Self-Assembly of Patterns in the abstract Tile Assembly Model
该研究在抽象瓦片组装模型框架下，以所需独特瓦片类型数为复杂度度量，探究图案自组装复杂度，给出简单图案高效组装方法、方形表面双色图案复杂度紧界，并证实单双平面系统间存在指数级复杂度差距。
2024-03-10 cs.CC cs.CG cs.ET
The tile assembly model is intrinsically universal
我们证明了纳米尺度自组装的抽象瓦片组装模型（aTAM）具有内在的普适性。这意味着存在单个瓦片组装系统U，其在适当初始化的情况下模拟任何瓦片组装系统T。模拟是“内在的”，因为U执行的自组装过程正是T执行的过程，T的每个瓦片由U的mxm个“超级瓦片”表示。我们的结构适用于任何温度下的完整aTAM，它忠实地模拟了每个T的确定性或非确定性行为。我们的构建成功地解决了发育生物学中细胞分化问题的一个模拟：U的每个超瓦片，从种子集合中的那些开始，携带模拟系统T的“基因组”。在U的自组装中的潜在超级瓦片的每个位置处，决定是否以及如何表达该基因组，即，是否生成超级瓦片，以及如果是，它将表示T的哪个瓦片。这个决定必须在不完全信息下使用异步通信来实现，但是它实现了正确的全局结果。
2012-04-07 cs.CC cs.DS
One Tile to Rule Them All: Simulating Any Turing Machine, Tile Assembly System, or Tiling System with a Single Puzzle Piece
在本文中，我们探讨的权力瓷砖自组装模型，扩展了研究抽象瓷砖组装模型（aTAM），允许瓷砖的形状超出单位正方形。我们的主要结果表明，令人惊讶的事实，任何aTAM系统，包括许多不同的瓷砖类型，可以模拟一个单一的瓷砖类型的一般形状。因此，我们得到了一个单一的通用瓦片类型的一个单一的（恒定大小）的形状，作为一个“通用瓦片机”：单一的通用瓦片类型可以模拟任何所需的aTAM系统时，给定一个单一的种子组装，编码所需的aTAM系统。我们还展示了如何适应这一结果转换成一个“近”平面瓷砖系统与一个单一的瓷砖（但瓷砖之间的小间隙）的各种平面瓷砖系统（如王瓷砖）。所有这些结果都依赖于旋转和平移瓷砖的能力;相比之下，我们表明，一个单一的不可旋转的瓷砖，任意形状，可以产生组件，要么无限增长或根本不能增长，这意味着大大有限的计算能力。在积极的一面，我们展示了如何模拟任意的细胞自动机有限的步骤，使用一个单一的不可旋转的瓷砖和线性大小的种子大会。
2012-12-19 cs.CC cs.CG cs.DS
A linear bound for the size of the finite terminal assembly of a directed non-cooperative tile assembly system
IBISC Laboratory, Université Evry, Université Paris-Saclay（IBISC实验室，埃夫里大学，巴黎萨克雷大学）
本文研究了有向非合作性瓷砖自组装系统中终端装配大小的线性界，证明了非确定性在构建高效路径中的必要性，并展示了构造n宽度正方形的渐近最优性。
2026-05-07 cs.CC
Limitations of Self-Assembly at Temperature One (extended abstract)
我们证明了，如果整数笛卡尔平面的子集X弱自组装在温度1在一个确定性（Winfree）瓷砖组装系统满足一个自然条件称为 * 泵 *，那么X是一个有限的双周期集。这表明，只有最简单的无限的形状和图案可以使用泵温度1瓷砖组装系统，并提供了强有力的证据的论文，温度2或更高的是需要进行通用计算的瓷砖组装系统。最后，我们表明，通用计算是可能的，在温度1，如果允许在瓷砖组装模型的负胶强度。
2009-06-17 cs.CC
Intrinsic universality and the computational power of self-assembly
这个简短的调查最近的工作在瓷砖自组装讨论了使用模拟分类和分离的计算和自组装模型的表达能力。旅程开始时，有一个单一的通用瓷砖集，适当的初始化和缩放，模拟任何瓷砖组装系统。这个通用的瓦片集展示了比图灵普适性更强大的东西：它捕捉了任何模拟系统的几何和动力学。从那里，我们发现，没有这样的瓷砖集在非合作，或温度1，模型，证明它比完整的瓷砖组装模型弱。在双手或层次模型中，大型组件可以在一个步骤中绑定在一起，我们遇到了一个无限的集合，无限的层次，每个层次都有严格增加的模拟能力。在我们的旅行接近尾声时，我们发现一个瓷砖统治了他们所有人：一个单一的可旋转翻转多边形瓷砖，可以模拟任何瓷砖组装系统。看来这可能是一个更长的旅程的开始，因此建议了未来工作的方向。
2013-09-05 cs.CC cs.CG cs.ET
Fuel Efficient Computation in Passive Self-Assembly
在本文中，我们表明，被动自组装的上下文中的瓷砖自组装模型是能够执行燃料效率，通用计算。瓷砖自组装模型是一个首映模型的自组装，其中颗粒是由四边形与胶类型分配给每个瓷砖边缘。组装过程由胶水类型之间的正负力相互作用驱动，允许漂浮在平面上的瓷砖组件随着时间的推移组合和分开。我们将这种类型的装配模型称为被动装配模型，因为在整个装配过程中，组成零件保持不变，而不管它们之间的交互。如果每个计算步骤使用的瓦片数量由常数限制，则计算通用系统被称为燃料有效的。在这个模型中的工作已经展示了耗油的瓦片系统如何仅通过正强度胶相互作用来执行通用计算。最近的工作引入了空间效率，耗油量大的通用计算，增加了负胶相互作用和使用一个强大的非对角类胶相互作用。其他最近的工作已经展示了如何在主动瓦片自组装内实现燃料效率计算。在本文中，我们利用瓷砖自组装模型中的负相互作用，以实现第一个计算通用的被动瓷砖自组装系统，这是空间和燃料效率。此外，我们实现了这一结果使用有限的对角线类胶水相互作用。
