Lattice Green's Functions for High Order Finite Difference Stencils
本文提出高阶有限差分格点格林函数的快速精确评估算法及闭式表达式，支持更一般边界条件，数值实验显示近机器精度，并实现3D无界域泊松方程高阶离散化的一致解。
2023-09-23 cs.NA math.NA
Non-stiff narrow-stencil finite difference approximations of the Laplacian on curvilinear multiblock grids
拉普拉斯算子出现在几个用于模拟波传播的偏微分方程中。分部求和-同时逼近项（SBP-SAT）有限差分法常用于此类方程，因为它们结合了曲线多块网格上的计算效率和可证明的稳定性。然而，现有的SBP-SAT离散的拉普拉斯算子迅速变得僵硬的网格偏斜度增加。刚度源于施加块间耦合和Dirichlet边界条件的SAT。我们解决这个问题，推导稳定的SAT的刚度几乎是不敏感的网格偏斜。因此，新的离散化允许显式时间积分器的大的时间步长，即使在非常倾斜的网格。它也适用于拉普拉斯算子的变系数推广。我们证明了新方法的有效性和多功能性，将其应用到声波传播问题的启发，海洋地震勘探和次声监测火山。
2019-07-20 cs.NA math.NA
LFA-tuned matrix-free multigrid method for the elastic Helmholtz equation
本文针对弹性亥姆霍兹方程，提出一种基于粗网格重离散化模板的无矩阵几何多重网格方法，并通过双网格局部傅里叶分析调优模板权重，获得可扩展且适用于大规模三维场景的最优收敛预条件器。
2023-12-03 cs.NA math.NA
A Sparse Grid Discretization with Variable Coefficient in High Dimensions
本文提出了一种基于预小波的稀疏网格Ritz-Galerkin离散化方法，用于求解高维变系数椭圆偏微分方程，通过多线性有限元实现，并展示了数值模拟结果及收敛性分析。
2016-03-09 cs.NA math.NA
A dual consistent finite difference method with narrow stencil second derivative operators
TU Darmstadt（达姆施塔特工业大学）
本文提出一种高阶有限差分方法，结合边界处理惩罚项，实现双一致条件下的超收敛功能输出，扩展了边界条件和惩罚参数的应用范围。
2016-11-18 cs.NA math.NA
On the Stability Barrier of Hermite Type Discretizations of Advection Equations
本文研究一维对流方程 Hermite 型离散的稳定性壁垒，通过数值证据和理论证明揭示了 HV 方法中模板偏向上风方向会导致不稳定，并利用组合工具给出更紧的界，同时将分析推广到 Hermite WENO 等方法。
2025-05-09 cs.NA math.NA
Improved Stencil Selection for Meshless Finite Difference Methods in 3D
本文提出一种三维拉普拉斯算子的几何模板选择算法，改进八分圆选择策略，从不规则点集中选出高精度影响子集，并在多个STL模型的泊松方程求解中验证其性能优于有限元方法及其他选择方法。
2022-12-22 cs.NA math.NA
Going Deeper with Five-point Stencil Convolutions for Reaction-Diffusion Equations
Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg（马格德堡奥托·冯·格里克大学）；Daegu University（大邱大学）
本文提出具有大感受野的深层五点模板卷积神经网络，用于在超过 CFL 条件阈值的时间步长下稳定预测反应扩散方程的时间演化，并在热方程、Fisher 方程和 Allen-Cahn 方程上验证其精度优于会爆炸的有限差分法。
2023-08-09 cs.LG cs.NA math.NA
Monotone meshfree methods for linear elliptic equations in non-divergence form via nonlocal relaxation
本文通过非局部松弛与点云无网格离散化相结合，构造了非散度型线性椭圆方程的单调有限差分法，证明了正模板存在性并显著改进了近退化情形下的模板宽度估计。
2023-08-05 cs.NA math.NA
Meshless method stencil evaluation with machine learning
