Geometric characterizations of the cross ratio in a pencil of conics
Alexander Thomas
给出了用初等射影几何确定束中二次曲线的交比的几何方法。
We give geometric ways to determine the cross ratio of conics in a pencil using elementary projective geometry.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A Note on a Specific Pencil of Conics in the Galois Fields of Order 2^n
在特征为2的伽罗瓦域中，简要地考察了具有三个退化二次曲线的二次曲线束，其中每个退化二次曲线都是一个线对。它表明，如果两个退化是共轭假想线对，第三个必须是一个真正的线对，这与坎贝尔的要求（坎贝尔1927年），所有三个奇异二次曲线是共轭假想线对。
About a sequence of points and a relationship between pencils of conics and circles in the Euclidean plane
对于一个给定的三角形$\triangle ABC$，我们定义了两个序列上的线$BC$的点，并提供其推广到真正的功能，使中心的外切圆周围的$A$和相邻点的连续性产生一束二次曲线接触中垂线的$AB$和$AC$。
Conics, (q+1)-Arcs, Pencil Concept of Time and Psychopathology
证明了在伽罗瓦域GF（q）（q = 2^n，n> 2（n为正整数））上的（射影平面）中，除了由二次曲线束生成的时间维数外，还可以定义由非二次曲线的（q +1）-弧的聚集表示的时间坐标.这种情况下，说明了一个（自对偶）铅笔的二次曲线赋予两个奇异的二次曲线，其中一个代表一个双实线和其他是一个真正的线对。虽然这种铅笔不产生普通的（即，以GF（2^n）上的时间箭头（过去、现在和未来）为特征，确实存在与（q +1）-弧（而不是二次曲线）密切类似于这样的箭头的与时间相关的弧族。一些心理（病理）逻辑的理由，这一发现的基础上，由一对夫妇的精神分裂症患者的“奇特/异常”的经验的时间。
The Hesse pencil of plane curves and osculating conics
本文利用射影微分几何工具研究黑塞束平面三次曲线的密切圆锥曲线与六点密切点，给出显式坐标公式，并据此构造出新的自由与近自由曲线族。
An enriched count of nodal orbits in an invariant pencil of conics
本文研究了有限群线性作用下的圆锥曲线不变丛中结点轨道的等变富化计数问题，证明了除三个例外群外所有有限群的结点轨道加权和公式均成立，并给出例外反例。
Conic linear series and pencils of plane quartics
研究光滑复曲线\(C\subset\mathbb{P}^{3}\)上由固定次数锥切出的线性系，通过系统研究其族的相关性质，应用该研究证明了存在特定的非等平凡四次曲线束。
Pencils of Conic-Line Curves
本文研究特殊束中圆锥-直线曲线数量m的限制，得到m的上界与束中共点直线数量p的关系，并构造了一个包含恰好4条圆锥-直线曲线的单参数束族。
Noncommutative affine pencils of conics
本文研究非交换仿射圆锥 pencils 的定义与分类，揭示其与四维 Frobenius 代数的等价性。
Rational points on pencils of conics and quadrics with many degenerate fibres
对于任何铅笔的二次曲线或高维二次曲线的有理数，与所有退化的纤维定义的有理数，我们表明，Brauer-Manin障碍控制弱逼近。证明是基于Hasse原理和弱逼近的一些特殊的二次型的交集，这是最近的进展加法组合数学的结果。
Free and nearly free curves from conic pencils
利用基数不超过2的二次曲线束构造自由曲线和近自由曲线的无穷级数。这些曲线有一个有趣的拓扑结构，例如可以明确确定的高次亚历山大多项式，一个Milnor纤维同伦等价于一束圆，或一个不可约的翻译组件的特征品种的补充。相应的Milnor纤维的第一上同调群中的单值特征空间也被描述为显式微分形式。
Modular inequalities and Alexander polynomials of pencil type conic-line arrangements
