A note on seminormality of cut polytopes
Michał Lasoń, Mateusz Michałek
证明了割多面体的正规性与正规性等价。这解决了两个关于割多面体的非正规性的问题。
We prove that seminormality of cut polytopes is equivalent to normality. This settles two conjectures regarding seminormality of cut polytopes.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Seminormality, canonical modules, and regularity of cut polytopes
受Sturmfels和Sullivant猜想的启发，我们研究了正规割多面体。经过一个简短的调查已知的结果正常切割多面体特别是观察到，单纯和简单的切割多面体，他们的切割代数是正常的，因此科恩-麦考利。此外，考虑了正态性。证明了$K_5$的割代数是非正规的，这又意味着它是非正规的.对于正常Gorenstein割代数和其他情况下的利益，我们确定其典型的模块。针对各种类型的图计算了割代数的Castelnuovo-Mumford正则性，并在假设正态性的情况下提供了它的界。作为一个应用，我们分类所有的图，其割代数的正则性小于或等于4。
Gorenstein cut polytopes
一个整凸多胞体${\mathcal P}$称为Gorenstein，如果它的复曲面环$K[{\mathcal P}]$是正规的且是Gorenstein的.本文给出了图的Gorenstein割多面体的一个明确的刻画。首先，我们证明了Gorenstein割多面体是压缩的（即，其所有的反向字典式三角剖分都是幺模的）。其次，应用Athanasiadis关于Gorenstein压缩多面体的理论，证明了图$G$的割多面体是Gorenstein当且仅当$G$没有$K_5$ -子图，并且$G$是一个没有长度为$\geq 6$的诱导圈的二部图或一个无桥弦图.
The $h^{*}$-polynomial of the cut polytope of $K_{2,m}$ in the lattice spanned by its vertices
图的割多胞形是泛函分析、组合优化、概率论等领域的重要研究对象。例如，Sturmfels和Sullivant证明了切割多面体的复曲面理想在代数统计中是有用的。在格多面体理论中，$h^{*}$ -多项式是最重要的不变量之一。已知割多面体的$h^{*}$ -多项式是回文的充要条件。然而，除了树，没有一类图的$h^{*}$ -多项式的切割多面体是明确指定的。本文利用复曲面理想的Gröbner基理论，确定了完全二部图$K_{2,m}$的割多面体的$h^{*}$ -多项式.
Normality of cut polytopes of graphs is a minor closed property
Sturmfels-Sullivant证明了图的割多面体是正规的当且仅当图没有K_5子图。本文证明了图的割多面体的正规性是一个次闭性质。利用这个结果，我们得到了大量的正规割多面体。此外，事实证明，为了研究该猜想，考虑4-连通平面三角剖分就足够了。
Cut Polytopes of Minor-free Graphs
图$G$的割多面体是图$G$中所有割的指示向量的凸包，它与最大割问题密切相关.给出了$K_{3,3}$ -minor free图的割多面体的刻面描述，并给出了求解这类图的MaxCut的算法，该算法只需要平面MaxCut的运行时间.此外，开始系统的几何研究切割多面体，我们分类图承认一个简单的或单纯的切割多面体。
Generating facets for the cut polytope of a graph by triangular elimination
图的割多胞形在许多领域都有研究。尽管人们对完全图的割多面体的刻面有很多了解，但对一般图的刻面却知之甚少。在量子信息科学中贝尔不等式的研究需要了解完全二部图或更一般的完全k部图的割多面体的刻面。提升是证明某些不等式是割多面体的刻面诱导的主要工具。在本文中，我们介绍了一个提升操作，命名为三角消除，适用于广泛的图的割多面体。三角消元法是利用三角不等式将零提升法和傅立叶-莫茨金消元法结合起来的一种特殊方法。证明了三角形消去的小平面诱导不等式是小平面诱导不等式的充分条件。证明是基于一个变化的提升引理适用于一般的图形。该结果可用于从完全图的割多面体导出各种图的割多面体的刻面诱导不等式。我们还研究了由三角消去法得到的完全二部图的割多面体的刻面诱导不等式的对称性。
Lattice polytopes cut out by root systems and the Koszul property
我们证明了由经典型的根系切出的格多面体是正规的和Koszul的，推广了Bruns，Gubeladze和Trung在A型中的一个著名结果.我们证明了类似的结果凯莱和的集合的多面体的Minkowski和被切断的根系。证明是基于对角分裂环面品种的组合特征。
Cycle algebras and polytopes of matroids
