On the nilradical of a Leibniz algebra
David A. Towers
这个简短的说明的目的是纠正一个错误，出现在文献中关于莱布尼茨代数$L$：即，$N(L/I)=N(L)/I$其中$N(L)$是零根的$L$和$I$是莱布尼茨内核。
The purpose of this short note is to correct an error which appears in the literature concerning Leibniz algebras $L$: namely, that $N(L/I)=N(L)/I$ where $N(L)$ is the nilradical of $L$ and $I$ is the Leibniz kernel.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Solvable Leibniz algebras with filiform nilradical
本文继续刻画了零根为丝状代数的可解Leibniz代数。事实上，可解Leibniz代数的零根是一个自然分次filiform Leibniz代数描述在\cite{Campo}和\cite{SolGFil}。在这里，我们扩展到可解的莱布尼茨代数的零根是一个filiform代数的描述。证明了具有丝状李零根的可解Leibniz代数是李代数.
Solvable Leibniz algebras whose nilradical is a quasi-filiform Leibniz algebra of maximum length
我们描述了可解的Leibniz代数，其零根是一个最大长度的拟丝状Leibniz代数。
Solvable Leibniz algebras with naturally graded non-Lie $p$-filiform nilradicals and maximal complemented space of its nilradical
本文是研究具有给定诣零根的可解Leibniz代数的一部分。本文将可解Leibniz代数刻画为同构，其中诣零根是自然分次$p$ -丝状非Lie Leibniz代数$(n-p\geq4)$，且诣零根的补空间具有最大维数.此外，在所得到的代数中，我们指出了刚性代数和完备代数
Solvable Leibniz algebras with naturally graded non-Lie $p$-filiform nilradicals
本文描述了具有自然分次非Lie $p$ -丝状$(n-p\geq4)$诣零根和诣零根的一维可补空间的可解Leibniz代数。此外，还研究了具有交换诣零根和可补空间诣零根的极（最小，最大）维数的可解Leibniz代数。证明了具有交换诣零根的可解Leibniz代数的刚性及其补空间的最大维数。
Maximal solvable Leibniz algebras whose nilradical is a quasi-filiform algebra
本文是研究具有给定诣零根的可解Leibniz代数的一部分。本文把诣零根是自然分次拟丝状代数且诣零根的可补空间具有极大维数的可解Leibniz代数刻划成同构。
Solvable Leibniz Algebras with Heisenberg Nilradical
所有具有Heisenberg诣零根的可解李代数都已被分类。我们将这一结果推广到一类具有Heisenberg诣零根的可解Leibniz代数。作为一个例子，我们给出了所有实或复莱布尼茨代数的完全分类，其零根是三维海森堡代数。
Solvable Leibniz Algebras with Abelian Nilradicals
本文推广了可解李代数的阿贝尔幂零根的分类，得到了可解Leibniz代数的阿贝尔幂零根的一维扩张。
Classification of solvable Leibniz algebras with abelian nilradical and $k-1$ dimensional extension
本文研究了具有交换诣零根的可解Leibniz代数的分类问题。考虑$k$ -维阿贝尔代数的$k-1$维扩张，并对所有具有$k$维阿贝尔诣零根的$2k-1$ -维可解Leibniz代数进行了分类.
Solvable Leibniz algebras with triangular nilradical
对于零根为三角李代数$T(n)$的李代数存在一种分类。我们将这一结果推广到所有具有零根$T(n)$的可解Leibniz代数的分类。作为例子，我们给出了所有诣零根为$T(4)$的Leibniz代数的完全分类.
