Newer sums of three cubes
本文将丢番图方程$x^3 + y^3 + z^3 = k$的解的搜索推广到$k<1000$，$|x|$，$|y|$和$|z|$的界，直到$10^{15}$ .报道了$k=74$的第一种解决方案。这就只剩下$k=33$和$k=42$用于尚未找到解决方案的$k<100$。总共找到了966个新的解决方案。
2016-04-26 math.NT
Cube sum problem for integers having exactly two distinct prime factors
给定一个整数n>1，n是否可以写成两个有理立方体之和，这是一个经典的丢番图问题。这个问题的研究，考虑到几个特殊情况下的n，有一个丰富的历史，可以追溯到工程西尔维斯特，萨特热，塞尔默等，并在最近的作品Alpöge-Bhargava-Shnidman。在这篇文章中，我们考虑无立方数整数n的立方和问题，其中n有两个不同的素因子，其中没有一个是3。
2022-11-30 math.NT
Sum of Cubes is Square of Sum
受第一个$n$自然数的立方之和等于其和的平方这一事实的启发，我们探索，对于每个$n$，丢番图方程表示所有非平凡的$n$整数集与此属性。我们找到明确的答案，以及其他几个令人惊讶的结果的无限的解决方案的标准问题。
2013-06-21 math.NT
A singular K3 surface related to sums of consecutive cubes
研究了由丢番图方程$m^3+(m+1)^3+...+(m+k-1)^3=l^2$产生的曲面。这是一个皮卡德数为20的$K3$曲面。我们详细地研究了它的光学性质。我们构造椭圆纤维化，我们找到一个参数的解决方案，原来的方程。此外，我们还确定了$Q$上曲面的Hasse-Weil zeta函数.
1999-10-22 math.NT
A diophantine sum with factorials
本文给出了一个含因子的丢番图方程的解，它可以写成三次型，也可以写成二项式系数之和。给出了高次形式的一些解，并将一些解与一个不可解的费马大定理方程联系起来。
2015-10-16 math.NT
On the Diophantine equations $ \sum_{i=1}^n a_ix_{i} ^6+\sum_{i=1}^m b_iy_{i} ^3= \sum_{i=1}^na_iX_{i}^6\pm\sum_{i=1}^m b_iY_{i} ^3 $
本文利用椭圆曲线理论求解丢番图方程$\sum_{i=1}^n a_ix_{i} ^6+\sum_{i=1}^m b_iy_{i} ^3= \sum_{i=1}^na_iX_{i}^6\pm\sum_{i=1}^m b_iY_{i} ^3$，其中$n$，$m$ $\geq 1$和$a_i$，$b_i$为任意非零整数.对于任意整数$n$，$m$，$a_i$和$b_i$，我们可以找到丢番图方程的无穷多个非平凡正解，也可以得到无穷多个非平凡参数解.
2017-01-06 math.NT
A diophantine equation for sums of consecutive like powers
证明了丢番图方程$n^\ell+(n+1)^\ell + ...+ (n+k)^\ell=(n+k+1)^\ell+ ...+ (n+2k)^\ell$对所有的$\ell \ge 3$在正整数$k,n \ge 1$中无解.