2012-08-08 cs.CC cs.CG cs.DS
Randomized Self-Assembly for Exact Shapes
工作在Winfree的抽象瓷砖组装模型，我们表明，一个恒定大小的瓷砖组装系统可以通过编程相对瓷砖浓度，以建立一个n × n平方与高概率，任何足够大的n。这回答了Kao和Schweller（Randomized Self-Assembly for Approximate Decomposition，ICALP 2008）的一个开放性问题，他们展示了如何使用瓷砖浓度编程构建一个近似n x n的正方形，并询问近似是否可以以高概率精确。我们展示了如何修改这种技术来回答Kao和Schweller的另一个问题，通过展示一个恒定大小的瓷砖组装系统可以通过瓷砖浓度来编程，以组装任意有限 * 缩放形状 *，这些形状是通过将每个点替换为c x c块点来修改的，对于某个整数c。此外，我们表现出一个平稳的权衡之间的指定位n通过瓦片浓度与指定它们通过硬编码的瓦片类型，这允许瓦片浓度编程被用于指定一小部分的位的“输入”到一个瓦片组装系统，在浓度的约束下，只能指定到一个有限的精度。最后，考虑到瓷砖浓度规划模型的一些不切实际的方面，我们展示了如何修改施工，只使用浓度是任意接近均匀。
2010-07-16 cs.CC cs.DS
A pumping lemma for non-cooperative self-assembly
我们证明了计算的瓷砖组装模型，迄今为止，抵制了许多尝试的正式分析或积极的建设的弱点。具体地说，我们证明了，在Winfree的抽象瓦片组装模型中，当限制为只使用非合作绑定时，任何可以在所有终端组装中增长的足够长的路径都是可泵的，这意味着该路径可以扩展为无限的，最终周期性的路径。这一结果可以看作是有限状态自动机的泵引理的几何推广，并且解决了在这个模型中可以确定性地计算什么的问题。此外，这个问题激发了一种称为可见胶的新方法的发展。我们相信，这种方法也可以用来解决其他长期存在的问题，在计算几何，例如与自避免路径。瓦片组装（包括非合作瓦片组装）最初是由Winfree和Rothemund在STOC 2000中引入的，以了解如何对形状进行编程。非协作变体，也称为温度1瓦片组装，是允许瓦片一旦在一侧匹配就绑定的模型，而在协作瓦片组装中，一些瓦片需要在多个侧上匹配才能绑定。在这项工作中，我们证明了只有非常简单的形状确实可以编程，而确切地说，一个已知的结果（SODA 2014）显示了对一般非合作自组装可以实现的组件的限制，而对其计算表现力没有任何影响。对于非正方形瓷砖（如polyominos，SODA 2015），最近的其他工作表明，该模型在计算上很快变得强大。
2015-07-30 cs.CC cs.DM
Program Size and Temperature in Self-Assembly
Winfree的抽象瓦片组装模型（aTAM）是DNA复合物分子自组装的模型，称为瓦片，它们在溶液中自由漂浮，并根据其四边上的特定结合位点一次附着一个生长的“种子”组装。我们表明，有一个多项式时间算法，给定一个n × n平方，找到最小瓦片系统（即，具有最少数量的不同瓦片类型的系统），其唯一地自组装正方形，回答了Adleman、Cheng、Goel、Huang、Kempe、Moisset de Espanes和Rothemund的公开问题（“自组装中的组合优化问题”，STOC 2002）。我们的调查导致这种算法揭示了其他积极和消极的结果之间的关系的瓷砖系统的大小和它的“温度”（瓷砖附着所需的结合强度阈值）。
2011-03-02 cs.CC cs.DS
The two-handed tile assembly model is not intrinsically universal
双手瓦片组装模型（Two-Handed Tile Assembly Model，2 HAM）是一种瓦片组装模型，其中成对的大型组件可以绑定或自组装在一起。为了粘合，两个组件必须具有匹配的胶水，这些胶水可以同时彼此接触，并且以至少为温度$τ$的强度粘在一起，其中$τ$是某个固定的正整数。我们问2 HAM是否本质上是通用的，换句话说，我们问：是否有一个通用的2 HAM瓦片集$U$，可以用来模拟模型的任何实例？我们的主要结果是对这个问题的否定回答。我们发现，对于所有的$τ' < τ$，每个温度- $τ'$ 2 HAM瓷砖系统不模拟至少一个温度- $τ$ 2 HAM瓷砖系统。这个不可能的结果证明了2 HAM本质上不是通用的，这与本质上通用的更简单的（仅单个瓦片添加）抽象瓦片组装模型形成鲜明对比（“瓦片组装模型本质上是通用的”，FOCS 2012）。然而，在积极的一面，我们证明，对于每一个固定的温度$τ\geq 2$，温度- $τ$ 2 HAM瓦片系统确实是固有的通用：换句话说，对于每个$τ$有一个单一的通用2 HAM瓦片集$U$，当适当地初始化，是能够模拟任何温度- $τ$ 2 HAM瓦片系统的行为。作为这些结果的推论，我们发现一个无限的2 HAM系统的无限层次的无限集，严格增加每个层次内的模拟能力。最后，我们表明，对于每个$τ$，有一个温度- $τ$ 2 HAM系统，同时模拟所有的温度-…
2014-08-20 cs.CC cs.CG cs.DS
Temperature 1 Self-Assembly: Deterministic Assembly in 3D and Probabilistic Assembly in 2D
