Cop numbers for subclasses of partial cubes
School of Mathematics and Statistics, Gansu Center for Applied Mathematics, Lanzhou University（兰州大学数学与统计学院，甘肃省应用数学中心）
该研究针对部分立方体子类，改进了中位数图的警察数上界，建立了单纯复形图警察数的上下界，并确定了二分轮图等特殊单纯复形图的警察数精确值。
2026-08-27 math.CO
$t$-tone colorings of outerplanar and Halin graphs
Lebanese University（黎巴嫩大学）；Université Bourgogne Europe（勃艮第欧洲大学）
本文研究了外平面图和哈林图的$t$-tone着色问题，确定了子三次外平面图的2-tone色数，并为哈林图给出了2-tone色数的上界。
2026-03-19 math.CO
Zero-free intervals of chromatic polynomials of mixed hypergraphs
本文证明了$(-\infty, 0)$是超图族${\cal L}_0$的色多项式的无零区间，$(0, 1)$是超图族${\cal L}_0$的子族${\cal L}_0'$的色多项式的无零区间.这些结果推广了关于图和超图的色多项式的无零区间的已知结果。
2020-07-10 math.CO
Conflict-free chromatic number vs conflict-free chromatic index
给定图$G$的顶点着色是无冲突的，如果每个顶点的闭邻域包含唯一的颜色（即颜色在邻域中只出现一次）。这种着色中的最小颜色数是$G$的无冲突色数，表示为$χ_{CF}(G)$。对于给定的最大度$Δ$，图的最大可能无冲突色数是多少？简单地说，是$χ_{CF}(G)\leq χ(G)\leq Δ+1$，但它远不是最优的-由于Glebov，Szabó和Tardos的结果，以及Bhyravarapu，Kalyanasundaram和Mathew的结果，答案已知是$Θ\left(\ln^2Δ\right)$。我们证明了在线图类中同样问题的答案是$Θ\left(\lnΔ\right)$ --也就是说，具有最大度$Δ$的图的无冲突色指数的极值远小于无冲突色数的极值。对于$χ_{CF}(G)$，在近正则图类中也得到了同样的结果，即具有最小度$δ\geq αΔ$的图.
2020-09-04 math.CO
Chromatic number and mimimum degree of K_r-free graphs
关于无三角形图的一些著名结果确定了最小度大于n/3的n阶图的最大色数。本文将这些结果推广到无Kr-free图。
2010-01-13 math.CO
The fractional chromatic number of triangle-free subcubic graphs
Heckman和Thomas证明了任意无三角形的次立方图的分数色数至多为14/5。改进了Hatami和Zhu以及Lu和Peng的估计，证明了任意无三角形的次立方图的分数色数至多为32/11（约为2.909）.
2013-05-01 math.CO
Odd colourings, conflict-free colourings and strong colouring numbers
奇色数和无冲突色数分别是Petruševski和Škrekovski [2021]和Fabrici，Lužar，Rindošová和Soták [2022]引入的新的图参数。本文证明了具有有界$2$ -强染色数的图具有有界奇色数和有界无冲突色数.这意味着具有有界扩张的图类具有有界奇色数和有界无冲突色数。此外，由已知结果得到了$k$ -可平面图的奇色数和无冲突色数是$O(k)$，改进了Dujmović，Morin和Odak [2022]的一个结果.
2022-03-19 math.CO
Tight Chromatic Upper Bound for {3K1, C5}-free Graphs
寻找3 K1-free图的色数的最优上界的问题仍然是一个开放的、相当困难的问题。本文给出了无{3 K1，C5}图的紧色上界.证明了若G是{3 K1，C5}-free的，则G的色数<=（3ω-1）/2，其中ω是G中最大团的大小，并举例说明了其上界是紧的.
2013-10-01 math.CO
Tight Chromatic Upper Bound for {3K1, K1+C4}-free Graphs
寻找3 K1-free图的色数的最优上界问题仍然是一个开放的、相当困难的问题。Choudum等人证明了{3 K1，K1+C4}-free图的色数的一个上界是2ω。我们改进了这一点，证明了如果G是{3 K1，K1+C4}-free的，则它的色数小于或等于3ω除以2，其中ω是G中最大团的大小.并举例说明该界是紧的.
