Fast Fourier-like Mapped Chebyshev Spectral-Galerkin Methods for PDEs with Integral Fractional Laplacian in Unbounded Domains
在本文中，我们提出了一个快速的谱Galerkin方法求解含整数分数拉普拉斯算子的偏微分方程$\mathbb{R}^d$，这是建立在两个基本组成部分：（i）Dunford-Taylor公式的分数拉普拉斯算子;和（ii）Fourier-like双正交映射Chebyshev函数（MCF）作为基函数。因此，分数拉普拉斯算子可以完全对角化，并且求解椭圆分数PDE的复杂度是准最优的，即，$O((N\log_2N)^d)$，其中$N$是每个空间方向上的模式的数量。对各种衰减精确解的充分数值试验表明，快速求解器的收敛性与理论误差估计的阶数完全匹配。通过适当的时间离散，快速求解器可以直接应用于一个大类的非线性分数阶偏微分方程。作为一个例子，我们用四阶时间分裂方法和MCF-spectral-Galerkin方法求解了分数阶非线性Schr{<$}dinger方程.
2019-08-27 cs.NA math.NA
Mathematical foundations of spectral methods for time-dependent PDEs
本文提出时间相关偏微分方程谱方法的核心在于选择希尔伯特空间的正交基，并引入适用于柯西边界条件的T-系统和适用于零狄利克雷边界条件的W-系统，系统分析了它们在稳定性、收敛速度和线性代数效率等方面的特性。
2024-02-26 cs.NA math.NA
Fast high-order spectral solvers for PDEs on triangulated surfaces with applications to deforming surfaces
Technische Universität Dresden（德累斯顿工业大学）
本文提出快速高阶谱求解器用于三角化表面的偏微分方程，结合四边形化和基于Dubiner多项式的谱元方法，实现高精度和高效求解，应用于变形表面的数值实验。
2025-12-30 cs.NA math.NA
Spectral approximation of fractional PDEs in image processing and phase field modeling
George Mason University（乔治梅森大学）；University of Freiburg（弗赖堡大学）
本文研究了分数阶微分算子在图像处理和相场建模中的应用，通过谱方法分析了相关模型问题的数值解，并通过数值实验展示了其效率和模型特性。
2017-08-23 cs.NA math.AP math.NA
Rational spectral methods for PDEs involving fractional Laplacian in unbounded domains
Southern University of Sciences and Technology（南方科技大学）；Nanyang Technological University（南洋理工大学）；Hong Kong Baptist University（香港浸会大学）；Institute of Computational Mathematics, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院计算数学研究所）
本文提出了一种有理谱方法，用于在无界域中求解涉及分数拉普拉斯算子的PDEs，通过构造有理基函数（或修改后的映射切比雪夫函数）来实现高精度的谱方法，并在分数索伯列夫空间中获得最优误差估计。
2019-05-07 cs.NA math.NA
SPFNO: Spectral operator learning for PDEs with Dirichlet and Neumann boundary conditions
提出 SPFNO 谱算子学习方法，通过精确施加 Dirichlet 与 Neumann 等非周期边界条件求解多类 PDE，并在多基准上验证其效率、分辨率不变性与 1.7–4.7 倍精度提升。
2023-12-12 cs.NA math.NA
Hermite spectral method with hyperbolic cross approximations to high-dimensional parabolic PDEs
Tsinghua University（清华大学）；Beijing University of Aeronautics and Astronautics (Beihang University)（北京航空航天大学）
本文研究了利用双曲交叉逼近的勒维方法在高维抛物型PDEs中的应用，通过误差估计和数值实验验证了该方法的指数收敛性。
2014-02-01 cs.NA math.AP math.NA
Numerical Methods For PDEs Over Manifolds Using Spectral Physics Informed Neural Networks