我们调查的权力，王瓷砖自组装模型在温度1，一个阈值，允许任何两个瓷砖之间的连接，甚至共享一个单键。当被限制为在平面中的确定性组装时，没有温度1组装系统被示出构建具有小于形状的直径的瓦片复杂性的形状。相比之下，我们表明，温度1自组装在3维，即使当增长被限制到最多1步到第三个维度，是能够模拟一个大类的温度2系统，从而允许模拟任意图灵机和组装的$n\times n$广场在接近最佳的$O(\log n)$瓷砖复杂性。此外，我们认为温度1概率组装在2D中，并表明，与对数比例的瓷砖复杂性和形状规模，相同的一般类的温度$τ=2$系统可以模拟高概率，产生图灵机模拟和$O(\log^2 n)$大会的$n\times n$广场具有高概率。我们的研究结果表明，在温度为1时，如果允许生长到第三维或小概率的错误，则可实现的瓦片复杂性形成鲜明对比。受纳米技术和分子计算中的应用以及实现三维自组装系统的可扩展性的启发，我们的技术可以提供温度2系统所需的功率，同时避免这些系统所面临的实验挑战。
2010-05-13 cs.CC cs.DM
Self-Assembly of a Statistically Self-Similar Fractal
我们证明了存在一个瓷砖组装系统，自组装的统计自相似Sierpinski三角的Winfree-Rothemund瓷砖组装模型。这似乎是第一篇考虑随机分形自组装的论文，而不是确定性分形或有限的有界形状。我们的技术贡献包括一种方法来记住，并使用，无限长的前缀的一个无限的编码序列在每个阶段的分形结构;一个瓦片组装机制嵌套递归;和定义的“几乎无处不在的本地确定性”，以描述一个tiltaxis的组件是本地确定的，条件是zeta维零集（无限多）的“输入”瓦片。这最后一个类似于图灵机的随机计算的定义，在图灵机中，算法相对于提供建议但本身不计算的硬币翻转的预言序列是确定性的。关键词：瓦片自组装，统计自相似谢尔宾斯基三角形。
2011-07-20 cs.CC cs.DS cs.OH
Self-Assembly of Infinite Structures
我们回顾了最近的一些结果有关的自组装的无限结构的瓦片组装模型。这些结果包括不可能的结果，以及新的瓷砖组装系统，其中的形状和图案，代表各种概念的计算自组装。还提出了几个开放的问题和动机。
2009-06-17 cs.CC
The non-cooperative tile assembly model is not intrinsically universal or capable of bounded Turing machine simulation
算法自组装领域关注纳米级自组装分子系统的计算能力和表达能力。在研究得很好的合作，或温度2，抽象瓦片组装模型，它是已知的，有一个瓦片集模拟任何图灵机和一个固有的通用瓦片集，模拟模型的任何实例的形状和动力学，直到空间重新缩放。这一直是一个悬而未决的问题，是否似乎更简单的非合作，或温度1，模型是能够这样的行为。在这里，我们表明，这是不是这样的情况下，通过显示，有没有瓷砖集的非合作模型，这是内在的普遍性，也没有一个能够有界的图灵机模拟在一个有界的区域内的平面。虽然非合作模型在直觉上似乎缺乏合作模型的复杂性和力量，但如何证明这一点并不明显。原因之一是，很少有工具来分析平面上复杂路径的结构。本文件提供了一些这样的工具。第二个原因是，几乎每一个明显的和小的概括模型（例如，允许错误，3D，非正方形瓷砖，瓷砖上的信号/电线，互相排斥的瓷砖，并行同步增长）赋予它巨大的计算能力，有时模拟，权力。我们的主要结果表明，所有这些概括证明增加计算和/或模拟能力。我们的结果适用于确定性和非确定性的非合作系统。我们的第一个主要结果与以下事实形成鲜明对比：对于合作瓦片组件模型和3D非合作瓦片组件，存在各自的固有通用瓦片集。我们的第二个主要结果给出了一个新的技术（减少模拟）证明在瓷砖组装计算的负面结果。
2017-05-30 cs.CC cs.CG cs.DS
Self-Assembly with Geometric Tiles
在这项工作中，我们提出了一个概括的Winfree的抽象瓷砖组装模型（aTAM）中，瓷砖类型被分配刚性的形状，或几何形状，沿每个瓷砖面。我们研究的数量不同的瓷砖类型需要组装的形状在这个模型中，所需的温度进行有效的组装，并设计紧凑的几何面，以满足给定的兼容性规范的问题。我们的研究结果表明，在温度为1的最简单的模型，满足柯尔莫哥洛夫复杂性的下限，和$O(\log\log n)$在一个模型中，瓷砖聚集体必须一起移动通过无障碍路径内的平面，组装$n \times n$广场$Θ(\sqrt{\log n})$所需的瓷砖类型的数量显着减少。这与基本aTAM中所需的温度2下的$Θ(\log n / \log\log n)$瓷砖类型形成对比。我们还提供了一个通用的方法来模拟一个大的和计算通用类的温度2 aTAM系统的几何瓦片在温度1。最后，我们考虑的问题，计算一组紧凑的几何面的瓷砖系统，以实现一组给定的兼容性规范。我们展示了一些界限的复杂性的几何尺寸所需的各种类别的兼容性规范，其中许多我们直接应用到我们的瓷砖组装的结果，以实现非平凡的几何尺寸的减少。
2011-04-14 cs.CC cs.CG cs.DS
Negative Interactions in Irreversible Self-Assembly
本文探讨了否定词的使用（即，排斥）相互作用的抽象瓦片组装模型定义的Winfree。温弗里在他的博士学位中假设负相互作用在物理上是合理的。Reif，Sahu和Yin在可逆依恋操作的背景下探索了它们的力量。我们探索了不可逆依恋的负面互动的力量，我们得到了两个主要结果。我们的第一个结果是一个不可能性定理：在t步组装之后，Omega（t）瓷砖将永远绑定到一个组件上，无法分离。因此，负的胶强度不能提供无限的力量来重复使用瓷砖。我们的第二个结果是肯定的：我们构造了一组瓦片，它可以模拟一个具有空间约束s和时间约束t的图灵机，同时确保没有中间组件增长超过O（s），而不是标准图灵机模拟瓦片所要求的O（s * t）。
2010-02-14 cs.CC cs.DS
Self-Assembly of Arbitrary Shapes Using RNAse Enzymes: Meeting the Kolmogorov Bound with Small Scale Factor (extended abstract)