2015-05-15 math.CO
Chromatic symmetric functions and H-free graphs
色对称函数理论中的两个著名成果是关于无爪图的正性色对称函数的。本文将无爪图的概念推广到一般图，并考虑了无爪图的e-正性问题，其中H = {claw，F}和H={claw，F，co-F}，F是一个四顶点图.我们解决了除H={claw，co-diamond}以外的所有情形的问题，并给出了该情形的部分结果.
2017-09-11 math.CO
A modular relation for the chromatic symmetric functions of (3+1)-free posets
本文考虑一种线性关系，它用偏序集的色对称函数来表示偏序集的Stanley色对称函数，我们称之为模律.通过在（3+1）-free偏序集的上下文中应用这一点，我们能够将Stanley和Stembridge的猜想，即所有（3+1）-free偏序集的色对称函数都是e-正的，简化为（3+1）-和-（2+2）-free偏序集的情况，也称为单位区间序。事实上，我们的约简可以进一步推广到更小的偏序集类，对于这些偏序集我们没有令人满意的刻画。我们还得到了所有3-自由偏序集都有e-正色对称函数的新证明。
2013-06-11 math.CO
Packing colouring of some classes of cubic graphs
图G的填充色数$χ$ $ρ$（G）是使其顶点集V（G）可划分为k个不相交子集V1，. ..，V k，使得对于每个i，1 $\le$ i $\le$ k，V i中的每两个不同顶点在G中的距离大于i。最近，Balogh，Kostochka和Liu证明了$χ$ $ρ$在次三次图类中没有界[Packing chromatic number of subcubic graphs，Discrete Math.341（2018），474483]，从而回答了以前在几篇论文中提出的问题。然而，三次图或次三次图的几个子类具有有界填充色数。在本文中，我们确定的确切值，或上，下界，包装色数的某些类别的三次图，即圆梯，所谓的H-图和广义H-图。
2018-08-14 cs.DM math.CO
Triangle-free graphs with large chromatic number and no induced wheel
轮是一个图，它由一个长度至少为4的诱导圈和一个在圈上至少有三个相邻顶点的附加顶点组成。我们证明了没有Burling图包含诱导轮。Burling图是无三角形的，并且具有任意大的色数，因此这回答了Trotignon的一个问题，并反驳了Scott和Seymour的一个猜想.
2022-02-17 math.CO
Cycles in triangle-free graphs of large chromatic number
二十多年前，Erdegans提出了~ \cite{E1}，证明了一个色数为$k \geq k_0(\varepsilon)$的无三角形图$G$包含至少$k^{2 - \varepsilon}$不同长度的圈，如$k \rightarrow \infty$ .本文证明了一个更强的事实：每一个具有色数$k \geq k_0(\varepsilon)$的无三角形图$G$都含有$(\frac{1}{64} - \varepsilon)k^2 \log k$连续长度的圈，并且有一个长度至少为$(\tfrac{1}{4} - \varepsilon)k^2 \log k$的圈.由于对于大的$k$，存在最多具有大致$4k^2 \log k$顶点的色数$k$的无三角形图，所以这些结果是紧到常数因子的.我们也给出了其他单调类中$k$ -色图的周长和不同圈长个数的新下界，特别是对于$K_r$ -free图和没有奇圈的图$C_{2s+1}$ .
2014-04-17 math.CO
On triangle-free graphs of order 10 with prescribed 1-defective chromatic number
一个图是（m，k）-色图，如果它的顶点可以用m种颜色着色，使得在接受相同颜色的顶点上导出的任何子图的最大度至多为k。图的k-亏色数是使图是（m，k）-亏色的最小正整数m。所有顶点数不超过8的无三角形图都是（2，1）-列图。恰好有四个9阶无三角形图的1-亏损色数为3。我们发现，这四个图出现在几乎所有的10阶无三角形图的1-亏损色数等于3的子图。实际上存在唯一的10个顶点上的无三角形的（3，1）-临界图，并给出了这个图.
