Ill-posedness for the Burgers equation in Sobolev spaces
Jinlu Li, Yanghai Yu, Weipeng Zhu
本文考虑Burgers方程的Cauchy问题，证明了该问题在具有$s\in[1,\fr32)$的索伯列夫空间$H^s$中是不适定的.
In this paper, we considered the Cauchy problem for the Burgers equation and proved that the problem is ill-posed in Sobolev spaces $H^s$ with $s\in[1,\fr32)$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Solutions of nonlinear Sobolev-Burgers PDEs
考虑了非线性Sobolev-Burgers偏微分方程。他们的解决方案进行了调查。一种技术的非交换线积分用于他们的描述。利用Cayley-Dickson代数给出了一种求解偏微分方程的新方法。此外，研究了随机算子值测度，并将其应用于偏微分方程的解。
Local and global well-posedness for the 2D Zakharov-Kuznetsov-Burgers equation in low regularity Sobolev space
该研究针对带耗散项的二维ZKB方程柯西问题，采用结合耗散效应的Fourier限制范数方法，将其适定性的Sobolev空间指标下限拓展至$s>-1/2$，改进了已有相关方程的适定性结果。
On the well-posedness of higher order viscous Burgers' equations
在基于$L^2$的索伯列夫空间中，考虑具有广义非线性项的高阶粘性Burgers方程，研究了给定数据下的初值问题.我们引入适当的时间加权空间，以获得多线性估计，并使用它们的压缩映射原理参数，以证明本地适定性的数据与Sobolev正则性低于$L^2$。我们还证明了这类模型的不适定性，并表明局部适定性结果在某些特殊情况下是尖锐的，当耗散阶数$p$和非线性阶数$k+1$满足关系式$p=2k+1$时，
Uniform local well-posedness and inviscid limit for the Benjamin-Ono-Burgers equation
本文研究Benjamin-Ono-Burgers方程$\partial_t u-ε\partial_x^2 u+\mathcal{H}\partial_x^2u+u u_x=0$的Cauchy问题，其中$\mathcal{H}$表示希尔伯特变换.在低频部分为标度临界，高频部分等于Sobolev空间$H^σ$（$σ\geq 0$）的精化索伯列夫空间$\widetilde{H}^σ(\mathbb{R})$（$σ\geq 0$）中，得到了它在小数据下的一致局部适定性.此外，我们还得到了它在$\widetilde{H}^σ(\mathbb{R})$（$σ\geq 0$）中的无粘极限行为.
An initial-boundary value problem in a strip for two-dimensional Zakharov-Kuznetsov-Burgers equation
研究了二维Zakharov-Kuznetsov-Burgers方程在带内齐次Dirichlet边界条件下的初边值问题.在索伯列夫空间中建立了解的整体适定性和长时间衰减的结果。
The Burgers' Equation in the Hermite-Sobolev Spaces
该文证明了d维实空间中，当初值属于合适指标的Hermite-Sobolev空间时粘性Burgers方程局部时间解的存在唯一性，还得到了初值为Schwartz空间时解的正则性结果。
Simplified a priori Estimate for the Time Periodic Burgers' Equation
本文给出了一类带非正则强迫项的粘性Burgers方程（空间上Sobolev正则性为-1）时间周期解的存在唯一性结果.这里的关键结果是一个先验估计，这是简单的比以前处理的情况下，强迫项的规律性-1/2的时间。
The Burgers equation and the Korteweg-de Vries equation with quadratic nonlinearity
研究了圆上Burgers方程和KdV方程的广义变式.本文的主要目的是表明，这两个扩展可以重铸为测地线方程上的一个合适的圆和相应的Bott-Virasoro群的同胚群。由此得到了带二次项的Burgers方程的初值问题在圆周上的索伯列夫空间尺度上是适定的.