Tel Aviv University（特拉维夫大学）
提出谱物理信息神经网络求解流形上PDE，架构对齐谱方法，优于标准架构，并在热方程及球面、环面非线性方程上验证，含大规模泛化实验。
2023-09-03 cs.LG cs.NA math.NA
Generalised Hermite spectral methods for PDEs involving integral fractional Laplacian and Schrödinger operators
本文引入了两类新的任意维广义Hermite多项式/函数（GHP/GHF），并在$\mathbb R^d.$中发展了求解具有整数分数Laplacian（IFL）和/或Schr dinger算子的偏微分方程的高效精确的广义Hermite谱算法。Szegö的1D家族（1939年），GHP的第一个家族（分别为Szegö和Szegö）。GHF）相对于$|\bx|^{2μ} \e^{-|\bx|^2}$正交（分别$|\bx |^{2μ}$）在$\mathbb R^d$中。我们进一步定义了伴随广义Hermite函数（A-GHF），它通过傅里叶变换与相应的广义Hermite函数有着交织的联系，并且与$s>0$阶IFL的内积$[u,v]_{H^s(\mathbb R^d)}=((-Δ)^{s/ 2}u, (-Δ)^{s/2} v )_{\mathbb R^d}$正交.因此，使用A-GHF作为基函数的谱-伽辽金方法导致IFL的对角刚度矩阵（众所周知，这是非常困难和昂贵的离散化）。新的基础也发现有效和准确地解决偏微分方程的分数薛定谔算子：$(-Δ)^s +|\bs x|^{2μ}$与$s\in (0,1]$和$μ>-1/2.$遵循同样的精神，我们构建了第二个家庭的GHF，被称为Müntz型广义厄米函数（M-GHF），这是正交的相对于一个内积相关的基础薛定谔算子，并定制的奇异性的解决方案在原点。我们证明了…
2020-10-23 cs.NA math.NA
Physics Informed Neural Networks (PINNs)for approximating nonlinear dispersive PDEs
我们提出了一种新的算法，基于物理信息神经网络（PINNs），有效地近似解的非线性色散偏微分方程，如KdV-Kawahara，Camassa-Holm和Benjamin-Ono方程。利用这些分散偏微分方程的解决方案的稳定性，证明严格的界限所产生的误差。我们给出了几个数值实验来证明PINN可以非常精确地近似解这些色散偏微分方程
2022-05-18 cs.NA math.NA
Topological spectral gap, multiscale Weyl's law, and homogenization in high-contrast PDEs
The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）；Tongji University（同济大学）
本文提出统一抽象变分与拓扑框架，刻画高对比多尺度PDE的谱隙与特征值分布，证明谱隙位置由高对比夹杂局部零空间维数决定，并建立多尺度Weyl律。
2026-06-16 cs.NA math.AP math.NA
Dense cell-by-cell systems of PDEs: approximation, spectral analysis, and preconditioning
本研究针对可兴奋组织的EMI模型，分析其PDE系统的Galerkin逼近的谱性质，提出并验证了高效稳健的整体多层预处理器求解器，适用于大规模细胞模拟。
2024-09-20 cs.NA math.NA
Coupling non-conforming discretizations of PDEs by spectral approximation of the Lagrange multiplier space
这项工作的重点是发展一个非协调的区域分解方法的近似偏微分方程的基础上施加的弱传输条件：连续性的整体解决方案是强制执行的离散数量的拉格朗日乘子定义在相邻子域的接口。该方法属于原始混合方法类，其中还包括著名的砂浆方法。从martar方法出发，我们采用谱近似离散界面上的基函数空间，而不依赖于两个相邻区域的离散，其中一个可能的选择是用Fourier基函数来近似界面变分空间。正如我们在数值模拟中所示，我们的方法非常适合于解决非协调网格或在每个子域中具有不同多项式次数的有限元基函数的问题。该方法的另一个仍需研究的应用是从其他不相容方法（如有限元法、谱元法或等几何分析）获得的解的耦合。
2018-02-21 cs.CE cs.NA math.NA
NURBS-SEM: a hybrid spectral element method on NURBS maps for the solution of elliptic PDEs on surfaces
SISSA（的里雅斯特高等研究学校）
本文提出一种结合IGA与SEM的NURBS-SEM方法，实现高精度求解曲面上的椭圆型PDE，对比了不同方法的性能。