Jozef Stefan International Postgraduate School（约热夫· Stefan 国际研究生院）
针对局部无网格法中模板选择难题，本文构建带标注模板数据集，并利用 PointNet 变体实现可兼容不同尺寸模板的质量分类器，AUC约达0.90。
2022-04-25 cs.LG cs.NA math.NA
A higher-order finite-volume discretization method for Poisson's equation in cut cell geometries
Lawrence Berkeley National Laboratory（劳伦斯伯克利国家实验室）
本文提出一种在二维和三维笛卡尔切割单元网格上实现高阶有限体积离散化的方法，通过求解小的加权最小二乘线性系统生成通量 stencil，证明该方法在截断误差和解误差上可达到二阶和四阶精度，并展示拉普拉斯算子具有稳定的特征值。
2014-11-16 cs.NA math.NA
A Convergent Quadrature Based Method For The Monge-Ampère Equation
我们引入了一个整表示的蒙日-安培方程，这导致了一个新的有限差分法基于数值积分。由此产生的计划是单调的，并立即适合到现有的收敛性证明的蒙日-安培方程的Dirichlet或最优输运边界条件。高阶正交方案的使用允许在取决于有限差分模板的角分辨率的误差的分量中的实质性减少。这又允许在模板宽度和形式截断误差两者上的显著改进。所得到的方案可以达到形式上的精度，是任意接近$\mathcal{O}(h^2)$，这是最佳的一致性秩序的单调近似的二阶算子。我们提出了三种不同的实现这种方法。前两个利用光谱的准确性的梯形规则均匀角离散，允许计算的最近邻有限差分模板在一个大范围的网格细化。第三种方法使用高阶求积来产生超线性收敛，同时利用比其他单调方法更窄的扩展。计算结果在两个维度的各种规律性的问题。
2022-11-30 cs.NA math.NA
Decomposition of stencil update formula into atomic stages
本文提出将 stencil 更新公式分解为原子阶段以提高并行求解偏微分方程的效率，通过优化问题约束等价于最小成本网络流问题的对偶问题来实现。
2017-03-21 cs.NA math.NA
Two-point stress approximation: A simple and robust finite volume method for linearized (poro-)mechanics and Stokes flow
本文提出一种适用于线性化弹性、Stokes流动及孔隙弹性力学的两点有限体积离散格式，基于单元中心变量与最小模板，证明了适定性、稳定性与收敛性，三维实验验证了理论结果。
2025-01-20 cs.NA math.NA
A Fast Fourth-Order Cut Cell Method for Solving Elliptic Equations in Two-Dimensional Irregular Domains
本文提出一种快速四阶切割单元方法，通过PLG算法生成插值模板并结合最小二乘拟合与几何多重网格方案，高效求解二维不规则区域中的常系数椭圆型方程。
2025-04-01 cs.NA math.NA
Efficient Fast Marching with Finsler metrics
CNRS, University Paris Dauphine（法国国家科学研究中心，巴黎第九大学）
提出FM-ASR算法，通过算术平均构造局部模板，解决二维笛卡尔网格上Finsler度量下的逃逸时间问题，在精度与复杂度权衡上提升一个数量级以上。
2013-05-22 cs.NA math.NA
The stability barrier of a class of Hermite-type discretizations of advection equations
Lehigh University（利哈伊大学）
本文对线性平流方程的混合变量离散化方法进行了完整分类，证明了其稳定性壁垒与经典有限差分格式相似，并验证了中心格式的中性稳定性。
2026-09-29 cs.NA math.NA
Discrete Aleksandrov solutions of the Monge-Ampere equation
证明了当右端为Dirac质量和时，宽模板差分格式收敛于椭圆型Monge-Ampere方程的Aleksandrov解。我们分析的狄利克雷问题的离散格式，当与第二边界条件的离散化相结合时，可以用来得到一个很好的初始猜测几何方法解决两个措施之间的最优输运。
2019-10-31 cs.NA math.NA