2015-01-19 math.CO
Conflict-free chromatic index of bipartite graphs
School of Mathematics and Statistics, Lanzhou University（兰州大学数学与统计学院）
本文证明了双色图无冲突色数不超过3，验证了Kamyczura等人关于无孤立顶点双色图的猜想。
2026-04-27 math.CO
A zero-free interval for chromatic polynomials of graphs with 3-leaf spanning trees
证明了如果$G$是一个包含至多3个叶子的生成树的图，则$G$的色多项式在区间$(1,t_1]$中没有根，其中$t_1 \approx 1.2904$是多项式$(t-2)^6 +4(t-1)^2(t-2)^3 -(t-1)^4$的最小实根.我们还构建了一个家庭的图包含这样的生成树的色根收敛到$t_1$从上面。我们采用惠特尼$2$开关操作管理的分析无限类的色多项式。
2015-10-01 math.CO
The Fractional Chromatic Number of Triangle-free Graphs with $Δ\leq 3$
设$G$是任意一个无三角形的最大度图$Δ\leq 3$。Staton证明了$G$的独立数至少为5/14 n。Heckman和Thomas证明了Staton的结果可以加强为$G$的分数色数的一个界，即$χ_f(G)\leq 14/5. Recently, Hatami and Zhu proved $ χ f（G）\leq 3 -{3/64} $. In this paper, we prove $ χ f（G）\leq 3- 3/43$.
2012-07-25 math.CO
A tamed family of triangle-free graphs with unbounded chromatic number
构造了一个具有无界色数的无三角形图遗传类，其中每个非平凡图含不相邻孪生顶点或大小至多2的无边顶点割集，反面回答了Chudnovsky等人的问题，并证明twincut图是边临界的。
2023-04-09 math.CO
The chromatic number of (P_5, HVN )-free graphs
设$G$是一个图。用$χ(G)$和$ω(G)$分别表示$G$的色数和团数. $P_5$是5个顶点上的路径，而$HVN$是$K_4$加上一个与$K_4$的正好两个顶点相邻的顶点。结合已有的结果，本文证明了若$G$是$(P_5, \textit{HVN})$自由的，则$χ(G)\leq \max\{\min\{16, ω(G)+3\}, ω(G)+1\}$ .这个上界几乎是尖锐的。
2022-08-26 math.CO
List Chromatic Number of Finitary Matroids: A Generalization of Seymour's Result
Eötvös University of Budapest（布达佩斯厄特沃什大学）
本文研究了无限无环有限 matroid 的列表着色数，证明其与常规着色数相同，扩展了塞缪尔的结果。
2026-01-16 math.CO
A generalization of Noel-Reed-Wu Theorem to signed graphs
设$Σ$是一个符号图，其中允许连接同一对顶点的两条边具有相反的符号。$Σ$的无零色数$χ^*(Σ)$是使$G$允许正常染色$f\colon\,V(Σ)\mapsto \{\pm 1,\pm 2,\ldots,\pm k\}$的最小偶数$2k$。无零列表色数$χ^*_l(Σ)$是无零列表色数的列表形式。如果是$χ^*_l(Σ)=χ^*(Σ)$，则$Σ$称为零自由色选。我们证明了如果$Σ$最多有$χ^*(Σ)+1$顶点，那么$Σ$是零自由色选的。这一结果加强了Noel-Reed-Wu定理，该定理指出每个顶点数不超过$2χ(G)+1$的图$G$是色可选的，其中$χ(G)$是$G$的色数.