Solvable Leibniz algebras with triangular nilradicals
本文将三角诣零根可解李代数的描述推广到Leibniz代数。证明了Leibniz代数元素上的左、右算子的矩阵具有上三角形形式。证明了具有给定三角零根的极大可能维数的可解Leibniz代数是李代数。此外，还对具有低维三角形幂零根的可解Leibniz代数进行了分类。
Classification of solvable Leibniz algebras with naturally graded filiform nilradical
本文证明了用幂零根的非幂零外导子来描述具有给定幂零根的可解李代数的方法同样适用于Leibniz代数的情形。利用这种方法，我们将自然分次丝状李代数的可解李代数的分类推广到了Leibniz代数的情形。也就是说，给出了诣零根为自然分次丝状Leibniz代数的可解Leibniz代数的分类。
Leibniz algebras whose solvable ideal is the maximal extension of the nilradical
本文主要研究所谓的完备莱布尼茨代数。已知具有完备理想的李代数是分裂的。我们将证明这一结果对于完备理想是可解代数且零根的余维数等于零根的生成元个数的Leibniz代数是成立的。
On Solvable Lie and Leibniz Superalgebras with maximal codimension of nilradical
本文证明了在一定条件下，刻画具有诣零根的最大余维的可解李代数和可解Leibniz代数的方法也可分别推广到李超代数和可解Leibniz超代数.特别地，我们完全确定了具有模型丝状和模型幂零零根的最大余维的可解李超代数和莱布尼兹超代数。最后证明了所得到的超代数的超导子是内导子。
Classification of solvable Leibniz algebras with null-filiform nilradical
本文对零根为零丝状代数的可解Leibniz代数进行了分类。我们将得到的分类推广到可解Leibniz代数分解为零根的直和和一维补子空间的情形，零根是零丝状理想的直和.此外，在这种情况下，我们确定这些理想也是代数的理想。
Solvable Leibniz algebras with quasi-filiform Lie algebras of maximum length nilradicals
本文对诣零根为最大长度的拟丝状李代数的可解Leibniz代数进行了分类。证明了具有二维可补空间的Leibniz代数对零根的刚性。
Solvable extensions of the naturally graded quasi-filiform Leibniz algebras
本文是研究具有给定诣零根的可解Leibniz代数的一部分。本文将可解的Leibniz代数刻画成同构，其中诣零根是自然分次拟丝状代数，且诣零根的可补空间是一维的。
Solvable Leibniz algebra with non-Lie and non-split naturally graded filiform nilradical and its rigidity
零根是自然分次丝状代数的复可解Leibniz代数的描述是已知的。不幸的是，在描述中犯了一个错误。也就是说，在具有零根$F_n^1$的可解莱布尼茨代数的维数等于$n+2$的情况下，断言不存在这样的代数。然而，我们有可能找到一个唯一的具有零根$F_n^1$的$(n+2)$维可解Leibniz代数.此外，我们还证明了该代数的第二类上同调群的平凡性，这意味着它是刚性的。
Automorphisms of some solvable Leibniz algebras
本文描述了具有零丝状零根的可解Leibniz代数的自同构。此外，我们还刻画了具有自然分次非李丝状诣零根的可解Leibniz代数的自同构，其补空间的维数是极大的。
On some solvable Leibniz algebras and their completeness
研究了零根余维数等于生成元个数的可解Leibniz代数。我们在非分裂的零根的情况下描述这个类。然后给出了分裂零根的情形。我们表明，这类莱布尼茨代数早期获得的结果来作为本文结果的特殊情况。它表明，这样的可解扩张是唯一的。最后，我们证明了所考虑的可解Leibniz代数是完备的.
Solvable Leibniz superalgebras whose nilradical has the characteristic sequence $(n-1, 1 \mid m)$ and nilindex $n+m$
本文完整分类了幂零根基具有特征序列 $(n-1, 1 \mid m)$ 和幂零指数 $n+m$ 的可解 Leibniz 超代数，给出了其存在可解扩张的参数条件，并分类了根基为最大幂零指数 Lie 超代数的情形。
Abelian extensions of five-dimensional solvable Leibniz algebras
本文通过扩展中心扩展方法，对具有非平凡三维nilradical的五维可解李代数进行一维阿贝尔扩展的完整分类，并证明nilradical为null-filiform时存在唯一的可解阿贝尔扩展。
Local and 2-local derivations of solvable Leibniz algebras
证明了具有模零根或交换零根的可解Leibniz代数上的任何局部导子都是导子，且其补空间的维数是最大的。证明了具有交换诣零根的可解Leibniz代数，如果它具有1维补空间，则它允许非导子的局部导子。此外，还研究了这类代数的1-局部导子的类似问题，并给出了一个可解Leibniz代数的例子，使得其上的任何2-局部导子都是导子，但允许不是导子的局部导子.