我们考虑了SODA 2010中研究的方形Wang瓦片的几何形状的算法自组装模型，其中有两种类型的瓦片（例如，由DNA和RNA材料构成）和一个破坏特定类型的所有瓦片的操作（例如，RNA酶破坏所有RNA瓦片）。我们表明，一个单一的使用这种销毁操作，使更有效地建设任意形状。特别地，在仅通过对数因子缩放形状之后，可以使用渐进最优数量的不同瓦片类型（与形状的柯尔莫哥洛夫复杂度相关）来构造任意形状。相比之下，在没有破坏操作的情况下，最好的这种结果具有在形状的大小上至少线性的比例因子，并且仅由缩放的瓦片的生成树连接。我们还描述了大量的形状，可以有效地构建没有任何缩放。
2010-07-08 cs.CC
Intrinsic Universality in Seeded Active Tile Self-Assembly
本文提出一个包含约4600状态的通用瓦片自动机系统，以非承诺方式模拟任何其他种子型瓦片自动机系统的组装、动力学和状态转换，并适用于成对元胞自动机。
2024-07-16 cs.CC nlin.CG
A Time Lower Bound for Multiple Nucleation on a Surface
Majumder、Reif和Sahu提出了一个可逆的、允许误差的二维瓦片自组装的随机模型，并表明受限类别的瓦片组装系统在（预期的）多项式时间内达到平衡。他们提出的一个悬而未决的问题是，如果模型允许多重成核，即，在附着到原始种子组件之前生长的独立的瓦片组。本文提供了一个部分的答案，通过证明，如果一个瓷砖组装模型只使用本地绑定规则，那么它不能使用多个成核表面上解决某些“简单”的问题，在恒定的时间（时间无关的表面的大小）。此外，这个时间限制适用于在三维网格中组装的宏观机器人系统，而不仅仅是二维表面上的瓦片组装系统。证明技术定义了一个新的分布式计算模型，模拟瓷砖（和机器人）自组装。关键词：自组装，多重成核，局部可检测标记。
2009-08-04 cs.CC cs.DC
The Power of Duples (in Self-Assembly): It's Not So Hip To Be Square
在本文中，我们定义了双重抽象瓦片组装模型（DaTAM），这是一个轻微的扩展抽象瓦片组装模型（aTAM），不仅允许标准的正方形瓦片，但也“双重”瓦片，这是由两个正方形瓦片连接预形成的矩形。我们表明，添加双链允许在温度1下自组装系统的强大行为，这意味着系统排除了瓦片合作结合的要求（即，如果要附着，则要求瓷砖必须能够结合到现有组件中的至少2个瓷砖上）。合作绑定是需要在标准的aTAM图灵通用计算和有效的自组装形状，但我们表明，在DaTAM这些行为实际上可以表现出在温度1。然后，我们表明，DaTAM不提供渐近改进的aTAM在其能力，有效地建立薄矩形。最后，我们给出了一系列的结果，证明了温度-2 aTAM和温度-1 DaTAM具有互斥的权力。也就是说，每一个都能够自我组装形状，而另一个不能，每一个都有系统，而另一个不能模拟。除了纯理论上的兴趣，这些结果具有实际的动机，因为双重体已经被证明在基于DNA的瓦片的实验室实现中是有用的。
2014-03-07 cs.CC cs.DS cs.ET
Reflections on Tiles (in Self-Assembly)
我们定义的自反瓷砖组装模型（RTAM），这是从抽象瓷砖组装模型（aTAM），通过允许瓷砖，以反映其水平和/或垂直轴。我们表明，类的有向温度-1 RTAM系统是不计算通用的，这是证明，但未证明的aTAM，和aTAM一样，RTAM是计算通用的温度2。然后，我们表明，在温度1，当从一个单一的瓷砖种子，RTAM是能够组装n × n平方为n奇数只使用n瓷砖类型，但不能组装n × n平方为n偶数。此外，我们表明，n是一个下界的瓷砖类型的数量需要组装n × n平方为n奇数的温度-1 RTAM。温度为1的aTAM系统的稳定下界为2n-1。最后，我们给出了Z^2中哪些有限连通形状可以被单种子（即种子大小为1）RTAM系统组装（严格或弱）的分类的初步结果，包括哪些有限连通形状可以被“无失配”单种子RTAM系统严格组装的完整分类。
2015-03-11 cs.CC cs.CG cs.ET
Deterministic Non-cooperative Binding in Two-Dimensional Tile Assembly Systems Must Have Ultimately Periodic Paths
我们考虑非合作绑定，即所谓的“温度1”，在确定性或定向（此处称为合流）瓷砖自-给出了二维装配系统存在最终周期装配路径的充要条件，证明了无穷大装配存在最终周期装配路径的充要条件是无穷大装配存在最终周期装配路径Z2网格中的路径。此外，我们证明了每个无限集合必须满足这个条件，因此，包含一个最终的周期性的路径。这个结果是通过一个叠加和组合的两条路径，产生一个新的路径与所需的属性，一种技术，我们称之为两条路径的共同增长。本文是arXiv 1901.08575第一部分的更新和改进版本。
2022-02-09 cs.CC cs.CG cs.DM
The self-assembly of paths and squares at temperature 1
我们证明，在Winfree的抽象瓷砖组装模型中，当仅限于使用非合作瓷砖绑定时，构建大小为n × n的正方形所需的瓷砖类型的数量至少为2n-1，这也是最知名的上限。非合作自组装，也称为温度1，是指如果瓷砖在一个或多个侧面上匹配，则瓷砖彼此结合，而在合作结合中，一些瓷砖只有在多个侧面上匹配时才能结合。我们的证明为温度1引入了一种新的编程技术，这反驳了非常直观和普遍持有的信念，即在同一模型中，两个点A和B之间的组装路径不能用比它们之间的曼哈顿距离更少的瓦片类型来完成。然后，我们证明了一个必要条件，这些“有效路径”被组装，并表明，这一必要条件不能保持完全填充的广场。这个结果证明了算法自组装中最古老的猜想，由Rothemund和Winfree在STOC 2000中发表，在生长从正方形的一个角落开始的情况下。作为推论，我们建立n作为一般情况下的瓦片复杂性的下限。确定最小数量的瓦片类型以自组装形状的问题是已知的Sigma^p_2-完全的。
