Monotone meshfree methods for linear elliptic equations in non-divergence form via nonlocal relaxation
本文通过非局部松弛与点云无网格离散化相结合，构造了非散度型线性椭圆方程的单调有限差分法，证明了正模板存在性并显著改进了近退化情形下的模板宽度估计。
2023-08-05 cs.NA math.NA
Geometric multigrid method for solving Poisson's equation on octree grids with irregular boundaries
提出了一种在几何多重网格求解器中包含不规则区域边界的方法。Dirichlet边界条件可以施加在由水平集函数定义的不规则边界上。我们的实现采用四叉树/八叉树网格自适应细化，细胞为中心的离散化和逐点平滑。通过执行线搜索以亚网格分辨率确定边界位置。对于界面附近的网格块，将存储考虑界面的自定义操作符模板。对于远离边界的网格块，使用标准的二阶精度离散化。用几个算例说明了该方法的收敛性、鲁棒性和计算量。
2023-01-25 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Efficient and simple fourth-order compact finite difference methods for convection-diffusion-reaction equations on arbitrary curved domains
King Fahd University of Petroleum and Minerals（国王法赫德国立石油与矿物大学）；University of Alberta（阿尔伯塔大学）
本文提出了一种高效的四阶紧致有限差分方法，用于求解具有变量光滑系数的二维对流-扩散-反应方程及其在复杂、细长和曲域上的Dirichlet边界条件，该方法在任意不规则 stencil 中保持了简单且高阶的精度。
2026-05-20 cs.NA math.NA
Spatially-optimized finite-difference schemes for numerical dispersion suppression in seismic applications
波的传播特性由色散关系定义，从色散关系可以恢复控制偏微分方程（PDE）。偏微分方程通常使用有限差分（FD）方法进行数值求解，其中模板由截断的泰勒级数展开构造，虽然通常在时域中提供偏微分方程的良好近似，但通常与波数中的原始偏微分有很大不同-定义色散关系的频域。因此，稳定的高阶FD格式可能不一定会导致真实的波浪行为，通常表现出数值色散：作为离散化产物的滞后高频分量。提出了一种通过约束最小化来优化FD模板权重以更好地近似波数域中的偏导数的方法，从而允许使用比否则可能的更粗糙的网格进行精确传播。这适用于标准网格上的二阶导数和交错网格上的一阶导数。为了评估该方法的有效性，设计了一对数值模拟来比较空间优化的支架与等效程度的常规制剂。提出了具有狄利克雷边界条件的一维声波方程的空间优化公式，评估了一定范围内网格间距的性能，并更详细地检查了传统和优化方案的理论最大网格间距之间的间隔。优化方案被发现提供了优越的性能欠采样波场和严重过采样波场。交错网格的一阶导数stenetrics，然后应用到P-SV弹性波公式，模拟地震波传播的两层，水在岩石模型。
2021-07-13 cs.NA math.NA
Monotone Mixed Finite Difference Scheme for Monge-Ampère Equation
本文提出了一个求解二维蒙日-安培方程的单调混合差分格式。为了实现这一点，我们将蒙日-安培方程转换为一个等效的哈密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程。基于HJB公式，我们应用标准的7点模板离散化，这是二阶精度，单调性保持的网格点，并在其他地方应用半拉格朗日宽模板离散化，以确保整个计算域上的单调性。通过将容许控制集划分为6个区域，并在每个区域内优化子问题，使得最优化问题在每个网格点处的计算代价从$O(M^2)$降低到$O(1)$，否则降低到$O(M)$，其中离散控制集为$M \times M$ .我们证明了我们的数值格式满足一致性、稳定性、单调性和强比较原理，从而收敛于蒙日-安培方程的粘性解.在数值结果中，当在整个计算域上单调地应用标准的7点模板离散时，达到了二阶收敛速度，否则达到了一阶收敛。与纯半拉格朗日宽模板格式相比，该混合格式具有更小的离散化误差和更快的收敛速度。
2019-10-07 cs.NA math.NA
Overcoming Element Quality Dependence of Finite Elements with Adaptive Extended Stencil FEM (AES-FEM)
Department of Applied Mathematics & Statistics, Stony Brook University（应用数学与统计系，石溪大学）