Zero-filter limit for the Camassa-Holm equation in Sobolev spaces
本文的目的是回答\cite{GL}（Math. Z.（2015）281）。我们证明了Camassa-Holm方程的零滤子极限是与初始数据在索伯列夫空间相同拓扑中的Burgers方程。
Well-posedness and regularity for the Fractional Rough Burgers equation in Sobolev spaces with an application
本文研究了在 $H^s(\mathbb T)$ 空间中由时空噪声驱动的分数粗糙 Burgers 方程的适定性。对于高耗散情况，建立了局部适定性；当耗散系数限制在特定区间时，进一步获得了全局适定性。对于低耗散情况，通过正则性分析推导了 para 控制解。
On the well-posedness of the Cauchy problem for the generalized Korteweg-de Vries-Burgers equation
考虑了广义Korteweg-de Vries-Burgers方程$$ u_{t}+u_{xxx}+uu_{x}+|D_{x}|^{2α}u=0,\quad t\in \mathbb{R}^{+}, x\in \mathbb{R}, $$和$0\leq α\le 1$ .在索伯列夫空间$ {H}^s(\mathbb{R})$中证明了相应的Cauchy问题的一个精确结果.对于$s>-\min\{\frac {3+2α}4, 1\}$，我们给出了柯西问题解的适定性，而对于$\frac 12\leα\le 1$和$s<-\min\{\frac {3+2α}4, 1\}$，我们给出了一些不适定性问题。
On the BBM-Burgers Equation: Well-posedness, Ill-posedness and Long Period Limit
本文研究了一类带耗散项的色散方程Benjamin-Bona-Mahony-Burgers方程。首先证明了该方程的初值问题在$H^s(\mathbb{R}),$中是适定性的，如果$s\geq 0$是不适定性的。不适定性是指从$H^s(\mathbb{R})$到甚至$\mathcal{D}'(\mathbb{R}).$的流映射在原点处不连续。此外，我们还建立了在索伯列夫空间中，当周期趋于无穷大时，周期解收敛到连续解的精确理论。
Sharp ill-posedness and well-posedness results for the KdV-Burgers equation: the periodic case
我们证明了KdV-Burgers在$ H^{-1}(\T) $中是全局适定的，其解映射是从$H^{-1}(\T) $到$C([0,T];H^{-1}(\T))$的解析解映射，而它在$ H^s(\T) $中是不适定的，只要$ s<-1 $，在这个意义上，流映射$u_0\mapsto u(t) $在任何足够小的固定$ t>0 $处都不能从$ H^s(\T) $连续到甚至${\cal D}'(\T) $。根据Kappeler和Topalov关于KdV的结果，由此看来，即使KdV-Burgers方程的耗散部分允许相对于KdV方程降低$ C^\infty $临界折射率，它也不允许提高$ C^0$临界折射率。
A Short Survey of the Well-posedness of the Two-dimensional Burgers' Equation
本文基于无穷维动力系统框架，利用Galerkin方法、Sobolev空间及能量估计，证明了二维Burgers方程在适当初始与边界条件下全局解的存在性与唯一性。
Sharp ill-posedness and well-posedness results for the KdV-Burgers equation: the real line case
我们完成了已知的结果在Sobolev空间中的局部柯西问题的KdV-Burgers方程证明，这个方程是适定的$ H^{-1}(\R) $的解映射是解析的从$H^{-1}(\R) $到$C([0,T];H^{-1}(\R))$，而它是不适定的$ H^s(\R) $，只要$ s<-1 $，在这个意义上的流映射$u_0\mapsto u(t) $不能连续从$ H^s(\R) $到甚至${\cal D}'(\R) $在任何固定的$ t>0 $足够小。据我们所知，这是第一个关于色散-耗散方程的这类结果。我们在这里开发的框架应该是非常有用的，以证明其他色散耗散模型的类似结果
Convergence Rate toward Rarefaction Wave under Periodic Perturbation for Generalized Korteweg-de Vries-Burgers equation
本文研究广义Korteweg-de Vries-Burgers方程在空间周期扰动下稀疏波的稳定性，通过构造携带相同振荡的拟设并利用能量方法，证明了在初始扰动适当小时解趋于稀疏波。
Sharp well-posedness for Kadomtsev-Petviashvili-Burgers (KPBII) equation in $R^2$
