Matchings vs hitting sets among half-spaces in low dimensional euclidean spaces
令$\mathcal{F}$是在$\mathbb{R}^2$或$\mathbb{R}^3$中的$n$点的集合$P$的线性可分集合的任何集合。我们发现，对于每一个自然数$k$可以找到$k$成对不相交的集在$\mathcal{F}$，或有$O(k)$点在$P$一起击中所有集在$\mathcal{F}$。证明是基于显示类似的结果家庭$\mathcal{F}$可分的伪盘在$\mathbb{R}^2$。我们补充这些陈述表明，类似的结果不成立的集合的线性可分集$\mathbb{R}^4$和高维欧几里得空间。
2015-07-09 cs.CG cs.DM math.CO
Sidon sets and 2-caps in $\mathbb{F}_3^n$
对于每个自然数$d$，我们在$\mathbb{F}_3^n$中引入了$d$ -cap的概念.如果对于每个$k = 1, 2, \dots, d$，没有$k+2$位于$k$维平面上，则$\mathbb{F}_3^n$的子集称为$d$ -帽.这概括了$\mathbb{F}_3^n$中的上限概念。证明了$\mathbb{F}_3^n$中的$2$ -帽恰是$\mathbb{F}_3^n$中的Sidon集，并研究了确定$\mathbb{F}_3^n$中最大$2$ -帽的大小问题.
2019-02-19 math.CO
Sets avoiding six-term arithmetic progressions in $\mathbb{Z}_6^n$ are exponentially small
我们证明了在$\mathbb{Z}_6^n$中避免6项等差数列的集合的大小至多为$5.709^n$ .特别地，我们证明了对于小维的极值尺寸，我们有$r_6(\mathbb{Z}_6)=5$，$r_6(\mathbb{Z}_6^2)=25$和$ 116\leq r_6(\mathbb{Z}_6^3)\leq 124$ .
2020-09-24 math.CO math.NT
On Clusters and Exceptional Sets in Types $\mathbb{A}$ and $\tilde{\mathbb{A}}$
该文研究$\u2115$型与$\tilde{\u2115}$型的丛和例外集，证明$\tilde{\u2115}$型丛的无限族数由卡特兰数计数，明确相对投射性良定义，完成两类箭图例外集的相关计数。
2023-06-10 math.CO math.RT
Progressions and Paths in Colorings of $\mathbb Z$
$\textit{ladder}$是一个集合$S \subseteq \mathbb Z^+$，使得$\mathbb Z$的任何有限着色包含任意长的单色级数，在$S$中具有公差。Van der Waerden定理著名地断言$\mathbb Z^+$本身就是一个梯子。我们还讨论了梯子的变体，即$\textit{accessible}$和$\textit{walkable}$集，这是集$S$，使任何着色的$\mathbb Z$包含任意长（可访问集）或无限（可行走集）单色序列连续差异$S$。我们证明了上密度为1的集合是梯子和可行走的。我们还证明了所有具有无限色数的有向图都是可达的，并将稀疏集的可行走阶的界从3降到了2，使其变紧。
2017-06-06 math.CO
On the characteristic of integral point sets in $\mathbb{E}^m$
本文将整三角形的特征的定义推广到整单形，并证明了整点集中的每个单形都具有相同的特征。这个定理被用于整点集的一个有效的构造算法。利用这个算法，我们能够提供新的精确值的最小直径的整点集。
2005-11-29 math.CO
Additively stable sets, critical sets for the 3k-4 theorem in $\mathbb{Z}$ and $\mathbb{R}$
本文研究整数与实数中的加法左稳定集，给出其在初始区间内密度的精确上界及达到该界的构造，并用于揭示 Freiman $3k-4$ 定理临界集的结构。
2025-01-10 math.CO math.NT
Integral point sets over finite fields
我们考虑仿射平面上的点集$\mathbb{F}_q^2$，其中两点的每个欧氏距离是$\mathbb{F}_q$的元素。这些集合被称为整点集，最初是在$m$维欧几里得空间$\mathbb{E}^m$中定义的.我们确定它们的最大基数$\mathcal{I}(\mathbb{F}_q,2)$。对于任意交换环$\mathcal{R}$而不是$\mathbb{F}_q$，或者对于直线上无三点或圆上无四点的进一步限制，我们给出了部分结果.此外，我们还研究了具有最大基数的例子的几何结构。
2008-04-08 math.CO
