Robust Node Generation for Meshfree Discretizations on Irregular Domains and Surfaces
University of Utah（犹他大学）
本文提出了一种基于泊松盘采样和新型无参数高阶参数球形径向基函数的算法，用于自动生成不规则2D和3D域的散节点集，并验证了其在热方程RBF-FD离散化中的鲁棒性。
2018-06-08 cs.DS cs.NA math.NA
A pressure-projection formulation in a least-squares meshfree method for the incompressible Navier-Stokes equations using a staggered-variable arrangement
Institute of Science Tokyo（科学技术研究所）；Kobe University（神户大学）
本文提出一种基于局部对偶网格的无网格方法，通过引入局部对偶网格实现压力和速度变量的一致耦合，确保速度场的局部无散性，并验证了方法在不同雷诺数下的准确性。
2026-09-18 cs.NA math.NA physics.flu-dyn
Improved Stencil Selection for Meshless Finite Difference Methods in 3D
本文提出一种三维拉普拉斯算子的几何模板选择算法，改进八分圆选择策略，从不规则点集中选出高精度影响子集，并在多个STL模型的泊松方程求解中验证其性能优于有限元方法及其他选择方法。
2022-12-22 cs.NA math.NA
Summation-by-parts approximations of the second derivative: Pseudoinverses of singular operators and revisiting the sixth order accurate narrow-stencil operator
我们考虑有限差分近似的二阶导数，例如泊松方程，热方程和波动方程。有限差分算子满足分部求和性质，这模仿了分部积分。由于该算子近似于二阶导数，因此它们在构造上是奇异的。为了施加边界条件，这些算子使用同时近似项进行修改。这使得修改后的矩阵的非奇异性，对于大多数的边界条件的选择。最近，这种矩阵的逆推导。然而，当在两个边界上都考虑Neumann边界条件时，修正矩阵仍然是奇异的。对于这样的矩阵，我们推导出了Moore-Penrose伪逆的一个显式表达式，它可用于求解椭圆问题和一些时间相关问题。这个新的伪逆是有效的条件，是修改后的矩阵不超过一个零特征值。我们已经重建了六阶精确的窄模板算子与一个自由参数，并表明可以出现一个以上的零特征值。我们对自由参数进行了详细的分析，以改善二阶导数算子的性质。我们通过数值实验来证明新的二阶导数算子的改进。
2020-11-07 cs.NA math.NA
Sixth Order Compact Finite Difference Scheme for Poisson Interface Problem with Singular Sources
令$Γ$是二维矩形区域$Ω$内的光滑曲线。本文考虑了具有Dirichlet边界条件的Poisson界面问题$-\nabla^2 u=f$在$Ω\setminus Γ$中的解，使得$f$在$Ω\setminus Γ$中是光滑的，且跨$Γ$的跳函数$[u]$和$[\nabla u\cdot \vec{n}]$沿$Γ$是光滑的.该泊松界面问题包括$Ω$中的$-\nabla^2 u=f+gδ_Γ$的弱解作为特例。由于源项$f$在界面曲线$Γ$上可能是不连续的，并且包含沿界面曲线$Γ$的δ函数奇异性，因此泊松界面问题的解$u$及其通量$\nabla u\cdot \vec{n}$在界面上常常是不连续的。本文在均匀笛卡尔网格上提出了一种六阶紧致差分格式，用于求解具有奇异源的Poisson界面问题。我们提出的紧致有限差分格式与显式给定的steneficiency扩展浸入界面法（IIM）的最高可能的精度阶6均匀笛卡尔网格上的紧致有限差分格式，但不需要改变坐标到本地坐标在大多数文献中的IIM。与大多数发表的关于IIM的论文相比，我们明确地提供了所有涉及的支架的公式。在所得到的线性系统$Ax=b$中的系数矩阵$A$，从所提出的方案，是独立于任何源项$f$，跳转条件$gδ_Γ$，界面曲线$Γ$和Dirichlet边界条件。我们的数值实验证实了所提出的紧致有限差分格式在均匀网格上的各种奇异源的泊松界面问题…
2021-04-16 cs.NA math.NA
A Numerical Study of Combining RBF Interpolation and Finite Differences to Approximate Differential Operators
Jožef Stefan Institute（约瑟夫·斯特凡研究所）；University of Ljubljana（卢布尔雅那大学）
本文研究了将RBF插值与有限差分结合用于近似微分算子的方法，并比较了其在二维泊松问题中的精度。
2026-02-25 cs.NA math.NA
