Pencils of Conic-Line Curves
Middle East Technical University（中东理工大学）
本文研究特殊束中圆锥-直线曲线数量m的限制，得到m的上界与束中共点直线数量p的关系，并构造了一个包含恰好4条圆锥-直线曲线的单参数束族。
2025-07-25 math.AG math.CO
Noncommutative affine pencils of conics
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Shizuoka University（静冈大学）
本文研究非交换仿射圆锥 pencils 的定义与分类，揭示其与四维 Frobenius 代数的等价性。
2025-09-11 math.AG math.RA
Rational points on pencils of conics and quadrics with many degenerate fibres
对于任何铅笔的二次曲线或高维二次曲线的有理数，与所有退化的纤维定义的有理数，我们表明，Brauer-Manin障碍控制弱逼近。证明是基于Hasse原理和弱逼近的一些特殊的二次型的交集，这是最近的进展加法组合数学的结果。
2013-06-14 math.AG math.NT
Free and nearly free curves from conic pencils
利用基数不超过2的二次曲线束构造自由曲线和近自由曲线的无穷级数。这些曲线有一个有趣的拓扑结构，例如可以明确确定的高次亚历山大多项式，一个Milnor纤维同伦等价于一束圆，或一个不可约的翻译组件的特征品种的补充。相应的Milnor纤维的第一上同调群中的单值特征空间也被描述为显式微分形式。
2017-05-08 math.AG math.AT
On the Monodromy and Galois Group of Conics Lying on Heisenberg Invariant Quartic K3 Surfaces
在“Curves on Heisenberg invariant quartic surfaces in projective 3-space”中，Eklund证明了一般的$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{4}$ -invariant quartic K3曲面至少包含$320$二次曲线。本文分析了这类二次曲线的定义域及其单值群。证明了模空间$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{4}$ -不变的带标记二次曲线的四次K3曲面具有$10$不可约分支.
2015-11-04 math.AG
Modular inequalities and Alexander polynomials of pencil type conic-line arrangements
Simion Stoilow Institute of Mathematics（西蒙·斯托伊洛瓦数学研究所）
利用曲线模不等式等最新结果，确定铅笔型圆锥-线排列的亚历山大多项式，并证明其至少部分具有组合性质。
2026-07-02 math.AG math.AT math.CO
A novel necessary and sufficient condition for the positivity of a binary quartic form
本文利用二次曲线束理论，通过考虑两条二次曲线的公共点而不是二元四次型的根，给出了二元四次型为正的一个新的充要条件.首先，根据两条基二次曲线公共点的不同性质，给出了二次曲线束的退化成员。然后，根据退化二次曲线的性质，得到了关于退化杆件参数的不等式。最后，从不等式中我们得到了一个新的判定二元四次型的正性的准则。
2021-11-13 math.AG
Poncelet Triangles and Tetragons over Finite Fields
The University of Sydney（悉尼大学）；Mathematical Institute SANU（塞尔维亚科学和艺术院数学研究所）
研究有限域上固定圆锥曲线束中随机选取的圆锥曲线对，计算其存在内接外切三角形或四边形的概率，考虑了光滑与非光滑圆锥曲线的情况。
2026-01-21 math.AG
Geometry of Yang--Baxter maps: pencils of conics and quadrirational mappings
考虑双有理杨-巴克斯特映射（"杨-巴克斯特方程的集合理论解“）。一个双有理映射$(x,y)\mapsto(u,v)$称为四有理的，如果它的图也是一个双有理映射$(x,v)\mapsto(u,y)$的图。本文对$\CP^1\times\CP^1$上的四次有理映射进行了分类，并证明了它们都满足杨-巴克斯特方程.这些映射具有良好的几何解释的线性束的二次曲线，杨巴克斯特性质被解释为一个新的关联定理的射影几何的二次曲线。