New maximum scattered linear sets of the projective line
文[2]和[19]给出了射影直线$\mathrm{PG}(1,q^n)$的前两类最大离散$\mathbb{F}_q$ -线性集。最近，在[23]和[5]中，构造了最大分散$\mathbb{F}_q$ -$V(2,q^n)$子空间的新例子，但相应线性集的等价问题尚未解决。本文证明了[23]和[5]中给出的$\mathbb{F}_q$ -线性集对于$n=6,8$是新的.此外，对于$q$奇数，$q\equiv \pm 1,\,0 \pmod 5$，我们提出了新的例子，最大分散$\mathbb{F}_q$ -在$\mathrm{PG}(1,q^6)$线性集，产生于三项式多项式，定义新的$\mathbb{F}_q$ -线性MRD-代码的$\mathbb{F}_q^{6\times 6}$与尺寸$12$，最小距离5和中间核（或左理想化）同构$\mathbb{F}_{q^6}$。
2017-09-04 math.CO
Small Sets with Large Difference Sets
对于每个$ε> 0$和$k \in \mathbb{N}$，Haight构造了一个合适的$N$的集合$A \subset \mathbb{Z}_N$（$\mathbb{Z}_N$代表整数模$N$），使得$A-A = \mathbb{Z}_N$和$|kA| < εN$。最近，Nathanson提出了为给定多项式$p$和$q$构造集合$A \subset \mathbb{Z}_N$的问题，使得$p(A) = \mathbb{Z}_N$和$|q(A)| < εN$，其中$p(A)$是集合$\{p(a_1, a_2, \dots, a_n)\phantom{.}\colon\phantom{.}a_1, a_2, \dots, a_n \in A\}$，当$p$具有$n$变量时。本文对Nathanson的问题给出了部分回答。对于每个$k \in \mathbb{N}$和$ε> 0$，我们找到一个适合$N$的集合$A \subset \mathbb{Z}_N$，使得$A- A = \mathbb{Z}_N$，但是$|A^2 + kA| < εN$，其中$A^2 + kA = \{a_1a_2 + b_1 + b_2 + \dots + b_k\phantom{.}\colon\phantom{.}a_1, a_2,b_1, \dots, b_k \in A\}$。我们还扩展了这个结果来构造，…
2017-05-24 math.CO
Translation hyperovals and $\mathbb{F}_2$-linear sets of pseudoregulus type
本文研究PG $(2,q^k)$中的平移超椭圆。本文的主要结果刻画了André/Bruck-Bose表示中平移超椭圆定义的点集.我们证明了PG $(2,q^k)$中平移超椭圆的仿射点集恰好是那些具有PG $(2k-1,q)$中伪正则型的离散$\mathbb{F}_2$ -线性集作为方向集的仿射点集。这种对应关系是用来概括巴维克和杰克逊的结果，谁提供了一个表征翻译超椭圆在PG $(2,q^2)$。
2019-06-11 math.CO
Negative Latin-Square-Type Partial Difference Sets in Non-Elementary Abelian 2-Groups
该研究利用三次分圆类、特征理论等，在多个非初等阿贝尔 2 - 群中构造负拉丁方型部分差集，前四种构造通过特定划分取代三次分圆划分，得到了指定群中首批具所述参数的部分差集。
2026-07-23 math.CO
A remark on sets with few distances in $\mathbb{R}^{d}$
Bannai-Bannai-Stanton的一个著名定理是：如果$A$是$\mathbb{R}^{d}$中的一个点集，它决定了$s$不同的距离，那么$$|A| \leq {d+s \choose s}.$$在本文中，我们结合Sylvester关于二次型的惯性律和加法组合学中所谓的Croot-Lev-Pach引理的证明，给出了这个结果的一个新的简单证明.
2019-12-17 math.CO
Determining Sidon Polynomials on Sidon Sets over $\mathbb{F}_q\times \mathbb{F}_q$
本文针对有限域直积上的西顿集合问题，提出多项式判定准则，证明某些单项式与三次多项式无法生成西顿集合，并揭示其与平面多项式的联系。
2023-06-17 math.CO math.NT
Asymptotic upper bounds on progression-free sets in $\mathbb{Z}_p^n$
我们证明了$\mathbb{Z}_p^n$（$p$是奇素数）的任何子集不含$3$项等差数列都有$O(p^{cn})$大小，其中$c:=1-\frac{1}{18\log p}<1$ .特别地，我们发现了$O(2.84^n)$关于$GF(3)^n$中仿射帽的最大尺寸的上界.