A higher-order finite-volume discretization method for Poisson's equation in cut cell geometries
Lawrence Berkeley National Laboratory（劳伦斯伯克利国家实验室）
本文提出一种在二维和三维笛卡尔切割单元网格上实现高阶有限体积离散化的方法，通过求解小的加权最小二乘线性系统生成通量 stencil，证明该方法在截断误差和解误差上可达到二阶和四阶精度，并展示拉普拉斯算子具有稳定的特征值。
2014-11-16 cs.NA math.NA
Lattice Green's Functions for High Order Finite Difference Stencils
本文提出高阶有限差分格点格林函数的快速精确评估算法及闭式表达式，支持更一般边界条件，数值实验显示近机器精度，并实现3D无界域泊松方程高阶离散化的一致解。
2023-09-23 cs.NA math.NA
A fourth-order, multigrid cut-cell method for solving Poisson's equation in three-dimensional irregular domains
本研究提出一种求解三维不规则区域泊松方程的四阶多重网格切割单元法，借助Yin空间适配复杂几何、PLG算法实现高阶离散、结合ND排序的改进多重网格求解器达到最优复杂度。
2024-10-08 cs.NA math.NA
High-Order Invariant-Domain Preserving Continuous Finite Elements via Graph-Poisson Convex Limiting
Uppsala University（乌普萨拉大学）
提出一种结合残差粘度高阶离散与基于P1子网格的低阶不变域格式的连续有限元方法，通过图-泊松通量重构和凸限制系数实现高阶精度与鲁棒性，数值实验验证了其有效性。
2026-10-27 cs.NA math.NA
Geometric multigrid method for solving Poisson's equation on octree grids with irregular boundaries
提出了一种在几何多重网格求解器中包含不规则区域边界的方法。Dirichlet边界条件可以施加在由水平集函数定义的不规则边界上。我们的实现采用四叉树/八叉树网格自适应细化，细胞为中心的离散化和逐点平滑。通过执行线搜索以亚网格分辨率确定边界位置。对于界面附近的网格块，将存储考虑界面的自定义操作符模板。对于远离边界的网格块，使用标准的二阶精度离散化。用几个算例说明了该方法的收敛性、鲁棒性和计算量。
2023-01-25 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A sharp bound on the convergence rate of an aggregation-based algebraic multi-grid method applied to a 1D model problem
针对一维泊松方程离散系统，证明了基于两两聚合的代数二重网格方法每步将误差的A-范数至少降低因子1/√2。
2013-03-19 cs.NA math.NA
A closed-form multigrid smoothing factor for an additive Vanka-type smoother applied to the Poisson equation
考虑了标准差分中心格式离散的泊松方程的一种可加Vanka型光滑器。利用局部傅里叶分析，我们推导出两种类型的平滑器，称为顶点和元素的Vanka平滑器的最佳平滑因子的解析公式，并提出相应的支架。有趣的是，在一维情况下，单元Vanka平滑器等价于由线性有限元法得到的标度质量算子，而在二维情况下，单元Vanka平滑器等价于由双线性有限元法离散的标度质量算子加上标度恒等算子.基于这些发现，从有限元法获得的质量矩阵可以被用作拉普拉斯算子的逆的近似，并且由此产生的基于质量的松弛格式在一维、二维和三维中具有小的平滑因子。质量算子的优点是该算子是稀疏的和良态的，并且松弛方案的计算成本仅为一个矩阵-向量乘积;不需要计算矩阵的逆。这些发现有助于更好地理解加法Vanka平滑器的效率，并开发偏微分方程数值解的快速求解器。
2021-11-04 cs.NA math.NA
High order finite-difference ghost-point methods for elliptic problems in domains with curved boundaries
本文提出了一种四阶有限差分虚点方法，用于在规则笛卡尔网格上求解曲边界域中的泊松方程，并验证了其中两种稳定离散方案的精度。
2024-05-22 cs.NA math.NA
A fourth-order accurate compact difference scheme for solving the three-dimensional Poisson equation with arbitrary boundaries