拟阵的圈多面体已经被引入到组合优化中，作为与图相关联的多面体对象的重要类别如割多面体和欧拉子图多面体的推广。在这里，我们开始了代数和几何调查这些多面体通过研究他们的环面代数，称为循环代数，和他们的定义理想。几个拟阵的操作被认为是决定面临的循环多面体属于这一类的多面体对象。作为本文的一个关键技术，我们研究了给定拟阵的某些子式在循环代数的水平上产生代数收缩。特别是，这使我们能够使用强大的代数机器。作为一个应用，我们研究了最高可能的程度，在最小齐次系统的生成元的定义理想的循环代数以及有趣的情况下，切割多面体和欧拉子图多面体。
On 1-skeleton of the cut polytopes
本文研究了几类图的割多面体1-骨架的直径和团数，发现连通图直径不超过$|V|-1$，而团数随图类不同呈线性或超多项式变化，以此估计最大割问题的计算复杂度。
Cut polytope has vertices on a line
割多胞形${\rm CUT}(n)$是顶点集为$\{1,\ldots,n\}$的完全图中割向量的凸包。它在组合优化领域中是众所周知的，并且最近也被研究与对称伯努利随机变量的容许相关性的直接关系。这种概率解释是这项工作的出发点，结合自然二进制编码的CUT（$n$）。我们表明，对于任何$n$，适当的缩放，所有顶点的多面体${\mathbf 1}$ -CUT（$n$）编码为整数近似的线$y= x-1/2$。
Generalized Cut Polytopes for Binary Hierarchical Models
本文引入广义割多面体，通过广义协方差映射与任意单纯复形的二元边缘多面体同构，并给出若干重要单纯复形族的完整H-表示及部分体积计算。
On the Bond Polytope
给定图$G=(V,E)$，最大键问题搜索具有$S \subseteq V$的最大割$δ(S) \subseteq E$，使得$G[S]$和$G[V\setminus S]$连接。这个问题与著名的最大割问题密切相关，并以各种名称，如最大键，最大最小割和最大连通（边）割而闻名。键多面体是键的所有关联向量的凸包。与相应的最优化问题的联系类似，键合多胞形与割多胞形也是密切相关的。虽然切割多面体已经深入研究，有没有结果的债券多面体。我们开始对后者进行结构研究。我们调查切割和债券多面体之间的关系，并研究图形修改债券多面体及其刻面的效果。此外，我们还研究了键多面体的边和圈所产生的刻面定义不等式。特别是，这些产生一个完整的线性描述的债券多面体的循环和$3$连接平面$(K_5-e)$ -未成年人的自由图。此外，我们还将任意图上的最大键问题归结为$3$ -连通图上的最大键问题。这产生了一个线性时间算法的最大键$(K_5-e)$ -小自由图。
Enumeration of the facets of cut polytopes over some highly symmetric graphs
我们在这里报告的计算给出了完整的列表切割多面体在几个非常对称的图与$15-30$边，包括$K_8$，$K_{3,3,3}$，$K_{1,4,4}$，$K_{5,5}$，一些其他的$K_{l,m}$，$K_{1,l,m}$，$Prism_7, APrism_6$，莫比乌斯阶梯$M_{14}$，十二面体，Heawood和彼得森图。对于$K_8$，它表明[CR]中给出的切割多面体$CUTP_8$和切割锥$CUT_8$的巨大刻面列表是完整的。我们还证实了猜想，任何方面的$CUTP_8$是相邻的三角形方面。$K_{1,l,m}$与$(l,m)=(4,4),(3,5),(3,4)$的方面列表解决了量子信息理论中的问题（例如，参见[Werner]）。
Edge connectivity of simplicial polytopes
一个单纯多面体是一个多面体的所有方面是组合等价的单纯形。本文研究单纯多面体图的边连通度。我们首先证明了，对任意$d\ge 3$，对任意$d\ge 3$，在这样的图中基数至多为$4d-7$的每一个最小边割是\textit{trivial}，即它由与某个顶点关联的所有边组成。这样的结果是，对于$d\ge 3$，具有最小度$δ$的单纯$d$ -多面体的图是$\min\{δ,4d-6\}$ -边连通的。在特殊情况下的$d=3$，我们有，每一个最小的边缘削减在一个平面三角剖分是平凡的，这可能是感兴趣的研究人员在图论。其次，对每一个$d\ge 4$，我们构造了一个单$d$ -多面体，它的图具有基数$(d^{2}+d)/2$的非平凡最小边割.这给出了一个具有非平凡最小边割的单纯4-多面体，它有10条边。因此，上述结果对于单纯$4$ -多面体是最可能的。
New Classes of Facets of Cut Polytope and Tightness of I_{mm22} Bell Inequalities
Grishukhin不等式Gr_7是CutP_7的一个方面，CutP_7是七点上的截多面体，它是“零星的”，因为它的正确推广还不知道。本文将Gr_7推广为适用于CutP_{n+1}的不等式I（G，H），其中G和H是满足一定条件的n个节点的图，并证明了I（G，H）是刻面的一个充要条件。这个结果与Avis，Imai，Ito和Sasaki的三角消去定理相结合，肯定地解决了量子理论中的Collins和Gisin猜想：I_{mm22} Bell不等式是完全二部图K_{m,m}的相关多面体CorP（K_{m,m}）的一个方面，其中m>=1.我们还将CutP_8的Gr_8刻面不等式推广为对CutP_{n+2}成立的不等式I '（G，H，C），并给出了I'（G，H，C）为刻面的一个充分条件.