2016-06-01 math.CO
Graphs of Vectorial Plateaued Functions as Difference Sets
如果对于每个分量函数$F_{b}(μ)=Tr_n(αF(x)), b\in \mathbb{F}_{p^m}^*$和$μ\in \mathbb{F}_{p^n}$，Walsh变换值$|\widehat{F_{b}}(μ)|$是$0$或$ p^{\frac{n+s}{2}}$，则函数$F:\mathbb{F}_{p^n}\rightarrow \mathbb{F}_{p^m},$是矢量$s$平稳函数.本文研究了（向量）$s$ -坪函数与偏几何差集之间的关系.此外，我们还建立了$p$ -元序列的三值互相关与矢量$s$ -平台函数之间的联系。使用这个链接，我们提供了一个分区的$\mathbb{F}_{3^n}$部分几何差集。相反，使用$\mathbb{F}_{3^n}$的部分几何差集的划分，我们构造了三元平台函数$f:\mathbb{F}_{3^n}\rightarrow \mathbb{F}_3$。我们还给出了$p$ ary plateaued功能的特殊矩阵，使我们能够给这样的功能和二阶导数之间的联系，使用不同的方法方面的一个特征。
2018-07-30 math.CO
Aleksandrov projection problem for convex lattice sets
设$K$和$L$是$\mathbb{R}^n$中的原点对称凸整数多面体。我们研究一个离散的类似的亚历山德罗夫投影问题。如果对于每个$u\in \mathbb{Z}^n$，集合$(K\cap \mathbb{Z}^n)|u^\perp$和$(L\cap \mathbb{Z}^n)|u^\perp$具有相同的点数，则是$K=L$？我们给出了一个肯定的答案，这个问题在$\mathbb{Z}^2$的一个额外的假设下，$(2K\cap \mathbb{Z}^2)|u^\perp$和$(2L\cap \mathbb{Z}^2)|u^\perp$有相同的点数。
2016-02-17 math.CO math.FA math.MG
Simplices and sets of positive upper density in $\mathbb{R}^d$
本文证明了Bourgain关于正上密度$\mathbb{R}^2$可测子集上钉扎距离的定理，即[Bourgain，1986]中的定理$1^\prime$，推广到正上密度$\mathbb{R}^{d}$可测子集上钉扎的非退化$k$维单形，只要$d\geq k+2$和$k$是任意正整数.
2017-01-07 math.CA math.CO
Distance Graphs and sets of positive upper density in $\mathbb{R}^d$
本文给出了Bourgain关于在正上密度的$\mathbb{R}^d$的可测子集中寻找$k+1$点在一般位置上的配置的一个结果，当$d\geq k+1$到所有真$k$ -退化距离图时，这个结果是一个很好的推广.
2018-03-23 math.CA math.CO math.NT
Moderate-doubling sets in $\mathbb{F}_2^n$ intersect subspaces
Courant Institute, New York University（纽约大学柯朗数学科学研究所）；Department of Mathematics, Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院数学系）
研究了在 $\mathbb{F}_2^n$ 中，适度倍增集与子空间的交集性质，证明了其相交元素数量的下界。
2025-12-22 math.CO
Maximal integral point sets in affine planes over finite fields
受欧几里德平面上整点集的启发，我们考虑了有限域上仿射平面上的整点集。整数点集是有限域$\mathbb{F}_q$上仿射平面$\mathbb{F}_q^2$中的点的集合，其中每对点的形式定义的平方欧几里德距离是$\mathbb{F}_q$中的平方。证明了$\mathbb{F}_q$上的整点集也可以刻画为确定某些预定方向的仿射点集，这与Blokhuis的工作有关。此外，在一个重要的子情况整点集可以重述为团的佩利图的平方阶。本文给出了整点集自同构的新结果，并对$q\le 47$的$\mathbb{F}_q$上的极大整点集进行了分类.进一步给出了两类极大整点集，并证明了它们的极大性。
2014-01-14 math.CO
Decompositions of functions defined on finite sets in $\mathbb{R}^d$
有限子集$M \subset \mathbb{R}^d$是基本的，如果对于任何函数$f \colon M \to \mathbb{R}$，存在函数$f_1, \ldots, f_d \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$的集合，使得对于每个元素$(x_1, \ldots, x_d)\in M$，我们有$f(x_1, \ldots, x_d) = f_1(x_1) + \ldots + f_d(x_d)$。对于某些有限集，我们证明了一个标准的一套基本的，我们表明，它不能扩展到一般情况下。此外，我们解释了上述标准的双重加权图，并给出了一些基本和非基本子集的元素的数量的估计。
2022-04-23 math.CO
Maximum scattered linear sets and MRD-codes
$\mathrm{PG}(r-1,q^n)$的分散$\mathbb{F}_q$ -线性集的秩，甚至$rn$，至多是$rn/2$，正如Blokhuis和Lavrauw所证明的。对于秩为$rn/2$的离散$\mathbb{F}_q$ -线性集，给出了$r$，$n$，$q$（甚至$rn$）的无穷多个值的存在性结果和显式构造.在本文中，我们证明了界$rn/2$是尖锐的，在其余的开放情况下。最近，Sheekey证明了最大秩$n$的$\mathrm{PG}(1,q^n)$的离散$\mathbb{F}_q$ -线性集产生$\mathbb{F}_q$ -线性MRD-码，具有维度$2n$和最小距离$n-1$。我们推广了这一结果，证明了最大秩$rn/2$的$\mathrm{PG}(r-1,q^n)$的离散$\mathbb{F}_q$ -线性集产生具有维数$rn$和最小距离$n-1$的$\mathbb{F}_q$ -线性MRD-码.
