关系理想与Buchberger-Möller算法

代数数域上的Gröbner基

Gröbner Bases over Algebraic Number Fields

虽然Buchberger算法在理论上允许我们计算任何域上的Gröbner基，但是在实践中，计算效率取决于基场的算法。考虑一个域$K = \mathbb{Q}(α)$，它是$\mathbb{Q}$的一个简单扩展，其中$α$是一个代数数，令$f \in \mathbb{Q}[t]$是$α$的最小多项式。本文提出了一种计算代数数域$K$上多项式环中Gröbner基的新方法.从Noro [Noro，2006]的想法出发，我们将$f$加入到要考虑的理想中，并添加$t$作为额外变量。但是，我们没有通过反转代数数来避免多余的S对约简，而是通过应用模块化方法来实现相同的目标[Arnold，2003; Böhm等人，2015; Idrees等人，2011]，即，通过从特性$p > 0$中的信息推断特性零中的信息。对于适当的素数$p$，极小多项式$f$在$\mathbb{F}_p$上是可约的。这使我们能够再次在第二个层次上对$f$的因素应用模块化方法。因此，该算法类似于分而治之的策略，特别是容易并行化。在当前状态下，该算法是概率的，因为对于其他模块化Gröbner基计算，有效的最终验证测试仅针对齐次理想或局部单项排序。所提出的时间表明，对于大多数的例子，我们的算法，它已被实现在SINGULAR，远远优于其他已知的方法。