2003-07-01 math-ph math.AG math.MP
Explicit biregular/birational geometry of affine threefolds: completions of A^3 into del Pezzo fibrations and Mori conic bundles
研究了由次数小于或等于3的光滑del Pezzo曲面S反正则嵌入到加权射影空间P和超平面H的适当倍数中生成的某些del Pezzo曲面束。我们的主要观察是，每个相对于态射的极小模型程序在其不确定性的适当分辨率上提升这样的束保持开子集PH − A。作为一个应用，我们得到了A^3到P^1上的del Pezzo纤维化的投影完备化，其次数小于或等于4。我们还得到了A^3到Mori锥丛的完备化，Mori锥丛对A^3的限制是A^2上的扭曲C*-纤维化。
2015-08-07 math.AG
Genus $2$ pencils on surfaces with $p_g=K^2=1$, envelopes, and conics tangent to plane cubic curves
Accademia Nazionale dei Lincei（林琴科学院）；Mathematisches Institut der Universität Bayreuth NW II（拜罗伊特大学数学研究所NW II）
本文研究了具有p_g=K^2=1的曲面中曲率2 pencil的存在性，证明其在模空间中形成不可约子流形，并探讨了与平面三次曲线相切的圆锥线几何关系。
2026-10-20 math.AG math.CV
Isoperiodic families of Poncelet polygons inscribed in a circle and circumscribed about conics from a confocal pencil
本文研究内接于圆并外切于共焦二次曲线束的 Poncelet 多边形，刻画了 $n=4,6$ 时全族共享相同周期的等周期情形，并将其联系到 Painlevé VI 方程。
2024-03-05 math-ph math.AG math.DS
Absolute Projectivities in Pascal's Multimysticum
Pascal Multimysticum是一个由点和直线组成的系统，它由圆锥曲线上的六个点组成。我们表明，该系统包含150个无限范围（和150个无限铅笔），其射影坐标是绝对固定的，独立的圆锥曲线和六边形，定义系统。
2020-07-08 math.AG
On the Alexander polynomials of conic-line arrangements
Université Côte d’Azur, CNRS, LJAD（蔚蓝海岸大学）；Simion Stoilow Institute of Mathematics（西蒙·斯托伊洛瓦数学研究所）；University of the National Education Commission Krakow（克拉科夫国民教育委员会大学）；Ovidius University（奥维迪乌斯大学）
本文计算了与束相关的圆锥曲线-直线排列的Alexander多项式，证明了Halphen束的一般性结果，并构造了具有7次单位根的非约化排列，填补了该类多项式的空白。
2026-09-15 math.AG math.AT math.CO
On the topology of the complements of reducible plane curves via Galois covers
设${\mathcal {B}}$是可约的约化平面曲线。引入了一种新的观点，通过Galois覆盖和Alexander多项式来研究$(\PP^2, {\mathcal {B}})$的拓扑.我们证明了它的有效性，通过例子Zagliki $N$ -plets圆锥和圆锥四次配置。
2013-04-02 math.AG math.GT
Potentially stably rational conic bundles over nonclosed fields
本文通过有限域扩张的Galois群作用于几何Picard格的上同调，研究了定义在非闭域上的P^1圆锥丛的稳定有理性。
2024-12-21 math.AG
Generators of the plane Cremona group over the field with two elements
本文证明二元域上平面Cremona群由三个无限族及有限个双有理映射生成，并给出各族的参数化生成集及所需映射数上界，最终证明该群由对合生成。
2024-02-07 math.AG
What are the odds that a conic bundle over a finite field is rational?