2018-10-23 math.CO
Colouring of (P3UP2)-free graphs
2K 2-free图类及其各种子类已经在各种背景下进行了研究。本文研究了2K_2-free图的一个超类（P_3UP_2）-free图的着色问题。我们得到了（P3 UP 2）-free图的色数的一个O（w^3）的上界，以及（P3 UP 2），diamond）-free图的一个更精确的上界，其中w表示团数.通过应用类似的证明技术，我们得到了（2K 2，钻石）-免费图的色界。最后两个类是完美的，如果w分别>=5和>= 4。
2016-10-23 cs.DM math.CO
A note on the conflict-free chromatic index
设$G$是具有最大度$Δ$且没有孤立点的图. $G$的边着色$c$是无冲突的，如果每个边的闭邻域包括唯一着色元素。允许这样的$c$的颜色的最少数目是$G$的无冲突色指数，由$χ'_{CF}(G)$表示。在“无冲突色数与无冲突色指数”[J. Graph Theory，2022; 99：349- 358]中，最近用概率方法证明了$χ'_{CF}(G)\leq C_1\log_2Δ+C_2$，其中$C_1>337$和$C_2$是常数，而存在具有$χ'_{CF}(G)\geq (1-o(1))\log_2Δ$的图族.在本说明中，我们提供了一个明确的简单证明的事实，$χ'_{CF}(G)\leq 3\log_2Δ+1$，这是一个推论的一个更强的结果：$χ'_{CF}(G)\leq 3\log_2χ(G)+1$。为了这个目的，我们证明了一些辅助意见，特别是意味着$χ'_{CF}(G)\leq 4$的二分图。
2022-03-03 math.CO
Chromatic symmetric functions of claw-free graphs are not Schur positive
North Carolina State University（北卡罗来纳州立大学）；Université du Québec à Montréal（蒙特利尔大学）
研究无爪图的色对称函数是否为舒尔正，通过给出线图例子表明其色对称函数在舒尔展开有负系数，还给出反例反驳相关猜想，借助ChatGPT-5.6 Sol Pro找到这些例子。
2026-08-03 math.CO
On minimal triangle-free planar graphs with prescribed 1-defective chromatic number
一个图是（m，k）-色图，如果它的顶点可以用m种颜色着色，使得在所有接受相同颜色的顶点的集合上导出的子图的最大度至多为k。k-亏色数$χ_k(G)$是使图G是（m，k）-列的最小正整数$m$.设f（m，k;tfp）是满足$χ_k(G)$ =m的无三角形可平面图的最小阶.本文证明了f（3，1;tfp）=11。
2015-01-19 math.CO
On the largest chromatic number of $F$-free hypergraphs
Tsinghua University（清华大学）；Northwestern Polytechnical University（西北工业大学）；Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；Budapest University of Technology and Economics（布达佩斯技术与经济大学）
研究了不含超图F的超图的最大色数问题，针对强色数和弱色数分别给出了特征和界，特别讨论了3-均匀扩张超图的情况。
2026-04-23 math.CO
The Chromatic Symmetric Functions of Trivially Perfect Graphs and Cographs
RichardP. Stanley定义了单图的色对称函数，并证明了每棵树都是由它的色对称函数决定的.最近，Takahiro Hasebe和作者证明了阶拟对称函数，它是色对称函数的类似物，可以区分有根树。本文用类似的方法证明了色对称函数可区分平凡完美图。此外，我们还证明了无爪余图，即无$ \{K_{1,3},P_{4}\} $图属于一类已知的$ e $ -正图.
2017-07-13 math.CO
The list chromatic number of graphs with small clique number
证明了每一个最大度$Δ$的无三角形图的列表色数至多为$(1+o(1))\fracΔ{\ln Δ}$。这与围长至少为5的图的最著名的界相匹配。我们还证明了对任何$r\geq 4$，每个$K_r$ -free图的列表色数至多为$200r\frac{Δ\ln\lnΔ}{\lnΔ}$ .