2015-03-02 math.NT
On the Diophantine equation $ \sum_{i=1}^n a_ix_{i} ^4= \sum_{j=1}^na_j y_{j}^4 $
本文利用椭圆曲线理论研究了四次丢番图方程${ \sum_{i=1}^n a_ix_{i} ^4= \sum_{j=1}^na_j y_{j}^4 }$，其中$a_i$和$n\geq3$是固定的任意整数.我们求解方程的一些值的$a_i$和$n=3,4$，并找到非平凡的解决方案，为每种情况下的自然数。通过我们的方法，我们可以找到无穷多个非平凡的解决方案，上述丢番图方程和显示，除其他事项外，如何一些数字可以写为总和的三个，四个，或更多的双平方在两种不同的方式。虽然我们的方法可以用于求解方程的每一个$a_i$和$n\geq 3$，本文将仅限于例子，其中$n=3,4$。最后，我们解释了如何解决它在一般情况下，没有给出具体的例子。
2017-01-06 math.NT
An Ancient Diophantine Equation with applications to Numerical Curios and Geometric Series
本文研究丢番图方程$x^k-y^k=x-y$，其中$k$是正整数$\geq 2$，并考虑它的应用.虽然方程$x^k-y^k=x-y$在正有理数下的完全解在$k=2$或$3$时已经是已知的，但到目前为止，在$k=4$时仅发表了方程在正有理数下的一个数值解，并且在$k \geq 5$时不知道非平凡解。我们描述了当$k=4$ .我们使用正有理解的方程与$k=2,\, 3$或4产生的数值好奇，涉及平方根，立方根和四分之一根，作为这些解决方案的另一个应用，我们展示了如何构建的例子等比级数与一个有趣的性质。
2016-03-20 math.NT
Diophantine equations in separated variables and polynomial power sums
本文研究形如 $f(x)=g(y)$ 且多项式为幂和的丢番图方程，利用 Bilu 和 Tichy 的有限性准则证明，在适当假设下具有有界分母的无穷多有理数解仅在平凡情形下成立。
2020-08-24 math.NT
On Diophantine equations involving sums of Fibonacci numbers and powers of $2$
本文完全求解了丢番图方程$F_{n_1} + F_{n_2} = 2^{a_1} + 2^{a_2} + 2^{a_3}$和$ F_{m_1} + F_{m_2} + F_{m_3} =2^{t_1} + 2^{t_2} $，其中$F_k$表示第$k$个Fibonacci数.特别地，我们证明了$\max \{n_1, n_2, a_1, a_2, a_3 \}\leq 18$和$\max \{ m_1, m_2, m_3, t_1, t_2 \}\leq 16$ .
2017-05-18 math.NT
Sums of reciprocals of fractional parts and multiplicative Diophantine approximation
本文有两个相互关联的主要目标。首先我们研究和\[ S_N(α,γ):=\sum_{n=1}^N\frac{1}{n\|nα-γ\|}~~~\text{and}~~~ R_N(α,γ):=\sum_{n=1}^N\frac{1}{\|nα-γ\|}\,, \]其中$α$和$γ$是实参数，$\|\cdot\|$是到最近整数的距离。我们的定理改进了W. M. Schmidt和其他人，并且是（直到常数）最好的可能。与上述总和有关，我们还得到了\[ \{1\le n\le N:\|nα-γ\|<\varepsilon\} \, , \]的基数的上界和下界，对所有足够大的$N$和所有足够小的$\varepsilon$都有效。这第一股的工作是出于应用乘法丢番图逼近，这也被认为是。特别地，我们在$\mathbb{R}^2$中得到了纤维上乘法同时丢番图逼近的完全Khintchine型结果。分歧的结果是第一次，它代表了一种尝试，发展的概念，普遍性的乘法设置。
2017-04-02 math.NT
On perfect powers that are sums of cubes of a seven term arithmetic progression
本文证明了方程$(x-3r)^3+(x-2r)^3 + (x-r)^3 + x^3 + (x+r)^3 + (x+2r)^3+(x+3r)^3= y^p$只有满足$xy=0$的解，其中$xy=0$是$1\leq r\leq 10^6$和$p\geq 5$素数.本文补充了方程$(x-r)^3 + x^3 + (x+r)^3 = y^p$和$(x-2r)^3 + (x-r)^3 + x^3 + (x+r)^3 + (x+2r)^3= y^p$的工作。本文利用Bilu、Hanrot和Schmider的原因子定理，给出了丢番图方程的完全解。
2019-11-03 math.NT
Some Diophantine equations and inequalities with primes
这些不等式涉及非整数指数c>1的素数的s次幂和。这里s =2、3、4或5。方程类似，在求和之前取整数部分;这里s = 3或5。新的范围c被发现在所有情况下，许多解决方案的素数存在。
2020-08-27 math.NT
Limit laws for cotangent and Diophantine sums
本文针对带幂奇点的1周期函数相关和式，证明其极限定律并给出收敛速度估计，结果适用于余切和与分数部分倒数和，主要工具包括Schmidt方法、Gauss-Kuzmin问题及$ψ$-混合随机变量理论。
2025-02-12 math.DS math.NT math.PR
