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多项式理想的恰当基

The Proper Basis for Polynomial Ideals

Sheng-Ming Ma

备注：
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AI总结：

本文提出一种称为恰当基的新型理想基，以最小变量为参数在其余变量中计算，比 Buchberger 算法和 Möller 算法更高效，且形式更简洁、能减轻系数膨胀，并有望进一步改进现有最先进算法。

摘要：

我们定义了一种称为恰当基的新型理想基，它同时改进了 Gröbner 基与 Buchberger 算法。设 $x_1$ 为域 $K$ 上多项式环 $K[x_1,\dotsc,x_n]$ 中单项式序的最小变量。零维多项式理想的 Gröbner 基包含一个关于 $x_1$ 的一元多项式。恰当基是在变量 $\tilde{\bm{x}}:=(x_2,\dotsc,x_n)$ 中定义和计算的，其中 $x_1$ 在代数 $K[x_1][\tilde{\bm{x}}]$ 中充当参数。其算法不仅比 Buchberger 算法更高效——后者的 $\tilde{\bm{x}}$ 消元不必要地涉及最小变量 $x_1$——而且由于其多项式除法机制，也比 Möller 算法更高效。本文中的一系列基准测试证实了这一点。恰当基具有模形式，且比 Gröbner 基更简洁，因此减轻了其系数膨胀问题。可以预期，过去几十年中所有改进 Buchberger 算法的最先进算法，如果应用于恰当基，都可以得到进一步改进。

英文摘要：

We define a new type of ideal basis called the proper basis that improves both Gröbner basis and Buchberger's algorithm. Let $x_1$ be the least variable of a monomial ordering in a polynomial ring $K[x_1,\dotsc,x_n]$ over a field $K$. The Gröbner basis of a zero-dimensional polynomial ideal contains a univariate polynomial in $x_1$. The proper basis is defined and computed in the variables $\tilde{\bm{x}}:=(x_2,\dotsc,x_n)$ with $x_1$ serving as a parameter in the algebra $K[x_1][\tilde{\bm{x}}]$. Its algorithm is more efficient than not only Buchberger's algorithm whose elimination of $\tilde{\bm{x}}$ unnecessarily involves the least variable $x_1$ but also Möller's algorithm due to its polynomial division mechanism. This is corroborated by a series of benchmark testings herein. The proper basis is in a modular form and neater than Gröbner basis and hence reduces its coefficient swell problem. It is expected that all the state of the art algorithms improving Buchberger's algorithm over the last decades can be further improved if we apply them to the proper basis.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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