2018-06-29 math.CO
Conflict-free coloring of graphs
从极值和概率的角度研究了图的无冲突色数chi_{CF}。本文解决了Pach和Tardos关于n-顶点图的最大无冲突色数的问题。我们的构造是随机的。在此基础上，我们研究了Erdens-Rényi随机图G（n，p）的无冲突色数的演化，并给出了p=omega（1/n）的渐近性.我们还表明，对于p \geq 1/2的无冲突的色数不同于控制数最多3。
2013-09-19 math.CO
Triangle-free subgraphs with large fractional chromatic number
本文证明了 Erdős-Hajnal 猜想中围长为4情形的分数色数版本，即存在函数 h(k,4)，使色数足够大的图必含分数色数至少为 k 的无三角形子图。
2018-08-05 math.CO
Suns in triangle-free graphs of large chromatic number
University of Waterloo（滑铁卢大学）
研究三角自由图中色数较大时是否存在诱导子图为特定太阳结构，证明色数至少为48的图存在特定太阳结构或近似结构。
2026-03-08 math.CO
A Moser-spindle-free 5-chromatic unit distance graph on 2131 vertices in the plane
针对Hadwiger-Nelson问题，本研究构造出不含Moser纺锤体的2131顶点5色单位距离图，改进了此前64513顶点的同类结果，利用21顶点7对称单位距离图的弧完成构造。
2026-10-07 math.CO
The chromatic profile of locally bipartite graphs
本文研究局部二部图的色轮廓，证明最小度超过4/7·n时必为3可着色且该界紧，超过6/11·n时必为4可着色。
2023-08-21 math.CO
The fractional chromatic number of $K_Δ$-free graphs
对于一个简单图$G$，设$χ_f(G)$是$G$的分数色数.在本文中，我们的目标是建立上界的$χ_f(G)$的图$G$的团数的限制。也就是说，我们证明了对于$Δ\geq 4$，如果$G$的最大度至多为$Δ$，并且是$K_Δ$ -free的，则除非$G= C^2_8$或$G = C_5\boxtimes K_2$，否则$χ_f(G) \leq Δ-\tfrac{1}{8}$.这证明了[King，Lu，and Peng，SIAM J. Discrete Math.，26（2）（2012），pp. 452-471]，结果参见[Katherine和King，SIAM J.Discrete Math.，27（2）（2013），pp. 1184-1208]用于$Δ\in \{6,7,8\}$。
2021-08-03 math.CO
On the zero-free region for the chromatic polynomial of claw-free graphs with and without induced square and induced diamond
Departamento de Ciência da Computação UFMG（计算机科学学院 米纳斯吉拉斯联邦大学）；Departamento de Matemática UFMG（数学学院 米纳斯吉拉斯联邦大学）
本文研究了无爪图色多项式零点的自由区域，证明了在特定独立对比例下，零点位于特定盘内，并对四边和菱形自由图给出了更紧的界值。
2026-01-11 math.CO
The tight bound for the strong chromatic indices of claw-free subcubic graphs
设$G$是一个图，$k$是一个正整数. $G$的强$k$ -边着色是映射$ϕ: E(G)\to \{1,2,\dots,k\}$，使得对于彼此相邻或与公共边相邻的任何两个边$e$和$e'$，$ϕ(e)\neq ϕ(e')$。$G$的强色指数，记作$χ'_{s}(G)$，是使$G$具有强$k$ -边染色的最小整数$k$。Lv，Li和Zhang [Graphs and Combinatorics 38（3）（2022）63]证明了如果$G$是除三棱柱之外的无爪次三次图，则$χ_s'(G)\le 8$ .此外，他们询问上限$8$是否可以改进为$7$。在本文中，我们肯定地回答了这个问题。我们的证明意味着一个线性时间算法找到强$7$ -边染色的图。我们还构造了无穷多个强色指数达到界$7$的无爪次立方图。
2022-07-21 math.CO
Tight Chromatic Upper Bound for {3 Times K1, {2 Times K1 + (K2 UNION K1)}-free Graphs
寻找（3倍K1）-free图的χ的最优上界问题仍然是一个开放的、相当困难的问题。Choudum等人证明了{3 Times K1，{2 Times K1 +（K2 UNION K1）}-free图的χ的上界为2ω.我们通过证明如果G是{3 Times K1，{2 Times K1 +（K2 UNION K1）}-free的，则当ω不等于5时，χ小于或等于3ω除以2，当ω = 5时，χ小于或等于8，其中ω是G中最大团的大小.我们也给出了极值图的例子。
2015-04-26 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. II. Three steps towards Gyarfas' conjectures
Gyarfas在1985年证明了：对所有的$k$，$l$，任何没有团的大小大于$k$，也没有奇洞的长度大于$l$的图，其色数都是以$k$和$l$为界的.我们证明了三个较弱的命题：（1）每一个色数足够大的无三角形图都有一个长度不等于5的奇洞：（2）对所有的$l$，每一个色数足够大的无三角形图都有一个长度大于$l$的奇洞或一个长度大于5的奇洞;（3）对所有的$k$，$l$，每个不存在团大小大于$k$且色数足够大的图都含有5-洞或长度大于$l$的洞.
