Is being a higher rank lattice a first order property?
Nir Avni, Chen Meiri
证明了在群的一阶语言中存在一个句子$φ$，使得有限生成群$Γ$满足$φ$当且仅当$Γ$同构于一个$\mathrm{PSL}_n(O)$形式的群，其中$n \geq 3$和$O$是数域中的$S$ -整数环.
We show that there is a sentence $φ$ in the first order language of groups such that a finitely generated group $Γ$ satisfies $φ$ if and only if $Γ$ is isomorphic to a group of the form $\mathrm{PSL}_n(O)$, where $n \geq 3$ and $O$ is a ring of $S$-integers in a number field.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The small index property for free nilpotent groups
设F是无限秩的相对自由代数。我们说F具有小指数性质，如果Gamma=Aut（F）中指数至多为rank（F）的任何子群包含F中基数小于rank（F）的子集U的点态稳定子Gamma_（U）.证明了任意无限生成的自由幂零/阿贝尔群具有小指数性质，并讨论了它的一些应用.
First order rigidity of non-uniform higher rank arithmetic lattices
如果$Γ$是一个不可约的非均匀高阶特征零算术格（例如，$SL_n(\mathbb{Z})$，$n \geq 3$），并且$Λ$是一个基本等价于$Γ$的有限生成群，则$Λ$同构于$Γ$。
The ultrasimplicial property for simple dimension groups with unique state, the image of which has rank one
令$G$是一个序群，它是秩1无挠阿贝尔群和有限秩无挠阿贝尔群的直和，其序结构由第一被加数上的自然序产生。给出了$G$具有序群归纳极限表示的一个必要条件和一个充分条件.
The $R_\infty$ property for free groups, free nilpotent groups and free solvable groups
设$F$是给定类的有限秩自由幂零群幂零群，或有限秩自由可解群.我们精确地显示了哪些具有$R_{\infty}$属性。最后，我们还证明了无限秩自由群不具有$R_{\infty}$性质。
Approximate Lattices in Higher-Rank Semi-Simple Groups
该研究针对高秩半单代数群中的近似格问题，证明了其中的强近似格具有算术性，推进了相关群论领域的理论认知。
Intermediate rank and property RD
我们引入的概念，可数群的中间秩的经典（整数值）秩的连续值之间的“插值”。证明了各类群具有中间秩行为。我们对秩1和秩2之间的插值特别感兴趣。例如，我们构造“秩为7/4”的群。我们的设置基本上是非正曲空间，其中的概念，中间秩包括多项式秩，本地秩，介观秩。由此产生的框架与算子代数有着有趣的联系。我们证明属性RD在许多情况下，中间排名发生。这给出了满足Baum-Connes猜想的一族新的群。证明了秩为7/4的群的约化$C^*$ -代数具有稳定秩1.
A new lattice invariant for lattices in totally disconnected locally compact groups
本文引入并研究了全不连通的局部紧群的自然秩，称之为有界共轭秩。证明了这个秩是sigma紧全不连通的局部紧群中格的格不变量;也就是说，对于给定的sigma紧全不连通的局部紧群，某个格有界共轭秩n当且仅当每个格有界共轭秩n.然后提出了几个例子。
The strong hull property for affine irreducible Coxeter groups of rank 3
本文证明了所有秩为3的仿射不可约Coxeter群满足强壳性质，通过Coxeter复形的几何性质将凸壳分析简化为有限可管理的配置。
Volume vs. rank of lattices
我们证明了格的秩（即生成集的最小尺寸）不能比体积增长得更快。
The 4-string Braid group $B_4$ has property RD and exponential mesoscopic rank