Biderivations of some classes of solvable Leibniz algebras
本文研究 null-filiform、filiform 及相应可解 Leibniz 代数的反导子与双导子，刻画其一般形式，并证明相关可解情形的双导子均为内双导子。
On the degenerations of solvable Leibniz algebras
本文主要研究刚性可解Leibniz代数的刻画.特别地，我们证明了在一定条件下，可解的Leibniz代数在零根上是刚性的，并描述了具有三维刚性零根的四维可解Leibniz代数。证明了Grunewald-O 'Halloran猜想“任何$n$维幂零李代数是同维代数的退化”对小于6维的李代数和小于4维的Leibniz代数成立.代数的水平一，这是省略了1991年Gorbatsevich的文件，表示。
Local and 2-local automorphisms of some solvable Leibniz algebras
本文证明了具有零丝状和自然分次非Lie丝状零根的可解Leibniz代数上的任何局部自同构都是自同构，且其补空间的维数是最大的.此外，我们还研究了这类代数的2-局部自同构的同样问题，得到了2-局部自同构的类似结果。
Solvable extensions of the naturally graded quasi-filiform Leibniz algebra of second type $\mathcal{L}^2$
对于Camacho，Gómez，González和Omirov引入的第二类$\mathcal{L}^2$的自然分次拟丝状Leibniz代数序列，构造了域$\Bbb R$上所有可能的左右可解不可分解扩张，使得该代数成为本文所找到的相应可解Leibniz代数的零根.
Some remarks about the second Leibniz cohomology group for Lie algebras
我们用一种非常初等的方法比较了李代数的第二伴随和平凡莱布尼茨上同调空间与通常的上同调空间。例子给出了耦合上循环。导出了莱布尼兹变形的一些性质。我们还考虑了一类Koszul 3-形式为零的李代数，并证明了它包含有限维半单李代数的Borel子代数或其诣零根的所有直子。最后，给出了维数为$\leqslant 7$的不可分解幂零李代数的Kac-Moody型.
Outer derivations of complex solvable Lie algebras with nilradical of maximal rank
本文证明了有限维可解李代数的外导子的存在性，其中该有限维可解李代数的幂零根具有最大秩，且幂零根的补子空间的维数小于秩.
Extensions of solvable Lie algebras with naturally graded filiform nilradical
本文研究了具有自然分次丝状零根的可解李代数的扩张。本文证明了存在两个自然分次丝状李代数$n_{n, 1}$和$Q_{2n}.$.我们找到了代数$n_{n, 1}$的所有一维中心扩张，并证明了$Q_{2n}$的任何扩张都是可裂的.然后，我们找到了具有零根$n_{n, 1}$的可解李代数的一维扩张。证明了具有最大余维的诣零根$n_{n, 1}$的可解李代数存在唯一的非分裂中心扩张.此外，还找到了余维为1的具有零根$n_{n, 1}$的可解李代数的所有一维扩张，并将这些可解代数与具有零根的可解代数进行了比较，证明了这些可解代数都是代数$n_{n, 1}$的一维中心扩张.