Simultaneous Diophantine approximation: sums of squares and homogeneous polynomials
设$f$是$d$变量中具有有理系数的齐次多项式。证明了$f$图上点和超曲面$\{f(x_1,\dots,x_d) = 1\}$上点的一致同时逼近的几个结果。首先陈述了特别感兴趣的$f(x_1,\dots,x_d) = x_1^2+\dots+x_d^2,$病例的结果。
2018-09-18 math.DS math.NT
The average number of solutions of the Diophantine equation U^2 + V^2 = W^3 and related arithmetic functions
本文给出了一类算术函数的Dirichlet求和函数的带锐误差项的渐近性。结果适用于，例如，到r^2（n）和r（n^3）上的和，其中r（m）表示将m写成两个整数平方和的方法的数量。
2003-07-16 math.NT
Counting in hyperbolic spikes: the diophantine analysis of multihomogeneous diagonal equations
本文给出了一种求多维算术函数在双曲求和条件下的和的方法，只要在矩形盒中的渐近公式是可用的。与圆方法相结合，新方法是计算由多个齐次对角方程定义的代数簇上的有理点的通用工具。
2014-02-05 math.NT
On the Diophantine equation $\displaystyle \sum _{k=1}^{5}F_{n_k}=2^a$
设$(F_n)_{n\geq 0}$是由$F_0 = 0, F_1 = 1$和$n \geq 0$的$F_{n+2} = F_{n+1}+F_n$给出的斐波那契序列。在本文中，我们已经确定了所有的权力2这是总和的5个斐波那契数，我们的特点与少数例外。我们还提出了一个公开的问题，有关的一些解决方案的方程，如本文所研究的。
2022-09-24 math.NT
Sums of two cubes as twisted perfect powers, revisited
在本文中，我们锐化早期的工作的第一作者，卢卡和Mulholland，表明丢番图方程$$ A^3+B^3 = q^αC^p, \, \, ABC \neq 0, \, \, \gcd (A,B) =1, $$，“大多数”素数$q$和适当大的素指数$p$，没有解决方案。我们处理了一些（大概是无限的）家庭，没有这样的结论是迄今为止已知的。通过进一步应用某些{ \it辛准则}，我们能够对$q$的更多值作一些条件性陈述，一个这样的结果是，对于除了$O(\sqrt{x}/\log x)$素数$q$直到$x$之外的所有素数，对于素数指数$p$的正比例，方程$$ A^3 + B^3 = q C^p. $$在互质非零整数$A, B$和$C$中没有解.
2017-02-25 math.NT
On the Diophantine equations X^3+Y^3+Z^3+aU^k=a_0U_0^{t_0}+...+a_nU_n^{t_n}, k=3,4
本文利用椭圆曲线理论求解丢番图方程X^3+Y^3+Z^3+aU^k=a_0U_0^{t_0}+.+ a_nU_n^{t_n}，k= 3，4其中n，ti是自然数，a，a_i是固定的任意有理数。我们试图将上述丢番图方程的每一种情形变换到正秩的三次椭圆曲线上，从而得到每种情形的无穷多个整数解。我们还解决了这些丢番图方程的一些值的n，a，a_i，t_i，并获得无限多的解决方案，为每一种情况下，并显示在其他事情，如何总和四个，五个，或更多的三次可以写为总和的四个，五个，或更多的双二次以及总和的5次幂，6次幂等。
2017-02-15 math.NT
Euler's and the Taxi Cab relations and other numbers that can be written twice as sums of two cubed integers
我们证明了欧拉关系和Taxi-Cab关系都是同一方程的解。计算了两个连续立方之和等于另外两个立方之和的通解。在两个连续立方的和与另外两个立方的和之间，以两个族的形式存在着无限多的关系。计算了它们的递推方程和参数方程。
2022-05-29 math.NT
On the Diophantine equation $\sum_{j=1}^kjF_j^p=F_n^q$
令$F_n$表示斐波那契序列的$n^{th}$项。本文研究了正整数$k$和$n$中的丢番图方程$F_1^p+2F_2^p+\cdots+kF_{k}^p=F_{n}^q$，其中$p$和$q$是给定的正整数.如果指数包含在集合$\{1,2\}$中，则给出了完全解。根据我们所能解出的具体情况，并利用$p,q,k\le100$进行计算机搜索，我们推测除了平凡解之外，只有$F_8=F_1+2F_2+3F_3+4F_4$、$F_4^2=F_1+2F_2+3F_3$和$F_4^3=F_1^3+2F_2^3+3F_3^3$满足标题方程。
2017-05-17 math.NT
Cube Sum Problem and an Explicit Gross-Zagier Formula
一个非零有理数称为立方和，如果它是$a^3+b^3$与$a,b\in \mathbb{Q}^\times$的形式。本文证明了：对任意奇数$k\geq 1$，存在无穷多个无立方的奇数$n$，它们恰好具有$k$不同的素因子，使得$2n$是立方和（分别为.不是立方和）。给出了Heegner点的一般构造，得到了一个显式的Gross-Zagier公式，并利用该公式证明了与立方和问题有关的某些椭圆曲线的Birch和Swinnerton-Dyer猜想.
