精度阶数。理论分析和稳定性图表明，当用$p \leq s$和$p \leq 2$阶TASE算子预处理时，$s$阶显式Runge-Kutta（RK）方法是无条件稳定的.另一方面，用阶为$p \leq s$和$p > 2$的TASE算子预处理的$s$阶RK方法几乎是无条件稳定的. TASE算子中唯一的自由参数可以根据稳定性参数先验地确定。与经典的隐式方法不同，TASE方法允许求解任意阶的非线性问题，而不需要求解非线性系统方程。一组具有强刚度的基准问题进行了模拟，以评估TASE方法的性能。数值结果表明，所提出的框架保留了高阶精度的显式时间推进方法与非常大的时间步长的所有考虑的情况下。
2020-08-05 cs.NA math.NA physics.comp-ph
The Euler scheme for state constrained ordinary differential inclusions
Imperial College London（帝国理工学院）
本文提出并分析了在弱假设下用于状态约束常微分包含的欧拉方案变体，给出了该方案的空间连续和空间离散版本的收敛性结果，并通过数值例子说明这些极限应如何解释。
2015-06-05 cs.NA math.NA
Phase function methods for second order inhomogeneous linear ordinary differential equations
众所周知，具有缓变系数的二阶齐次线性常微分方程允许缓变相函数。这一观察结果是刘维尔-格林方法和许多其他技术的基础，这些方程的解的渐近近似。它也是最近开发的数值算法的基础，在许多感兴趣的情况下，在时间上运行的方程的系数的大小无关，并达到与预测的条件数的准确性。本文指出，将求解二阶齐次线性常微分方程的相函数方法与求解振荡积分的自适应Levin方法相结合，可以有效而精确地求解一类二阶非齐次线性常微分方程.
2022-11-24 cs.NA math.NA
Continuous versus discrete structures I -- Discrete embeddings and ordinary differential equations
SYRTE, Observatoire de Paris（巴黎天文台 SYRTE）
本文提出离散有限差分嵌入框架，用于获得微分关系的离散类比。针对常微分方程，展示三种主要离散关联：微分、积分或变分嵌入，对应经典数值方案如变分积分器。
2014-11-26 cs.NA math.CT math.NA
An Adaptive Parallel Integrator of Ordinary Differential Equations System for Space Experiment Simulation
Solar Terrestrial Influences Institute, Bulgarian Academy of Sciences（太阳地球影响研究所，保加利亚科学院）
针对空间物体运动预测中常微分方程组求解的计算时间问题，提出一种基于线程并行化和同步方法的自适应并行积分器。
2010-02-16 cs.NA math.NA physics.comp-ph
On solving Ordinary Differential Equations using Gaussian Processes
我们描述了一套基于高斯过程的方法，可以用来解决非线性常微分方程。我们提出了一个显式的概率求解器和两个隐式的方法，一个类似于Picard迭代和其他梯度匹配。所有方法都比以前提出的高斯过程方法具有更高的精度。我们还提出了一个通用的方法，可以从任何标准的ODE求解器产生误差估计。
2014-08-17 cs.NA math.NA stat.CO
Transforming Stiffness and Chaos
本文利用局部李雅普诺夫指数证明混沌微分方程可通过渐近稳定变换显著提升显式方法精度或增大时间步长，而刚性方程无法受益。
2024-02-26 cs.NA math-ph math.MP