Spatially-optimized finite-difference schemes for numerical dispersion suppression in seismic applications
波的传播特性由色散关系定义，从色散关系可以恢复控制偏微分方程（PDE）。偏微分方程通常使用有限差分（FD）方法进行数值求解，其中模板由截断的泰勒级数展开构造，虽然通常在时域中提供偏微分方程的良好近似，但通常与波数中的原始偏微分有很大不同-定义色散关系的频域。因此，稳定的高阶FD格式可能不一定会导致真实的波浪行为，通常表现出数值色散：作为离散化产物的滞后高频分量。提出了一种通过约束最小化来优化FD模板权重以更好地近似波数域中的偏导数的方法，从而允许使用比否则可能的更粗糙的网格进行精确传播。这适用于标准网格上的二阶导数和交错网格上的一阶导数。为了评估该方法的有效性，设计了一对数值模拟来比较空间优化的支架与等效程度的常规制剂。提出了具有狄利克雷边界条件的一维声波方程的空间优化公式，评估了一定范围内网格间距的性能，并更详细地检查了传统和优化方案的理论最大网格间距之间的间隔。优化方案被发现提供了优越的性能欠采样波场和严重过采样波场。交错网格的一阶导数stenetrics，然后应用到P-SV弹性波公式，模拟地震波传播的两层，水在岩石模型。
2021-07-13 cs.NA math.NA
Subcell flux limiting for high-order Bernstein finite element discretizations of scalar hyperbolic conservation laws
本文将代数通量修正和凸极限的概念推广到标量双曲问题的连续高阶Bernstein有限元离散。使用一系列可调的扩散通量，标准的Galerkin近似转化为一个非线性的高分辨率的计划，它具有紧凑的稀疏模式的分段线性或多线性子细胞离散。该方案的不变域保持状态的表示，使它有可能证明在CFL类条件下的局部离散最大值原理的有效性。与基于通量校正传输方法的预测-校正方法相比，所提出的通量极限策略是整体的;即，有限的反扩散项被合并到非线性（半）离散问题的明确定义的残差中。一个稳定的高阶Galerkin离散恢复，如果没有限制。在有限版本中，紧凑型模具属性防止不是最近邻居的节点之间的直接质量交换。一个正式的稀疏性证明提供了单纯和盒元素。利用无矩阵算法和预先计算的参考单元的单元矩阵，可以有效地计算所涉及的单元贡献。对线性和非线性二维试验问题的$\mathbb{Q}_2$离散化的数值研究表明了基于子胞流分解的整体凸极限的优点。
2020-03-19 cs.NA math.NA
Finite difference methods for the Infinity Laplace and p-Laplace equations
Simon Fraser University（西蒙菲莎大学）
针对无穷拉普拉斯和博弈论p-拉普拉斯方程，构建了收敛的离散格式和半隐式求解器，简化并推广了早期方法，证明了宽模板有限差分格式的解收敛到唯一粘性解，且半隐式求解器迭代次数与问题规模无关。
2012-12-05 cs.NA math.NA
The numerical solution of semidiscrete linear evolution problems on the finite interval using the Unified Transform Method
本文研究了A. S. Fokas等人在有限区间$x \in (0,L)$上求解了常系数线性发展偏微分方程的初边值问题。半离散法适用于几个一阶和二阶线性方程的各种空间离散，产生的半离散问题的精确解，给出适当的初始和边界数据。从这些解决方案，我们得到替代系列表示，更适合于数值计算。此外，我们展示了统一变换方法如何处理衍生边界条件和鬼点引入的离散化模板的选择，我们提出了“自然”离散化的概念。我们考虑了半离散解的连续极限，并与标准的有限差分格式进行了比较。
2021-12-02 cs.NA math.NA
The numerical solutions of linear semi-discrete evolution problems on the half-line using the Unified Transform Method
本文讨论了A. S. Fokas等，求解常系数线性发展型偏微分方程的初边值问题。将半离散方法应用于射线$x \geq 0$上的几个一阶和二阶线性方程组的各种空间离散，给出了半离散问题的精确解，给出了适当的初始和边界值。我们还展示了统一变换方法如何处理衍生边界条件和鬼点引入的离散化模板的选择。我们考虑了半离散解的连续极限，并给出了几个数值例子。
2021-03-22 cs.NA math.NA