本文证明了Kadomotsev-Petviashvili-Burgers方程（KPBII）的Cauchy问题在$\mathbb R^2$中的整体适定性，当初值属于各向异性索伯列夫空间$H^{s_1,s_2}(\mathbb R^2)$时，对所有的$s_1>-\frac12$和$s_2\geq0$都是如此.另一方面，我们在某种意义上证明了我们的结果是尖锐的。
Remark on the ill-posedness for KdV-Burgers equation in Fourier amalgam spaces
该研究证明了实轴上KdV-Burgers方程在$s<-1$的Fourier amalgam空间中具有弱形式不适定性，复现了已有经典结果，并在Fourier Lebesgue空间与调制空间中得到新的不适定性结论。
Well-posedness for a Family of Perturbations of the KDV Equation in Periodic Sobolev Spaces of Negative Order
利用$s\geq -1/2$在索伯列夫空间$H^s(\mathbb{T})$中建立了方程$$ u_t + u_{xxx}+ηLu + uu_x=0;\; x\in \mathbb{T},\; t\geq0, $$的初值问题的局部适定性，其中$η>0$，$(Lu)^{\wedge}(k)=-Φ(k)\hat{u}(k)$，$k\in \mathbb{Z}$和$Φ\in \mathbb{R}$有上界.这个问题的特殊情况是$Φ(k)=-k^2$的Korteweg-de Vries-Burgers方程，$Φ(k)=k^2-k^4$的导数Korteweg-de Vries-Kuramoto-Sivashinsky方程，以及$Φ(k)=|k|-|k|^3$的Ostrovsky-Stepanyams-Tsimring方程。
A priori bounds for Gevrey-Sobolev norms of space-periodic three-dimensional solutions to equations of hydrodynamic type
我们提出了一种技术推导的先验界的空间周期三维解的Gevrey-Sobolev范数的发展偏微分方程的流体动力类型。它涉及傅立叶空间中的流速的变换，其在范数的指数和变换后的解的范数之间引入反馈，并且导致出现温和耗散项。为了说明这种技术，我们推导出有限时间的界限Gevrey-Sobolev范数的解决方案的欧拉和无粘Burgers方程，和全球的Voigt型正则化的欧拉和Navier-斯托克斯方程的时间界限（假设各自的范数的初始条件是有界的）。范数的有界性意味着解在空间中的解析性。
On two systems of Burgers type arising in nonlinear wave interaction
本文研究非线性波相互作用中产生的两类Burgers型系统的适定性，对第一个模型证明解在Sobolev空间和Wiener型空间中的局部存在性与唯一性，对第二个模型给出有限时间奇性的初等证明。
Rigorous FEM for 1D Burgers equation
我们提出了一种方法来集成耗散偏微分方程严格向前的时间与使用有限元法（FEM）。该技术是基于有限元空间上的伽辽金投影和估计的剩余项。所提出的方法说明了一个周期性强迫一维Burgers方程的Dirichlet条件。对于两个特定的强迫选择，我们证明了周期性的全局吸引轨道的存在性，并给出了精确的边界上的形状。
Decaying turbulence for the fractional subcritical Burgers equation
我们考虑一维空间周期情形下的分数阶非强迫Burgers方程：$$\partial u/\partial t+(f(u))_x +νΛ^α u= 0, t \geq 0,\ \mathbb{x} \in \mathbb{T}^d=(\mathbb{R}/\mathbb{Z})^d.$$这里$f$是强凸的，并且满足一个附加的增长条件$Λ=\sqrt{-Δ}$，$ν$是小的正的，而$α\in (1,\ 2)$是亚临界范围内的常数.对于这个方程的解$u$，我们推广了文献[10]中对于$α=2$情形（即当$-Λ^α$是拉普拉斯算子时）得到的结果。我们得到尖锐的估计的时间平均Sobolev规范的$u$作为一个功能的$ν$。这些结果产生尖锐的估计自然类似物的数量表征的流体动力学湍流，即平均值的增量和能量谱。在惯性范围内，这些量表现为相关参数的范数的幂，相关参数分别是物理空间中的间隔$\ell$和傅立叶空间中的波数$\mathbf{k}$。所有估计值的形式与$α=2$的情况相同;唯一的变化（除了隐式常数）是$ν$被$ν^{1/(α-1)}$取代。
Integer quadratic obstructions to the local controllability of the Burgers equation
研究伯格斯方程在特定情况下的局部可控性，通过确定控制分布条件及与迭代李括号的关系，利用分部积分等方法证明，构造出在各负整数阶产生障碍的光滑空间分布。
Orbital instability of periodic waves for generalized Korteweg-de Vries-Burgers equations with a source
本文证明带源项的广义KdV-Burgers方程中谱不稳定的周期波在周期Sobolev空间中轨道不稳定，并应用于KdV-Burgers-Fisher方程小振幅周期波。
Local Well-posedness of A Non-local Burgers Equation