利用曲线模不等式等最新结果，确定铅笔型圆锥-线排列的亚历山大多项式，并证明其至少部分具有组合性质。
Poncelet Triangles and Tetragons over Finite Fields
研究有限域上固定圆锥曲线束中随机选取的圆锥曲线对，计算其存在内接外切三角形或四边形的概率，考虑了光滑与非光滑圆锥曲线的情况。
Geometry of Yang--Baxter maps: pencils of conics and quadrirational mappings
考虑双有理杨-巴克斯特映射（"杨-巴克斯特方程的集合理论解“）。一个双有理映射$(x,y)\mapsto(u,v)$称为四有理的，如果它的图也是一个双有理映射$(x,v)\mapsto(u,y)$的图。本文对$\CP^1\times\CP^1$上的四次有理映射进行了分类，并证明了它们都满足杨-巴克斯特方程.这些映射具有良好的几何解释的线性束的二次曲线，杨巴克斯特性质被解释为一个新的关联定理的射影几何的二次曲线。
Explicit biregular/birational geometry of affine threefolds: completions of A^3 into del Pezzo fibrations and Mori conic bundles
研究了由次数小于或等于3的光滑del Pezzo曲面S反正则嵌入到加权射影空间P和超平面H的适当倍数中生成的某些del Pezzo曲面束。我们的主要观察是，每个相对于态射的极小模型程序在其不确定性的适当分辨率上提升这样的束保持开子集PH − A。作为一个应用，我们得到了A^3到P^1上的del Pezzo纤维化的投影完备化，其次数小于或等于4。我们还得到了A^3到Mori锥丛的完备化，Mori锥丛对A^3的限制是A^2上的扭曲C*-纤维化。
Genus $2$ pencils on surfaces with $p_g=K^2=1$, envelopes, and conics tangent to plane cubic curves
本文研究了具有p_g=K^2=1的曲面中曲率2 pencil的存在性，证明其在模空间中形成不可约子流形，并探讨了与平面三次曲线相切的圆锥线几何关系。
Isoperiodic families of Poncelet polygons inscribed in a circle and circumscribed about conics from a confocal pencil
本文研究内接于圆并外切于共焦二次曲线束的 Poncelet 多边形，刻画了 $n=4,6$ 时全族共享相同周期的等周期情形，并将其联系到 Painlevé VI 方程。
Stability of pencils of plane sextics and Halphen pencils of index two
本研究从几何不变量理论角度探讨平面六次曲线束的稳定性，给出了指数为2的Halphen束稳定性的完整几何刻画，丰富了代数曲线束稳定性的研究成果。
On the Alexander polynomials of conic-line arrangements
本文计算了与束相关的圆锥曲线-直线排列的Alexander多项式，证明了Halphen束的一般性结果，并构造了具有7次单位根的非约化排列，填补了该类多项式的空白。
Geometry of the Wiman Pencil, I: Algebro-Geometric Aspects
1981年，W.L. Edge发现并研究了具有显著性质的高对称亏格$6$射影曲线的束$\mathcal{C}$.埃奇的工作是基于1895年A.威曼这两篇论文都写在令人满意的风格19世纪代数几何。在本文及其续集[FL]中，我们从一个更现代的概念角度考虑$\mathcal{C}$，从而将显式方程转化为几何对象。
Pencils of projective hypersurfaces, Griffiths heights and geometric invariant theory. I
本文通过GIT高度界定射影超曲面束的Griffiths高度，验证Kato-Koshikawa猜想的几何版本，并推广至半齐次奇点情形，证明稳定Griffiths高度的下半连续性。
Pencils of singular quadrics of constant rank and their orbits
给出了常秩二次曲面的奇异束的几何描述，并将其与$\mathbb{P}^1$上某些自然相伴向量丛的分裂型联系起来。然后研究了在一般线性群的自然作用下，它们在直线的Grassmannian中的轨道。
Pencils of projective hypersurfaces, Griffiths heights and geometric invariant theory. II Hypersurfaces with semihomogeneous singularities