Robust discretization in quantized tensor train format for elliptic problems in two dimensions
Skolkovo Institute of Science and Technology（斯科尔科沃科学技术研究所）；Institute of Numerical Mathematics, Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院数值数学研究所）
本文提出了一种高效的黑盒求解器，用于求解二维稳态扩散方程，采用新的稳健离散化方案，通过非局部 stencil 形式构建线性方程组，并利用量化张量列车格式高效求解，实现高精度解。
2016-12-21 cs.NA math.NA
Accurate Stabilization Techniques for RBF-FD Meshless Discretizations with Neumann Boundary Conditions
标准径向基函数有限差分（RBF-FD）无网格法应用的一个主要障碍是它不能准确和一致地求解涉及Neumann边界条件（BC）的边值问题。这也是由于当边界导数以强形式施加时影响插值矩阵的病态问题。在本文中，这些病态的问题和随后的不稳定性影响的应用RBF-FD方法存在的诺依曼BC的理论和数值分析。这些问题的发病的理论动机是通过突出的依赖性的局部插值矩阵的行列式上的边界法线。定性调查也进行了数值研究的参考模板，并寻找其几何形状和相关的插值矩阵的属性之间的相关性。基于前面的分析，两种方法来克服初始问题。最后通过将这些方法成功地应用于亥姆霍兹-霍奇分解的稳定化来评估相应的稳定化性质。
2022-07-14 cs.NA math.NA
A two-scale approach for efficient on-the-fly operator assembly in massively parallel high performance multigrid codes
大规模并行几何多重网格的无矩阵有限元实现节省内存，并且通常比使用经典稀疏矩阵技术的实现快得多。它们特别适合于多面体域上的分层混合网格。在常系数的情况下，粗宏单元内部的所有细网格节点间距相等。然而，对于非多面体域，情况发生了变化。然后，即使对于拉普拉斯算子，非线性元映射也会导致精细网格扩展，其可以从网格点到网格点变化。这种观察激发了一种新的双尺度方法，该方法利用细网格算子相对于粗网格步长的分段多项式近似。这些替代多项式的低成本评估导致非多面体域的有效模板组装，其可以比基于逐元素组装的无矩阵技术显著更有效。性能分析和额外的硬件感知代码优化是基于执行-缓存-内存模型。提出了双尺度先验误差界和双离散化技术。弱和强缩放结果说明了新技术的好处，当用于大规模PDE求解器。
2016-08-23 cs.NA math.NA
Convergent approaches for the Dirichlet Monge ampère problem
本文介绍并研究了二维Dirichlet蒙日-安培方程的三种数值方法。这些方法包括考虑新的等价问题。后者离散的宽模板有限差分离散和单调格式。因此，我们应用Barles-Souganstrom理论证明了格式的收敛性，并使用阻尼牛顿法计算格式的解。最后给出了一些数值结果。
2023-01-20 cs.NA math.NA
Geometric multigrid method for solving Poisson's equation on octree grids with irregular boundaries
提出了一种在几何多重网格求解器中包含不规则区域边界的方法。Dirichlet边界条件可以施加在由水平集函数定义的不规则边界上。我们的实现采用四叉树/八叉树网格自适应细化，细胞为中心的离散化和逐点平滑。通过执行线搜索以亚网格分辨率确定边界位置。对于界面附近的网格块，将存储考虑界面的自定义操作符模板。对于远离边界的网格块，使用标准的二阶精度离散化。用几个算例说明了该方法的收敛性、鲁棒性和计算量。
2023-01-25 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Dispersion-corrected compact finite difference discretizations for the elastic Helmholtz equation in two and three dimensions
Ben-Gurion University of the Negev（内盖夫本-古里安大学）；Tel Aviv University（特拉维夫大学）
我们提出广义MAC紧致离散框架及弹性色散校正过程，用于求解弹性亥姆霍兹方程，实现二阶精度并显著降低色散误差，优于现有紧致格式。
2026-10-06 cs.NA math.NA