本文提出一种基于四阶紧致有限差分和预处理BiCGSTAB的三维Poisson方程高阶清晰界面求解方法，通过调整界面附近差分模板避免跳跃修正，在任意边界下保持四阶精度与高效计算。
2019-02-04 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A Correction Function Method for Poisson Problems with Interface Jump Conditions
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；McGill University（麦吉尔大学）
提出一种修正函数方法，通过定义界面附近带状区域上的修正函数并求解偏微分方程，实现标准黑盒求解器对含跳跃条件泊松问题的高精度求解。
2011-09-29 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A scalable high-order multigrid-FFT Poisson solver for unbounded domains on adaptive multiresolution grids
Department of Mechanical Engineering, Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院机械工程系）；NVIDIA（英伟达）
本文提出了一种可扩展的高阶多网格-FFT泊松求解器，用于处理无界域上的自适应多分辨率网格，通过灵活的多网格方法和高阶紧凑Stencil提高求解效率和精度。
2025-12-09 cs.DC cs.NA math.NA
Higher-Order Generalized Finite Differences for Variable Coefficient Diffusion Operators
该研究提出无网格广义有限差分框架下离散变系数扩散算子的新方法，结合离散拉普拉斯算子与扩散系数重构函数，证明精度阶传递性与对角占优性，数值验证其在光滑系数、界面问题中的有效性与一阶收敛性。
2024-06-20 cs.NA math.NA
Adaptive RBF-FD Method for Elliptic Problems with Point Singularities in 2D
University of Giessen（吉森大学）；Institute of Mathematics, Vietnam Academy of Science and Technology（越南科学技术院数学研究所）
本文提出一种基于径向基函数的自适应无网格泛化有限差分方法，通过改进的算法在包含边界尖角、尖峰和快速振荡的基准问题中表现优异，主要贡献是引入了新的Zienkiewicz-Zhu型误差指标。
2017-06-27 cs.NA math.NA
Imposing jump conditions on nonconforming interfaces for the Correction Function Method: a least squares approach
我们介绍了一种技术，该技术简化了在校正函数方法（CFM）的背景下对与计算网格不对齐的界面施加跳跃条件的问题。CFM提供了一个通用的框架来解决泊松方程的不连续性的存在下，以高的精度，同时使用紧凑的离散模板。CFM背后的一个关键概念是在最小二乘意义上强制执行跳跃条件。该概念需要计算界面的各部分上的积分，当仅界面的隐式表示可用时（例如，水平集函数的零轮廓）。这里介绍的技术是基于一个新的配方的最小二乘程序，只依赖于积分域，适合于简单的正交后，局部坐标变换。我们将这种技术到一个四阶精确的CFM实现，并显示在2-D和3-D计算泊松方程的解决方案的例子。
2019-07-10 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A positivity-preserving high-order semi-Lagrangian discontinuous Galerkin scheme for the Vlasov-Poisson equations
University of Wisconsin（威斯康星大学）
针对 Vlasov-Poisson 方程，提出一种基于算子分裂的半拉格朗日间断 Galerkin 方法，实现质量守恒、保正性和高阶时间精度。
2011-03-26 cs.NA math.NA physics.plasm-ph
Convergent Compact Finite Difference Methods with Symmetric Matrices and Highest Possible Orders for Variable-Coefficient Elliptic Equations
King Fahd University of Petroleum and Minerals (KFUPM)（法赫德国王石油与矿产大学）；Department of Mathematical and Statistical Sciences, University of Alberta（阿尔伯塔大学数学与统计科学系）；University of Alberta（阿尔伯塔大学）