2017-01-24 math.CO
Product of difference sets of set of primes
\cite{key-11}，A. Fish证明了如果$E_{1}$和$E_{2}$是正上Banach密度的$\mathbb{Z}$的两个子集，则存在$k\in\mathbb{Z}$使得$k\cdot\mathbb{Z}\subset\left(E_{1}-E_{1}\right)\cdot\left(E_{2}-E_{2}\right).$.本文将证明对于素数集$\mathbb{P}$（具有密度$0$）也有类似的结果.我们将证明存在$k\in\mathbb{N}$使得$k\cdot\mathbb{N}\subset\left(\mathbb{P}-\mathbb{P}\right)\cdot\left(\mathbb{P}-\mathbb{P}\right),$，其中$\mathbb{P}-\mathbb{P}=\left\{ p-q:p>q\,\text{and}\,p,q\in\mathbb{P}\right\} .$
2023-02-10 math.CO math.NT
Measure doubling of small sets in $\mathrm{SO}(3,\mathbb{R})$
本文解决了 Breuillard 和 Green 提出的问题，证明在三维旋转群 SO(3,R) 中，测度足够小的开集 A 满足 μ(A^2) > 3.99 μ(A)，并将该结果推广为两个集合乘积的 Brunn-Minkowski 型不等式。
2023-04-19 math.CO math.GR math.LO
Homometry and direct-sum decompositions of lattice-convex sets
如果$\mathbb{R}^d$中的两个集合具有相同的协方差函数，则它们被称为homometric，其中$\mathbb{R}^d$的有限子集$K$的协方差函数是将每个$u \in \mathbb{R}^d$与$K \cap (K+u)$的基数相关联的函数。理解同度量集的结构对数学和应用的许多领域都很重要。如果两个集合是同度量的，但在平移和点反射时不重合，我们称它们为非平凡同度量的。本文研究格凸集的非平凡同度量对，如果$K$是$\mathbb{M}$与$\mathbb{R}^d$的凸子集的交集，则称$K$关于格$\mathbb{M} \subseteq \mathbb{R}^d$是格凸的.这一系列的研究是在2005年由Daurat，Gérard和Nivat以及Gardner，Gronchi和Zong独立发起的。所有已知的非平凡齐次格凸集对本质上都可以写成直和$S \oplus T$和$S \oplus (-T)$，其中$T$是格凸的，基础格~$\mathbb{M}$是$T$和某个子格$\mathbb{L}$的直和，$S$是$\mathbb{L}$的子集。我们研究了非平凡的齐次格凸集对，并建立了$S \oplus T$格凸的一个充分必要条件。这使我们能够明确地描述所有的二维非平凡的同度量对，在上述假设下，并构造每个$d \ge 3$的格凸集的非平凡的同度量对的例子。
2016-05-12 math.CO math.MG
Multiplicative richness of additively large sets in $\mathbb{Z}^d$
在他们的证明IP Szemerédi定理，一个深远的延伸经典定理Szemerédi等差数列，Furstenberg和Katznelson介绍了一类重要的加法大集称为$\text{IP}_{\text{r}}^*$集的基础上复发方面的动力学和有助于加强配方的组合结果。作者最近证明了$\mathbb{Z}^d$的加性$\text{IP}_{\text{r}}^*$子集相对于$\mathbb{Z}^d$上没有零因子的每个乘法（例如，由度$d$数域引起的乘法）是乘法丰富的。本文给出了$\mathbb{Z}^d$上乘法大数类之间的关系。例如，我们表明，在相反的情况下，$\mathbb{Z}$，有无穷多个不同的概念乘法分段syndeticity为子集的$\mathbb{Z}^d$时，$d \geq 2$。这是通过使用相关的代数表示来证明存在的集合是大的一些乘法，而小的其他方面。在这个过程中，我们给出了线性变换保持一类乘法大集的充要条件。我们的结果的一个结果是，加性$\text{IP}_{\text{r}}^*$集是乘法丰富的无限多真正不同的方式。最后，我们编目的一些来源添加剂$\text{IP}_{\text{r}}^*$集从组合学和动力学。
2016-10-31 math.CO math.RA
A bound for plany Kakeya sets in $\mathbb{F}_q^4$ using the planebrush method
University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）；Chern Institute of Mathematics and LPMC, Nankai University（南开大学陈省身数学研究所和LPMC）
本文在有限域$\mathbb{F}_q^4$中，利用平面刷方法改进了平面Kakeya集的下界估计。
2025-07-13 math.CA math.CO
On sets with small sumset and m-sum-free sets in Z/pZ