A high-order Newton multigrid method with a simplified Jacobian for steady-state shallow water equations
School of Mathematics, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics（南京航空航天大学数学学院）；Key Laboratory of Mathematical Modelling and High Performance Computing of Air Vehicles (NUAA), MIIT（航空飞行器数学建模与高性能计算重点实验室（工信部））
针对规则与不规则几何明渠中的稳态浅水流动，提出了一种结合三阶WENO重构和简化雅可比矩阵的高阶牛顿多重网格方法，显著降低计算成本并保持收敛性能。
2026-05-27 cs.NA math.NA
Computing stable numerical solutions for multidimensional American option pricing problems: a semi-discretization approach
Universitat Politécnica de València（巴伦西亚理工大学）
本文提出一种半离散化方法，通过变量变换消除交叉导数项，降低数值方案的 stencil 和计算成本，首次系统分析了美式期权定价问题的数值解稳定性，通过数值实验验证了稳定性条件的有效性。
2017-01-30 cs.NA math.AP math.NA
Stable difference methods for block-oriented adaptive grids
University of Bergen（卑尔根大学）；Technische Universität München（慕尼黑工业大学）；Uppsala University（乌普萨拉大学）
本文提出了一种基于求和-by-部分（SBP）有限差分方法和同时逼近项（SAT）界面处理的块导向自适应网格细化方案，通过在块边界处尽可能使用内部 stencil，提高了 SBP-SAT 框架下更灵活网格配置的稳定性，同时减少 SBP-SAT 接口数量。分析了一阶和二阶导数，并展示了在数值界面和角落点附近局部降低 stencil 精度不会显著影响时间推进的数值解精度。
2014-05-04 cs.NA math.NA
Boundary Treatment and Multigrid Preconditioning for Semi-Lagrangian Schemes Applied to Hamilton-Jacobi-Bellman Equations
University of Oxford（牛津大学）
本文研究了半拉格朗日方案在求解HJB方程时的边界处理和多网格预处理方法，分析了 stencil 截断对CFL条件的影响，并探讨了几何、代数和聚合多网格预处理技术的效率。
2016-11-07 cs.NA math.NA
Design principles for stable and generalizable data-driven discretizations for solving linear hyperbolic conservation laws
Princeton University Atmospheric and Oceanic Sciences Program（普林斯顿大学大气与海洋科学计划）
研究一维线性对流方程的数据驱动有限体积离散化，通过遵循数值分析第一原理构建神经网络方案，探讨归一化、训练数据和架构选择对稳定性、精度和形状保持的影响，并提出新的数据驱动通量限制器。
2026-06-17 cs.NA math.NA
Adaptive, Anisotropic and Hierarchical cones of Discrete Convex functions
CNRS, University Paris Dauphine, UMR 7534, Laboratory CEREMADE（法国国家科学研究中心，巴黎第九大学，UMR 7534，CEREMADE实验室）
研究通过自适应、局部和各向异性细化 stencil 实现离散凸函数锥的离散化，优化精度与复杂度的平衡。
2014-09-23 cs.NA math.AP math.NA
Error Analysis of Nodal Meshless Methods
Univ. Göttingen（哥廷根大学）
本文研究了节点无网格方法在求解椭圆边界值问题中的误差界，通过数值方法明确计算误差系数ε，为不同离散化方法的误差比较提供理论支持。
2016-12-22 cs.NA math.NA
A time-domain preconditioner for the Helmholtz equation