2014-12-05 math.NT
Diophantine approximation with sums of two squares
Ramakrishna Mission Vivekananda Educational and Research Institute（罗摩克里希那使命维韦卡南达教育与研究所）；Indian Institute of Science Education & Research Kolkata（印度科学教育研究学院加尔各答分校）
研究二元二次型在丢番图逼近中的应用，证明对于任意无理数α，存在无限多个由Q表示的正整数n，满足||αn||<n^(-1/2-ε)。同时给出当指数1/2-ε替换为任意固定γ<3/7时的结果量化版本。
2026-04-02 math.NT
Expressing three consecutive integers as sums of three cubes
本文研究将连续整数表示为三个立方数之和的问题，给出三个连续整数的若干参数化解，并讨论五至七个连续整数的平凡解，最后提出四个及以上连续整数的开放问题。
2023-11-29 math.NT
Expressing an integer as a sum of cubes of polynomials
本文证明无穷多整数可表示为四个整系数多项式立方和，且每个整数可表示为五个多项式立方和，并给出1和2的具体恒等式。
2023-11-13 math.NT
On squares of sums of three cubes
我们证明，几乎每个正整数都可以表示为四个整数的平方和，这些整数表示为三个正立方体的和。
2020-10-27 math.NT
On Waring's problem in sums of three cubes
我们调查的渐近公式的数量表示的一个大的正整数作为一个总和的$k$次幂的整数表示为三个正立方体的总和，计数的多重性。我们还得到了一个下界的表示数时，三个立方体的总和计数没有重数。
2020-12-15 math.NT
On the representation of an even perfect number as the sum of a limited number of cubes
本文的目的是证明除$6$以外的任何偶数完满数都可以写成自然数的5个立方的和。我们还猜想，除了$6$之外，任何偶数完满数都可以写成自然数的3个立方的和。
2015-04-27 math.NT
Diophantine equations over the generalized Fibonacci sequences: exploring sums of powers
本研究围绕经典斐波那契恒等式的推广展开，分别在k-广义斐波那契数、普通斐波那契数的幂次及连续项幂和场景下求解三类丢番图方程，推广了已有相关研究结论。
2025-01-15 math.NT
Computing bounded solutions to linear Diophantine equations with the sum of divisors
The George Washington University（乔治华盛顿大学）
本文提出了一种高效方法，用于计算线性丢番图方程的有界解，并应用于发现超完美数等领域的新型解。
2026-10-19 cs.DM cs.DS math.NT
A symmetric diophantine equation involving biquadrates
本文研究了丢番图方程$\sum_{i=1}^na_ix_i^4= \sum_{i=1}^na_iy_i^4$，其中$n \geq 3$和$a_i,\,i=1,\,2,\,\ldots,\,n$是任意整数.虽然最近已经给出了一种方法来获得这样的方程的数值解，它似乎是一个明确的参数，这个丢番图方程尚未公布。对于任意的$a_i$值和任意的正整数$n \geq 3$，我们得到了该方程的多参数解，并推导出当$n=3$和$n=4$ .这样得到的数值解比以前得到的这类方程的整数解小小于得多。
2017-03-02 math.NT
The density of integers representable as the sum of four prime cubes
可以写成四个素立方之和的整数集合至少具有较低的密度$0.009664$。这改进了Ren的$0.003125$和Liu的$0.005776$的早期界。
2019-02-26 math.NT
Every multiple of 4 except 212, 364, 420, and 428 is the sum of seven cubes
证明了任何大于454的整数N都是7个非负立方的和。当N是4的倍数时，我们证明了这个猜想。