在群$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$中的$3k-4$猜想对于$p$素数陈述，如果$A$是满足$2A\neq \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$和$|2A|=2|A|+r \leq \min\{3|A|-4,\;p-r-4\}$的$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$的非空子集，则$A$被大小至多为$|A|+r+1$的等差数列覆盖。Serra和Zémor的一个定理证明了由$r\leq 0.0001|A|$提出的猜想，而对$|A|$没有任何附加的约束.受温和的额外约束$|2A|\leq 3p/4$（这是最佳的在某种意义上解释的文件），我们的第一个主要结果提高了对$r$的约束，允许$r\leq 0.1368|A|$。我们还证明了一个变体，进一步提高了这个约束$r$提供$A$是足够密集的。然后我们给出几个应用程序。首先，我们应用上述变体来给出$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$中$m$ -无和集的最大密度的新上界，即，将没有解$(x,y,z)\in A^3$的$A$设置为方程$x+y=mz$，其中$m\geq 3$是固定整数。之前最大密度的最佳上限是$1/3.0001$（使用塞拉-泽莫尔定理）。我们将其改进为$1/3.1955$。我们还提出了一个建设以下的Schoen的想法，这产生了一个下界的形式$1/8+o(1)_{p\to\infty}…
2020-11-13 math.CO math.NT
Stability result for sets with $3A\ne{\mathbb Z}_5^n$
作为Kneser定理的一个简单推论，如果$A$是密度$5^{-n}|A|>0.4$的初等阿贝尔群${\mathbb Z}_5^n$的子集，则$3A={\mathbb Z}_5^n$。我们建立了互补稳定性结果：如果$5^{-n}|A|>0.3$和$3A\ne{\mathbb Z}_5^n$，则$A$包含在${\mathbb Z}_5^n$的索引- $5$子群的两个陪集的并集中。这里的密度束缚$0.3$是尖锐的。我们的论点结合了组合推理与字符和技术的一些非标准的应用。
2016-03-29 math.CO math.NT
Sets Avoiding Full-Rank Three-Point Patterns in $(\mathbb{F}_q^n)^k$ Are Exponentially Small
我们证明，如果$(\mathbb{F}_q^n)^k$（$q$的奇素数权力）的子集避免了满秩三点模式$\vec{x},\vec{x}+M_1\vec{d},\vec{x}+M_2\vec{d}$，那么它是指数小，最多$3 \cdot c_q^{nk}$的大小，其中$0.8414 q \leq c_q \leq 0.9184 q$。这推广了Kovauc的一个定理，并补充了Berger，Sah，Sawhney和Tidor的结果.因此，我们证明，如果$3$是一个正方形的$\mathbb{F}_q$然后子集的$(\mathbb{F}_q^n)^2$避免等边三角形是指数小。
2022-08-30 math.CO
Skew Hadamard Difference Sets from Dickson Polynomials of Order 7
偏Hadamard差集是一个有趣的研究课题超过七十年。长期以来，人们一直认为经典的Paley差集（$\mathbb{F}_q$中的非零二次剩余集，其中$q \equiv 3 \bmod{4}$）是阿贝尔群中唯一的例子。2006年，第一作者和袁文中证明了$\mathcal{D}_5(x^2,u)$的像集是$(\mathbb{F}_{3^m},+)$中的一个新的斜Hadamard差集，$m$为奇数，其中$\mathcal{D}_n(x,u)$表示第一类阶为$n$和$u \in \mathbb{F}_q^*$的Dickson多项式。证明中的关键观察是，对于$m$奇数，$\mathcal{D}_5(x^2,u)$是从$\mathbb{F}_{3^m}$到$\mathbb{F}_{3^m}$的平面函数。从那时起，几个新的家庭斜阿达玛差集已被发现。本文证明了对所有的$u \in \mathbb{F}_{3^m}^*$，集合$D_u := \{\mathcal{D}_7(x^2,u) : x \in \mathbb{F}_{3^m}^* \}$是$(\mathbb{F}_{3^m}, +)$中的斜Hadamard差集，其中$m$是奇数，$m \not \equiv 0 \pmod{3}$ .由于$\mathbb{F}_{3^m}$中的$\mathcal{D}_7(x^2,u)$不是平面的，所以证…
2013-05-08 math.CO
A structure theorem for sets of small popular doubling
本文证明了：对于$t$和$δ$，每个集合$A\subset\mathbb{Z}$在适当的范围内满足不等式$\sum_{x}\min(1_A*1_A(x),t)\le(2+δ)t|A|$，则$A$必非常接近于一个等差数列.我们使用这个结果，以提高绿色和莫里斯的概率，一个随机子集$A\subset\mathbb{N}$满足$|\mathbb{N}\setminus(A+A)|\ge k$的估计，特别是我们表明，$\mathbb{P}(|\mathbb{N}\setminus(A+A)|\ge k)=Θ(2^{-k/2})$。
2015-06-01 math.CO
