Envy-free division via configuration spaces
经典的无嫉妒分割和均衡问题的方法依赖于Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz定理，Sperner引理或一些涉及映射度的扩展。我们提出了一个不同的和相对新颖的方法，重点是配置空间和等变拓扑。我们说明了方法证明几个亲戚（扩展）的经典的嫉妒免费划分定理的大卫盖尔，其中强调的是偏好，让玩家选择退化的蛋糕。
2021-03-18 math.CO
Fair Multi-Cake Cutting
在经典的公平切蛋糕问题中，一个单一的区间（“蛋糕”）必须在具有不同价值度量的n个代理之间划分，给每个代理一个单一的子区间，其价值至少为总数的1/n。本文研究了一种推广，其中蛋糕由m个不相交的区间组成，每个智能体最多可以得到k个子区间。本文提出了一个多项式时间算法，保证每个代理至少min（1/n，k/（m+n-1））的总值，并表明，这是可以保证的最大部分。该算法同时保证每个代理至少1/n的价值，代理可以得到没有合作伙伴共享。主要的技术工具是二部图中的无嫉妒匹配。一些结果仍然有效，即使有额外的公平性约束，如嫉妒自由。除了自然的应用程序的算法同时划分的多个土地房地产，本文显示了一个应用程序的几何问题-公平划分的二维土地房地产形状为一个直线多边形，每个代理应该收到一个矩形片。
2020-06-18 math.CO
Lower bounds on the number of envy-free divisions
本文研究无嫉妒分割数量的下界，在经典Woodall-Stormquist设定中证明至少存在两个无嫉妒分割且下界是紧的，并在混合情形中结合测度等分配给出组合计数下界。
2025-05-07 math.CO math.GT
Connectedness in weighted consensus division of graphical cakes between two agents
本文推广Austin移动刀程序至图蛋糕，考虑两智能体不等权利，提出加权共识分割方法，并给出各图类下连通块数量的紧界。
2025-09-25 cs.GT math.CO
Between proportionnality and envy-freeness: k-proportionality
本文提出k-比例性概念，构建比例分配与无嫉妒分配之间的标度，证明了在连通块下k-比例且公平分配及帕累托最优k-比例分配的不可能性，并统一推广了强无嫉妒和强比例分配定理。
2025-09-16 cs.GT cs.MA math.CO
Envy-free Matchings in Bipartite Graphs and their Applications to Fair Division
一个具有部分X和部分Y的二部图的匹配称为无嫉妒，如果X中没有不匹配的顶点与Y中的匹配的顶点相邻。每一个完美的配对都是没有嫉妒的，但即使完美的配对不存在，也存在没有嫉妒的配对。我们证明了每个二部图都有唯一的划分，使得所有的无嫉妒匹配都包含在其中一个划分集中。利用这个结构定理，我们提供了一个多项式时间算法，找到一个最大基数的嫉妒自由匹配。对于边加权二部图，我们提供了一个多项式时间算法来寻找一个最大基数的最小总重量的无嫉妒匹配。我们展示了如何嫉妒免费匹配可以用于各种公平的划分问题，无论是连续的资源（“蛋糕”）或离散的。特别地，我们提出了一个对称算法的比例切蛋糕，一个算法的1-out-of-（2n-2）的最小份额分配的离散货物，和一个算法的1-out-of-floor（2n/3）的最小份额分配的离散bads之间的n代理。
2022-04-14 cs.DS cs.GT math.CO
Cutting a cake for infinitely many guests
公平分配是资源分配中的一个重要问题。对于$ i\in [n] $，令$ μ_i $是可测空间$(C,\mathcal{S}) $上的无原子概率测度，并令$ t_i $是具有$ \sum_{i=1}^{n}t_i=1 $的正数（权利）。公平划分是将$ C $划分为集合$ S_i\in \mathcal{S} $，其中每个$ i\in [n] $具有$ μ_i(S_i)\geq t_i$。我们引入新的算法来解决不合理的权利的公平划分问题。它们是基于经典的最后一个缩减器技术，我们相信，他们比已知的方法更简单。然后，我们证明了一个公平的分工总是存在的，即使是无限多的球员。
2022-02-14 math.CO
Cutting a Cake Fairly for Groups Revisited