2013-12-09 cs.CC cs.CG cs.DM
3-color Bounded Patterned Self-assembly
图案化自组装瓦片集综合PATS是寻找一个最小瓦片集的问题，该最小瓦片集唯一地自组装成给定的图案。Czeizler和Popa证明了PATS问题的NP完全性，Seki证明了PATS问题对于60种颜色的图案已经是NP完全的。在寻找最小数量的颜色，使PATS保持NP-完全，我们引入多个绑定PATS（mbPATS），我们允许边界的瓷砖类型的每种颜色的数量。我们发现，mbPATS是NP-完全的模式，只有三种颜色，作为这个结果的副产品，我们还获得了一个新的证明的NP-完全的PATS这是比以前的证明更简洁。
2013-06-13 cs.CC
The Power of Nondeterminism in Self-Assembly
我们研究了Winfree的抽象瓦片组装模型（aTAM）中的非确定性的作用，该模型被认为是从DNA构建的人工分子自组装系统的模型。特别实际重要的是找到最小化资源的瓦片系统，例如不同瓦片类型的数量，每个瓦片类型对应于必须在aTAM的实际分子实现中定制合成的一组DNA链。我们试图确定在何种程度上使用瓷砖系统中的非确定性影响所需的资源，这样的分子形状建设算法。我们首先展示了一个“分子可计算性理论”的结果：存在一个无限的形状S，它是由一个瓦片系统唯一组装的，但不是由任何确定性瓦片系统组装的。然后，我们在有限的“分子复杂性理论”情况下展示了类似的现象：存在一个有限的形状S，它由具有c个瓦片类型的瓦片系统唯一组装，但每个唯一组装S的确定性瓦片系统都具有超过c个瓦片类型。事实上，我们扩展的技术，得到一个更强的（经典的复杂性理论）的结果，显示的问题，找到最小数量的瓷砖类型，唯一地组装一个给定的有限形状是Sigma-P-2-完成。相比之下，Adleman、Cheng、Goel、Huang、Kempe、Moisset de Espanés和Rothemund（自组装中的组合优化问题，STOC 2002）证明了找到唯一组装形状的最小数量的确定性瓦片类型的问题是NP完全的。结论是，非确定性赋予额外的权力，从一个小的瓷砖系统组装的形状，但除非多项式层次崩溃，它是计算更难以利用这种权力，找到最小的瓷砖系统的大小…
2010-11-25 cs.CC cs.DS
Parallelism and Time in Hierarchical Self-Assembly
我们研究了并行性在Winfree的抽象瓦片组装模型（aTAM）的时间复杂度中所起的作用。在“分层”aTAM中，允许两个组件（均由多个瓦片组成）聚合在一起，而在“种子”aTAM中，瓦片每次一个地附着到增长的组件。Adleman，Cheng，Goel，and Huang（“Running Time and Program Size for Self-Assembled Squares”，STOC 2001）展示了如何在种子aTAM中使用O（log n / log log n）唯一瓦片类型在O（n）时间内组装n × n正方形，其中这两个参数都是最佳的。他们询问分层aTAM是否可以允许瓦片系统在连接之前使用并行形成大型组件的能力，以打破组装时间的Omega（n）下限。我们证明了存在一个具有最优O（log n / log log n）瓦片类型，其使用O（log^2 n）并行“阶段”组装n × n正方形，其接近于最佳Omega（log n）阶段，从四个n/2 × n/2正方形形成最终n × n正方形，其本身从n/4 × n/4正方形递归形成，等等。尽管有这种几乎最大的并行性，但是系统需要超线性时间来组装正方形。我们将Adleman等人研究的 * 偏序瓦片系统 * 的定义扩展到分层组装，并表明没有分层偏序瓦片系统可以在小于时间Omega（N）的情况下构建直径为N的任何形状，表明在这种情况下，分层…
2017-02-12 cs.CC cs.DS q-bio.MN
Complexity of Self-Assembled Shapes
自组装和计算之间的联系表明，形状可以被认为是自组装“程序”的输出，即一组拼块组合在一起形成形状。这似乎是合理的，最小的自组装程序的大小，建立一个形状和形状的几何（柯尔莫哥洛夫）的复杂性应该是相关的。我们表明，当使用的形状是独立的规模的概念，这确实是这样的：在瓷砖组装模型中，最小数量的不同瓷砖类型的必要自组装形状，在一定的规模，可以有界的形状的柯尔莫哥洛夫复杂度的上下。作为主要结果的证明的一部分，我们勾画了一个通用的方法转换程序输出的形状作为一个列表的位置到一组瓷砖类型，自组装成一个放大版本的形状。我们的结果暗示，有点反直觉，自组装的一个放大版本的形状往往需要更少的瓷砖类型。此外，自组装理论中的规模独立性似乎与可计算性理论中的运行时间独立性起着同样重要的作用。这导致了一个优雅的制定语言的形状所产生的自组装。考虑到从整数到形状的函数，我们证明了运行时间复杂度，相对于图灵机，是多项式等价于同一功能的规模复杂度，通过自组装实现由一组有限的瓦片类型。我们的研究结果也适用于由王平铺定义的形状-其中没有意义的自组装过程-除了这里的时间复杂度必须测量相对于非确定性图灵机。
2004-12-21 cs.CC
Approximate Self-Assembly of the Sierpinski Triangle
瓦片组装模型（英语：Tile Assembly Model）是Winfree为了研究复杂（通常是非周期性的）DNA晶体的纳米级自组装而引入的图灵通用模型。Winfree展示了一种自组装，它在笛卡尔平面的第一象限上贴上特殊标记的瓷砖，这些瓷砖正好出现在谢尔宾斯基三角形中的点的位置上。最近，Lathrop，Lutz和Summers证明了Sierpinski三角形不能在“严格”意义上自组装，即不允许瓦片出现在目标结构之外的位置。在这里，我们调查的严格自组装的设置，近似谢尔宾斯基三角形。我们表明，严格自组装的每一个集不同意Sierpinski三角形的分形维数至少是Sierpinski三角形（约1.585），并没有子集的Sierpinski三角形的分形维数大于1严格自组装。我们表明，我们的界限是紧的，即使限制到超集的Sierpinski三角形，提出了一个严格的自组装，增加通信纤维的分形结构，而不干扰it.To验证这种严格的自组装，我们开发了一个推广的局部决定论方法的Soloveichik和Winfree。