Kazhdan constants for two-element generating sets of $\mathrm{SL}_n(\mathbb Z)$
Research Center for Operator Algebras, School of Mathematical Sciences, East China Normal University（华东师范大学数学科学学院算子代数研究中心）
本文证明对每个$n\geq3$，$\mathrm{SL}_n(\mathbb Z)$的所有两元素生成集的Kazhdan常数下确界为$0$，回答了生成集基数有界时下确界是否仍为零的问题。
2026-09-16 math.CO math.GR
Constructions of maximum few-distance sets in Euclidean spaces
在$d$维欧氏空间$\mathbb{R}^d$中，如果$\mathcal{X}$的不同元素之间的相互距离的集合具有基数$s$，则称为$s$距离集.本文提出了一种无同构图的穷举生成和Gröbner基计算相结合的方法来分类$\mathbb{R}^4$中的最大$3$ -距离集、$\mathbb{R}^3$中的最大$4$ -距离集和$\mathbb{R}^2$中的最大$6$ -距离集.我们还构造了新的例子大$s$距离集$d\leq 8$和$s\leq 6$，并独立验证了文献中的几个早期结果。
2018-04-17 math.CO math.MG
A structure theorem for sets of small popular doubling, revisited
证明了每一个具有$\mathbb{E}_x\min(1_A*1_A(x),t)\le(2+δ)t\mathbb{E}_x 1_A(a)$的集合$A\subset\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$都非常接近于一个等差数列。这里$p$代表大素数，而$δ,t$是小实数。这表明，在一个单一的集合的情况下，Voiden定理是稳定的。
2015-06-01 math.CO math.NT
Classes and equivalence of linear sets in $PG(1,q^n)$
研究了$PG(1,q^n)$的秩为n的$\mathbb{F}_q$ -线性集的等价性问题，包括伴随簇、投影配置、$\mathbb{F}_q$ -Rédei型线性块集和MRD-码.
2016-07-23 math.CO
Maximal integral point sets in affine planes over finite fields
受欧几里德平面上整点集的启发，我们考虑了有限域上仿射平面上的整点集。整数点集是有限域$\mathbb{F}_q$上仿射平面$\mathbb{F}_q^2$中的点的集合，其中每对点的形式定义的平方欧几里德距离是$\mathbb{F}_q$中的平方。证明了$\mathbb{F}_q$上的整点集也可以刻画为确定某些预定方向的仿射点集，这与Blokhuis的工作有关。此外，在一个重要的子情况整点集可以重述为团的佩利图的平方阶。本文给出了整点集自同构的新结果，并对$q\leq 47$的$\mathbb{F}_q$上的极大整点集进行了分类.进一步给出了两类极大整点集，并证明了它们的极大性。
2014-01-14 math.CO
The smallest sets of points not determined by their X-rays
设$F$是$\mathbb{K}^d$中的一个$n$ -点集，其中有$\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{Z}\}$和$d\geq 2$ . $F$在$s$方向上的（离散）X射线给出了$F$在平行于$s$的每条线上的点的数量。我们将$ψ_{\mathbb{K}^d}(m)$定义为存在$m$方向$s_1,...,s_m$（成对线性独立且跨越$\mathbb{R}^d$）的最小数目$n$，使得存在在这些方向上具有相同X射线的$\mathbb{K}^d$中的两个$n$点集。结合的$ψ_{\mathbb{Z}^d}(m)\leq 2^{m-1}$已在文献中多次观察到。在本说明中，我们显示了$\varepsilon>0$的$ψ_{\mathbb{K}^d}(m)=O(m^{d+1+\varepsilon})$。对于情况$\mathbb{K}^d=\mathbb{Z}^d$和$\mathbb{K}^d=\mathbb{R}^d$，$d>2$，这表示$ψ_{\mathbb{K}^d}(m)$上的第一个上限，它在$m$中是多项式。作为一个推论，我们得到的古典和二维Prouhet-Tarry-Escott问题的解决方案的大小上的界限。此外，我们建立下界$ψ_{\mathbb{K}^d}$，使我们能够证明一个加强版本的雷尼定理点$\mathbb{Z}^2$。
2014-11-03 math.CO math.MG
Maximal integral point sets over $\mathbb{Z}^2$
边长为整数的几何体多少年来一直吸引着数学家。我们称一个集合$P=\{p_1,...,p_n\}\subset\mathbb{Z}^2$为$\mathbb{Z}^2$上的极大整点集，如果所有的两两距离都是整数，并且每个额外的点$p_{n+1}$破坏了这个性质.在这里，我们考虑这样的集合对于一个给定的基数和最小可能的直径。我们通过穷举搜索确定了一些精确值，并给出了任意基数的几个构造。由于我们不能保证在这些情况下，我们描述了一个算法来证明或证伪一个给定的整点集的极大性。此外，我们还考虑了一条直线上没有三个点和一个圆上没有四个点的限制。