切蛋糕是一个经典的公平分配问题，蛋糕作为一个隐喻的异质可分资源。最近，研究表明，对于任何数量的玩家，只要他们对蛋糕有任意的偏好，就可以将玩家分成任何大小的组，并在组之间划分蛋糕，这样每个组都能得到一块连续的蛋糕，每个玩家都不会嫉妒。对于两个组，我们的特点是组的大小，这样的分配可以计算出一个有限的算法，显示任务是可能的，正是当一个组是一个单例。我们还建立了一个类似的存在性结果的家务分工，并表明，该结果不成立的混合蛋糕。
2023-01-22 cs.GT econ.TH math.CO
Fair division with multiple pieces
给定一组$p$球员，我们考虑的问题，从一组给定的货物或杂务的$k$件的集合羡慕免费分配。我们表明，如果$p\le n$和每个球员可以选择$k$块出$n$块的蛋糕，然后存在一个部门的蛋糕和分配的作品，至少$\frac{p}{2(k^2-k+1)}$球员得到他们想要的$k$件。我们进一步表明，如果$p\le k(n-1)+1$和每个玩家可以选择$k$件，从每个$k$蛋糕被分为$n$件，然后存在一个划分的蛋糕和分配的作品，至少$\frac{p}{2k(k-1)}$玩家得到他们想要的$k$件。最后，我们证明，如果$p\ge k(n-1)+1$和每个球员可以选择一个班次，在每个$k$天被划分成$n$班次，然后，给定的球员的工资是固定的，存在$n(1+\ln k)$球员覆盖所有的班次，而且，如果$k=2$，然后$n$球员足够。我们的证明结合拓扑方法和定理的Füredi，Lovász和Gallai超图理论。
2017-10-25 math.CO
Fair distributions for more participants than allocations
我们研究了当我们有更多的客人比件分配时，公平分配的存在性，专注于那些谁收到一块嫉妒免费分配。客人需求的条件可以从Stromquist，Woodall和Su的经典切蛋糕和分租结果中削弱。我们扩展了现有的变化的蛋糕切问题与秘密的客人和那些抵制任何足够小的一组客人的删除。
2022-06-14 cs.GT math.CO
High-dimensional envy-free partitions
研究高维空间中无嫉妒划分问题，证明若干凸划分空间可实现任意观察者间的无嫉妒分配，并支持多组同时划分。
2023-11-16 math.CO
Envy-free division using mapping degree
本文研究了无羡慕除法问题。大卫·盖尔（David Gale）用经典的方法来解决这类问题，简化为考虑单纯形到自身的连续映射，并找到这个映射到达单纯形中心的充分条件。仅仅地图的连续性不足以得出这样的结论。经典上，人们对单形边界上的映射的行为做了额外的假设（例如，在Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz和Gale定理中）。我们遵循Erel Segal-Halevi，Frédéric Meunier和Shira Zerbib的方法，用另一个假设代替边界条件，这个假设在经济学中的意义是参与者在段划分问题中选择空部分的可能性。我们解决了这个问题的积极时，$n$，划分段的球员的数量，是一个素数的权力，我们提供了反例，为每一个$n$这不是一个素数的权力。我们还提供了一个更广泛的类公平或嫉妒免费除法问题时，$n$是奇数，而不是一个素数的权力相关的反例。在这个arxiv版本后出现的官方出版物，我们已经纠正了声明和证明引理3.4。
2021-05-22 math.AT math.CO
Cake-Cutting with Different Entitlements: How Many Cuts are Needed?
蛋糕必须在$n$代理商之间公平分配。当所有代理具有相等的权利时，已知可以通过$n-1$削减来实现这样的划分。当代理人可能有不同的权利，该文件表明，至少$2 n -2$削减可能是必要的，和$O(n \log(n))$削减总是足够的。
2019-03-08 cs.GT math.CO
Fair Division via Social Comparison
在经典的切蛋糕问题中，资源必须在具有不同效用的代理之间分配，以便每个代理相信他们相对于其他代理获得了公平的资源份额。我们引入了一个变种的问题，在这个问题中，我们模型的基础上的社会网络的代理与图，和代理只评估他们的份额相对于他们的邻居在网络中。这个公式抓住了许多情况下，这是不现实的，假设一个全局的观点，也暴露了有趣的现象，在原来的问题。具体来说，我们说的分配是本地无嫉妒，如果没有代理羡慕邻居的分配和本地成比例，如果每个代理值她自己的分配一样多，她的邻居的分配的平均值，与前者意味着后者。虽然整体无嫉妒意味着局部无嫉妒，但整体比例并不意味着局部比例，反之亦然。一般的结果是，对于同一组节点和分配上的任何两个不同的图，存在一组赋值函数，使得分配在其中一个上局部成比例，但在另一个上不成比例。我们充分刻画了一组图，其中一个不经意的单刀协议-一个协议，使用一个单一的代理切割成块的蛋糕-承认一个有界的协议与$O(n^2)$查询复杂性的本地嫉妒免费分配的罗伯逊-韦伯模型。我们还考虑了无嫉妒的价格，它比较了最优分配的总效用和无嫉妒分配的最佳效用。我们证明了在任何连通无向图中，全局分配的无羡慕价格的$Ω(\sqrt{n})$的下界实际上对局部无羡慕成立。因此，稀疏图令人惊讶地不提供更多的灵活性方面的质量的嫉妒免费分配。