2010-01-18 cs.CC cs.DM
Noncooperative algorithms in self-assembly
我们展示了第一个非平凡的积极的算法结果（即程序的输出大于其大小），在一个模型的自组装，到目前为止，已经抵制了许多尝试的正式分析或编程：平面非合作的变体Winfree的抽象瓷砖组装模型。在过去的15年里，这个模型一直是几个开放问题和模型的中心，关于它的计算能力的第一个完全通用的结果直到最近才得到证明（SODA 2014）。这些结果，以及我们的结果，揭示了自组装中可能发生的计算和几何之间的复杂联系。在此模型中，只要瓷砖的一条边与现有组件匹配，瓷砖就可以粘到现有组件上。该特征与一般的协作模型形成对比，在一般的协作模型中，可以要求图块在其侧的\emph{several}上匹配以便绑定。为了描述我们的算法，我们还介绍了一个泛化的正则表达式称为巴金斯表达式。最后，我们将此模型与其他自动机理论模型进行了比较。
2014-07-10 cs.CC cs.CG cs.DS
Fast Arithmetic in Algorithmic Self-Assembly
在本文中，我们考虑的时间复杂度计算的总和和积的两个$n$位数内的瓷砖自组装模型。（抽象）瓦片组装模型是自组装的数学模型，其中系统组件是具有分配给瓦片边缘的不同胶水类型的正方形瓦片。当胶对瓦片的净吸引力超过某个固定阈值时，通过将单体瓦片附接到生长的种子组件来驱动组件。在这个框架内，我们研究的时间复杂度计算2个n位数的总和或产品，其中输入的数字被编码在一个初始的种子汇编，并在最后的输出编码，终端组装的系统。我们证明了加法和乘法问题在2D装配中有$Ω(\sqrt{n})$的最坏情况下界，在3D装配中有$Ω(\sqrt[3]{n})$的最坏情况下界。在加法的情况下，我们设计了二维和三维的算法，分别满足$O(\sqrt{n})$和$O(\sqrt[3]{n})$的最坏情况运行时间的上限，这击败了以前最好的已知上限O（n）。此外，我们认为平均情况下的复杂性，除了均匀分布的n位串，并显示如何实现$O(\log n)$平均情况下的时间与同时$O(\sqrt{n})$最坏情况下的运行时间在2D。对于乘法，我们提出了一个$O(n^{5/6})$时间乘法算法，它工作在3D，它击败了以前最好的已知的O（n）的上限。作为我们的算法的速度的额外证据，我们实现我们的加法算法，随着更简单的O（n）时间加法算法，到一个概率运行时模拟器和比较的时序结果。
2013-08-05 cs.CC cs.CG cs.DS
The program-size complexity of self-assembled paths
我们证明了一个泵引理的非合作抽象瓦片组装模型，核心算法自组装理论的模型，因为该领域的开始。这一理论表明，我们的结果证明，抽象的正方形分子之间的粘合剂结合性质的微小差异会产生截然不同的表达能力。在协同抽象瓦片装配模型中，正方形瓦片通过一个、两个或多个边的多边协作而彼此附着。这种精确控制的瓷砖绑定直接利用算法的任务，包括使用非常少的瓷砖类型，以及图灵机的模拟，甚至自我模拟的自组装系统的指定形状的增长。但是，这些计算任务需要协作绑定吗？定义上更简单的非合作（或温度1）模型对局部绑定事件的控制很差：如果瓷砖至少在一侧绑定，它们就会粘在一起。这导致了猜想，它是不可能表现出精确控制的计算定义的形状的增长。在这里，我们证明了这样一个不可能的结果。我们表明，任何平面非合作系统，试图增长大型算法控制的瓷砖效率组件也必须增长无限的非算法（泵）结构与一个简单的封闭形式的描述，否则遭受阻塞的预期算法结构。我们的结果适用于有向和无向系统，并给出了一个明确的上界$(8|T|)^{4|T|+1}(5|σ| + 6)$，其中$|T|$是的大小的tillable和$|σ|$是的大小的种子组装，超过它的任何路径的瓷砖是泵或阻塞。
2020-02-10 cs.CC cs.CG cs.FL
Producibility in hierarchical self-assembly
三个结果显示在积的层次模型的瓷砖自组装。结果表明，一个简单的贪婪多项式时间策略决定是否是一个组件A是可生产的。该算法可以优化为O（|A| log^2 |A|）时间。Cannon，Demaine，Demaine，Eisenstat，Patitz，Schweller，Summers，and Winslow证明了对于非合作的"温度1"系统的特殊情况，判定一个组件A是否是瓦片系统T的唯一可产生终端组件的问题可以在O（|A| ^2 |T| + |A| |T| ^2）时间内解决。它表明，这可以提高到O（|A| |T| log |T|）的时间。最后，它表明，如果两个组件是可生产的，如果他们可以重叠一致-即，如果它们共享的位置在每个组合中具有相同的瓦片类型--那么它们的并集也是可产生的。
2013-05-01 cs.CC cs.CG cs.DS
On the behavior of tile assembly system at high temperatures
Winfree的瓷砖组装系统（TAS）在高温下的行为进行了研究，结合整数规划的特定形式称为阈值编程。首先，我们提出了一种方法来建立桥梁，从布尔可满足性问题（SAT）的阈值编程，并进一步TAS的行为，以证明NP-硬度的优化温度的TAS的行为方式作为输入。这些桥梁将使我们进一步的两个重要结果的行为TAS在高温下。第一种说法是，需要任意高的温度才能通过“合理”尺寸的TAS组装出某种形状。第二个是，对于任何温度至少4作为一个参数，这是NP-难找到的最小尺寸TAS，自组装一个给定的形状和工作在给定的温度或以下。