2018-04-23 cs.NA math.NA
Holistic Physics Solver: Learning PDEs in a Unified Spectral-Physical Space
The State Key Lab of Brain-Machine Intelligence, Zhejiang University, Hangzhou, China（脑机智能国家重点实验室，浙江大学，杭州，中国）；College of Computer Science and Technology, Zhejiang University, Hangzhou, China（计算机科学与技术学院，浙江大学，杭州，中国）
本文提出整体物理混合器（HPM），在统一谱-物理空间中整合注意力与谱方法，兼顾泛化与灵活性，实验证明其在精度、效率及零样本泛化上优于现有方法。
2025-06-23 cs.LG cs.NA math.NA
A Quantum Spectral Framework for Solving PDEs
Université Côte d’Azur（蔚蓝海岸大学）；Inria（法国国家数字研究院）；Università di Pisa（比萨大学）；Thales Land & Air Systems（泰雷兹陆地与航空系统）
本文提出利用量子块编码和量子可逆算术求解二阶线性偏微分方程，通过傅里叶空间滤波器结构特性，提供一种替代传统量子矩阵求逆的方法，为扩展至量子群傅里叶变换、小波分析和等变量子神经网络奠定基础。
2026-04-28 cs.NA math.NA quant-ph
A spectral-subspace-augmented POD-Galerkin method for parametrized PDEs with limited snapshot data
Hong Kong University of Science and Technology (Guangzhou)（香港科技大学（广州））
针对参数化PDE中快照数据有限导致POD预测能力不足的问题，提出谱子空间增强POD-Galerkin方法（SS-POD），通过谱分解和局部POD提高外推精度，在Laplace-Beltrami问题中仅用5个快照即达高精度。
2026-07-03 cs.NA math.NA
Preconditioning and Numerical Stability in Neural Network Training for Parametric PDEs
RWTH Aachen University（亚琛工业大学）；University of South Carolina（南卡罗来纳大学）
本文提出了一种用于参数依赖偏微分方程神经网络训练的预处理方法，通过稳定表示形式提升计算精度和稳定性。
2026-01-30 cs.NA math.NA
A direct solver with O(N) complexity for variable coefficient elliptic PDEs discretized via a high-order composite spectral collocation method
Dartmouth College（达特茅斯学院）；University of Colorado at Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）
本文提出了一种用于求解二维域上变系数椭圆偏微分方程的数值方法，采用高阶复合谱逼近，针对光滑解问题，使用具有O(N)复杂度的直接求解器，展示了在非振荡问题中高效求解的能力。
2013-07-10 cs.NA math.NA
A static memory sparse spectral method for time-fractional PDEs
本文提出一种静态内存稀疏谱方法，结合多元稀疏谱与快速高斯求积及递归非经典Caputo导数技术，高效求解时间分数阶PDE，在区间、三角形和圆盘上验证性能并推导误差界，应用于粘弹性声波模型。
2023-10-10 cs.NA math.NA
Error estimates of residual minimization using neural networks for linear PDEs
本研究提出一个抽象框架，用以分析可行解为神经网络时基于残差最小化的最小二乘方法的收敛性，推导了强弱形式下连续与离散残差最小化的误差估计，覆盖了新近的物理信息神经网络相关公式。
2023-10-03 cs.NA math.NA
Spectral-Informed Neural Networks Outperform Spectral Methods in High-dimensional PDEs
Applied AI Institute（应用人工智能研究所）
研究高维偏微分方程问题，核心方法是将谱方法与PINNs结合成改进的SINNs，通过系数衰减缩放和基嵌入提升精度。主要贡献是在中维问题上优于稀疏网格谱方法，在高维问题上比PINNs精度更高。
2026-07-16 cs.AI cs.CE cs.LG