The generalised nilradical of a Lie algebra
一个可解李代数L具有一个性质，即它的零根N包含它自己的中心化子。这是有趣的，因为给出了一个表示L作为一个子代数的导子代数导子代数的零根与核等于中心的N。在这里，我们考虑几种可能的推广的零根，这一性质保持在任何李代数。我们的主要结果是：对每个李代数L，L/Z（N）同构于Der（N？*）的一个子代数，其中Z（N）是L的零根的中心其中N*？是L的理想，使得N？*/ N是半单李代数的基柱。
Modularity conditions in Leibniz algebras
本文继续研究Leibniz代数的子代数格，发现具有上半模格的可解Leibniz代数的结构特征，并探讨了弱拟理想子代数与模对称Leibniz代数的性质。
On naturally graded Lie and Leibniz superalgebras
本文将自然分次概念推广至 Lie 与非 Lie Leibniz 超代数，给出定义，并刻画最大超幂零指数情形下的自然分次。
On the automorphism groups of some Leibniz algebras
研究了有限维循环Leibniz代数的自同构群。在这方面，我们考虑了群、结合环上的模和Leibniz代数之间的关系。
On the subalgebra lattice of a Leibniz algebra
本文开始研究Leibniz代数的子代数格。特别是，我们处理莱布尼茨代数的子代数格是模块化，上半模块化，下半模块化，分配，或对偶原子。非李莱布尼茨代数通常具有更少的一维子代数，这一事实导致许多晶格条件比李情况下更弱。
Quasi-ideals of Leibniz algebras
称Leibniz代数L的子空间H为拟理想，如果对L的每个子空间K，有[H;K] + [K;H] \subseteq H + K.它们包括L中余维数为1的理想和子代数。李代数的拟理想在Amayo的两篇著名论文中得到了分类。本文的目的是将这些结果推广到更大的莱布尼兹代数类，并对每个子代数都是拟理想的莱布尼兹代数进行分类。
Classification of 7-dimensional solvable Lie algebras having 5-dimensional nilradicals
本文给出了一类具有5维零根的7维实和复不可分解可解李代数。然后，我们结合Rubin and Winternitz（1993），Ndogmo and Winternitz（1994），Snobl and Winternitz（2005，2009），Snobl and Karásek（2010）的结果，得到了具有5维诣零根的7维实不可分解和复不可分解可解李代数的一个完整分类。结合Gong（1998），Parry（2007），Hindeleh and Thompson（2008），我们对7维实不可分解可解李代数和复不可分解可解李代数进行了分类.
Automorphisms and derivations of Borel subalgebras and their nilradicals in Kac-Moody algebras
本文确定了特征为0的域上的Kac-Moody代数（和逆成分李代数）中Borel子代数的导子及其导子零根，并确定了可对称化的Kac-Moody代数中Borel子代数的自同构.这些结果解决了R. V. Moody在大约30年前提出的一个结论，它推广了B. Kostant和A. Fialowski在仿射类型的情况下使用李代数上同调。
Transposed Poisson structures on solvable Lie algebras with filiform nilradical
该研究利用具有线状幂零根基的可解李代数的 1/2-导子，建立交换结合乘法，从而构造出关联给定李代数的非平凡转置 Poisson 代数。
Generalized Casimir invariants of six dimensional solvable real Lie algebras with five dimensional nilradical
通过确定99个具有5维零根的可解李代数的同构类的基本不变量集，完成了6维实李代数的余伴随表示的不变量的确定.我们还给出了零根余维为1的任意维可解李代数的不变量的一些结果。
Solvable compatible Lie algebras with a given nilradical
本文提出了一种基于特殊nilradical构造相容李代数的方法，并研究了其在特定李代数对和filiform李代数中的应用，包括一维可解扩展的显式构造及更高维扩展的非存在性证明。
Solvable Lie algebras with triangular nilradicals
构造了所有以三角代数T（n）为零根的有限维不可分解可解李代数$L(n,f)$. $L(n,f)$中的非幂零元个数$f$满足$1\leq f\leq n-1$，李代数的维数为$\dim L(n,f)=f+{1/2}n(n-1)$ .