Brown University（布朗大学）
研究有限域上直线定义的圆锥束合理性，固定退化纤维数\(n\)，通过伽罗瓦作用经外尔群\(W(D_n)\)将合理性归为带符号置换类型条件，利用相关工作及切博塔廖夫密度计算\(q\)趋于无穷时有理圆锥束的渐近比例。
2026-07-20 math.AG
Existence of minimal del Pezzo surfaces of degree 1 with conic bundles over finite fields
本文研究有限域上度数为1的极小德尔皮佐表面的锥面结构，确定其存在性下界及特定类型不存在的q值，解决有限域上某些类型极小德尔皮佐表面的逆伽罗瓦问题。
2026-03-20 math.AG math.NT
Simultaneous Diagonalization of Conics in $PG(2,q)$
考虑两个对称的$3 \times 3$矩阵$A$和$B$，其元素在$GF(q)$中，对于$q=p^n$，$p$是奇素数。$v^T Av$和$v^T Bv$的零集可以被看作是$q$阶的有限射影坐标平面中的（可能退化的）二次曲线。利用$PG(2,q)$中二次曲线束的组合性质，我们能够判断何时可以找到一个非奇异矩阵$S$，其元素在$GF(q)$中，使得$S^T A S$和$S^T BS$都是对角矩阵。这等价于存在将两个给定的二次曲线映射成具有对角形式的矩阵的二次曲线的共线变换。对于两个正常的二次曲线，我们将特别比较$PG(2,q)$的情况，真正的射影平面，并指出一些差异。
2015-07-03 math.AG math.CO
On rationally integrable planar dual multibilliards and piecewise smooth projective billiards
本文分类了分段C⁴光滑的有理0次齐次可积射影台球，并通过对偶多重台球证明其积分最小次数可为2、4或12。
2023-08-12 math.AG math.DS
Combinatorial invariants for nets of conics in $\text{PG}(2,q)$
在射影平面上对二次曲线的线性系统进行分类的问题至少可以追溯到乔丹，他在1906- 1907年对$\mathbb{C}$和$\mathbb{R}$上的二次曲线的束（一维系统）进行了分类。类似的问题有限域$\mathbb{F}_q$与$q$奇解决了迪克森于1908年。在1914年，威尔逊试图分类网络（二维系统）的二次曲线在有限领域的奇数特征，但他的分类是不完整的，并载有一些不准确的。在最近的一篇文章中，我们完成了威尔逊的分类网的秩一，即那些包含重复线。本文的目的是介绍和计算这些网的某些组合不变量，我们希望这将是在各种应用中使用。我们的方法是几何的意义上，我们认为一个网络的秩为1的平面在$\text{PG}(5,q)$满足二次Veronesean在至少一个点;两个这样的网络是等价的，当且仅当相应的平面属于相同的轨道下诱导作用的$\text{PGL}(3,q)$视为一个子群的$\text{PGL}(6,q)$。我们先前已经确定了在这种作用下$\text{PG}(5,q)$中的线的轨道，它们对应于$\text{PG}(2,q)$中的上述二次曲线束。本文的主要贡献是确定了平面$π$对应于秩为1的网的线轨道分布，即$π$中属于每条线轨道的线的数目。事实证明，这个不变量列表完全确定了$π$的轨道，我们将在即将进行的工作中使用这个事实来开发一个有效的算法来计算给定秩为1的网络的轨道。作为一个更直接的…
2020-10-01 math.AG math.CO
The Chow Ring Classes of $\mathrm{PGL}_3$ Orbit Closures in $\mathbb{G}(1, 5)$
本文研究平面圆锥曲线束构成的格拉斯曼簇在 PGL(V) 作用下的八个轨道，通过几何描述、枚举技巧和陈类计算，确定了各轨道闭包在周环中的类及其普吕克嵌入次数。
2023-10-28 math.AG
On rationally integrable planar dual and projective billiards
严格凸平面有界台球的焦散线是一条平滑曲线，其切线从台球边界反射到其切线。著名的伯克霍夫猜想指出，如果台球边界有一个由闭合焦散线构成的内部邻域，那么台球是一个椭圆。它是研究了许多数学家，包括H.Poritsky，M.Bialy，S.Bolotin，A.Mironov，V.Kaloshin，A.Sorrentino等。本文研究了S. Tabachnikov提出的广义对偶形式。考虑一条闭光滑严格凸曲线$γ\subset\mathbb{RP}^2$，它具有一个对偶台球结构：一族作用在其射影切线上并固定切点的非平凡射影对合.假设它的外邻域允许由闭曲线（包括$γ$）形成的叶理，使得每条切线的对合置换它与每个叶的交点。然后$γ$和叶子是形成铅笔的二次曲线。当曲线$γ$是$C^4$ -光滑的且叶理上存在一个有理首次积分时，我们证明了这个问题的肯定答案.为此，我们证明了每个$C^4$ -光滑芽$γ$的平面曲线进行合理可积的对偶台球结构是一个圆锥曲线和分类（穿孔）圆锥曲线上的所有合理可积的对偶台球。它们包括二次曲线束诱导的对偶台球，两个奇异对偶台球的无穷级数和五个更奇异的对偶台球。