本文确立了具有半齐次奇点的射影超曲面束的中间维上同调的稳定 Griffiths 高度公式，通过构造有限覆盖以获得半稳定光滑模型，成功规避了确定奇点纤维初等指数的难题。
Stability of pencils of plane curves, log canonical thresholds and multiplicities
该研究借助几何不变量理论，通过关联曲线束稳定性与生成元稳定性、对数典范阈值、基点重数，得到平面d次曲线束的显式稳定性判据，解决相关分类问题。
On rationally integrable planar dual multibilliards and piecewise smooth projective billiards
本文分类了分段C⁴光滑的有理0次齐次可积射影台球，并通过对偶多重台球证明其积分最小次数可为2、4或12。
Nets of Conics and associated Artinian algebras of length 7
我们分类的轨道网的二次曲线的作用下的投影线性群，我们确定这些轨道的专业化，使用几何和代数的方法。我们研究了相关的几何问题，如平面三次曲面的参数化。证明了由网确定的Hilbert函数H=（1，3，3，0）的Artin代数可以光滑化变形为域的直和，由二次曲面束确定的Hilbert函数H=（1，r，2，0）的代数也可以光滑化.在历史附录A中，我们描述了1977年之前的相关工作。在更新附录B中，我们调查了自1977年以来关于网络的二次曲线，相关的几何，和变形的小长度的阿廷代数的一些发展。
The Chow Ring Classes of $\mathrm{PGL}_3$ Orbit Closures in $\mathbb{G}(1, 5)$
本文研究平面圆锥曲线束构成的格拉斯曼簇在 PGL(V) 作用下的八个轨道，通过几何描述、枚举技巧和陈类计算，确定了各轨道闭包在周环中的类及其普吕克嵌入次数。
On surfaces of general type with q=5
证明了不规则曲面q（S）=5且无亏格>1的无理束的复曲面S有几何亏格pg（S）>7.因此，我们可以对q（S）=5和p_g（S）<8的一般类型的极小曲面S进行分类.对于q=5，这个结果是对arXiv：0811.0390中提出的问题的否定回答，即存在不规则性q>3的一般型曲面，这些曲面没有亏格>1的无理束，并且具有最低可能的几何亏格p_g= 2 q-3。这为猜想提供了一些证据：唯一没有亏格>1且p_g= 2 q-3的无理束的不规则曲面是亏格为3的曲线的对称积。
Pencils of plane curves and characteristic varieties
本文用几何方法研究了平面曲线排列补上局部系的特征簇的不可约分支与M. Falk和S. Yuzvinsky在线路布置的情况下，参见mathAG/0603166。在这种情况下，这个几何观点已经被A暗示过了。Libgober和S.尤兹文斯基我们的研究产生了新的几何洞察力的翻译组件的特征品种，将它们的多重性曲线在相关的铅笔，在密切类似的紧凑的情况下处理的A。波维尔
Webs and squabs of conics over finite fields
本文针对有限域上二次曲线线性系统分类的长期开放问题，通过研究Veronese曲面的几何组合性质，确定了PG(2,q)中二次曲线webs和squabs射影等价类的完全不变量及相关超平面分布。
Geometry of the Wiman-Edge pencil and the Wiman curve
{ \em Wiman-Edge pencil}是射影的普适族$C_t, t\in\mathcal B$，属$6$，复代数曲线允许二十面体群$\Af_5$的忠实作用。曲线$C_0$由Wiman在1895年\cite{Wiman}发现，称为{ \em Wiman curve}，是唯一光滑的，允许对称群$\Sf_5$的忠实作用的属$6$曲线。本文给出了双曲平面$\mathcal B$的一个显式一致化，它是双曲平面$\Hf$的一个非同余商$Γ\backslash \Hf$，其中$Γ<\PSL_2(\Z)$是指数$18$的一个子群.我们还给出了这种统一化的各个方面的模块化解释，例如$C_t$到$10$线的退化（分别是）。$5$二次曲线），其交集图是Petersen图（分别为\ $K_5$）。本文的后半部分给出了Wiman曲线$C_0$本身的一个明确的算术一致化，即商$Λ\backslash \Hf$，其中$Λ$是某个“单位旋量范数“的Möbius变换群的主水平$5$子群.证明了$C_0$是一个具有Hodge结构的模空间，并赋予它一个不定四元数型Shimura曲线的结构.