2009-03-26 math.NT
On Waring's problem in sums of three cubes for smaller powers
我们给出了最小$s$的一个上界，它具有如下性质：对于$2\leq k\leq 4.$情形，每个足够大的整数都可以表示为正$s$的正$k$次幂之和
2020-10-27 math.NT
A note on Diophantine systems involving three symmetric polynomials
设$\bar{X}_{n}=(x_{1},\ldots,x_{n})$和$σ_{i}(\bar{X}_{n})=\sum x_{k_{1}}\ldots x_{k_{i}}$是$i$阶初等对称多项式.本文证明了存在无穷多个整数三元组$a, b, c$，使得对每个$1\leq i\leq n$，丢番图方程组\begin{equation*} σ_{i}(\bar{X}_{2n})=a, \quad σ_{2n-i}(\bar{X}_{2n})=b, \quad σ_{2n}(\bar{X}_{2n})=c \end{equation*}有无穷多个有理解.这一结果推广了Zhang和Cai以及作者的近期结果.此外，我们还考虑了一些涉及幂和的丢番图系统。特别是，我们证明，对于每个$k$至少有$k$ $n$ -元组的整数相同的总和$i$ -th权力$i=1,2,3$。对于$i=1,2,4$和$i=-1,1,2$证明了类似的结果。
2013-05-27 math.NT
Correlation estimates for sums of three cubes
我们建立了涉及三个正整数立方和的线性相关和的估计。在适当的条件下，基本的方法允许我们建立系统的齐次线性方程在三个正立方的总和的溶解度，只要这些系统有两倍以上的方程的变量。
2015-06-05 math.NT
Every even number greater than 454 is the sum of seven cubes
证明了任何大于454的整数N都是7个非负立方的和。证明了当N全等于2 mod 4时的猜想。这一结果，连同最近的证明4|证明了该猜想对所有偶数N成立。
2010-09-21 math.NT
Decomposition of an integer as the sum of two cubes to a fixed modulus
任何整数都可以表示为两个立方之和的固定模数，当且仅当模数不能被7或9整除。对于一个非素正整数N，给出了一种归纳方法，求出了它的模N的两个立方之和。此外，可以找到该表示的组件。
2011-09-02 math.NT
Factored closed-form expressions for the sums of cubes of Fibonacci and Lucas numbers
我们得到明确的因子封闭形式表达式的形式\mbox{$\sum_{k = 1}^n {F_{2rk}^3 }$}和\mbox{$\sum_{k = 1}^n {L_{2rk}^3 }$}，其中$r$ ~和~ $n$是整数的斐波那契和卢卡斯和。
2017-06-28 math.NT
On a Diophantine Inequality with Primes Yielding Square-Free Sums with Given Numbers
本文证明对任意无理数α和实数β，存在无穷多个素数p满足αp+β的分数部分小于p^{-1/10}，且p与给定互异正整数之和均为无平方数。
2025-04-19 math.NT
Formulae for the number of non-negative integer solutions of linear Diophantine equation and inequality
本文提出了计算线性丢番图方程及不等式非负整数解数量的新公式。
2023-10-26 math.CO math.NT
Equal Sums of Like Powers with Minimum Number of Terms
本文研究丢番图系统$\sum_{i=1}^{s_1} x_i^r=\sum_{i=1}^{s_2} y_i^r,\, r=1,\,2,\,\ldots,\,k, $，其中$s_1$和$s_2$是整数，使得两边的项数之和，即$s_1+s_2,$尽可能小.我们定义$β(k)$为$s_1+s_2$的最小值，使得该丢番图系统存在非平凡解。当$k < 6$时，我们找到了这个丢番图系统的非平凡整数解，从而证明了$β(2) =4,\;\, β(3) = 6,\;\, 7 \leq β(4) \leq 8$和$8 \leq β(5) \leq 10$ .
