具有$3A\ne{\mathbb Z}_5^n$的集合的稳定性结果
Stability result for sets with $3A\ne{\mathbb Z}_5^n$
摘要：
作为Kneser定理的一个简单推论，如果$A$是密度$5^{-n}|A|>0.4$的初等阿贝尔群${\mathbb Z}_5^n$的子集，则$3A={\mathbb Z}_5^n$。我们建立了互补稳定性结果：如果$5^{-n}|A|>0.3$和$3A\ne{\mathbb Z}_5^n$，则$A$包含在${\mathbb Z}_5^n$的索引- $5$子群的两个陪集的并集中。这里的密度束缚$0.3$是尖锐的。我们的论点结合了组合推理与字符和技术的一些非标准的应用。
英文摘要：
As an easy corollary of Kneser's Theorem, if $A$ is a subset of the elementary abelian group ${\mathbb Z}_5^n$ of density $5^{-n}|A|>0.4$, then $3A={\mathbb Z}_5^n$. We establish the complementary stability result: if $5^{-n}|A|>0.3$ and $3A\ne{\mathbb Z}_5^n$, then $A$ is contained in a union of two cosets of an index-$5$ subgroup of ${\mathbb Z}_5^n$. Here the density bound $0.3$ is sharp. Our argument combines combinatorial reasoning with a somewhat non-standard application of the character sum technique.
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