Sparse Spectral Methods for Solving High-Dimensional and Multiscale Elliptic PDEs
在他的专著切比雪夫和傅立叶谱方法，约翰博伊德声称，关于傅立叶谱方法解决微分方程，“[t]他的优点快速傅里叶变换将继续改善无情的游行到越来越大的[带宽]继续”。本文试图进一步发挥快速傅里叶变换（FFT）的优点，因为不仅带宽被推到了极限，而且问题的维数也被推到了极限。然而，我们没有使用传统的FFT，而是进行了一个关键的替代：一个高维的，稀疏的傅里叶变换（SFT）与随机秩1格方法配对。由此产生的稀疏谱方法快速，自动地确定一组傅立叶基函数，其跨度是保证包含一个精确的近似的解决方案，一个给定的椭圆偏微分方程。然后，使用这个小得多、接近最佳的傅里叶基在运行时有效地求解给定的偏微分方程，这仅取决于偏微分方程的数据压缩性和椭圆度属性，同时打破维度灾难并缓解对原始问题中任何多尺度结构的线性依赖。本文建立了该方法的理论性能与Sobolev范数的收敛性分析的一般类的非常数扩散方程，以及指针的技术扩展的收敛性分析更一般的对流扩散反应方程。数值实验表明，良好的经验性能的多尺度和高维的例子问题，进一步展示了所提出的方法在实践中的承诺。
2023-02-01 cs.NA math.NA
Approximation Theory and Applications of Randomized Neural Networks for Solving High-Dimensional PDEs
本文证明随机神经网络在物理信息极限学习机中能以维度无关的收敛速率逼近Sobolev函数类，缓解维数灾难，并通过高维热方程、Black-Scholes和Heston模型实验验证其高精度与低计算成本。
2025-01-21 cs.NA math.NA
Exponentially accurate spectral Monte Carlo method for linear PDEs and their error estimates
本文将原适用于α=2情形的谱蒙特卡罗方法拓展至α∈(0,2)的α-稳定Lévy过程驱动的线性偏微分方程，整合多种技术实现误差指数收敛，抛物方程方法对两类α统一，数值结果验证了方法的谱精度与效率。
2025-02-21 cs.NA math.NA
A Hybrid Iterative Neural Solver Based on Spectral Analysis for Parametric PDEs
本文提出傅里叶神经求解器（FNS），通过从谱角度学习特征值和特征向量，使混合迭代方法在参数化PDE上实现与网格尺寸和物理参数无关的收敛速率。
2025-06-06 cs.NA math.NA
Spectrally accurate fully discrete schemes for some nonlocal and nonlinear integrable PDEs via explicit formulas
本文利用显式公式为Benjamin-Ono、Calogero-Sutherland DNLS和三次Szegő方程构造了时间精确、空间谱精度的全离散格式，证明其谱收敛且误差随时间线性增长，计算成本与最终时间无关，为研究可积方程长时间动力学提供了新工具。
2025-09-22 cs.NA math.AP math.NA
Inf-Sup Neural Networks for High Dimensional PDEs
Iowa State University（爱荷华州立大学）
针对高维偏微分方程求解难题，提出基于神经网络框架，将其转化为下确界-上确界优化问题，通过两个网络参数化并经迭代鞍点优化计算，证明理论等价性并推导误差估计，数值实验验证了该方法求解高维PDEs的性能。
2026-07-14 cs.NA math.AP math.NA
Greedy Training Algorithms for Neural Networks and Applications to PDEs
近年来，神经网络已被广泛应用于求解偏微分方程（PDE）。虽然这种方法已被证明是非常成功的实际工程问题，他们还没有被证明，理论上或经验，收敛到潜在的PDE解决方案具有任意高的精度。其主要难点在于求解神经网络离散化后的高度非凸优化问题，这在理论和实践上都是一个难题。我们在这项工作中的目标是朝着纠正这一点迈出一步。为此，我们开发了一种新的贪婪训练算法的浅层神经网络。我们的方法是适用于变分制定的偏微分方程，也是残留的最小化制定开创了物理知情的神经网络（PINNs）。我们分析的方法，并获得先验的误差界时，解决偏微分方程从函数类定义的浅网络，严格建立收敛的方法，网络规模的增加。最后，我们测试了算法的几个基准的例子，包括高维偏微分方程，以确认理论上的收敛速度。虽然相对于传统的方法，如有限元法的方法是昂贵的，我们认为这项工作的概念证明基于神经网络的方法，这表明，数值方法基于神经网络可以显示出严格收敛。
2023-03-24 cs.NA math.NA
What Can One Expect When Solving PDEs Using Shallow Neural Networks?