2015-08-28 math.CO
On Chromatic no. of 3K1-free graphs and R(3, k)
本文证明了：若G具有2号独立性，且团长Ω小于或等于11，则（1）若Ω为奇数，则色数小于或等于（Ω 2 + 12 Ω-13）/8;（2）若Ω为偶数，则色数小于或等于（Ω 2 + 10 Ω）/8.我们进一步推测，结果是真实的，一般为所有欧米茄。我们还猜想，（A）如果Ω是奇数，R（3，Ω）是偶数，则R（3，Ω）=（ω 2 + 8 ω-9）/4，（B）如果ω和R（3，Ω）都是奇数，则（ω 2 + 8 ω-13）/4，（C）如果ω和R（3，Ω）都是偶数，则R（3，Ω）=（Ω 2 + 6 Ω）/4，（D）如果Ω是偶数而R（3，Ω）是奇数，则（Ω 2 + 6 Ω-4）/4。我们再次验证ω小于或等于9的结果。
2013-03-04 math.CO
A counterexample to a conjecture about triangle-free induced subgraphs of graphs with large chromatic number
证明了对每个$n$，存在一个具有$χ(G) \geq n$和$ω(G) \leq 3$的图$G$，使得具有$ω(H) \leq 2$的$G$的每个诱导子图$H$满足$χ(H) \leq 4$ .这就否定了一个众所周知的猜想。我们的构造是一个团数有界，二色数大，且不存在长度至少为5的诱导有向圈的有向图。
2022-09-15 math.CO
Anagram-free Graph Colouring
变位词是一个形式为$WP$的词，其中$W$是一个非空词，$P$是$W$的置换。研究了无变位图的着色问题，给出了无变位图的色数的界。Alon et al.（2002）提出了一个问题，即无变位图的色数是否被一个最大次数的函数所限制。我们通过构造最大度为3且无无界字谜色数的图来否定地回答这个问题。我们还证明了树的无变位图色数的上、下界。最后，我们探讨扩展到边缘着色和$k$ -anagram自由着色。
2017-06-27 math.CO
An upper bound on the fractional chromatic number of triangle-free subcubic graphs
图$G$的$(a:b)$ -染色是一个函数$f$，它将$G$的顶点映射到某个大小为$a$的集合的$b$ -元素子集中，使得对于$G$中的每两个相邻顶点$u$和$v$，$f(u)$与$f(v)$不相交。分数色数$χ_f(G)$是$a/b$在所有正整数对$a,b$上的下确界，使得$G$具有$(a:b)$ -着色。Heckman和Thomas证明了最大度不超过3的无三角形图$G$的分数色数不超过2.8。Hatami和Zhu证明了$χ_f(G) \leq 3-3/64 \approx 2.953$ . Lu和Peng改进了与$χ_f(G) \leq 3-3/43 \approx 2.930$的结合。最近，弗格森，凯泽和克拉尔证明了$χ_f(G) \leq 32/11 \approx 2.909$。本文证明了$χ_f(G) \leq 43/15 \approx 2.867$ .