证明了4弦上的辫群$B_4$及其中心商$B_4/< z>$具有Haagerup-Jolissaint性质RD.因此，2个生成元上的自由群$F_2$的自同构群$\Aut(F_2)$具有性质RD。我们还证明了辫群$B_4$是一个中等秩群（维数为3）。也就是说，我们证明了$B_4$和它的中心商都具有指数介观秩，即，它们包含了指数级的许多不包含在平面中的大平面球。
On the Reidemeister spectrum and the $R_{\infty}$ property for some free nilpotent groups
本文描述了在以下情形下的秩为$r$的自由幂零群$G = N_{rc},$和类为$c,$的自由幂零群$Spec_RG$：$r \in {\mathbb N}$和$c = 1;$ $r = 2, 3$和$c = 2;$ $ r = 2$和$c = 3,$，证明了$c \geq 4$的任意群$N_{2c}$满足$R_{\infty}$性质.由此我们得到了每个秩为2的自由可解群$S_{2t}$和类$t \geq 2$（特别是秩为2的自由亚阿贝尔群$M_2 = S_{22}$）满足$R_{\infty}$性质.证明了任意秩$r \geq 2$和类$t$足够大的自由可解群$S_{rt}$也满足$R_{\infty}$性质。
Strong property (T) for higher rank simple Lie groups
证明了连通高阶单李群关于一类包含许多经典超自反空间和一些非自反空间的Banach空间$\mathcal{E}_{10}$具有Lafforgue强性质（T）.这推广的结果Lafforgue断言，$\mathrm{SL}(3,\mathbb{R})$具有强性质（T）关于希尔伯特空间和最近的结果的第二个命名的作者断言，$\mathrm{SL}(3,\mathbb{R})$具有强性质（T）关于某个较大类的Banach空间。为了推广到高阶群，证明$\mathrm{Sp}(2,\mathbb{R})$及其泛覆叠群的强性质（T）就足够了.作为我们主要结果的结果，得出了对于$X \in \mathcal{E}_{10}$，连通高阶单李群及其格具有Bader，Furman，Gelander和Monod的性质（F $_X$），并且由连通高阶单李群中的格构造的扩张子不允许粗嵌入到$X$中.
Higher property T and below-rank phenomena of lattices
本文研究了更高性质T与晶格在半单李群中低于实秩现象的关系，并提出统一框架。
Quasi-isometric rigidity of higher rank S-arithmetic lattices
证明了半单李群中不含秩1因子的S-算术格是拟等距刚性的。
Non left-orderability of lattices in higher rank semi-simple Lie groups
证明了实秩至少为2且中心有限的实半单李群中的不可约格不是左序格。
Hyperbolic actions of higher-rank lattices come from rank-one factors
本文研究高秩格在双曲空间上的作用，证明满足温和性质的作用均源于群 $G$ 的秩一因子，尤其涵盖无界双曲空间上的非初等作用。
A human property (T) proof for high-rank $Aut(F_n)$
本文提出一种不依赖计算机计算的人工证明，受半定规划启发，证明当 $n\to\infty$ 时 $SAut(F_n)$ 的扩张 $\Gamma_n$ 具有性质 (T)，从而推出除有限多个 $n$ 外 $Aut(F_n)$ 均具有性质 (T)。
On the profinite rigidity of lattices in higher rank Lie groups
本文研究了哪些高阶单李群允许可抽象格而不允许可抽象格。我们证明了对于$E_8$、$F_4$和$G_2$型的复形式不存在这样的例子。相反，在所有其他更高秩李群中，除了可能的$\mathrm{SL}_{2n+1}(\mathbb{R})$、$\mathrm{SL}_{2n+1}(\mathbb{C})$、$\mathrm{SL}_n(\mathbb{H})$或$E_6$类型的群之外，存在任意多个这样的例子。
A note on the finite basis and finite rank properties for pseudovarieties of semigroups
有限基的性质通常与有限秩性质有关，这是有限基所必须的。许多例子已经产生的有限秩品种，这是不基于的。本文建立了关于幂零伪簇的一个结果，该结果在半群伪簇领域中得到了许多类似的例子。