本文研究一类非局部无粘Burgers方程。在给定参数$h$的情况下，证明了周期初值方程$\InviscidBurgersNonlocal{u}$局部解的存在唯一性。我们还探讨了这类方程的解的爆破性质与给定的周期性的初始数据，并表明存在的解决方案，爆破在有限时间和解决方案，是全球正规的。这与经典的无粘Burgers方程形成对比，对于经典的无粘Burgers方程，所有非常数光滑周期初始数据导致有限时间爆破。最后，我们提出的模拟结果来说明我们的研究结果。
A simple proof of ill-posedness for incompressible Euler equations in critical Sobolev spaces
本文给出了一个简单的证明，证明了在临界索伯列夫空间中，具有任意$d\ge3$的$\mathbb{R}^{d}$中不可压缩Euler方程的Cauchy问题是不适定的，推广了Bourgain和Li在$d = 3$情形下的工作.不适定性的某些临界洛伦兹空间以及。
Time-delayed instabilities in complex Burgers equations
对于具有实数据和复强迫项的Burgers方程，Lerner，Morimoto和Xu [{ \it一类非线性系Cauchy-Kovalevskaya解的不稳定性}，Amer.~ J.~数学~ 2010]证明了只有分析数据才能生成局部$C^2$解。然而，没有观察到相应的不稳定性的数值;相反，数值模拟显示指数增长性，只有在延迟的时间。我们认为，数值扩散是负责这个时间延迟，因为我们证明，在环面的Burgers方程具有小粘度和复杂的强迫，振荡数据产生的解决方案，线性增长的时间指数增长之前。数值模拟说明了结果。
Well-posedness and ill-posedness results for the regularized Benjamin-Ono equation in weighted Sobolev spaces
我们考虑正则化Benjamin-Ono方程rBO的初值问题。我们的目的是通过压缩原理在加权索伯列夫空间中建立局部和整体的适定性结果。我们还证明了一个独特的连续性，这意味着任意多项式型衰变不保存产生尖锐的结果，关于适定性的初值问题在大多数加权索伯列夫空间。
Finite-time Blowup and Ill-posedness in Sobolev Spaces of the Inviscid Primitive Equations with Rotation
海洋和大气的大尺度动力学是由原始方程组（PE）控制的。众所周知，三维粘性运动方程在索伯列夫空间中是整体适定的。另一方面，无旋转的无粘弹性方程在索伯列夫空间中是不适定的，其光滑解在有限时间内可以形成奇异性。在本文中，我们推广了上述结果在旋转的存在。首先，我们构造了带旋转的无粘粒子群的有限时间爆破解，并证明了带旋转的无粘粒子群在索伯列夫空间中是不适定的，因为它在索伯列夫空间中围绕定常背景流的扰动是线性和非线性的。它的线性不稳定性是Kelvin-Helmholtz型，类似于涡面问题中出现的线性不稳定性。这意味着无粘PE在$s > 1$阶的Gevrey类中也是线性不适定的，并表明适定性的空间是$s = 1$阶的Gevrey类，它正好是解析函数的空间.
Strong illposedness for SQG in critical Sobolev spaces
本文证明了无粘SQG方程在临界Sobolev空间中的强不适定性，揭示了存在无解的初值及光滑数据的强临界范数膨胀，并将该鲁棒证明推广至修正SQG方程族。
Estimates for Solutions of a Low-Viscosity Kick-Forced Generalised Burgers Equation
考虑非齐次广义Burgers方程：$$ \frac{\partial u}{\partial t} + f'(u)\frac{\partial u}{\partial x} - ν\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = η^ω,\quad t \in \R,\ x \in S^1. $$这里，ν是小的正的，f是强凸的并且满足增长假设，而η^ω是空间光滑的随机“踢”强迫项.对于这个方程的任何解$u$，我们考虑准稳态区，对应于t>=2。在取系综平均后，我们得到了$u$的一类Sobolev范数的上估计和时间平均下估计。这些估计的形式为C ν^{-β}，对于上下界，具有相同的$β$值。它们依赖于η和f，但不依赖于时间t或初始条件。
Ill-posedness of the Prandtl equations in Sobolev spaces around a shear flow with general decay
受D. Gerard-Varet和E. Dormy [JAMS，2010]中关于正态变量指数衰减的剪切流中Prandtl方程的线性不适定性，以及最近关于索伯列夫空间中Prandtl方程适定性的研究，本文旨在将\cite{GV-D}中的结果推广到剪切流具有一般衰减的情形.关键的观察是构建一个近似解，捕获初始层的线性化问题的精确制定的解决方案，无粘普朗特方程的动机。
Non existence and strong ill-posedness in $C^k$ and Sobolev spaces for SQG