2012-11-21 cs.CC cs.DM
Small tile sets that compute while solving mazes
我们问的问题是，一个自组装的瓷砖集可以有多小，但有有趣的计算行为。我们在一个模型中研究这个问题，在这个模型中，支撑墙作为瓷砖生长的输入结构提供：我们称之为迷宫行走瓷砖组装模型。该模型具有许多实施前景，其中之一是附着在DNA折纸基底上的DNA链。直观地说，该模型提出了信号路由和计算的分离：输入结构（迷宫）提供路由图，程序员的瓦片集提供计算能力。我们问计算部分可以有多简单。我们给出了两个微小的瓷砖集，是计算普遍的迷宫行走瓷砖组装模型。第一个有四个瓦片，通过直接实现NAND，NXOR和“非”门来模拟布尔电路。我们的第二个图块集有6个图块，被称为Collatz图块集，因为它产生Collatz函数迭代的二进制/三进制表示中的模式。使用计算机搜索，我们发现，Collatz瓦片集是足够的表达编码布尔电路使用这些模式的块。这两个瓦片集给出了两种不同的方法来找到简单的通用瓦片集，并提供了使用预组装迷宫结构作为基于分子自组装的计算中的电路布线图的动机。
2021-06-23 cs.CC cs.DM cs.ET
Identifying Shapes Using Self-Assembly (extended abstract)
在本文中，我们介绍了算法自组装理论中的以下问题：给定一个输入形状作为基于瓦片的自组装系统的种子，设计一个有限的瓦片集，在某种意义上，它可以唯一地识别给定的输入形状-从一个非常一般的形状类中提取-与特定的目标形状匹配。我们首先研究正确识别正方形的复杂性。然后，我们调查的复杂性与识别的一个相当一般的类的非方形，无孔的形状。
2010-06-15 cs.CC cs.DS
Combinatorial Optimization in Pattern Assembly
图案自组装瓦片集综合（Pattern self-assembled tile set synthesis，PATS）是一个以最小化可唯一自组装给定矩形图案的直线瓦片组装系统为目标的组合优化问题，是NP难问题.当PATS由常数c参数化时，它变得实际上有意义，使得任何给定的图案都保证最多包含c种颜色（c-PATS）。我们首先研究简单的模式和性质的最小RTAS他们。在此基础上，设计了一个59色的图案，将3SAT约简为59色的图案，并证明了59-PATS是NP-难的。
2013-01-16 cs.CC cs.DS
Deterministic 2-Dimensional Temperature-1 Tile Assembly Systems Cannot Compute
我们认为非合作绑定在所谓的“温度1”，在确定性（这里称为{ \it汇合}）瓷砖自组装系统（1-TAS），并证明了常设猜想，这样的系统不具有普遍的计算能力。我们称一个TAS的最大组件包含至少一个最终周期的组装路径{ \it para-periodic}。我们观察到，合流1-TAS有最多一个最大的可生产的组装，$α_{max}$，可以被认为是一个联盟的路径组件，我们表明，这样的系统总是para-periodic。这个结果是通过两条路径的叠加和组合得到的，这两条路径产生了一条具有所需属性的新路径，我们称之为两条路径的\emph{co-grow}技术。此外，我们提供了一个融合的1-TAS的$α_{max}$作为两种可能的情况下，所谓的，一个网格或不相交的联合梳之一的表征。对于给定的$α_{max}$，我们可以关联一个有限标记图，称为\emph{quipu}，使得quipu中所有路径标记的并集等于$α_{max}$，因此给出了$α_{max}$的有限描述。这种有限描述意味着$α_{max}$是$\mathbb{Z}^2$的半仿射子集的并集，并且由于这种有限描述可以从任何1-TAS算法生成，1-TAS不能具有通用计算能力。
2019-01-24 cs.CC cs.CG cs.DS
Doubles and Negatives are Positive (in Self-Assembly)
在抽象瓦片组装模型（aTAM）中，当新瓦片到生长组装的附加要求它绑定到组装中已经存在的多个瓦片时，协作现象发生。通常被称为“温度-2”系统，那些采用合作的系统被认为是非常强大的（即它们在计算上是通用的，可以构建各种各样的形状和结构）。相反，不强制合作行为的TAM系统，也称为“温度-1”系统被认为相对非常弱，可能无法执行复杂的计算或在算法上指导自组装过程。尽管如此，基于对aTAM的轻微修改的各种模型已经被开发出来，其中温度-1系统实际上能够通过有限的合作概念进行图灵通用计算。尽管如此，这些模型中的一些先前已被证明无法执行或模拟温度-2 aTAM系统所表现出的更强形式的合作。在本文中，我们首先证明了另一种模型，其中温度-1系统是计算上的普遍性，即限制胶TAM（rgTAM），其中瓷砖被允许有边缘表现出排斥力，也无法模拟温度-2 aTAM的强合作行为。然后，我们表明，通过结合两个这样的模型，双瓷砖组装模型（DTAM）和rgTAM到DrgTAM的属性，我们得到一个模型，这实际上是更强大的温度-1比aTAM在温度-2。具体来说，在温度-1时，DrgTAM可以模拟任何温度的任何aTAM系统，并且它还包含aTAM中的任何系统无法模拟的系统。
2014-03-15 cs.CC cs.DS cs.ET
DNA Self-Assembly For Constructing 3D Boxes
我们提出了一个数学模型的DNA自组装使用2D瓷砖形成3D纳米结构。这是第一项将自组装和纳米技术的研究结合在3D中的工作，就像Rothemund和Winfree在2D中所做的那样。我们的模型是他们的瓦片组装模型的更精确的超集，有助于构建可扩展的3D分子。在我们的模型下，我们提出了构建空心立方体的算法，这是直观上最简单的3D结构之一。我们还介绍了五个基本的复杂性措施来分析这些算法。我们的模型和算法技术适用于更复杂的2D和3D纳米结构。
