On Fractionally Dense Sets
Jaitra Chattopadhyay, Bidisha Roy, Subha Sarkar
本文证明了自然数集合$\mathbb{N}$的某些子集和一阶虚二次域的任何非零理想分别在$\mathbb{R}_{>0}$和$\mathbb{C}$中是分数稠密的.
In this article, we prove some subsets of the set of natural numbers $\mathbb{N}$ and any non-zero ideals of an order of imaginary quadratic fields are fractionally dense in $\mathbb{R}_{>0}$ and $\mathbb{C}$ respectively.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Sums of Like Powers and Some Dense Sets
本文引入了$P$ -序列的概念，并将其性质应用于实数的可表示性研究。$P$ -序列的另一个应用是产生Prouhet-Tarry-Escott对。
On denseness of certain direction and generalized direction sets
方向集是正整数子集的比集的推广，最近由Leonetti和Sanna提出.本文推广了方向集的概念，定义了正整数子集的{ \it $k$ -广义方向集}和{ \it不同$k$ -广义方向集}。证明了$\mathcal{S}^{k - 1} := \{\underline{x} \in [0,1]^{k} : ||\underline{x}|| = 1\}$的一个子集可实现为不同的$k$ -广义方向集的聚点集的一个必要条件。我们给出了正整数的某些特定子集使得相应的$k$ -广义方向集在$\mathcal{S}^{k - 1}$中稠密的充分条件。我们还考虑了某些方向集的稠密性，并对Leonetti和Sanna提出的一个问题给出了部分回答。最后，我们考虑一个类似的问题的框架内的代数数域。
Translation invariant quadratic forms in dense sets
将Roth关于三项等差数列的定理推广到至少17个变量的平移不变二次型.我们使用傅立叶分析，限制理论，一致性规范和罗斯的密度增量方法来显示没有任何非平凡的解决方案的整数子集的定量估计。
Some refinements for translation invariant quadratic forms in dense sets
在两种特殊情况下，改进了前一篇关于平移不变二次型的结果。对于大多数二次型，我们将密度约束$|\mathcal{A}|/N = O((\log\log N)^{-c})$降为$|\mathcal{A}|/N = O((\log N)^{-c})$，并在$s \geq 6$变量而不是$s \geq 8$中处理几乎对角方程。
Non-dense sets of subvarieties in a power of an elliptic curve
设V是嵌入在椭圆曲线的幂中的代数簇，两者都定义在代数数上。我们证明了V的代数点集是有界的高度和满足一定的代数条件是V的非稠密子集。这一结果在Pink-Zilber猜想和Mordel-Lang加Bogomolov定理的背景下有影响。
Translation invariant quadratic forms and dense sets of primes
设$f(x_1,\ldots,x_s)$是具有$s\ge 10$的整数系数的平移不变不定二次型.让$\mathcal{A}\subseteq \mathcal{P}\cap \{1,2,\ldots,X\}$。设$X$足够大。在秩条件下，证明了存在不同素数$p_1,\ldots,p_s\in \mathcal{A}$，使得只要$f(p_1,\ldots,p_s)=0$
Solving equations in dense Sidon sets
本文给出了Conlon，Fox，Sudakov和Zhao关于稠密Sidon集上解非线性不变线性方程的一个结果的另一种证明.我们的证明推广到五个变量以上的方程，并产生有效的界限。
$p$-adic denseness of members of partitions of $\mathbb{N}$ and their ratio sets