我们构造的解在$\mathbb{R}^2$与有限能量的表面准地转方程（SQG），最初是在$C^k$（$k\geq 2$），但不是在$C^{k}$的$t>0$。我们证明了一个类似的结果也为$H^{s}$在范围$s\in(\frac32,2)$。此外，我们证明了强不适定性的临界空间$H^{2}$。
Ill-posedness for the incompressible Euler equations in critical Sobolev spaces
对于涡量形式的$2D$欧拉方程，我们构造了其临界Sobolev范数在短时间内变大的局部光滑解，以及最初属于$L^\infty \cap H^1$但立即逃离$t>0$的解.我们的主要观察结果是，一个局部块的涡度有界的$L^\infty \cap H^1$与奇-奇对称性是能够产生一个双曲线流与大的速度梯度至少在一个短的时间内，这伸展的涡度梯度。
Ill-Posedness of the 2D Euler Equations in a Logarithmically Refined Critical Sobolev Space
本研究扩展了 Bourgain 和 Li 的结果，证明在对数修正的临界 Sobolev 空间中，当对数导数幂次不超过 1/2 时，二维欧拉方程仍具有强不适定性。
Turbulence for the generalised Burgers equation
本文综述了A.Biryuk和作者在\cite{Bir01,BorK,BorW,BorD}中关于圆上广义Burgers方程u_t+ f '（u）u_x= v u_{xx} +η，| x \in S ^1 = \R / \Z的湍流结果.这里，f是光滑的并且是强凸的，而常数0<v << 1对应于粘性系数。我们将考虑η=0的情况和η是一个随机力的情况，该随机力在x方向上是光滑的，在t方向上是不规则的（反冲或白噪声）。在这两种情况下，都得到了u的Sobolev范数在时间上和系综上的C ν^{-δ}，δ>=0的精确界，其中δ的上界和下界具有相同的值.这些结果产生小尺度量表征湍流的急剧边界，确认物理预测\cite{BK07}。
Nonlinear stability of shock profiles to Burgers' equation with critical fast diffusion and singularity
本文提出了首个研究具有临界快扩散和奇性的Burgers方程的框架，通过引入权函数和加权能量方法克服了$u=0$时的强奇性，证明了在远场消失的粘性冲击波剖面的非线性稳定性，并通过数值模拟验证了理论结果。
Strong ill-posedness of logarithmically regularized 2D Euler equations in the borderline Sobolev Space
对数正则化的二维欧拉方程是具有非局部速度$u = \nabla^\perp Δ^{-1}T_γω$的标量方程。考虑了两种带参数$γ> 0$的正则化算子$T_γ$：$T_γ= \ln^{-γ} (e+|\nabla|)$和$T_γ= \ln^{-γ} (e-Δ)$ .这些模型正则化的二维欧拉方程的涡量（传统上对应于$γ=0$的情况下），这导致其局部适定性的边界索伯列夫空间$H^1(\mathrm{R}^2)\cap\dot{H}^{-1}(\mathrm{R}^2)$时，$γ>\frac 12$。在本文中，我们研究了正则化模型在其余政权$γ\leq \frac 12$和建立强不适定性的边界空间。这完全解决了正则化模型在边界空间中的适定性问题，缩小了$γ>\frac 12$的局部适定性结果与$γ= 0$的强不适定性之间的差距。
Illposedness of incompressible fluids in supercritical Sobolev spaces
本文证明三维Euler和Navier-Stokes方程在超临界Sobolev空间中强不适定，通过构造初值使解在瞬间产生大范数膨胀。
Ill-posedness in the critical Sobolev space for the Fokas-Olver-Rosenau-Qiao equation
研究Fokas - Olver - Rosenau - Qiao方程在临界Sobolev空间的情况，通过构造满足爆破准则的显式初始数据，证明其在\(H^{5/2}(\mathbb{R})\)中的范数膨胀，补充了该方程的适定性理论。
Sharp Estimates for Turbulence in White-Forced Generalised Burgers Equation
考虑非齐次广义Burgers方程\frac{\partial u}{\partial t} + f '（u）\frac{\partial u}{\partial x} - ν \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = η，\ t \geq 0，\ x \in S ^1.这里f是强凸的并且满足增长条件，ν是小的正的，而η是随机强迫项，在空间上光滑，在时间上是白色的。对于这个方程的任何解u，我们考虑对应于t>=T_1的准定态区域，其中T_1只依赖于f和η的分布。我们得到尖锐的上限和下限的Sobolev范数的$u$平均的时间和合奏。这些结果产生尖锐的上限和下限的自然类似物的数量特征的流体动力学湍流。我们的所有界都不依赖于初始条件或t（t>=T_1），并且在ν中一致成立。类似于我们的一些结果的估计已经获得了Aurell，Frisch，Lutsko和Vergassola在物理水平上的严格性，我们使用的参数从他们的文章。