波动方程的时间调和解可以在频域或时域中计算。在频域中，求解离散化的亥姆霍兹方程，而在时域中，例如通过用时间谐波强迫项长时间模拟来寻求离散化的波动方程的周期解。时域方法的缺点是解受时间离散化误差的影响，并且空间离散不能自由选择，因为它是从时域方案继承的。在这项工作中，我们解决这些问题。给定一个满足一定性质的不定线性系，构造一个矩阵递推关系，使得在极限下得到精确离散解。通过迭代大量的有限次数，得到近似解，类似于亥姆霍兹方程的时域方法。为了提高收敛性，该过程被用作GMRES的预处理器，并且时间谐波强迫项乘以平滑窗口函数。该结构适用于一个紧凑的模板有限差分离散的亥姆霍兹方程，以前没有时域求解器。所得求解器的优点是相对简单，小的内存需求和合理的计算时间。
2021-10-25 cs.NA math.NA
A refined convergence estimate for a fourth order finite difference numerical scheme to the Cahn-Hilliard equation
本文改进三维Cahn-Hilliard方程二阶时间、四阶空间有限差分格式的收敛分析，将误差常数对界面宽度的指数奇异依赖降为多项式依赖，并以三维算例验证精度。
2024-04-06 cs.NA math.NA
Parallel implementation of a compatible high-order meshless method for the Stokes' equations
在这项工作中，提出了一种并行实现的兼容离散计划的稳态Stokes问题。该方案使用广义移动最小二乘生成微分算子并施加边界条件。这种无网格格式允许速度和压力的高阶收敛，同时还采用了有限差分式稀疏离散。此外，该方法具有固有的可扩展性：模板生成过程需要服从GPU加速的矩阵的局部求逆，并且速度的无发散处理用服从代数多重网格的椭圆对角块取代了全局系统的传统鞍点结构。在这项工作中的实现使用各种Trilinos包利用这种本地和全局并行性，并提供了表现出高阶收敛性和弱可扩展性的基准。
2021-04-29 cs.DC cs.MS cs.NA
An efficient algorithm for weakly compressible flows in spherical geometries
本文提出了一种基于隐式方向分裂方法的球壳内近不可压和弱可压流动的数值模拟算法。该方法保持了理论上预期的收敛速度，并且在特征马赫数非常小的情况下保持稳定。在不可压Navier-斯托克斯方程的数值方法中常用的MAC模板上的交错空间离散方法，可以方便地离散以原始变量表示的非保守形式的可压缩Navier-斯托克斯方程。这种方法有助于避免高频振荡，而无需任何人工稳定项。非线性Picard迭代与分裂误差减少也被实施，以允许一个获得的完全非线性系统的方程的解决方案。这些结果，以及出色的并行性能，证明了方向分裂方法在大规模高分辨率高性能模拟大气和海洋流动的可行性。
2020-08-10 cs.NA math.NA physics.ao-ph
TVD and TVB preservation without TVD time discretization for discontinuous Galerkin methods
Binghamton University（宾汉姆顿大学）；The University of Alabama（阿拉巴马大学）
提出一种迹限制校正器框架，通过仅在最终校正阶段修改数值通量中的迹，在不使用SSP时间步进的情况下保持单元平均的TVD/TVB性质，从而解除振荡控制与SSP限制的耦合。
2026-06-26 cs.NA math.NA
Adaptive Consistency for Mimetic Finite Differences
Stanford University（斯坦福大学）；Lawrence Livermore National Laboratory（劳伦斯利弗莫尔国家实验室）
研究旨在平衡模拟有限差分（MFD）方法计算成本高和两点通量近似（TPFA）精度受限的问题，提出基于残差一致性指标的自适应MFD框架，能在保持稳定性的同时降低成本并保证精度。
2026-07-28 cs.NA math.NA
A New Adaptive Weighted Essentially Non-Oscillatory WENO-$θ$ Scheme for Hyperbolic Conservation Laws
Ulsan National Institute of Science and Technology（蔚山科学技术院）
本文提出了一种新的自适应加权本质非振荡WENO-$θ$方案，结合了5阶迎风方案和6阶中心差分方案的优点，通过自适应参数θ和新的平滑性指标τ^θ提升计算精度与稳定性。
2015-04-03 cs.NA math.NA