2022-12-10 math.AG math.DS
Webs and squabs of conics over finite fields
本文针对有限域上二次曲线线性系统分类的长期开放问题，通过研究Veronese曲面的几何组合性质，确定了PG(2,q)中二次曲线webs和squabs射影等价类的完全不变量及相关超平面分布。
2024-05-17 math.AG math.CO
A Poncelet Criterion for special pairs of conics in $PG(2,p)$
本文研究了域$GF(p)$上有限射影坐标平面上的庞斯莱定理，并集中讨论了一种特殊的二次曲线束。对于这样的二次曲线对，我们研究是否可以找到多边形与$n$双方，这是在一个圆锥曲线和外切的其他，所谓的庞斯莱多边形。通过对这些对使用适当的元素的二面体群，我们证明了长度$n$这样的Poncelet多面体是独立的起点。在这个意义上，庞斯莱的Porism是有效的。利用欧拉的约数和公式，我们可以说明不同的圆锥曲线对的数目，它携带长度为$n$的庞斯莱多项式。此外，我们将引入多项式，其零点在$GF(p)$中产生关于给定二次曲线对的关系的信息。特别是，我们可以决定一个给定的整数$n$，是否以及如何找到庞斯莱多边形的二次曲线对在给定的坐标平面。我们将看到，这个条件与二次剩余理论密切相关。
2014-09-10 math.AG math.CO math.NT
Quadrangles entangled in conic nets
New Mexico State University（新墨西哥州立大学）
本文在特征非2的域上研究二次曲线网随四边形构型变化而保持不变的纠缠现象，证明纠缠等价于中点平分条件及平分线场相等，并给出中心轨迹决定网的结论。
2026-10-02 math.AG math.MG
On the Arithmetic of D-brane Superpotentials. Lines and Conics on the Mirror Quintic
从D膜超势无理不变量追求镜像五次，系统地根据一个代表性的曲线的程度。线是完全理解的：孤立线的贡献消失了。所有其他的线都可以全纯变形为范吉曼线，其超势通过相关的非齐次皮卡德-富克斯方程确定。二次曲线的研究取得了实质性的进展：Mustata发现的族包含可还原为孤立线的二次曲线，因此它们具有消失的超势。在我们的计算能力的极限下，搜索所有在剩余Z2对称下不变的二次曲线减少到一个代数问题。主要结果是算术味：扩展的模空间的代数周期分裂在大型复杂的结构限制成组，每个受一个代数数域。超势在大体积附近的膨胀系数仍然是不合理的。这些系数的完整性由双对数的一个新的算术扭曲：D-对数揭示。有几种方法可以解释这些不变量是如何从A模型的角度产生的。一个成功的时空解释需要BPS态的空间具有数论结构，例如伽罗瓦群的作用。
2012-01-31 hep-th math.AG
The symmetric representation of lines in $\text{PG}(\mathbb{F}^3 \otimes \mathbb{F}^3)$
设$\mathbb{F}$是有限域、代数闭域或实数域。考虑$\mathbb{F}$上的$3 \times 3$矩阵的向量空间$V=\mathbb{F}^3 \otimes \mathbb{F}^3$，设$G \leq \text{PGL}(V)$是射影空间$\text{PG}(V)$中相应的Segre簇$S_{3,3}(\mathbb{F})$的集态稳定子。$G$ -$\text{PG}(V)$中的线轨道由第一作者和Sheekey确定，作为他们在$\mathbb{F}^2 \otimes V$中张量分类的一部分，在文章“Canonical forms of $2 \times 3 \times 3$ tensors over the real field，algebraically closed fields，and finite fields“，Linear Algebra Appl.476（2015）133-147中。在这里，我们考虑的相关问题的分类这些线轨道，可以表示为{ \em对称}矩阵，或等效地，分类线轨道的$\mathbb{F}$跨度的Veronese品种$\mathcal{V}_3(\mathbb{F}) \subset S_{3,3}(\mathbb{F})$下的自然行动$K=\text{PGL}(3,\mathbb{F})$。有趣的是，几个具有对称代表的$G$ -…
2019-12-03 math.AG math.CO