On the extension complexity of combinatorial polytopes
本文推广了Fiorini等人关于割多面体及其相关多面体的扩张复杂性的结果。我们首先描述了一个提升参数，以显示指数扩展的复杂性的NP完全问题，包括子集和三维匹配。然后，我们得到了图的割多面体的扩张复杂性与它的图的子图的扩张复杂性之间的关系。利用这一点，我们能够显示指数扩展的复杂性，为大量的图形，包括那些用于量子信息和悬挂的立方可平面图的切割多面体。
Bernoulli Correlations and Cut Polytopes
给定$n$对称伯努利变量，可以说它们的相关阵是一个向量吗？我们证明了这些向量的集合$R(\mathcal{B}_n)$是一个多面体，并确定其顶点。这些极值点对应于与立方体$[0,1]^n$对角线上的离散均匀分布相关联的相关向量。我们还表明，多面体是仿射同构的一个著名的切割多面体${\rm CUT}(n)$被定义为一个凸壳的切割向量在一个完全图的顶点集$\{1,\ldots,n\}$。同构被明确地获得为$R(\mathcal{B}_n)= {\mathbf{1}}-2~{\rm CUT}(n)$。作为这项工作的必然结果，它是直接使用线性规划，以确定是否一个特定的相关阵是可实现的或没有。进而得到了具有给定相关性的多元对称Bernoullis的抽样方法。在某些情况下，该方法也可以用于一般的，而不仅仅是伯努利，边缘。
An Explicit Formula for Vertex Enumeration in the CUT(n) Polytope via Probabilistic Methods
本文通过概率视角和二进制编码递归构造，引入具有二的幂复合不变性的交替循环函数，给出了经典割多胞体 CUT(n) 顶点的显式闭式枚举公式。
The Tight Cut Decomposition of Matching Covered Uniformable Hypergraphs
完美匹配多面体，即图的完美匹配（的关联向量）的凸包，在许多组合算法中被使用。Kotzig，Lovász和Plummer发展了一个分解理论，用于具有完美匹配的图及其对应的多面体，称为紧切分解，它将每个图分解为许多不可分解的图，所谓的砖块。对于具有完美匹配的图的许多感兴趣的性质，包括完美匹配多面体的描述，考虑这些砖块就足够了。Lovász关于紧割分解的一个关键结果是，在紧割分解过程中，获得的砖列表是相同的，与紧割的选择无关。这意味着找到一个紧割分解是多项式时间等价于找到一个单一的紧割。我们推广的概念，紧切，紧切收缩和紧切分解超图。通过一个例子，我们证明了一般超图的紧割分解的结果不再是唯一的。然而，我们能够证明的唯一性的紧割分解保持轻微的推广均匀超图。此外，我们展示了如何紧割分解导致分解的完美匹配多面体的均匀超图和识别问题的紧割均匀超图是多项式时间可解的。
Edge connectivity of simplicial polytopes
本文证明了单纯形多胞体图的边连通性下界，并构造达到该下界的例子，表明结果最优。
On the Expansion of Graphs of 0/1-Polytopes
图的边扩张是指图的一个割中的边数与被该割分开的两个节点集中较小的一个的大小之商的最小值。从下面界定边扩展对于从上面界定图上随机游动的“混合时间”是重要的。Mihail和Vazirani证明了0/1-多面体的图至少有一个边扩张。这个猜想的证明（甚至是一个较弱的猜想）将意味着随机近似计数理论中几个长期存在的开放问题的解决方案。我们提出了不同的技术，从下面的0/1-多面体的边缘扩展的边界。通过这些工具，我们表明，几类0/1-多面体确实有图的边扩张至少有一个。这些类包括维数最多为5的所有0/1-多面体、所有单0/1-多面体、所有超单形、所有独立集多面体和所有（完美）匹配多面体。
Binary Cyclic Transversal Polytopes
本文提出循环横截多胞体以统一推广割多胞体、稳定集与匹配多胞体，引入提升奇集不等式并证明其在秩至多二时足以完全描述，同时给出扩展表述与松弛层级。
A bound for the number of vertices of a polytope with applications
我们证明了一个特定类型的多面体的顶点数是指数大的维数的多面体。作为推论，我们证明了一个n维中心对称多面体有2^{Omega（n）}个顶点，且当k > 2 r时，k-正则图的r-因子数是图的顶点数的指数倍，且每边至少有两个顶点的割都有k/r条以上的边.