本文以椭圆型PDEs为例，研究了浅层神经网络表示解时的数值病态性、频率偏差等问题，发现线性SNNs的PINNs和DRM受制于病态性和高频频谱偏差，非齐次激活函数虽可缓解但非线性SNNs的自适应性代价仍高。
2025-11-03 cs.NA math.NA
ARDO: A Weak Formulation Deep Neural Network Method for Elliptic and Parabolic PDEs Based on Random Differences of Test Functions
Dept. of Mathematics, Southern Methodist University, Dallas, TX 75275（数学系，南方 Methodist 大学，德克萨斯州达拉斯市）
本研究提出ARDO深度学习方法，通过将随机差分算子转移至测试函数的弱对抗形式，实现对解神经网络无需求导，可高效求解Fokker-Planck型二阶椭圆与抛物型偏微分方程。
2025-09-03 cs.AI cs.NA math.NA
A novel and simple spectral method for nonlocal PDEs with the fractional Laplacian
本文提出一种基于半离散傅里叶变换的谱方法离散分数阶拉普拉斯算子，具有与其相同的离散符号，可实现谱精度，并借助多水平Toeplitz结构实现快速计算。
2024-06-15 cs.NA math.NA
Deep Tangent Bundle (DTB) method: a Deep Neural Network approach to compute solutions of PDES
本文提出 Deep Tangent Bundle (DTB) 方法，用自适应 DNN 的切丛逼近空间向量场并结合传统时间离散，以无优化方式高效求解高维演化 PDE。
2025-08-31 cs.NA math.NA
Priori Error Estimate of Deep Mixed Residual Method for Elliptic PDEs
在这项工作中，我们推导出一个先验误差估计的混合残差方法时，解决一些椭圆型偏微分方程。我们的工作是第一次对这种方法进行理论研究。我们证明了，如果我们增加训练样本和网络的大小没有任何限制的比例的训练样本的神经网络的解决方案将收敛。此外，我们的结果表明，混合残差方法可以恢复高阶导数比深里兹方法，这也被我们的数值实验验证。
2022-06-15 cs.NA math.NA
A unified framework for multiscale spectral generalized FEMs and low-rank approximations to multiscale PDEs
本文提出一个统一抽象框架，用于分析和改进多尺度谱广义有限元方法（MS-GFEM），证明其指数收敛并建立多尺度PDE低秩逼近理论，推广了已有结果。
2024-12-17 cs.NA math.NA
Render unto Numerics: Orthogonal Polynomial Neural Operator for PDEs with Non-periodic Boundary Conditions
通过使用精心设计的神经网络来学习无限函数空间之间的映射，算子学习方法在解决诸如微分方程之类的复杂问题时表现出比传统方法更高的效率，但面临其准确性和可靠性的问题。为了克服这些局限性，结合谱数值方法的结构，提出了一种通用的神经网络结构谱算子学习（SOL），并提出了一种用于Dirichlet、Neumann和Robin边界条件偏微分方程的正交多项式神经算子（OPNO）.理论上证明了OPNO的严格BC满足性质和普适逼近能力。各种物理背景下的数值实验表明，OPNO优于其他现有的深度学习方法，以及传统的二阶有限差分法（FDM），具有相当精细的网格（相对误差达到1 e-6的数量级），并且比传统方法快近5个数量级。
2023-03-03 cs.NA math.NA
Convergence analysis of unsupervised Legendre-Galerkin neural networks for linear second-order elliptic PDEs
Sungkyunkwan University（成均馆大学）
在本文中，我们对无监督Legendre-Galerkin神经网络（ULGNet）进行了收敛性分析，ULGNet是一种基于深度学习的数值方法，用于求解偏微分方程（PDE）。与现有的基于深度学习的偏微分方程数值方法不同，ULGNet将解表示为相对于勒让德基的谱展开，并通过求解变分残差最小化问题来预测深度神经网络的系数。由于相应的损失函数是等价的残差诱导的线性代数系统依赖于基函数的选择，我们证明了最小的离散损失函数收敛到弱解的偏微分方程。数值结果也将支持理论结果。关键技术工具包括有界神经网络的通用近似定理的变体，刚度和质量矩阵的分析，以及Rademacher复杂性方面的统一大数定律。