2018-02-25 cs.AI cs.DS cs.GT
How to Cut a Cake Fairly: A Generalization to Groups
切蛋糕的一个基本结果是，对于任何数量的玩家，只要他们对蛋糕有任意的偏好，蛋糕就会被分割，这样每个玩家都会得到一块连续的蛋糕，没有玩家会嫉妒。我们概括了这一结果表明，它是可能的分区的球员成组的任何所需的大小和组之间划分蛋糕，使每个组收到一个单一的连续件，没有球员发现另一组的一块比球员自己的组。
2020-04-03 cs.GT econ.TH math.CO
Disproportionate division
我们研究的经典蛋糕切割问题的不成比例的版本：我们如何有效地划分蛋糕，在这里$[0,1]$，$n$代理与不同的需求$α_1, α_2, \dots, α_n$总结到$1$？当所有的智能体对$α_1 = α_2 = \dots = α_n = 1/n$有相同的需求时，存在一个以$n-1$为截数的公平分配，这是最优的。另一方面，对于任意的要求，代数拓扑学的民间说法表明，$O(n\log n)$切割就足够了，几十年来这一直是最先进的。在这里，我们改进的事态在两个方面：我们证明，不成比例的司可能总是实现与$3n-4$削减，并给出了一个有效的组合程序来构建这样的司。我们还提供了一个拓扑猜想，这意味着$2n-2$削减足够的一般情况下，这将是最佳的。
2019-09-16 cs.CG math.AT math.CO
Fair division of graphs and of tangled cakes
缠结是一个连接拓扑空间，它是由单位区间$[0, 1]$的几个副本粘合而成的。我们探讨的缠结保证无嫉妒分配的连接份额n代理，这意味着这样的分配存在，无论单调和连续函数代表代理的估值。每个单缠结$\mathcal{T}$以自然的方式对应于多重图的无限拓扑类$\mathcal{G}(\mathcal{T})$，其中许多是图。这种对应关系将缠结的EF公平划分链接到图的EFk $_{outer}$公平划分。我们从Bileton等人那里知道，当代理的数量为2，3，4时，所有的哈密顿图都保证EF1 $_{outer}$分配，并且保证任意多个代理的EF2 $_{outer}$分配。我们发现，正是六个缠结是字符串，这些保证EF连接分配的任何数量的代理，其相关的拓扑类只包含哈密顿图。任何非字符串缠结有一个有限的上界r的代理商的数量，其中EF分配的连接份额得到保证。大多数图形在相关的非字符串拓扑类是不汉密尔顿的，和负转移定理表明，对于每个$k \geq 1$这些图形中的大多数不能保证EFk $_{outer}$分配的顶点r + 1或更多的代理。这回答了在Billehman等人提出的一个问题，并解释了为什么关注哈密顿图是必要的。与代理商的数量上的界限，但是，我们得到了一些非字符串类的积极成果。Stromquist的动刀程序的阐述表明，非弦的嘴唇纠结保证嫉妒免费分配的连接份额的三个代理。然后，我们修改的St…
2021-02-17 cs.DM cs.GT math.CO
The Price of Connectivity in Fair Division
我们研究了不可分割的商品，形成一个无向图的分配和量化的公平性损失时，我们施加一个约束，每个代理必须收到一个连接的子图。我们的重点是充分研究公平的概念，包括嫉妒自由和最大化分享公平。我们引入价格的连接，以捕捉之间的最大差距的特定图形和无约束的最大最小份额，并推导出这个数量的界限，这是紧的大型类的图形的情况下，两个代理和路径和明星在一般情况下。例如，有两个代理，我们表明，对于双连通图，它是可能的，以获得至少$3/4$的最大最小份额与连接的分配，而对于其余的图形的保证是最多$1/2$。此外，我们确定了最佳的放松，可以获得与每个图的两个代理，并描述了一组树和完整的二分图，总是承认一个分配满足envy-freeness高达一个好的（EF 1）的三个代理。我们的工作演示了几个应用程序的图论工具和概念的公平划分问题。
2022-04-01 cs.DM cs.GT math.CO