A special role of Boolean quadratic polytopes among other combinatorial polytopes
我们考虑几个家庭的组合多面体与以下NP-完全问题：最大割，布尔二次规划，二次线性序，二次分配，集划分，集包装，稳定集，3-分配。为了比较两族多面体，我们使用以下方法。我们说族$P$是仿射约化为族$Q$，如果对于每个多面体$p\in P$，存在$q\in Q$使得$p$仿射等价于$q$或$q$的一个面，其中$\dim q = O((\dim p)^k)$对于某个常数$k$。在这种比较下，上述家族被分裂成两个等价类。我们还表明，这两个类是简单的（在上述意义上）比家庭的poytopes以下问题：集覆盖，旅行商，0-1背包问题，3-可满足性，立方子图，偏序。特别是，布尔二次多面体出现在每一个提到的家庭多面体的面。
Exponential Lower Bounds for Polytopes in Combinatorial Optimization
我们解决了一个20岁的问题所提出的Yannakakis和证明，不存在多项式大小的线性规划（LP）的相关多面体项目的旅行商多面体，即使LP不需要是对称的。此外，我们证明了这也适用于切割多面体和独立集多面体。这些结果是通过我们在单向量子通信协议和LP的半定规划重构之间建立的新联系发现的。
Metric combinatorics of convex polyhedra: cut loci and nonoverlapping unfoldings
本文研究任意维凸多胞体边界的组合学与其度量几何之间的相互作用。设S是维数为d+1的凸多胞体的边界，或更一般地，设S是“凸多面体伪流形”。我们证明了S在R^d中有一个多面体非重叠开折，因此度量空间S是由R^d中的一个闭（通常是非凸的）多面体球通过等距识别边界面对而得到的。我们的存在性证明利用测地流远离源点v在S中，这是指数映射到S从切空间在v.我们的特点是“割迹”（封闭的一组点在S中有一个以上的最短路径v）作为一个多面体复杂的Voronoi图方面。分析波前的无穷小展开，该波前由S上与v保持恒定距离的点组成，产生了一种算法方法，用于在每个小平面上构造Voronoi图，从而展开S。该算法，我们提供了伪代码，解决了离散测地线问题。它的主要结构是将3-多面体边界的源开折推广到R^2。本文给出了凸多面体边界上最短路的个数和凸多面体的连续开折的一些结果。我们还评论了非凸多面体流形的内在非多项式复杂性。
Two-player envy-free multi-cake division
我们引入了一个广义的蛋糕切割问题，我们试图划分多个蛋糕，使两个球员可能会得到他们最喜欢的一块选择：一块从每个蛋糕的选择，允许的可能性链接偏好的蛋糕。对于两个球员，我们表明，不相交的无嫉妒片选择可能不存在两个蛋糕切成两片，他们可能不存在三个蛋糕切成三片。然而，确实存在这样的划分，两个蛋糕切成三块，三个蛋糕切成四块。由此产生的分配件的球员是帕累托最优的分工。我们使用一个推广的Sperner引理的多面体的部门定位解决方案，我们的广义蛋糕切割问题。
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