2022-11-16 cs.LG cs.NA math.NA
Spectrally Adapted Physics-Informed Neural Networks for Solving Unbounded Domain Problems
Dept.~of Mathematics, UCLA（UCLA数学系）；Dept.~of Computational Science and Philosophy, Frankfurt School of Finance and Management（金融与管理法兰克福学院计算科学与哲学系）
本文提出结合自适应谱方法与物理信息神经网络，解决无界域PDE问题，提升对无界变量依赖性的求解效率与精度。
2023-02-28 cs.LG cs.NA math.AP
Functional tensor train neural network for solving high-dimensional PDEs
针对传统张量列方法难以处理非均匀网格或不规则域的问题，提出函数张量列神经网络（FTTNN），用神经网络近似TT核函数，结合物理信息损失函数，在高维PDE求解上性能优于PINN。
2025-10-15 cs.NA math.NA
Validated matrix multiplication transform for orthogonal polynomials with applications to computer-assisted proofs for PDEs
本文针对复杂几何上非线性PDE的严格计算分析，提出验证矩阵乘法变换（MMT）算法以可靠评估谱方法中的非线性项，并结合Zernike多项式构建了圆盘上两类非线性椭圆PDE解存在性的计算机辅助证明。
2024-11-27 cs.NA math.AP math.NA
Solving PDEs by Variational Physics-Informed Neural Networks: an a posteriori error analysis
我们考虑椭圆型边值问题的离散变分物理通知神经网络（VPINNs），其中检验函数是连续的，分段线性函数的域的三角剖分。我们定义了一个后验误差估计，由一个残差型项，一个损失函数项，和数据振荡项。我们证明了估计是可靠的和有效的控制能量之间的准确和VPINN解决方案的误差范数。数值计算结果与理论预测非常吻合。
2022-05-02 cs.NA math.NA
Error analysis for physics informed neural networks (PINNs) approximating Kolmogorov PDEs
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
物理学通过最小化逐点残差来告知神经网络偏微分方程的近似解。我们推导出严格的误差界，所招致的PINNs近似的解决方案的一大类线性抛物型偏微分方程，即Kolmogorov方程，包括热方程和Black-Scholes方程的期权定价，作为例子。我们构造神经网络，其PINN残差（泛化误差）可以尽可能小。我们还证明了总的$L^2$错误可以有界的泛化误差，这反过来又是有界的训练误差，提供了足够数量的随机选择的训练（搭配）点使用。此外，我们证明了PINN的大小和训练样本的数量只与底层维度呈多项式增长，使PINN能够克服这种情况下的维数灾难。这些结果使我们能够提供一个全面的误差分析PINNs近似Kolmogorov偏微分方程。
2021-07-10 cs.LG cs.NA math.NA
A rate of convergence of Physics Informed Neural Networks for the linear second order elliptic PDEs
近年来，物理信息神经网络（PINN）已被证明是一个强大的工具，解决偏微分方程的经验。然而，PINN的数值分析仍然缺失。在本文中，我们证明了PINNs的收敛速度为二阶椭圆型方程与Dirichlet边界条件，通过建立上界的训练样本的数量，深度和宽度的深度神经网络，以达到所需的精度。PINN的误差被分解为近似误差和统计误差，其中近似误差在具有$\mathrm{ReLU}^{3}$网络（具有激活函数$\max\{0,x^3\}$的深度网络）的$C^2$范数中给出，并且统计误差由Rademacher复杂度估计。我们得到了梯度范数的非Lipschitz合成与$\mathrm{ReLU}^{3}$网络的Rademacher复杂性的界，这是一个非常有意义的独立结果.