2016-02-28 math.NT
Sums, series, and products in Diophantine approximation
本文围绕丢番图逼近中的和、级数与乘积展开，利用连分数对几乎所有x建立相关结果，阐述其在圆法奇异级数中的应用，并给出Hardy和Littlewood一项经典结论的全新详细证明。
2023-06-19 math.DS math.HO math.NT
Binary Cubic Forms and Rational Cube Sum Problem
本文利用整二元三次型研究有理数立方和问题，无条件证明了在特定剩余类中存在无穷多个素数可表示为两个有理数的立方和。
2024-05-31 math.NT
Automatic Solving of Cubic Diophantine Equations Inspired by Ramanujan
在拉马努金的《失落的笔记本》中，有一个惊人的恒等式，它列举了无穷多个三次费马大定理的“几乎是反例”，却没有任何迹象表明他是如何发现它的。1995年，迈克尔·赫希霍恩（Michael Hirschhorn）以一种辉煌的方式解释了拉马努金可能是如何做到这一点的，基于四个立方之和的某个多项式恒等式。更早的时候，Eri Jabotinsky在1946年发表的一篇文章中（在一本青少年数学杂志上）解释了拉马努金是如何发现赫希霍恩方法所需的多项式恒等式的。在这里，我们结合这两个辉煌的想法（这可能是或可能不是拉马努金如何做到这一点），自动化，并推广，通过开发一个算法来解决一大类三次丢番图方程。我们对这个问题的兴趣在读了艾米·阿尔兹瑙尔的（b）之后重新燃起。安德鲁斯）令人愉快的儿童书籍“梦想无限的男孩”（蜡烛芯出版社），2020年，拉马努金的身份出现在其中一个插图中。
2020-07-30 math.CO math.NT
On perfect powers that are sums of cubes of a five term arithmetic progression
本文证明了方程$(x-2r)^3 + (x-r)^3 + x^3 + (x+r)^3 + (x+2r)^3= y^p$只有满足$xy=0$的解，其中$xy=0$是$1\leq r\leq 10^6$和$p\geq 5$素数.
2019-01-29 math.NT
Matrices over maximal orders in cyclic division algebras over Q as sums of squares and cubes
本文研究有理数域上奇素数次循环除代数中极大序上的矩阵，证明在特定条件下，任意阶数大于等于2的矩阵可表示为平方和与立方和，推广了已有结果。
2025-10-15 math.NT
Determination of the asymptotic behavior of the number of natural solutions for certain types of diagonal Diophantine equations
本文得到了边为$N$的超立方体中下列对角丢番图方程自然解个数的渐近上界：$x_1 = x_2^k+...+x_s^k$，$x_1^k = x_2^k+...+x_s^k$，$x_1 = \sum_{j=2}^s {x_j}^{k_j}$，其中$k,s,k_j$为自然数.
2020-01-23 math.NT
Representing integers as a sum of three cubes
在这篇文章中，我们进一步开发了将整数表示为三个立方之和的方法。特别是，解决的情况下，$k=3$，这是在第二作者以前的论文中概述的障碍，克服。最近的计算表明，该方法是相当有利的其他方法的时间估计。这里提出的方法和那些在以前的论文的混合目前正在进行未解决的情况下。
2022-11-22 math.NT
The infinite sum of the cubes of reciprocal balancing numbers
VIT-AP University（维特-AP大学）；KIIT Deemed to be University（KIIT认证大学）
本文研究平衡数倒数立方和的无穷级数，给出其显式界，并据此确定该级数倒数的整数部分。
2026-09-29 math.NT
On the Diophantine equation $x^2+q^{2m}=2y^p$
本文研究了丢番图方程$x^2+q^{2m}=2y^p$，其中$m,p,q,x,y$为整数未知数，$m>0,$，$p$，$q$为奇素数，$\gcd(x,y)=1.$.证明了只有1/2个解$(m,p,q,x,y)$的$y$不是两个连续平方和.我们还研究了固定$y$和固定$q.$的上述方程
2006-05-09 math.NT
Diophantine approximation with sums of two squares II
Ramakrishna Mission Vivekananda Educational and Research Institute（罗摩克里希那使命维韦卡南达教育与研究所）；Indian Institute of Science Education & Research Kolkata（加尔各答印度科学教育与研究所）
本文研究了二平方和在丢番图逼近中的定量版本，针对无理数 α 和正定二次型 Q，证明了存在无限多个 n 满足特定不等式条件。
2026-07-08 math.NT