The central nilradical of nonnoetherian dimer algebras
本文研究了环面上非诺特二聚体代数中心的幂零根，证明了其素性及在循环收缩下的特征，揭示了约化中心与ghor代数中心的嵌入及正规化关系，并给出了正规性的刻画。
Unary and binary Leibniz algebras
一个代数称为一元莱布尼兹代数，如果每个单生成子代数都是莱布尼兹代数。一个代数称为二元莱布尼兹代数，如果每个二元生成子代数都是莱布尼兹代数。利用恒等式刻画了一元和二元Leibniz代数。
Classification of 4-dimensional nilpotent complex Leibniz algebras
莱布尼茨代数是作为李代数的推广而出现的。在这项工作中，我们处理的分类幂零复莱布尼茨代数的低维。即把维数小于小于3的幂零复Leibniz代数的分类推广到了4维. { \it AMS主题分类}：16 D 70，17 A30，17 A60，17 B30 { \it关键词：}莱布尼兹代数，结合代数，零形，零丝状莱布尼兹代数，丝状莱布尼兹代数.
A characterization of nilpotent Leibniz algebras
W. A. Moens证明了一个李代数是幂零的当且仅当它允许一个可逆的Leibniz-导子。本文利用W. A. Moens对非Lie-Leibniz代数的类似结果是不成立的。也就是说，我们给出了一个允许可逆Leibniz导子的非幂零Leibniz代数的例子。为了推广文W. A. Moens对Leibniz代数引入了Leibniz代数的Leibniz-导子的定义，它与李代数的Leibniz-导子的定义一致.进一步证明了一个Leibniz代数是幂零的当且仅当它允许一个可逆Leibniz导子。此外，将李代数的可解根关于Leibniz导子不变的结果推广到Leibniz代数的情形.
The structure of restricted Leibniz algebras
研究了限制Leibniz代数的结构。更具体地说，我们首先给出了限制Leibniz代数的等价定义，这比[6]中限制Leibniz代数的定义要容易得多。其次，得到了$p$ -映射和可限制Leibniz代数的一些性质，并讨论了含半单元的限制Leibniz代数。最后，确定了限制Leibniz代数的Cartan分解和分解的唯一性.
Color Hom-Akivis algebras, Color Hom-Leibniz algebras and Modules over Color Hom-Leibniz algebras
本文引入了色Hom-Akivis代数，证明了任何色非结合Hom-代数结构映射的交换子都能导出一个色Hom-Akivis代数。给出了色Hom-Akivis代数的各种构造。接下来，我们研究灵活的和替代的颜色Hom-Akivis代数。类似于色Hom-Akivis代数，我们引入了非交换色Hom-Leibniz-Poisson代数，并给出了几个构造.同时给出了Hom-dialgebra与Hom-Leibniz-Poisson代数之间的关系，即一个Hom-dialgebra生成一个Hom-Leibniz-Poisson代数.最后证明了用一个色Hom-Leibniz代数自同态扭曲一个色Hom-Leibniz模结构映射，得到另一个色Hom-Leibniz模结构映射。
Ternary Leibniz color algebras and beyond
本文的目的是将三元Leibniz代数的一些结果推广到三元Leibniz色代数的情形。特别地，我们研究了色李三元系。为了从Leibniz色代数得到三元Leibniz色代数的例子，给出了关于Leibniz色代数的几个结果。然后引入并给出了三元Leibniz-Nambu-Poisson色代数的一些构造。研究了结合三代数与-1-三树型代数之间的关系。此外，我们给出了三值Leibniz-Nambu-Poisson色代数上模的构造方法。
Conjugacy of Cartan Subalgebras in Solvable Leibniz Algebras and Real Leibniz Algebras
我们将李代数的共轭性结果推广到它们的Leibniz代数推广。李的证明依赖于反交换性。因此，有必要在莱布尼茨的情况下找到其他途径。其中一些结果涉及Cartan子代数。我们的结果可以推广到Cartan子代数上的其他结果。我们在这里展示了一个例子，其他的将在未来的工作中展示。
Complete Leibniz Algebras
Leibniz代数是李代数的某种推广。将李代数中的概念推广到莱布尼茨代数并研究相应的结果是否仍然成立是很自然的。本文引入了完备Leibniz代数的概念，作为完备李代数的推广.然后研究了完备Leibniz代数及其全同态的性质。