正整数集合$A$的比率集定义为$R(A) := \{a / b : a, b \in A\}$。研究$R(A)$在正实数集上的稠密性是一个经典的课题，最近，$p$ -adic数$\mathbb{Q}_p$集上的稠密性也得到了研究。令$A_1, \ldots, A_k$是将$\mathbb{N}$划分为$k$集合。证明了对所有素数$p$，但至多有$\lfloor \log_2 k \rfloor$例外，至少有一个$R(A_1), \ldots, R(A_k)$在$\mathbb{Q}_p$中稠密.此外，我们表明，所有的素数$p$，但在大多数$k - 1$例外至少有一个$A_1, \ldots, A_k$是密集的$\mathbb{Z}_p$。这两个结果都是最佳的意义上说，存在分区$A_1, \ldots, A_k$具有确切的$\lfloor \log_2 k \rfloor$，分别$k - 1$，例外素数，我们给他们明确的建设。此外，作为一个必然的结果，我们否定地回答加西亚等人提出的问题。
Long regularly-spaced and convex sequences in dense sets of integers
设A是在有限区间内稠密的整数集.我们建立了A和A-A的最长正则凸子集的上界和下界。
Sumsets of dense sets and sparse sets
R.金表明，只要A和B是一组整数具有积极的上Banach密度，和集A+B是分段syndetic。这一结果得到了Bergelson、Furstenberg和Weiss的支持，他们得出结论：A+B必须是分段玻尔。我们将后一个结果推广到A的Banach密度为0的情况，给出了一个新的证明的过程中以前的结果。
Higher-dimensional Calabi-Yau varieties with dense sets of rational points
我们构造了定义在给定数域上的高维Calabi-Yau簇，它具有由有理点构成的Zebriki稠密集.我们给出了任意维的两个初等构造以及三维的另一个构造，其中涉及到包含Enriques曲面的某些Calabi-Yau三重。构造还表明，潜在的密度保持（足够）一般的家庭成员。
The apparent structure of dense Sidon sets
本文揭示稠密 Sidon 集与射影平面之间的构造性联系，分类了来自 Desargues 平面的情形，并猜想所有稠密 Sidon 集均由此产生，同时列举了多种代数来源的较小 Sidon 集。
$p$-adic quotient sets II: quadratic forms
对于$A \subseteq \{1,2,\ldots\}$，我们考虑$R(A) = \{a/a' : a,a' \in A\}$。如果$A$是二次型假设的非零值的集合，那么$R(A)$在$p$ -adic数中何时是稠密的？证明了对于二元二次型$Q$，$R(A)$在$\mathbb{Q}_{p}$中是稠密的当且仅当$Q$的判别式在$\mathbb{Q}_{p}$中是非零平方，对于至少三元的二次型，$R(A)$在$\mathbb{Q}_{p}$中总是稠密的.这回答了2017年几位作者提出的问题。
Dense finite Sidon sets on arithmetic progressions
本文针对稠密有限Sidon集合，利用Ortega和Prendiville的极值Sidon集傅里叶均匀性，证明了其元素幂和与秩加权和的渐近公式，去除了先前结果中的额外假设。
Characteristics of distributions of sets and their $(R)$- and $(N)$-denseness
设$0\leq q\leq1$和$\mathbb{N}$表示所有正整数的集合。本文还讨论了比块序列按分布函数$g(x) = x^q;\ x \in(0,1]$渐近分布的所有正则分布集$X \subset \mathbb{N}$的$\mathcal{U}(x^q)$族，并证明了正则分布集、正则序列、无穷远正则变差是等价的记法。本文还讨论了（N）-稠密性、方向集、广义比集、序列的离散度和收敛指数等符号之间的关系。
Random linear configurations in dense sets and primes
该研究证明了$[N]$的多对数稠密子集及素数的多对数相对稠密子集包含特定线性构型的结论，核心方法涉及定量广义冯·诺依曼定理等，拓展了数论中稠密集合与素数的构型研究。
$p$-Adic quotient sets: linear recurrence sequences
