稠密集合与素数中的随机线性构型
Random linear configurations in dense sets and primes
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中文总结 AI 辅助
该研究证明了$[N]$的多对数稠密子集及素数的多对数相对稠密子集包含特定线性构型的结论，核心方法涉及定量广义冯·诺依曼定理等，拓展了数论中稠密集合与素数的构型研究。
中文摘要 AI 辅助
我们证明，在广泛的尺度范围内，对于几乎所有系数向量$(b_1,\ldots, b_k)$的选择，$[N]$的每个多对数稠密子集都包含非平凡构型$x+b_1m,\ldots,x+b_km$。对于素数的多对数相对稠密子集，在较窄的尺度范围内也证明了相同结论。主要方法包括新的定量广义冯·诺依曼定理、降至$U^{1+}$范数的降阶，以及将结果转移到素数的稠密化论证。
英文摘要
We prove that every polylogarithmically dense subset of $[N]$ contains a nontrivial configuration $x+b_1m,\ldots,x+b_km$ for almost all choices of the coefficient vector $(b_1,\ldots, b_k)$ in a wide range of scales. We prove the same statement for polylogarithmically relatively dense subsets of the primes, in a shorter range of scales. The main ingredients are a new quantitative generalised von Neumann theorem, degree lowering to the $U^{1+}$ norm, and densification arguments that transfer the result to the primes.