Ill-posedness in the critical Sobolev space for the hyperelastic rod equation
本文研究超弹性杆方程在临界Sobolev空间$H^{3/2}$中的不适定性，证明端点处不适定，且性质依赖于参数$\gamma$：$0<\gamma\leq3$时小初值有限时间爆破，$\gamma<0$或$\gamma>3$时$H^{3/2}$范数任意短时间内任意大。
A Generalized Framework for Singular Fractional Burgers Equations with Stochastic Forcing
本文研究了由 $|D|^{1/2}ξ$ 驱动的广义分数奇 Burgers 方程的适定性，建立了 GFSB 方程框架并证明了其局部适定性，以及在特定条件下解的广义性质。
Blowing-up solutions of the time-fractional dispersive equations
本文研究有界区域上时间分数阶类似的Korteweg-de Vries，Benjamin-Bona-Mahony，Burgers，Rosenau，Camassa-Holm，Degasperis-Procesi，Ostrovsky方程和时间分数阶修正的Korteweg-de Vries-Burgers方程的初边值问题.给出了上述方程解在有限时间爆破的充分条件。讨论了时间分数阶Burgers方程初边值问题的最大值原理和梯度非线性对问题整体可解性的影响。我们研究的主要工具是Pohozhaev非线性容量方法。我们还提供了一些说明性的例子。
Decaying Turbulence in Generalised Burgers Equation
考虑广义Burgers方程$$ \frac{\partial u}{\partial t} + f'(u)\frac{\partial u}{\partial x} - ν\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0,\ t \geq 0,\ x \in S^1, $$，其中$f$是强凸的，$ν$是小的正的.我们得到尖锐的估计Sobolev规范的$u$（上限和下限仅不同的乘法常数）。然后，我们得到了衰减Burgers湍流的小尺度量，即耗散长度尺度，结构函数和能谱的精确估计。这个证明使用了Aurel、Frisch、Lutsko和Vergassola \cite{AFLV92}的一个定量论证。注意，我们处理的是\textit{decaying}，而不是定常湍流。因此，我们的估计在时间上是不一致的。然而，它们在时间间隔$[T_1, T_2]$上保持，其中$T_1$和$T_2$仅取决于$f$和初始条件，而不取决于粘度。这些结果在Kolmogorov的1941理论的精神下给出了一维Burgers湍流的严格解释。特别地，我们得到了在惯性范围内成立的两个结果。一方面，我们解释的双分形行为的时刻的增量，或结构功能。另一方面，我们得到了$k^{-2}$形式的能谱。这些结果在无粘极限下仍然有效。
Exact solution to a class of problems for the Burgers' equation on bounded intervals
通过Hopf-Cole变换和线性反应扩散方程的精确操作解，推导出Burgers方程在有限区间上的精确解，展示闭式表达式在计算效率上的优势。
Well-Posedness and Ill-Posedness for the Fourth order cubic nonlinear Schrödinger equation in negative Sobolev spaces
考虑四阶三次非线性薛定谔方程（4 NLS）的Cauchy问题.本文的主要目的是证明（4 NLS）的低正则性、适定性和弱不适定性。我们证明了三个结果。首先，我们证明了（4 NLS）是局部适定的$H^s\left(\mathbb{R}\right), s\geq -\frac{1}{2}$使用傅立叶限制范数方法。其次，我们证明了（4 NLS）在$H^s\left(\mathbb{R}\right),s\geq -\frac{1}{2}$中是全局适定的。为了证明这一点，我们使用$I$方法和Colliander-Keel-Staffilani-Takaoka-Tao [7]中提出的校正项策略。最后，我们证明了（4 NLS）是轻度不适定的，在这个意义上，流映射不能是局部一致连续的$H^s(\mathbb{R}), s<-\frac{1}{2}$。因此，这些结果表明，$s=-\frac{1}{2}$是尖锐的正则性阈值，适定性问题可以处理迭代参数。
A remark on norm inflation with general initial data for the cubic nonlinear Schrödinger equations in negative Sobolev spaces
本文研究了三次非线性薛定谔方程的不适定性问题。特别地，我们证明了在任何初始条件下，在低于或处于标度临界正则性的负索伯列夫空间中的范数膨胀。
Geodesic distance for right invariant Sobolev metrics of fractional order on the diffeomorphism group