本文提出AES-FEM，通过通用拉格朗日多项式基函数替代传统基函数，提升有限元在低质量网格下的稳定性与效率，验证其在泊松方程和对流-扩散方程中的准确性与收敛性。
2016-03-08 cs.NA math.NA
A sharp bound on the convergence rate of an aggregation-based algebraic multi-grid method applied to a 1D model problem
针对一维泊松方程离散系统，证明了基于两两聚合的代数二重网格方法每步将误差的A-范数至少降低因子1/√2。
2013-03-19 cs.NA math.NA
A closed-form multigrid smoothing factor for an additive Vanka-type smoother applied to the Poisson equation
考虑了标准差分中心格式离散的泊松方程的一种可加Vanka型光滑器。利用局部傅里叶分析，我们推导出两种类型的平滑器，称为顶点和元素的Vanka平滑器的最佳平滑因子的解析公式，并提出相应的支架。有趣的是，在一维情况下，单元Vanka平滑器等价于由线性有限元法得到的标度质量算子，而在二维情况下，单元Vanka平滑器等价于由双线性有限元法离散的标度质量算子加上标度恒等算子.基于这些发现，从有限元法获得的质量矩阵可以被用作拉普拉斯算子的逆的近似，并且由此产生的基于质量的松弛格式在一维、二维和三维中具有小的平滑因子。质量算子的优点是该算子是稀疏的和良态的，并且松弛方案的计算成本仅为一个矩阵-向量乘积;不需要计算矩阵的逆。这些发现有助于更好地理解加法Vanka平滑器的效率，并开发偏微分方程数值解的快速求解器。
2021-11-04 cs.NA math.NA
A fourth-order accurate compact difference scheme for solving the three-dimensional Poisson equation with arbitrary boundaries
本文提出一种基于四阶紧致有限差分和预处理BiCGSTAB的三维Poisson方程高阶清晰界面求解方法，通过调整界面附近差分模板避免跳跃修正，在任意边界下保持四阶精度与高效计算。
2019-02-04 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A Correction Function Method for Poisson Problems with Interface Jump Conditions
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；McGill University（麦吉尔大学）
提出一种修正函数方法，通过定义界面附近带状区域上的修正函数并求解偏微分方程，实现标准黑盒求解器对含跳跃条件泊松问题的高精度求解。
2011-09-29 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A scalable high-order multigrid-FFT Poisson solver for unbounded domains on adaptive multiresolution grids
Department of Mechanical Engineering, Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院机械工程系）；NVIDIA（英伟达）
本文提出了一种可扩展的高阶多网格-FFT泊松求解器，用于处理无界域上的自适应多分辨率网格，通过灵活的多网格方法和高阶紧凑Stencil提高求解效率和精度。
2025-12-09 cs.DC cs.NA math.NA
A High-Order Compact Finite Volume Method for Unstructured Grids: Scheme Space Formulation and One-Dimensional Implementations
State Key Laboratory for Turbulence and Complex Systems, Department of Mechanics, School of Mechanics and Engineering Science, Peking University（北京大学力学与工程科学系、力学与工程科学学院湍流与复杂系统国家重点实验室）
本文提出了一种新颖的紧致重建方法，通过构建均值与函数值的线性关系，解决高阶有限体积方法的构造问题，利用方案空间理论实现高阶精度并控制色散与耗散特性。
2026-03-26 cs.NA math.NA physics.flu-dyn
A Radial Basis Function (RBF)-Finite Difference (FD) Method for Diffusion and Reaction-Diffusion Equations on Surfaces