Twisted relative Rota-Baxter operators on Leibniz algebras and NS-Leibniz algebras
本文在Leibniz代数上引入扭相对Rota-Baxter算子作为扭Poisson结构的推广。我们定义扭曲相对Rota-Baxter算子$K$的上同调为由$K$诱导的具有适当表示的系数的Leibniz代数的Loday-Pirashvili上同调.然后从上同调的角度考虑了扭曲的相对Rota-Baxter算子的形式变形。最后，我们引入并研究了NS-Leibniz代数作为扭曲相对Rota-Baxter算子的底层结构。
Leibniz Algebras and Lie Algebras
本文研究了有限维复Leibniz代数的代数结构。特别地，我们引入了左中心对称Leibniz代数，并利用取Leibniz核的结合双线性对研究了李子代数的偏序集。
On some structures of Leibniz algebras
Leibniz代数是李代数的某种推广。本文综述了Leibniz代数中与李代数中相应结果类似的重要结果。特别是我们强调莱布尼茨代数和李代数之间的差异。
Some characterizations of Hom-Leibniz algebras
得到了Hom-Leibniz代数的一些基本性质，这些性质是Leibniz代数的一些著名性质的Hom-analogue。考虑与给定的Hom-Leibniz代数相关联的Hom-Akivis代数，观察到Hom-Akivis恒等式导致Hom-Leibniz代数的一个附加性质，进而给出Hom-Leibniz代数的Hom-Lie容许性的一个充要条件.并给出了Hom-Leibniz代数的Hom-power结合性的一个充要条件。
A study of $n$-Lie-isoclinic Leibniz algebras
本文在非Lie Leibniz代数上引入了$n$ -Lie-等倾的概念。在所得的结果中，我们给出了Leibniz代数的$n$ -Lie-等倾类的几个刻画.给出了$n$ -Lie-stem Leibniz代数的一个刻划，证明了每一个$n$ -Lie-isoclinic类的Leibniz代数都包含一个$n$ -Lie-stem Leibniz代数.
$ξ$-Groups and Hu-Liu Leibniz Algebras
首次研究了$ξ$ -群和Hu-Liu Leibniz代数，证明了几乎所有的单Leibniz代数和单Hu-Liu Leibniz代数都是线性的，并建立了两条通路.一个是从特殊的$\mathcal{Z}_2$ -分次结合代数到Hu-Liu Leibniz代数的过渡。另一个是从线性$ξ$ -群到它的切空间的通路，它是一个Hu-Liu Leibniz代数。
Ternary Leibniz color algebras and beyond
本文主要研究三值色代数。将三值Leibniz代数的一些结果推广到三值Leibniz色代数的情形。为了从Leibniz色代数得到三元Leibniz色代数的例子，给出了关于Leibniz色代数的几个结果。其次，我们引入了三值Leibniz色代数，并给出了与算子、直和和张量积有关的构造。在此基础上，我们引入了三元Leibniz色代数上的双模，并指出三元Leibniz色代数上两个双模的直和与张量积也是给定的三元Leibniz色代数上的双模。然后，我们引入了三元Leibniz-Poisson色代数，并研究了它们的一些性质。最后，我们对色李三元系、色Jordan三元系和Comstrans色代数作了简要的描述。并对它们之间的联系进行了研究。
Leibniz algebras constructed by Witt algebras
我们描述了无限维Leibniz代数，其关联的李代数是Witt代数，并证明了Witt代数的低维Leibniz上同调群的平凡性，其系数在自身.
Twisted Rota-Baxter operators on 3-Leibniz algebras and NS-3-Leibniz algebras
本文通过构造L_∞代数定义3-Leibniz代数上扭曲Rota-Baxter算子的上同调，从同调视角分析其形变，并研究作为该算子基础结构的NS-3-Leibniz代数，推动相关代数结构的理论研究。
Embedding tensors on 3-Leibniz algebras and their derived algebraic structures and deformations
本文研究3-Leibniz代数上的嵌入张量，建立其与3-tri-Leibniz代数及平均3-Leibniz代数的对应关系，引入3-tri-Leibniz dialgebra，并通过第一上同调刻画嵌入张量的线性形变。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。