研究了流形$M$的紧支撑同构群$\Diff_c(M)$上的分数阶$s\geq0$的Sobolev型度量.我们证明了对于重要的特殊情况$M=S^1$的测地线距离为零的$\Diff_c(S^1)$当且仅当$s\leq\frac12$。对于其他流形，我们得到了一个部分特征：$\Diff_c(M)$上的测地距离为零$M=\R\times N, s<\frac12$和$M=S^1\times N, s\leq\frac12$，$N$是一个紧凑的黎曼流形。另一方面，$\Diff_c(M)$上的测地距离对于$\dim(M)=1, s>\frac12$和$\dim(M)\geq2, s\geq1$是正的。对于$M=\R^n$，我们讨论了这些度量的测地线方程。对于$n=1$，我们得到了一些著名的流体动力学偏微分方程：$s=0$的Burgers方程，$s=\frac 12$的修正Constantin-Lax-Majda方程和$s=1$的Camassa-Holm方程。
Eulerian droplet model: Delta-shock waves and solution of the Riemann problem
本文研究了一个欧拉液滴模型，它可以看作是一个带源项的无压气体系统，它的一个子系统和带源项的无粘Burgers方程。建立了带源项的Burgers方程的解失去正则性的条件。相同的条件适用于欧拉液滴模型及其子系统。通过求解带源项的无粘Burgers方程的黎曼问题和求解子系统的黎曼问题，构造性地求解了欧拉液滴模型的黎曼问题.在适当的广义Rankine-Hugoniot关系和熵条件下，证明了δ激波解的存在性.证明了广义Rankine-Hugoniot条件解的存在性。给出了一些数值例子。
On sharp global well-posedness and Ill-posedness for a fifth-order KdV-BBM type equation
我们考虑最近导出的高阶Hamilton模型的单向水波的柯西问题，并证明了整体存在性的索伯列夫空间$H^s$，$s\geq 1$中给定的数据。我们还证明了一个不适定性结果，表明流图是不连续的，如果给定的数据具有Sobolev正则性$s< 1$。在这项工作中得到的结果是尖锐的。
On the ill-posedness of the 5th-order Gardner equation
本文给出了五阶Gardner方程的初值问题的不适定性结果。我们使用新的呼吸器解决方案发现，这个高阶加德纳方程来衡量的正则性的柯西问题的索伯列夫空间$H^s$。我们发现尖锐的Sobolev指数下的局部适定性的问题是丢失的，这意味着依赖于初始数据的5阶加德纳解决方案未能连续。
Gevrey regularity for a class of dissipative equations with analytic nonlinearity
本文建立了一类具有解析非线性项的耗散方程在全空间上解的Gevrey类正则性。这推广了Ferrari和Titi在周期空间的情况下，初始数据在$L^2-$为基础的索伯列夫空间的$L^p$设置和整个空间的结果。我们的推广还包括考虑粗糙的初始数据，在负索伯列夫空间在某些情况下，包括Navier-Stokes方程和亚临界准地转方程，并允许耗散算子是一个分数拉普拉斯算子。此外，我们得到全球（在时间上）估计Gevrey规范产生的高阶导数的衰减是最佳的。应用程序包括（时间）衰减的解决方案，在较高的Sobolev规范的一个大类的方程，包括Navier-斯托克斯方程，亚临界准地转方程，非线性热方程的分数耗散，一个变种的Burgers方程的立方或高阶非线性，和广义Cahn-Hilliard方程。最后三种情况下的衰减结果似乎是新的，而我们的方法提供了一个替代的证明最近获得的$L^p\, (1<p<2)$衰减结果的Navier-斯托克斯方程的Bae，Biswas和Tadmor。这些应用程序遵循我们的全球Gevrey正则性结果的初始数据在\emph{critical spaces}与低规律性。
On the Cauchy problem for the nonlinear semi-relativistic equation in Sobolev spaces
证明了幂型非线性半相对论或半波方程在索伯列夫空间中的局部适定性。我们的证明主要是基于压缩映射的论点，使用Eschenhartz估计。我们还应用Christ-Colliander- Tao的技巧在\cite{ChristCollianderTao}中证明了（NLHW）在超临界区的某些情况下的不适定性。
Sharp ill-posedness and well-posedness results for dissipative KdV equations on the real line
本文研究了广义KdV-Burgers方程\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} \partial_tu+\partial_x^3u+L_pu+u\partial_xu=0, u(0,\,x)=u_0(x). \end{array} \right. \end{equation*}的Cauchy问题，其中$L_p$是耗散的乘子算子.使用Besov-Bourgain空间，我们建立了一个双线性估计，并遵循Molinet，L。& Vento，S.（2011）我们证明了索伯列夫空间$H^{-p/2}(I\!\!R)$的尖锐的整体适定性和尖锐的不适定性在$H^s(I\!\!R)$当$s<-p/2$与$p \geq 2$ .