2001-12-08 cs.CC cs.CE
Computing Minimum Tile Sets to Self-Assemble Colors Patterns
图案化自组装图块集合成（Patterned self-assembly tile set synthesis，PATS）的目标是找到一个最小的图块集来唯一地自组装给定的矩形颜色图案。对于$k \ge 1$，$k$ -PATS是PATS的变体，其将输入图案限制为最多具有$k$颜色的图案。我们证明了29-PATS的{ \bf NP}硬度，其中最著名的是60-PATS。
2014-04-10 cs.CC
Unique Assembly Verification in Two-Handed Self-Assembly
瓦片自组装中最基本和研究最充分的问题之一是唯一组装验证（UAV）问题。这个算法问题询问给定的瓦片系统是否唯一地组装特定的组件。恒温条件下双手装配模型（2 HAM）的复杂性是该模型提出以来的一个长期未决问题。以前，只有类coNP中的成员是已知的，并且如果温度为1（$τ=1$），则问题在P中。众所周知，这个问题对于模型的许多推广来说都很困难，例如允许一步进入第三维或允许系统的温度是一个变量，但最基本的版本仍然是开放的。在本文中，我们证明了无人机问题在2 HAM是困难的，即使有一个小的恒定温度（$τ= 2$），并最终回答了这个问题的复杂性（自2013年开放）。此外，这一结果证明，分阶段自组装模型中的无人机是具有单个箱和阶段的coNP完全的（自2007年以来开放），并且q瓦片模型中的无人机也是coNP完全的（自2004年以来开放）。我们减少从单调平面3-SAT与相邻变量对，一个特殊的情况下，3SAT最近被证明是NP-困难的。我们伴随着这种减少与积极的结果表明，无人机是可解的多项式时间的承诺，给定的目标组件将有一个树形键合图，即，不包含循环。当温度固定为$2$时，我们提供了一种用于树键合组件上无人机的$\mathcal{O}(n^5)$算法，当温度是输入的一部分时，我们提供了一种$\mathcal{O}(n^5\log τ)$时间算法。
2021-12-09 cs.CC cs.CG
Binary pattern tile set synthesis is NP-hard
在算法自组装领域，一个长期存在的未被证明的猜想是二进制模式瓦片集合成（2-PATS）的NP-困难。$k$ -PATS问题是设计具有最小数量的拼块类型的拼块组装系统，该拼块组装系统将自组装$k$颜色的输入图案。具有理论和实际意义的$k$已经在一系列论文中进行了研究，这些论文已经表明$k$对于$k = 60$、$k = 29$、然后是$k = 11$是NP难的。在本文中，我们关闭的基本猜想，2-PATS是NP-困难的，总结这条研究路线。虽然我们的大多数证明依赖于标准的数学证明技术，但一个关键的引理使用了计算机辅助证明，这是一种相对新颖但越来越多地用于推导复杂数学问题证明的范式。这一工具在解决组合问题时特别强大，例如阿佩尔和哈肯对四色定理的证明（后来由罗伯逊、桑德斯、西摩和托马斯简化），以及科涅夫和利西察使用计算机程序在埃尔德什差异问题上的最新重要进展。我们利用一个大规模的并行算法，从而把一个棘手的部分，我们的证明到一个程序，需要大约一年的计算时间，使使用计算机辅助证明到一个新的规模。我们充分详细说明了我们的代码所采用的算法，并使代码免费在线提供。
2014-04-03 cs.CC
Non-cooperatively assembling large structures: a 2D pumping lemma cannot be as powerful as its 1D counterpart
我们展示了所谓的“非合作平面瓦片组装”模型中的第一个渐近有效的结构。分子自组装是对分子进行自组织的局部，分布式，异步算法的研究，特别是在晶体生长过程中。一般的合作模型，也称为“温度2”，使用同步来模拟图灵机，使用尽可能少的瓷砖类型构建形状，以及其他算法任务。然而，在非合作（“温度1”）模型中，生长过程是完全异步的，并且主要依赖于几何形状。尽管该模型看起来像是有限自动机到二维的推广，但其3D推广能够执行任意（图灵）计算和通用模拟，从而单个3D非合作tiltrons可以模拟所有可能的3D非合作系统的动态，直到一个恒定的缩放因子。然而，它表明，原来的二维非合作模型是不能够通用的模拟，其计算能力的问题仍然是广泛开放的。在这里，我们展示了一个意想不到的结果，即该模型可以可靠地增长组件的大小Omega（n log n），只有n个瓦片类型，这是第一个渐近有效的积极建设。
2021-07-16 cs.CC
Two Hands Are Better Than One (up to constant factors)
我们研究了瓦片自组装的标准种子模型和瓦片自组装的“无种子”双手模型之间的差异。我们的大多数结果表明，双手模型更强大。特别是，我们展示了如何模拟任何种子系统的双手系统，基本上只是一个常数因子较大。我们表现出有限的形状与繁忙的海狸分离所需的种子与双手的不同瓷砖的数量，并表现出无限的形状，可以构建双手，但没有种子。最后，我们证明了在双手模型中验证给定系统是否唯一地组装所需的超瓦片是co-NP-完全的，而在种子模型中它是多项式可解的。
2012-01-08 cs.CC cs.CG
Self-Assembly of Discrete Self-Similar Fractals
在本文中，我们搜索{ \it绝对}的瓷砖组装模型（TAM）的限制，以及技术，以解决这些限制。具体来说，我们调查的自组装的分形形状的TAM。我们证明，没有自相似分形完全弱自组装在温度1，某些类型的自相似分形不严格自组装在任何温度。此外，我们扩展的纤维结构从Lathrop等。（2007）表明，任何属于特定类别的“漂亮”自相似分形的自相似分形都有一个严格自组装在TAM中的纤维版本。
2008-04-26 cs.CC cs.DM