2022-03-16 cs.NA math.NA
Deep collocation method: A framework for solving PDEs using neural networks with error control
提出一种基于单隐层神经网络构建基函数的自适应深度配置法，通过配置最小二乘和渐进误差指示器求解偏微分方程，实现了高精度与鲁棒性。
2025-03-07 cs.NA math.NA
Spectral methods for solving elliptic PDEs on unknown manifolds
本文提出一种基于点云数据的无网格谱方法，用于求解未知流形上的椭圆型PDE，采用加权拉普拉斯RBF特征解构造测试空间，结合二阶切空间估计提升精度，理论与实验均验证了收敛性及精度优势。
2023-04-05 cs.NA math.NA
Deep ReLU neural network approximation in Bochner spaces and applications to parametric PDEs
我们研究了在可分离希尔伯特空间$X$中取值的${\mathbb U}^\infty$上的函数的Bochner空间$L_2({\mathbb U}^\infty, X, μ)$中的深度ReLU神经网络逼近的非自适应方法，其中${\mathbb U}^\infty$是配备标准高斯概率测度的${\mathbb R}^\infty$，或配备Jacobi概率测度的${\mathbb I}^\infty:= [-1,1]^\infty$。假设待逼近的函数满足广义混沌多项式展开系数关于测度$μ$的加权$\ell_2$ -可和性。我们根据近似深度ReLU神经网络的大小证明了这种近似的收敛速度。然后，这些结果被应用到近似的解决方案，参数椭圆型偏微分方程的对数正态和仿射的情况下，随机输入。
2022-12-14 cs.NA math.NA
Collocation approximation by deep neural ReLU networks for parametric elliptic PDEs with lognormal inputs
我们得到了深度ReLU神经网络对对数正态输入椭圆偏微分方程解的配置逼近的收敛速度，由非紧集$\mathbb{R}^\infty$的$\boldsymbol{y}$参数化。近似误差在Bochner空间$L_2(\mathbb{R}^\infty, V, γ)$的范数中测量，其中$γ$是$\mathbb{R}^\infty$上的无限张量积标准高斯概率测度，而$V$是能量空间。我们也得到了类似的结果的情况下，当对数正态输入参数化$\mathbb{R}^M$非常大的尺寸$M$，和近似误差测量的$\sqrt{g_M}$加权均匀范数的Bochner空间$L_\infty^{\sqrt{g}}(\mathbb{R}^M, V)$，其中$g_M$是密度函数的标准高斯概率测量$\mathbb{R}^M$。
2022-12-06 cs.NA math.NA
On the convergence of physics informed neural networks for linear second-order elliptic and parabolic type PDEs
Brown University（布朗大学）
物理信息神经网络（PINN）是基于深度学习的技术，用于求解计算科学和工程中的偏微分方程（PDE）。在数据和物理定律的指导下，PINN找到了一个近似于PDE系统的神经网络。这样的神经网络是通过最小化损失函数来获得的，在该损失函数中对PDE和数据的任何先验知识进行编码。尽管它在一维、二维或三维问题上取得了显著的经验成功，但PINN几乎没有理论依据。随着数据数量的增长，PINN会生成一个对应于神经网络序列的最小化器序列。我们想回答这样一个问题：极小值序列是否收敛于偏微分方程的解？我们考虑两类偏微分方程：线性二阶椭圆型和抛物型。通过采用Schauder方法和最大值原理，证明了极小值序列强收敛于$C^0$中的PDE解.此外，我们表明，如果每个极小满足初始/边界条件，收敛模式成为$H^1$。计算的例子来说明我们的理论研究结果。据我们所知，这是第一个显示PINN一致性的理论工作。
2020-10-21 cs.LG cs.NA math.NA
Estimates on the generalization error of Physics Informed Neural Networks (PINNs) for approximating PDEs