Surfaces that are covered by two pencils of circles
本研究在莫比乌斯等价下分类了至少含两族圆的实曲面的几何特征，编码于Néron-Severi格中，还证实高维Blum猜想、解决Blaschke-Bol问题并发现新的非三维可嵌入圆六边形网格。
Manin involutions for elliptic pencils and discrete integrable systems
本文研究了平面双有理映射生成的离散可积系统的代数几何，给出了高次椭圆纤维丛的Manin对合几何描述，并刻画了基点特殊几何特征以确保Manin对合复合构成低次可积映射，同时将部分可积Kahan离散化识别为Manin对合的复合。
Conics associated with totally degenerate curves
设$k$为字段。设$X/k$是稳定曲线，其几何不可约分支是光滑的有理曲线.对它的正规化进行Stein分解，得到一条二次曲线。我们证明了圆锥曲线在某些情况下是不可裂的。作为应用，我们证明了对于$g\geq3$，普适亏格$g$曲线的周期和指数都等于$2g-2$ .
On the GIT stability of linear systems of hypersurfaces in projective space
该研究借助几何不变量理论（GIT）解决射影空间中固定次数超曲面线性系统的射影等价分类问题，给出显式判据，并应用于平面三次曲线束、任意指数Halphen束的GIT稳定性分析。
Hypergeometric decomposition of Delsarte K3 pencils
研究五族项目ive四次Delsarte K3表面，通过超几何求和给出有限域上的点计数公式，并在复数域上匹配周期与超几何微分算子，分解L函数为超几何L函数和狄利克雷ζ函数。
Topology of Conic Bundles - II
对于光滑簇上的锥丛（在特征为$\ne 2$的域上）退化为光滑除子的几何点上的不同直线对，证明了除子的补上的非退化二次曲线的Brauer类与覆盖类之间的关系定理（Kummer类）的2-sheeted覆盖定义的退化二次曲线，通过Gysin同态在etale上同调。这个定理是代数几何模拟的拓扑结果证明较早。
Linear pencils encoded in the Newton polygon
设$C$是由具有给定牛顿多边形$Δ$的充分一般的二元Laurent多项式定义的代数曲线。经典的是$C$的几何亏格等于$Δ$内部的格点个数。在本文中，我们给出了类似的组合解释的gonality，Clifford指数和Clifford维数，通过删除一个技术性的假设，从最近的结果川口。更一般地说，该方法表明，除了某些众所周知的例外，每一个基点自由铅笔的程度等于或略超过gonality是“组合”，在这个意义上，它对应于投影$C$沿晶格方向。然后，我们给出了一个解释与组合铅笔的滚动不变量，并显示如何可以告诉铅笔是否是完整的。在这些应用中，我们发现每一条光滑射影曲线至多有一个嵌入维数为$2$的Weierstrass半群，并且如果亏格为$g \geq 2$的非超椭圆光滑射影曲线$C$能嵌入$n$ th Hirzebruch曲面$\mathcal{H}_n$，则$n$实际上是$C$的不变量.
A three-dimensional generalization of QRT maps
提出一种保持两个二次曲面束的三维双有理映射的几何构造，通过几何条件将映射次数降至3，并应用于Kahan型离散化，涵盖Euler陀螺等三维Nambu系统。
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