2008-04-08 math.CO math.NT
Caps and progression-free sets in $\mathbb{Z}_m^n$
我们研究阿贝尔群$G=(\mathbb{Z}_m^n,+)$中的无进展集。令$r_k(\mathbb{Z}_m^n)$表示不包含长度为$k$的适当算术级数的集合$S \subset \mathbb{Z}_m^n$的最大大小。当$m$为偶数时，我们给出下限构造，例如，包括$r_3(\mathbb{Z}_m^n) \geq C_m \frac{((m+2)/2)^n}{\sqrt{n}}$。当$m=4$时，这至少是$3^n/\sqrt{n}\gg \vert G \vert^{0.7924}$的顺序。此外，如果无进展集$S\subset \mathbb{Z}_4^n$满足至少在低维中主导问题的技术条件，则$|S|\leq 3^n$成立。我们提出了一些新的方法，其中包括几个无限族参数$m,k,n$，其中包括例如：$r_6(\mathbb{Z}_{125}^n) \geq (85-o(1))^n$的下界。对于$r_3(\mathbb{Z}_4^n)$，当$n \leq 5$，例如$r_3(\mathbb{Z}_4^5)=124$时，我们确定精确值;对于$r_4(\mathbb{Z}_4^n)$，当$n \leq 4$，例如$r_4(\mathbb{Z}_4^4)=128$时，我们确定精确值。
2019-03-19 math.CO math.NT
On $k$-point configuration sets with nonempty interior
我们给出了薄集的$k$ -点配置集具有非空内部的条件，适用于各种配置。这是我们早期工作的延续\cite{GIT19}上的2点配置，扩展了一个定理的马蒂拉和Sjölin \cite{MS99}的距离集在欧氏空间。我们发现，对于一般类的$k$ -点配置，配置集的$k$ -元组的集合，$E_1,\,\dots,\, E_k$，具有非空的内部提供的Hausdorff维数的总和满足一个下限，规定通过优化$L^2$ -Sobolev估计相关的广义拉东变换在所有非平凡分区的$k$点成两个子集。我们用许多具体的例子来说明一般定理。三点构型的应用包括$\mathbb R^2$中三角形的面积或其外接圆的半径; $\mathbb R^3$中钉扎平行六面体的体积;以及$\mathbb R^2$和$\mathbb R^3$中钉扎距离的比值。4点配置的结果包括$\mathbb R$上的交比、由$\mathbb R^2$中的四边形确定的三角形面积对以及$\mathbb R^d$中差异的点积。
2021-04-26 math.CA math.CO
Results on formally dual sets in finite abelian groups of size 64 obtained from a graph search algorithm
我们很快提出了两个小的结果关于研究正式对偶有限阿贝尔群介绍科恩，库马尔，赖赫和Schürmann。特别是，我们给出了一个新的例子，在$\mathbb{Z}_2^2\times\mathbb{Z}_4^2$的形式自对偶集和计算不存在的原始形式对偶集的大小$8$在$\mathbb{Z}_8^2$。
2023-03-27 math.CO math.GR
Almost-monochromatic sets and the chromatic number of the plane
在$\mathbb{R}^d$的着色中，如果$S\setminus \{s_0\}$是单色的而$S$不是，则$(S,s_0)$与$S\subseteq \mathbb{R}^d$和与$s_0\in S$的对是\emph{almost monochromatic}。我们考虑的问题，找到几乎单色的相似副本对$(S,s_0)$在着色的$\mathbb{R}^d$，$\mathbb{Z}^d$，并在$\mathbb{Q}$下的着色的一些限制。在其他结果中，我们将这些$(S,s_0)$与$S\subseteq \mathbb{Z}$，其中每一个有限着色的$\mathbb{R}$没有一个无限的单色算术级数包含一个几乎单色类似的副本$(S,s_0)$。我们还表明，如果$S\subseteq \mathbb{Z}^d$和$s_0$是外的凸包的$S\setminus \{s_0\}$，那么每一个有限着色的$\mathbb{R}^d$没有一个类似的单色副本的$\mathbb{Z}^d$包含一个几乎单色的类似副本的$(S,s_0)$。此外，我们提出了一种方法，找到几乎单色集，可能会导致一个非计算机辅助证明$χ(\R^2)\geq 5$。
2022-02-26 cs.DM math.CO
Sets in $\mathbb{Z}^k$ with doubling $2^k+δ$ are near convex progressions
对于$δ>0$足够小和$A\subset \mathbb{Z}^k$与$|A+A|\le (2^k+δ)|A|$，我们证明了要么$A$被$m_k(δ)$平行超平面覆盖，要么满足$|\widehat{\operatorname{co}}(A)\setminus A|\le c_kδ|A|$，其中$\widehat{\operatorname{co}}(A)$是包含$A$的最小凸级数（凸集与子格）。这推广了Freiman-Bilu $2^k$定理、Freiman的$3|A|-4$定理以及Figalli和Jerison最近关于$\mathbb{R}^k$中和集的尖锐稳定性结果.