Strong property (T) for higher rank lattices
证明了局部域上的高秩单单李群或高秩单代数群的乘积中的每个格都具有Vincent Lafforgue强性质（T）.在非阿基米德局部域上，我们还证明了它们关于所有非平凡型巴拿赫空间都有强Banach proximity（T），而在一般情况下，我们在巴拿赫空间上得到了这样一个结果，并作了一些附加的假设.新颖之处在于，我们处理非余紧格，如$\mathrm{SL}_n(\mathbf{Z})$为$n \geq 3$。为了做到这一点，我们引入了一个更强的形式的强性质（T），使我们能够处理更一般的对象比组表示的巴拿赫空间，我们称之为两步表示，即家庭索引的一组运营商之间的不同巴拿赫空间，我们只能组成一次。我们证明了更高的秩组有这个属性，这个属性传递到未扭曲的格。
Cusps of lattices in rank 1 Lie groups over local fields
设G是非阿基米德局部域上秩为1的半单代数群的有理点群。我们改进了Lubotzky关于群的图的分析，该分析描述了G中格在其Bruhat-Tits树上的作用，并假设了G中的幂幺元的条件。除了少数几种类型的秩为1的群外，该条件对所有群都成立。一个相当简单的简化Lubotzky的定义的一个顶点的格是关键的一步，我们的结果。我们借此机会从这个基础上重新证明Lubotzky在分析中的作用。
Strong Banach Property (T) for Simple Algebraic Groups of Higher Rank
在[Laf 08]，[Laf 09]中，Vincent Lafforgue证明了非阿基米德局部域$F.$上的$SL_3$的强Banach性（T）。本文将他的结果推广到$Sp_4$，从而推广到任何具有$F$ -分裂秩$\geq 2.$的连通几乎$F$ -单代数群。从这样一个群的任何格构造的展开子族不允许一致嵌入到任何$>1,$型巴拿赫空间中，并且不允许这样一个群的任何等距仿射作用，或其余紧格，在$>1$型巴拿赫空间上有不动点。
On the Asymptotic Number of Generators of High Rank Arithmetic Lattices
$ $ Abert、Gelander和Nikolov [AGN 17]推测，高秩单李群$H$中格$Γ$的生成元$d(Γ)$的数量随着$v = μ(H / Γ)$（$H$中$Γ$的协体积）次线性增长。我们证明了这一点的非均匀晶格中的一个非常强的形式，表明$2-$通用等$H$的，$d(Γ) = O_H(\log v / \log \log v)$，这是本质上是最优的。虽然我们不能证明一个新的上界的均匀格，我们将表明，这样的格不能期望达到一个更好的界比$d(Γ) = O(\log v)$。
Quasi-isometries of rank one S-arithmetic lattices
通过证明特征为零的非离散局部紧域上半单李群中秩为1的S-算术格的拟等距是到一个算子的上范数上的有限距离，完成了特征为零的非离散局部紧域上半单李群中不可约格的拟等距分类.
Hyperbolic rigidity of higher rank lattices
证明了Gromov-双曲空间上的高阶格的任何作用都是初等的。更确切地说，它是椭圆形或抛物线形。这是一个大的推广的事实，即任何行动的一个较高的秩格上的树有一个不动点。一个推论是树上的高阶格的任何拟作用都是椭圆的，即它具有曼宁性质（QFA）。此外，在不依赖于Margulis正规子群定理和有界上同调的情况下，我们得到了Farb-Kaimanovich-Masur定理的一个新的证明：从高阶格到映射类群的任何态射都有有限象.更一般地，我们证明了从高阶格到分层双曲群的任何态射都有有限象。在附录中，Vincent Guirardel和Camille Horbez推导了从高阶格到各种外自同构群的态射的刚性结果。
Gromov's measure equivalence and rigidity of higher rank lattices
本文研究了可数群的测度等价概念。ME是由格罗莫夫引入的，作为准等距的测度论模拟。同一个局部紧群中的所有格都是测度等价的;这是这个概念的动机之一。本文的主要结果是高秩格的ME刚性：任何可数群，只要是高秩的单李群G中的格的ME，就可分解为G中的格。
Actions of higher-rank lattices on free groups
若$G$是一个实秩至少为2的半单李群，且$Γ$是$G$中的不可约格，则从$Γ$到一个可生成的自由群的外自同构群的同态都有有限象.