令$(x_n)_{n\geq0}$是一个阶为$k\geq2$的线性递归，对所有整数$n\geq k$满足$$x_n=a_1x_{n-1}+a_2x_{n-2}+\dots+a_kx_{n-k}$$，其中$a_1,\dots,a_k,x_0,\dots, x_{k-1}\in \mathbb{Z},$具有$a_k\neq0$。在[“The quotient set of $k$ -generalised Fibonacci numbers is dense in $\mathbb{Q}_p$”，\emph{Bull. Aust. Math. Soc.} \textbf{96}（2017），24-29]中，Sanna提出了一个开放性问题来分类素数$p$，其中$(x_n)_{n\geq0}$的商集在$\mathbb{Q}_p$中是稠密的。本文给出了$k$的商集稠密的一个充分条件，其中$(x_n)_{n\geq0}$满足$ x_{n}=a_1x_{n-1}+a_2x_{n-2}+\dots+a_kx_{n-k}$，$n\geq k$是以$x_0=\dots=x_{k-2}=0,x_{k-1}=1$为初值的整数，其中$a_1,\dots,a_k\in \mathbb{Z}$和$a_k=1$ .证明了给定一个素数$p$，存在无穷多个$k\geq 2$阶的递归序列，使得它们的商集在$\mathb…
$p$-adic quotient sets
对于$A \subseteq \mathbb{N}$，$R(A) = \{a/a' : a, a' \in A\}$在正实数$\mathbb{R}_+$中何时稠密的问题已经被许多作者研究了多年。相比之下，$p$ -adic设置在很大程度上是未开发的。研究了$R(A)$在$p$ -adic数中稠密的条件.在这方面的努力，从小学，代数，和解析数论的技术。我们还提出了许多应该引起普遍兴趣的未决问题。
$p$-adic quotient sets: Cubic forms
对于$A\subseteq \{1, 2, \ldots\}$，我们考虑$R(A)=\{a/b: a, b\in A\}$。当$A$是由三次型假设的非零值集时，研究$R(A)$在$p$ -adic数中的稠密性是一个公开的问题.我们研究三次型$ax^3+by^3$的这个问题，其中$a$和$b$是整数。我们还证明了，如果$A$是一个非退化，积分和原始三次形式所假定的9个以上的变量的非零值的集合，那么$R(A)$是密集的$\mathbb{Q}_p$。
On distribution of subsequences of primes having prime indices with respect to the $(R)$-denseness and convergence exponent
分别用$\mathbb{N}$和$\mathbb{P}$表示所有正整数和素数的集合。设$\mathbb{P}=\{p_1<p_2<\dots <p_n<\dots\}$，其中$p_n$是第$n$个素数。对于$k\in\mathbb{N}$，我们以如下方式递归地定义序列$(p_n)_{n=1}^{+\infty}$的连续性$(p^{(k)}_n)_{n=1}^{+\infty}$：令$p_n^{(1)}=p_n$和$p_n^{(k+1)}=p_{p_n^{(k)}}$。本文研究和描述了集合$\mathbb{P}_k=\{p_1^{(k)}<p_2^{(k)}<\dots<p_n^{(k)}<\dots\}$，$\mathbb{P}_n^{\mathrm{T}}=\{p_n^{(1)}<p_n^{(2)}<\dots<p_n^{(k)}<\dots\}$和$\text{Diag}\mathbb{P}=\{p^{(1)}_1<p^{(2)}_2<\dots <p^{(k)}_k<\dots\}$及其元素的一些有趣的性质，对于$k,n\in\mathbb{N}$ .特别是，我们检查这些集是否有密集的$\mathbb{R}_+$的比率。此外，我们还计算了它们的收敛指数和计数函数的渐近性。
Perfect difference sets constructed from Sidon sets
一个正整数集合A称为完美差集，如果每个非零整数都有一个唯一的表示为A的两个元素之差。我们从稠密Sidon集构造稠密完全差集。作为这种新方法的结果，我们证明了存在一个完美差集A使得A（x）>> x^{ \sqrt{2} -1-o（1）}.我们还证明了存在完美差集A使得limsup_{x\to \infty} A（x）/ \sqrt \geq 1/ \sqrt 2.