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
针对 PINNs 求解 PDE 正问题，本文建立抽象框架并利用 PDE 稳定性，给出以训练误差和样本数表示的严格泛化误差上界，且通过非线性 PDE 示例与数值实验验证。
2023-12-06 cs.LG cs.NA math.AP
Weak TransNet: A Petrov-Galerkin based neural network method for solving elliptic PDEs
虽然深度学习在求解偏微分方程（PDE）方面取得了显著的成功，但它仍然面临着重大挑战，特别是当PDE解具有低正则性或奇异性时。为了解决这些问题，我们提出了基于Petrov-Galerkin公式的弱TransNet（WTN）方法，用于在本工作中求解椭圆偏微分方程，尽管其框架可以扩展到其他类型的方程。具体地，由TransNet定义的神经特征空间（Zhang et al.，2023）作为试验空间，而测试空间由径向基函数组成。由于解被表示为测试函数的线性组合，因此可以通过经由最小二乘法最小化弱PDE残差来确定系数。因此，这种方法可以帮助减轻神经网络训练中经常出现的非凸性和病态性的挑战。此外，WTN方法被扩展到处理的解决方案具有多尺度功能或具有急剧变化的问题。几个数值实验证明所提出的方法的鲁棒性和效率。
2025-06-05 cs.NA math.NA
On some neural network architectures that can represent viscosity solutions of certain high dimensional Hamilton--Jacobi partial differential equations
我们提出了新的连接几个神经网络架构和黏性解的一些Hamilton-Jacobi（HJ）偏微分方程（PDE）的哈密顿是凸的，只依赖于空间梯度的解决方案。具体来说，我们证明了在一定的假设下，我们提出的两个神经网络结构表示黏性解的两组HJ偏微分方程的零误差。我们还使用Tensorflow实现了我们提出的神经网络架构，并提供了几个示例和插图。注意，这些神经网络表示可以避免某些HJ PDE的维数曲线，因为它们既不涉及网格也不涉及离散化。我们的研究结果表明，有效的专用硬件实现神经网络可以利用某些HJ PDE的黏性解进行评估。
2020-11-03 cs.NA math.NA
A theoretical analysis on the resolution of parametric PDEs via Neural Networks designed with Strassen algorithm
University of the Basque Country UPV/EHU（巴斯克大学）；BCAM - Basque Center for Applied Mathematics（巴斯克应用数学中心）
构建一族神经网络逼近矩阵乘法算子，用Strassen算法界定其权重和层数，据此定义逼近逆矩阵算子的神经网络，探讨其用于数值求解椭圆型偏微分方程。
2026-07-07 cs.NA math.FA math.NA
Finite Difference Nets: A Deep Recurrent Framework for Solving Evolution PDEs
采用深度学习方法来研究偏微分方程（PDE）已经成为一种新兴趋势。在本文中，我们引入了一个深度递归框架，用于在不生成大规模数据集的情况下求解时间依赖的偏微分方程。我们通过探索传统数值方法（例如有限差分格式）与深度神经网络（特别是卷积和全连接神经网络）之间可能的联系，提供了一个新的视角，即不同类型的架构。我们提出的方法将显示其有效性和效率，在求解具有积分形式的偏微分方程模型，特别是，我们测试单程波方程和守恒律组。
2021-04-16 cs.NA math.NA
Convergence Guarantees for Gradient-Based Training of Neural PDE Solvers: From Linear to Nonlinear PDEs
本文提出统一收敛理论，证明线性PDE下PINNs的全局收敛和非线性PDE下随机特征模型收敛到临界点，并揭示隐式正则化效应，实验验证了理论。
2025-10-08 cs.NA math.NA