2014-05-16 math.CO
Polynomial bounds for chromatic number. IV. A near-polynomial bound for excluding the five-vertex path
一个图G是H-自由的，如果它没有与H同构的诱导子图.证明了团数为$ω\ge 3$的无$P_5$图的色数至多为$ω^{\log_2(ω)}$ .由于Esperet、Lemoine、Maffray和Morel的研究，以前最好的结果是指数上界$(5/27)3^ω$。多项式界意味着著名的Erdos-Hajnal猜想对$P_5$成立，这是最小的开放情况。因此，有很大的兴趣，是否有一个多项式界的$P_5$ -自由图，我们的结果是一个尝试，以接近。
2022-10-02 math.CO
On minimal triangle-free 6-chromatic graphs
色数为$k$的图称为$k$ -色图.利用计算方法，我们证明了最小的无三角形6色图至少有32个顶点，最多有40个顶点。我们还确定了所有不超过24个顶点的无三角形的5-色图的完备集。这意味着里德猜想至少对这个阶的无三角形图成立。我们还建立了最小的正则无三角形5-色图有24个顶点。最后，我们证明了围长至少为5的最小5-色图至少有29个顶点，围长至少为6的最小4-色图至少有25个顶点。
2018-08-01 cs.DM math.CO
Hypergraphs with Zero Chromatic Threshold
设F是r-一致超图。F-自由r-一致超图族的色阈值是所有非负实数c的下确界，使得最小度至少为$c \binom{|V(H)|}{r-1}$的F-自由r-一致超图H的子族具有有界色数.对各种图的色阈值的研究有着悠久的历史，始于Erdens-Simonovits的早期工作。一个有趣的问题，首先提出了由Aluczak-Gracassé，然后解决了艾伦-Böttcher-格里菲斯-Kohayakawa-Morris，是图的特征具有零色阈值，特别是事实上，有图的非零图兰密度有零色阈值。在本文中，我们在这个问题上的r-一致超图的进展，显示一个大类的超图有零色阈值除了展示一个家庭的建设显示另一个大类的超图有非零色阈值。我们的构造是基于作者早先定义的Bollobás-Erdés图的特殊乘积。
2013-07-28 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. IV. Consecutive holes
图中的洞是一个长度至少为4的圈的诱导子图。证明了对任意正整数k，任意色数足够大的无三角形图都含有k个连续长度的洞。
2018-02-12 math.CO
Polynomial bounds for chromatic number. V. Excluding a tree of radius two and a complete multipartite graph
Gyárfás-Sumner猜想说，对于每一个森林$H$和每一个整数$k$，如果$G$是$H$ -free的，并且在$k$顶点上不包含团，那么它有界色数。（如果图不包含$H$的诱导拷贝，则该图不含$H$。）Kierstead和Penrice证明了半径最多为2的树的猜想，但除此之外，这个猜想只适用于少数简单类型的森林。如果我们排除一个完全的二部子图而不是一个团，我们知道的更多：Rödl证明，对于每一个森林$H$，如果$G$是$H$ -free的，并且不包含$K_{t,t}$作为子图，那么它有界色数。在与Sophie Spirkl的早期论文中，我们加强了Rödl的结果，表明对于每个森林$H$，色数的界可以在$t$中取为多项式。本文证明了Kierstead-Penrice定理的一个相关的加强，证明了对于半径为2的树$H$和整数$d\ge 2$，如果$G$是$H$ -free的，且不包含部分基数为$t$的完全$d$ -部图作为子图，则它的色数至多是$t$中的多项式.
2023-01-10 math.CO
Nordhaus-Gaddum problem in term of $G$-free coloring
设$H=(V(H),E(H))$是一个图。$H$的$k$ -染色是一个映射$π: V(H) \longrightarrow \{1,2,\ldots, k\}$，如果每个色类都导出一个无$K_2$的子图.对于阶至少为$2$的图$G$，$H$的一个无$G$的$k$ -着色是一个映射$π: V(H) \longrightarrow \{1,2,\ldots,k\}$，使得由$π$的每个色类导出的子图不包含$G$的拷贝. $H$的$G$ -free色数是使其具有$G$ -free $k$ -染色的最小数，记为$χ_G(H)$ .本文利用图的顶点数、最大度、最小度和色数给出了图的$G$ -free色数的一些界和性质。我们的主要结果是图的无$\G$色数的Nordhaus-Gaddum型定理。
2022-01-12 math.CO
Bounds for the $b$-chromatic number of some families of graphs
本文给出了无$K_{1,t}$图、具有给定最小团划分的图和二部图的$b$-色数的上界.这些界是根据图的团数或色数或二部图的偶团数得到的。我们证明了所有的边界都是紧的。
2005-06-09 math.CO
A Triangle-free, 4-chromatic $\mathbb{Q}^3$ Euclidean Distance Graph Scavenger Hunt!