本文针对d维超立方体上的变系数泊松方程，提出紧致对称高阶有限差分方法，证明1维紧致3点对称格式可任意阶相容，2维对应格式最大阶数为4、特殊条件下可达6，3维及以上的4阶格式可线性组合两类单轴与双轴差分格式，所有模板明确给出。
2026-10-14 cs.NA math.NA
A family of mixed finite element pairs with optimal geostrophic balance
Imperial College London（帝国理工学院）
本文提出一族用于测地网格和自适应网格细化的混合有限元对，证明其在线性旋转浅水方程中地转平衡状态精确稳态，且满足inf-sup条件，无虚假压力模，适用于数值天气预报和海洋建模。
2009-05-01 cs.NA math.NA
Spectral solutions of PDEs on networks
为了解决线性偏微分方程的度量图与标准的耦合条件（连续性和基尔霍夫定律），我们开发和比较的频谱，二阶有限差分，和不连续Galerkin方法。谱方法以机器精度产生任意阶的特征值和特征向量，并指数收敛。这些特征向量提供了一个类似傅立叶的基础上扩展的解决方案;然而，更复杂的耦合条件需要额外的研究。间断伽辽金法提供了任意多项式阶的近似;然而，精确计算高阶特征值需要相应的特征向量得到很好的解析。该方法允许任意的非基尔霍夫通量条件，并需要在顶点处的特殊惩罚项，以强制连续的解决方案。对于有限差分法，标准单侧二阶有限差分模板将顶点解的精度降低到$ O(h^{3/2})$。为了保持整体的二阶精度，我们对每个边缘使用了鬼细胞。对于所有这三种方法，我们提供的实施细节，他们的验证，并举例说明其性能的特征值问题，泊松方程，和波动方程。
2021-04-30 cs.NA math.DS math.NA
A modified projected walk on spheres method for elliptic equations on high-dimensional embedded manifolds: algorithm and error estimates
School of Mathematics, Shanghai University of Finance and Economics（上海财经大学数学学院）；School of Mathematics and Statistics, Hainan University（海南大学数学与统计学院）；Institute of Computational Mathematics and Scientific/Engineering Computing, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院计算数学与科学工程计算研究所）
提出投影游走球方法求解嵌入流形上的屏蔽泊松方程，通过局部扩展和格林表示结合最近点投影，实现无网格并行随机递归，并引入补偿项和自适应半径策略恢复几何结构，在边界和闭流形设定下建立均方误差估计。
2026-07-07 cs.NA math.NA
A second order accurate scalar auxiliary variable (SAV) numerical method for the square phase field crystal equation
在本文中，我们提出并分析了一个二阶精度（在时间上）的数值方相场晶体（SPFC）方程，梯度流模拟晶体动力学在原子尺度上的空间，但在时间上的扩散尺度。它与标准相场晶体模型的主要区别是在自由能势中引入了4-拉普拉斯项，这反过来又导致了更高程度的非线性。为了在保持非线性能量稳定性的同时使数值格式线性化，我们使用标量辅助变量（SAV）方法，其中在时间模板中应用二阶向后微分公式（BDF）。同时，由于涉及到4-Laplacian项，结合非线性能量泛函的下界的推导，直接应用SAV方法面临一定的困难。在所提出的数值方法中，对物理能量泛函进行了适当的分解，使得非线性能量部分具有一个良好的全局下界，而其余项则为具有正特征值的常系数扩散项.反过来，数值方案可以非常有效地实现恒定系数泊松型求解器（通过FFT），并通过引入辅助变量建立能量稳定性，并提供了建议SAV方法的最佳速率收敛分析。最后给出了几个数值实验，实验结果表明了该格式的有效性和准确性。
2020-12-30 cs.NA math.NA
A general-purpose multi-path stacked coupling for stochastic reaction networks
Department of Mathematics, University of Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校数学系）
针对随机反应网络多参数扰动灵敏度估计的效率问题，提出多路径堆叠耦合（MSC）方法，经实验验证其在三类应用中均能实现最小均方根误差，性能优于现有方法。
2026-10-28 cs.NA math.NA math.PR