2022-12-06 math.CO math.NT
The structure of large sum-free sets in $\mathbb{F}_p^n$
如果$A+A$不与$A$相交，则集合$A\subset \mathbb{F}_p^n$是无和的。如果是$p\equiv 2 \mod 3$，则已知$\mathbb{F}_p^n$中无和的最大大小为$(p^n+p^{n-1})/3$。证明了如果一个无和集$A\subset \mathbb{F}_p^n$的大小至少为$p^n/3-p^{n-1}/6+p^{n-2}$，则存在余维为1的子空间$V<\mathbb{F}_p^n$，使得$A$包含在$V$的$(p+1)/3$陪集中.对于$p=5$具体来说，我们证明了更强的结果，即每一个大小大于$1.2\cdot 5^{n-1}$的无和集都具有这种性质，从而改进了Lev.
2023-03-01 math.CO math.NT
Sets of recurrence as bases for the positive integers
我们研究各种实值多项式$p$和衰减率$\varepsilon$的形式$A = \big\{ n \in \mathbb N \big| \lVert p(n) \rVert_{\mathbb R / \mathbb Z} \leq \varepsilon(n) \big\}$的集合。特别是，我们问，当这样的集合是基地的有限阶的正整数。我们表明，一般来说，$A$是一个基础的顺序$2$时，$\operatorname{deg} p \geq 3$，但不是当$\operatorname{deg} p = 2$，虽然然后$A + A$仍然有渐近密度$1$。
2018-07-19 math.CO math.NT
Intersective sets for sparse sets of integers
本文研究稀疏整数集（特别是素数集）上的相对相交性与染色相交性，证明了相交集与素数相交集之间的若干严格包含关系，并证明平移陈素数集是素数相交的。
2024-01-15 math.CO math.DS math.NT
Maximal fluctuations around the Wulff shape for edge-isoperimetric sets in ${\mathbb Z^d}$: a sharp scaling law
我们推导出一个尖锐的标度律的偏差的边缘等周集的格子$\mathbb Z^d$从限制武尔夫形状在任意尺寸。当元素个数$n$发散时，我们证明了对应的Wulff集的对称差至多由$O(n^{(d-1+2^{1-d})/d})$格点组成，并且指数$(d-1+2^{1-d})/d$是最优的.这将以前发现的$d=2,3$的“$n^{3/4}$定律”扩展到一般维度。因此，我们得到最佳估计的收敛速度限制伍尔夫形状的$n$发散。
2020-03-03 math-ph math.CO math.MP
Sets in $\mathbb{R}^d$ with slow-decaying density that avoid an unbounded collection of distances
对于任何$d\in \mathbb{N}$和任何函数$f:(0,\infty)\to [0,1]$与$f(R)\to 0$作为$R\to \infty$，我们构造了一个集合$A \subseteq \mathbb{R}^d$和一个序列$R_n \to \infty$，使得$\|x-y\| \neq R_n$对于所有$x,y\in A$和$μ(A\cap B_{R_n})\geq f(R_n)μ(B_{R_n})$对于所有$n\in \mathbb{N}$，其中$B_R$是以原点为中心的半径为$R$的球，$μ$是Lebesgue测度。这种构造对于由Furstenberg-Katznelson-Weiss、Bourgain和Falconer-Marstrand独立建立的结果表现出一种清晰的形式，并且它推广到由$\mathbb{R}^d$上的范数诱导的任何度量。
2019-06-05 math.CA math.CO math.MG
Finite sets of points in $\mathbb{P}^4$ with special projection properties
本文提出并研究 $\mathbb{P}^4$ 中 $(b,d)$-geprofi 点集，证明其非平凡存在当且仅当 $b\geq4$、$d\geq2$，并发现无穷多参数下存在线性一般位置的此类集合。
2024-07-01 math.AC math.AG math.CO
On large Sidon sets
Otto-von-Guericke-University Magdeburg（马格德堡奥托·冯·古里克大学）
本文利用高线性APN函数构造大Sidon集，并改进了APN函数线性的上界。
2026-01-01 cs.IT math.CO math.IT
On the distance sets spanned by sets of dimension $d/2$ in $\mathbb{R}^d$
该研究在全维数下对满足Hausdorff与packing维数相等的集合证明了Falconer距离集猜想的维数版本，给出低维及高维下距离集维数的显式估计，依赖的径向投影维新估计具独立价值。
2024-08-13 math.CA math.CO math.MG