On Fractional Schrodinger Equations in sobolev spaces
设$σ\in(0,1)$与$σ\neq\frac{1}{2}$。研究了$\mathbb R^d$中的分数阶非线性薛定谔方程：$$i\partial_tu+(-Δ)^σu+μ|u|^{p-1}u=0,\, u(0)=u_0\in H^s,$$，其中$(-Δ)^σ$是符号$|ξ|^{2σ}$和$μ=\pm 1$的傅里叶乘子.这个模型是拉斯金在量子物理学\cite{laskin}中提出的。在索伯列夫空间中建立了幂型非线性项的局部适定性和不适定性。
On the Well-posedness for the Chen-Lee equation in periodic Sobolev spaces
本文证明了Benjamin-Ono方程或Chen-Lee方程$u_t+uu_x+β\mathcal{H}u_{xx}+η(\mathcal{H}u_x - u_{xx})=0$（其中$x\in \mathbb{T}$，$t> 0$，$η>0$和$\mathcal{H}$表示通常的Hilbert变换）的扰动的初值问题在索伯列夫空间$H^s(\mathbb{T})$中的局部和全局适定性，对于任何$s>-\frac{1}{2}$ .我们还证明了一些不适定性问题时，$s<-1$。
Norm-inflation for periodic NLS equations in negative Sobolev spaces
本文考虑T^d上具有2阶奇非线性项$σ$ + 1的Schr{<$}dinger方程.我们证明了对于$σ$ d $\ge$ 2，它们在索伯列夫空间H^s中对任何s \textless{} 0都是强不适定的，表现出正则性无限丧失的范数膨胀.在一维立方非线性薛定谔方程及其重整化形式的情形下，我们证明了这样一个结果，其中H^s满足s \textless{} -2/3.
Multidimensional potential Burgers turbulence
在空间周期背景下考虑多维广义随机Burgers方程：$ \partial \mathbf{u}/\partial t+$ $(\nabla f(\mathbf{u}) \cdot \nabla)$ $\mathbf{u} -νΔ\mathbf{u}=$ $\nabla η,\quad t \geq 0,\ \mathbf{x} \in \mathbb{T}^d=(\mathbb{R}/\mathbb{Z})^d,$，其中假设$\mathbf{u}$是一个梯度.这里$f$是强凸的并且满足增长条件，$ν$是小的并且是正的，而$η$是随机强迫项，在空间上光滑并且在时间上是白色的。对于该方程的解$\mathbf{u}$，我们研究了$\mathbf{u}$在时间和系综上平均的Sobolev范数：这些范数中的每一个都表现为$ν$的给定负幂。这些结果产生尖锐的上限和下限自然类似物的数量表征的流体动力学湍流，即平均值的增量和能量谱。这些量表现为相关参数的范数的幂，相关参数分别是物理空间中的间隔$\mathbf{l}$和傅立叶空间中的波数$\mathbf{k}$。我们的边界不依赖于初始条件，并保持在$ν$一致。我们概括的\cite{BorW}一维情况下得到的结果，确认物理预测\cite{BK07,GMN10}。请注意，估计值的形式不依赖于维度：$ν, |\mathbf{k}|, \mathbf{l}…
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