本文提出了一种基于径向基函数（RBF）生成的有限差分（FD）方法，用于数值求解嵌入$\mathbb{R}^d$的闭曲面上的扩散和反应扩散方程（PDE）。我们的方法使用的线的方法制定，其中出现在偏微分方程的表面衍生物近似局部使用RBF插值。该方法只需要表示曲面的离散节点和这些离散节点处的法向量。所有计算都只使用外部坐标，从而避免了坐标失真和奇点。我们还提出了一个优化过程，允许我们的RBF-FD方法通过选择形状参数为每个模板，对应于一个全局目标条件数的离散微分算子的稳定。我们展示了我们的方法在两个不同模板大小的表面上的收敛性，并将其应用于隐式/参数化表面和点云表示的更一般表面上的非线性偏微分方程模拟。
2014-04-03 cs.NA math.NA
A three-field formulation of the Poisson problem with Nitsche approach
University of Newcastle（纽卡斯尔大学）
本文提出一种改进的三场公式，利用Nitsche方法弱化Dirichlet边界条件，同时保持最优收敛性，并通过正交系统和稳定化项保证整体空间的 coercivity，通过数值实验验证了该方法的代数形式。
2017-11-16 cs.NA math.NA
A new class of finite difference methods: The zigzag schemes
本文提出一类新的有限差分格式——锯齿格式，采用不对称混合模板，具有更宽松的稳定性约束和消失系数，可实现高阶格式，避免幽灵解，且易于在现有代码中实现，为数值模拟提供更快更稳定的替代方案。
2025-05-23 cs.NA math.NA
A Family of Even-Order Central-Upwind WENO Schemes with Averaged Downwind and Novel Global Smoothness Indicators
Pohang University of Science and Technology（浦项科技大学）；Ocean University of China（中国海洋大学）；Hong Kong Baptist University（香港浸会大学）
本文提出一种简单有效的后向风 stencil 平滑度指标，结合 affine-invariant Z 型非线性权重和全局平滑度指标，实现高阶精度和非振荡性，数值实验显示其在计算效率和精度上优于现有方案。
2026-03-27 cs.NA math.NA
The distance between the general Poisson summation formula and that for bandlimited functions; applications to quadrature formulae
RWTH Aachen（亚琛工业大学）；University of Erlangen-Nuremberg（埃尔朗根-纽伦堡大学）
研究一般泊松求和公式与带限函数公式的距离，利用经典光滑度模和适当度量，结合分数阶导数，给出余项的最佳估计。
2016-05-04 cs.NA math.NA
An interface formulation for the Poisson equation in the presence of a semiconducting single-layer material
在本文中，我们考虑一个半导体器件的有源区由单层材料制成。静电势的相关泊松方程（为了进行自洽计算而求解）的特征在于单层周围区域中的表面颗粒密度和面外介电常数。为了避免在这样的区域网格细化，我们提出了一个接口问题的基础上自然的区域分解建议的物理设备。讨论了两种不同的界面连续性条件。然后，我们写相应的变分制剂适应所谓的三个领域制定的区域分解，我们近似它们使用适当的有限元法。最后，数值实验来说明这种接口方法的一些具体功能。
2023-01-31 cs.NA math.NA
Imposing jump conditions on nonconforming interfaces for the Correction Function Method: a least squares approach
我们介绍了一种技术，该技术简化了在校正函数方法（CFM）的背景下对与计算网格不对齐的界面施加跳跃条件的问题。CFM提供了一个通用的框架来解决泊松方程的不连续性的存在下，以高的精度，同时使用紧凑的离散模板。CFM背后的一个关键概念是在最小二乘意义上强制执行跳跃条件。该概念需要计算界面的各部分上的积分，当仅界面的隐式表示可用时（例如，水平集函数的零轮廓）。这里介绍的技术是基于一个新的配方的最小二乘程序，只依赖于积分域，适合于简单的正交后，局部坐标变换。我们将这种技术到一个四阶精确的CFM实现，并显示在2-D和3-D计算泊松方程的解决方案的例子。
2019-07-10 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Comparative study on higher order compact RBF-FD formulas with Gaussian and Multiquadric radial functions