Quasi-étale covers of Du Val del Pezzo surfaces and Zariski dense exceptional sets in Manin's conjecture
本文构造了 Manin 猜想中具有 Zariski 稠密例外集的奇异 del Pezzo 曲面首批例子（次数为1、2和3），通过分类 Du Val del Pezzo 曲面的拟平展覆盖并研究群作用排除了高次情况，提供了系统构造方法。
Dense sets of natural numbers with unusually large least common multiples
本文构造了一类自然数稠密集合，其倒数和在双对数尺度下增长异常快，同时最小公倍数倒数和受平方控制，从而否定回答了 Erdős 和 Graham 的问题，并澄清了 Bergelson 和 Richter 研究的“几乎互素”集合的性质。
Super-Dense Sets and Their Role in the Theory of Normal Numbers
本文引入并研究了实数集上的新拓扑大小概念——超密度，证明超密集集与余来测集等价，并探讨了其在正常数理论中的应用，证明非正常数集为超密集集而正常数集不是，且构造了将正常数映射到非正常数的函数。
Counting solutions to invariant equations in dense sets
本研究给出了稠密集中不变方程解数的下界与凸方程解数的Behrend型上界构造，并改进了无长方程非平凡解的集合规模上界结果。
On the uniform distribution in residue classes of dense sets of integers with distinct sums
一个集合${\cal A} \subseteq \Set{1,...,N}$的类型是$B_2$，如果所有的和$a+b$，与$a\ge b$，$a,b\in {\cal A}$，是不同的。众所周知，这样的最大集合的大小渐近于$N^{1/2}$。对于一个$B_2$集${\cal A}$的这种大小，我们表明，在温和的假设下，模$m$的大小和差异$N^{1/2}-\Abs{\cal A}$（这些数量不应该太大）的元素${\cal A}$均匀分布在剩余类模$m$。还提供了关于分布均匀程度的定量估计。这推广了Lindström最近的结果，他的方法是组合的。我们的主要工具是$k$项的余弦和的最小值的上界，$\sum_1^k \cos{λ_j x}$，其所有正整数频率$λ_j$的大小最多为$(2-ε)k$。
Translation invariant quadratic forms in $8$ variables and dense sets of primes
本文通过改进 Green 的方法，证明了在温和条件下，当素数集在区间内密度不低于某对数因子时，必存在八个不同素数使平移不变不定二次型取零。
Finding arithmetic progressions in dense sets of integers
本文报告高阶 Fourier 分析的最新进展，并据此首次在 $k\geq 5$ 时定量改进 Gowers 关于整数稠密集含长等差数列的上界。
Dense sets of integers with prescribed representation functions
设A是一个整数集合，令h \geq 2。对于每一个整数n，令r_{A, h}（n）表示n的形式为n=a_1+.+ a_h，其中a_1，.，a_h属于集合A，并且a_1 \leq. \leq a_h.从整数Z到非负整数N_0 U的函数r_{A,h} { \infty }称为集合A的h阶表示函数。本文证明了从Z到N_0 U { \infty }的每个满足liminf_{|n|->\infty} f（n）\geq g的函数f是某个整数序列A的h阶表示函数，并且可以构造A使它的增长“几乎”与任何给定的B_h[g]序列一样慢.特别地，对于每个n>0和g \geq g（h，n），我们可以构造满足r_{A,h} =f和A（x）\gg x^{（1/h）-n}的序列A。
Arithmetic structures in random sets
我们扩展两个著名的结果在加性数论，Sárközy定理的平方差在稠密集和一个定理的绿色长等差数列的和集，子集的随机集的渐近密度为0。我们的证明依赖于限制型傅立叶分析的绿色和绿色陶参数。
On Rational Sets in Euclidean Spaces and Spheres
本文在欧氏空间与球面中引入 $l$-椭圆和 $l$-双曲有理集概念，研究其稠密与无限子集的存在性，并借助椭圆曲线秩及 Bombieri-Lang 猜想刻画存在性条件与闭包结构。
Arithmetic progressions in sets with small sumsets
本文给出了一个初等证明：如果$A$是一个有限的数集，且$A+_GA$的和集$|A+_GA|\leq c|A|$沿稠密图$G$很小，则$A$包含$k$ -项等差数列.
Constructing MSTD Sets Using Bidirectional Ballot Sequences
和大于差（MSTD）集是整数的有限子集S，使得|S+S| > |S-S|.我们构造了{0，1，2，.}的MSTD子集的一个新的稠密族，n-1}。我们的构造给出了Theta（2^n/n）MSTD集，改进了Miller，Orosz和Scheinerman以前使用Omega（2^n/n^4）MSTD集的最佳构造。
Interpolation sets and nilsequences
为了对Frantzikinakis的一个问题给出肯定的回答，我们研究了$\mathbb{N}$的一类子集，称之为插值集，在这类子集上每个有界序列都可以扩张为$\mathbb{N}$上的概周期序列. Strzelecki证明了缺集是插值集。证明了比所有缺集都稠密的集不能是插值集。我们还扩展了概念的插值集的nilsequences和模拟Frantzikinakis的问题，任意序列是假的。
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