IAE-Net: Integral Autoencoders for Discretization-Invariant Learning
National University of Singapore（新加坡国立大学）；University of Maryland College Park（马里兰大学帕克分校）
离散化不变学习的目标是在无限维函数空间中学习，能够处理函数的异构离散表示作为学习模型的输入和/或输出。本文提出了一种新的基于积分自编码器的深度学习框架（IAE-Net），用于离散化不变学习。IAE-Net的基本构建块由作为具有数据驱动内核的积分变换的编码器和解码器以及编码器和解码器之间的完全连接的神经网络组成。该基本构建块在宽的多通道结构中并行应用，这些结构被重复组成以形成具有跳跃连接的深度和密集连接的神经网络，如IAE网络。IAE-Net使用随机数据增强进行训练，该随机数据增强生成具有异构结构的训练数据，以促进离散化不变学习的性能。建议的IAE网络进行测试，在预测数据科学的各种应用，解决科学计算，和信号/图像处理的正问题和逆问题。与文献中的替代品相比，IAE-Net在现有应用中实现了最先进的性能，并创建了广泛的新应用。
2022-09-06 cs.LG cs.NA math.NA
Vanilla Feedforward Neural Networks as a Discretization of Dynamical Systems
Duan Yifei Li Li'ang Ji Guanghua Cai Yongqiang (corresponding author) School of Mathematical Sciences, Laboratory of Mathematics；Complex Systems, MOE, Beijing Normal University
本文证明宽度等于输入输出维度的普通前馈神经网络也可视为动力系统的数值离散化，证明依赖 leaky-ReLU 性质与分裂法，为理解其逼近能力提供新视角。
2024-10-27 cs.LG cs.NA math.NA
Cell-vertex WENO schemes with shock-capturing quadrature for high-order finite element discretizations of hyperbolic problems
TU Dortmund University（多特蒙德工业大学）
本文提出了一种基于细胞-顶点的WENO方案和冲击捕捉四则运算，用于高阶有限元离散化超几何问题，提高了精度和鲁棒性。
2026-01-23 cs.NA math.NA
Learning Mesh-Free Discrete Differential Operators with Self-Supervised Graph Neural Networks
School of Engineering, The University of Manchester, Manchester, UK（曼彻斯特大学工程学院）；School of Engineering, Cardiff University, Cardiff, UK（卡迪夫大学工程学院）
本文提出利用自监督图神经网络学习无网格离散微分算子，通过多项式矩约束实现高精度与计算效率的平衡，验证了神经网络在复杂几何中的应用潜力。
2026-03-25 cs.LG cs.NA math.NA
An introduction to Hybrid High-Order methods
Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck, CNRS, Univ. de Montpellier（蒙彼利埃亚历山大格罗滕迪克研究所，法国国家科学研究中心，蒙彼利埃大学）
本文介绍混合高阶（HHO）方法，该方法用于偏微分方程，具有任意逼近阶数、离散层面的连续性质保持以及计算成本降低等优势。通过泊松方程模型问题，详细阐述了构造方法，并证明了误差的先验收敛性和后验估计。还介绍了非线性p-拉普拉斯方程和标量扩散-对流-反应问题的离散化应用。
2017-04-20 cs.NA math.NA
An Asymptotic Preserving Two-Dimensional Staggered Grid Method for multiscale transport equations
University of Wisconsin（威斯康星大学）；Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）
本文提出一种二维渐近保留方案，用于具有扩散尺度的线性传输方程，通过交错网格离散化，保留离散扩散极限并提高紧凑性，同时分析了该方案的AP性质及CFL条件。