该研究推导了基于高斯径向函数的高阶紧致RBF-FD公式的权重与截断误差解析表达式，利用模板对称性结合泰勒展开实现符号计算，验证了其精度优于同类多二次基公式与紧致有限差分格式，并给出最优形状参数。
2024-12-13 cs.NA math.NA
Robust Multigrid for Cartesian Interior Penalty DG Formulations of the Poisson Equation in 3D
Technische Universität Dresden（德累斯顿工业大学）
本文提出了一种多项式多网格方法，用于三维笛卡尔网格上泊松方程的节点内惩罚DG格式，采用加权重叠Schwarz平滑器，实现高收敛率和鲁棒性，适用于大网格和高阶近似。
2016-12-14 cs.NA math.NA
A positivity-preserving high-order semi-Lagrangian discontinuous Galerkin scheme for the Vlasov-Poisson equations
University of Wisconsin（威斯康星大学）
针对 Vlasov-Poisson 方程，提出一种基于算子分裂的半拉格朗日间断 Galerkin 方法，实现质量守恒、保正性和高阶时间精度。
2011-03-26 cs.NA math.NA physics.plasm-ph
No 3D Matrices: A Unified Tensor-Product View of Matrix-Free Cartesian PDE Solvers
University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
本文揭示笛卡尔3D PDE求解器中所有操作均沿坐标轴分解为一维带状核，无需组装3D矩阵，并推导Kronecker积代数、总结三种生产技巧以实现高效计算。
2026-06-25 cs.CE cs.NA math.NA
Anti-symmetric and Positivity Preserving Formulation of a Spectral Method for Vlasov-Poisson Equations
本研究针对一维Vlasov-Poisson方程提出一种基于对称加权Hermite基谱展开、中心有限差分和隐式Runge Kutta积分的离散格式，证明其保反对称结构与稳定性，推导两种形式的守恒律并通过多类基准问题验证。
2024-10-30 cs.NA math-ph math.MP
Towards optimal boundary integral formulations of the Poisson-Boltzmann equation for molecular electrostatics
Poisson-Boltzmann方程提供了一种有效的方法来研究静电在分子设置。采用边界元法的数值解由于能精确地表示复杂的分子表面，并能明确地考虑点电荷，因而得到了广泛的应用。事实上，在文献中有几个著名的边界积分公式。本文给出了隐式溶剂模型的边界整表示的一般表达式，从而产生了计算静电势的新形式。此外，它提出了一种策略，以建立有效的预条件的任何产生的系统，提高线性求解器的收敛性。我们进行系统的基准测试的一组配方和预条件，专注于解决方案的时间，矩阵调理，和特征值谱。我们看到，特征值聚类是一个很好的指标的矩阵调理，并表明，他们可以很容易地操纵缩放的预条件。我们的研究结果表明，最佳的选择是问题的大小依赖，其中一个简单的直接配方是最快的小分子，但更多涉及的第二类方程更好地为较大的问题。我们还提出了一个快速的Calderón预条件的第一类配方，这表明有前途的行为，为未来的分析。这项工作的基础上选择最方便的边界积分公式的泊松-玻尔兹曼方程为一个给定的问题。
2021-08-24 cs.NA math-ph math.MP
Continuous gap contact formulation based on the screened Poisson equation
我们引入了一个基于偏微分方程的节点到元素的接触配方作为替代经典的，纯粹的几何配方。利用有限元离散化方法求解具有连续间隙的非光滑接触问题具有挑战性。我们在这里实现这一目标，通过构建一个近似的距离函数（ADF）的固体物体的边界，并在这样做，也获得了普遍的唯一性接触检测。单侧约束是使用一个混合模型相结合的筛选泊松方程和力的元素，它具有一个连续体元素的拓扑结构包含一个额外的入射节点。通过求解具有常数本质边界条件的屏蔽泊松方程和一个变量变换得到ADF。ADF不显式地依赖于对象的数量，并且该领域的偏微分方程的单个解唯一地定义了网格中所有入射点的接触条件。具有针对任何障碍物的ADF场绕过了多个目标表面，并且避免了传统接触碰撞算法中存在的特定数据结构。我们也放松的拉格朗日乘子的接触力的解释，和柯朗-贝尔特拉米函数是用一个混合配方产生所需的可微的结果。我们证明了新方法的优点，在二维和三维的问题，使用牛顿迭代求解。同时考虑每个入射点的约束。
2023-02-25 cs.NA math-ph math.MP