对于$d > 0$，定义$G(\mathbb{Q}^3, d)$为顶点集是有理空间$\mathbb{Q}^3$的图，其中两个顶点相邻当且仅当它们相距欧几里得距离$d$。设$χ(\mathbb{Q}^3, d)$是这样一个图的色数，或者换句话说，是给$\mathbb{Q}^3$上的点着色所需的最小颜色数，使得相隔$d$的两个点不会得到相同的颜色。Benda和Perles在20世纪70年代提出了一个开放性问题，即是否存在$d$使得$χ(\mathbb{Q}^3, d) = 3$。通过多年来的大量努力，已经针对$d$的许多值确定了$χ(\mathbb{Q}^3, d)$，并且对于$χ(\mathbb{Q}^3, d)$尚未被精确地固定的所有那些距离$d$，已知$χ(\mathbb{Q}^3, d) \in \{3,4\}$。在我们的工作中，我们详细介绍了几个搜索算法，我们已经找到$4$ -色的各种图$G(\mathbb{Q}^3, d)$的色数是以前未知的子图。最后，我们推测不存在$3$ -半色$G(\mathbb{Q}^3, d)$.在此过程中，我们提出了几个相关的问题，我们认为这些问题本身就很有趣。
2023-03-16 math.CO
On $e$-positivity and $e$-unimodality of chromatic quasisymmetric functions
对几类自然单位区间阶证明了色拟对称函数的$e$ -正猜想和$e$ -单峰猜想.最近，J. Shareshian和M. Wachs引入了色拟对称函数作为Stanley色对称函数的一种改进，并证明了这些函数的$e$ -正性和$e$ -单峰性.色拟对称函数的$e$ -正性蕴涵了相应的色对称函数的$e$ -正性，解决了Stanley关于两类自然单位区间序的$(3+1)$ -free偏序集的色对称函数的猜想.
2017-11-26 math.CO
Explicit formulas for e-positivity of chromatic quasisymmetric functions
1993年，Stanley和Stembridge证明了任何$(3+1)$ -free偏序集的色对称函数是$e$ -正的. Guay-Paquet把这个猜想归结为$(3+1)$ -和$(2+2)$ -free偏序集，它们也被称为自然单位区间序。Shareshian和Wachs定义了色拟对称函数，推广了色对称函数，并证明了任何自然单位区间阶的色拟对称函数是$e$ -正的和$e$ -单峰的.对于给定的自然区间序，存在一个相应的分块$λ$，我们用$X_λ$表示色拟对称函数.第一作者引入了色拟对称函数的局部线性关系。本文证明了上述局部线性关系的一个强有力的推广，称为矩形引理，它也推广了Huh，Nam和Yoo的结果。这样的引理可以应用于描述色对称函数$X_λ$的$e$ -正性的显式公式，其中$λ$包含在矩形中。利用矩形引理，我们还给出了当$λ$不包含在矩形中时，$e$ -正性的一些结构公式.
2022-02-13 math.CO
Resolving Stanley's $e$-positivity of claw-contractible-free graphs
在斯坦利1995年关于色对称函数的开创性论文中，他指出没有已知的图是不可收缩的，并且其色对称函数不是$e$ -正的，即不是初等对称函数的正线性组合。我们解决这个问题，给出无限家庭的图是不收缩的爪，其色对称函数不是$e$ -积极的。此外，一个这样的家庭是额外的无爪，从而建立的$e$ -阳性的色对称函数一般不依赖于存在的诱导爪或收缩的爪。
2020-05-20 math.CO