2016-04-13 cs.NA math.NA
On discontinuous Galerkin discretizations of second-order derivatives
Princeton Plasma Physics Laboratory（普林斯顿等离子体物理实验室）；Max-Planck/Princeton Center for Plasma Physics, Princeton University（马克斯·普朗克/普林斯顿等离子体物理中心，普林斯顿大学）；Department of Astrophysical Sciences, Princeton University（普林斯顿大学天体物理科学系）
本文探讨了局部不连续Galerkin方法在计算二阶导数中的特性，指出其在某些情况下收敛性问题，但时间依赖扩散问题中误差会迅速衰减。
2014-05-22 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A Correction Function Method for Poisson Problems with Interface Jump Conditions
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；McGill University（麦吉尔大学）
提出一种修正函数方法，通过定义界面附近带状区域上的修正函数并求解偏微分方程，实现标准黑盒求解器对含跳跃条件泊松问题的高精度求解。
2011-09-29 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Energetic Variational Neural Network Discretizations of Gradient Flows
针对梯度流数值求解的长期稳定性与高维求解难题，提出基于能量耗散定律的保结构神经网络离散算法，先时间后空间离散以提升内存效率，无网格特性支持高维求解，实验验证了其准确性与能量稳定性。
2024-04-12 cs.NA math.NA
Solving non-linear Kolmogorov equations in large dimensions by using deep learning: a numerical comparison of discretization schemes
Sapienza Università di Roma（罗马大学）；École Polytechnique Fédérale de Lausanne（洛桑联邦理工学院）
非线性偏微分Kolmogorov方程被成功地用于描述自然科学、工程甚至金融领域中广泛的不定常现象。例如，在物理系统中，艾伦-卡恩方程描述了与相变相关的图案形成。相反，在金融领域，布莱克-斯科尔斯方程描述了衍生投资工具价格的演变。这些现代应用程序往往需要解决这些方程在高维制度中，经典的方法是无效的。最近，E，Han和Jentzen介绍了一种基于深度学习的有趣的新方法[1][2]。其主要思想是构建一个深度网络，该网络由Kolmogorov方程下的离散随机微分方程的样本进行训练。该网络能够近似，至少在数值上，多项式复杂度在整个空间域的柯尔莫哥洛夫方程的解决方案。在这篇文章中，我们通过使用随机微分方程的不同离散方案来研究深度网络的变体。我们比较了相关网络的性能，基准的例子，并表明，对于一些离散化方案，在不影响所观察到的计算复杂性的情况下，提高精度是可能的。
2022-09-11 cs.LG cs.NA math.NA
Learning finite difference methods for reaction-diffusion type equations with FCNN
Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg（马格德堡奥托·冯·格里克大学）；Daegu University（大邱大学）
近年来，物理信息神经网络（PINNs）被广泛应用于求解偏微分方程和数值方法，因为PINNs可以在没有观测值的情况下进行训练并直接处理连续时间问题。相比之下，优化这些模型的参数是困难的，并且必须执行单独的训练会话以预测每个不同初始条件的演变。为了缓解第一个问题，可以将观察到的数据直接注入到损失函数部分。为了解决第二个问题，可以建立一个网络架构作为学习有限差分方法的框架。鉴于这两个动机，我们提出了五点模板CNN（FCNN）包含一个五点模板内核和一个可训练的近似函数的反应扩散型方程，包括热，费舍尔，艾伦-卡恩，和其他反应扩散方程与三角函数项。我们证明了FCNN可以使用很少的数据学习有限差分格式，并在初始条件未知的情况下实现各种反应扩散演化的低相对误差。此外，我们证明了即使使用噪声数据，FCNN仍然可以很好地训练。
2023-02-03 cs.AI cs.LG cs.NA