On absolutely profinitely solitary lattices in higher rank Lie groups
我们建立了某些单李群中的格在绝对意义下是profinite孤立格的条件，使得profinite完备化的可分解类决定了群在profinite生成的剩余有限群中的可分解类.虽然余紧格通常不是绝对孤立的，我们表明，非余紧格在$\operatorname{Sp}(n,\mathbb{R})$，$G_{2(2)}$，$E_8(\mathbb{C})$，$F_4(\mathbb{C})$，和$G_2(\mathbb{C})$是绝对孤立的，如果一个著名的猜想Grothendieck刚性是真实的。
Rank 72 high minimum norm lattices
给定偶幺模格的极化和整数$k\ge 1$，我们定义了一族幺模格$L(M,N,k)$ .特别感兴趣的是等级72的某些$L(M,N,3)$。它们的最低规范位于$\{4, 6, 8\}$中。第4和第6种情况发生。因此，6成为秩为72的偶数幺模格的已知最高最小范数。我们讨论如何规范8可能会发生这样的$L(M,N,3)$。我们注意到一些$L(M,N,k)$在尺寸96，120和128适度高的最低标准。
Random groups and nonarchimedean lattices
我们考虑模型的随机群，其中典型的组是中间排名（特别是，它不是双曲）。这些模型与M.格罗莫夫的众所周知的结构，包括例如一个“密度模型”的群体的中间排名。主要的新颖性是随机组的更高的秩性质。它们是局部域上（秩为2的）代数群中某些格族的随机化。
Cocompact lattices of minimal covolume in rank 2 Kac-Moody groups, Part II
设G是定义在有限域F_q上的具有对称Cartan矩阵的秩为2的拓扑Kac-Moody群.一个例子是G = SL（2，F_q（（t^{-1}）。确定了G中余紧格的余体积的一个正的下界，并构造了一个实现这一最小值的余紧格Γ 0 < G.这完成了第一部分开始的工作，第一部分考虑了G允许边传递格的情况。
Fiber products of rank 1 superrigid lattices and quasi-isometric embeddings
设$Δ$是$\mathsf{Sp}(m,1)$、$m \geq 2$或$F_{4}^{(-20)}$中的余紧格。我们展示的例子，生成子群的$Δ\times Δ$与积极的第一贝蒂数的离散忠实表示到任何真正的半单李群是拟等距嵌入。本文的例子是受Bass-Lubotzky [BL 00]对Platonov猜想的反例的启发。
Property (FA) and lattices in SU(2,1)
本文考虑SU（2，1）中格的（FA）性质。首先证明了SU（2，1;O_3）具有（FA）性质。然后，我们证明了在SU（2，1）的第二类所产生的算术格的同余子群研究Rapoport-Zink和Rogawski不能分裂为一个非平凡的自由积与合并，这样的例子是芒福德的假射影平面。事实上，我们证明了任何伪射影平面的基本群具有性质（FA）。
Unabridged table of reflective lattices of rank 3
这是所有8595个三阶反射洛伦兹晶格的完整表格，旨在作为作者论文分类的补充。那篇论文中的节略表也是完整的，但不太明确，所以这篇论文的主要目的是存档。TeX源代码同时也是一个Perl脚本，它在运行时以计算机可读的格式打印出所有的网格。
Cocompact Lattices in Locally Pro-$p$-complete Rank 2 Kac-Moody Groups
本文研究了一类新的局部紧群，即所谓的局部亲$p$ -完备Kac-Moody群中的格.我们发现，在秩2的余紧格是特别好的行为：在温和的假设下，在这个完成的余紧格不包含元素的顺序$p$。这一说法对于Caprace-Rémy-Ronan完备性仍然是一个悬而未决的问题。利用这一点，模Capdeboscq和托马斯的结果，我们分类边传递的余紧格和描述的最小余体积的余紧格。
Reflective anisotropic hyperbolic lattices of rank $4$
一个双曲格称为\textit{$1.2$-reflective}，如果由所有$1$ -和$2$ -反射生成的自同构群的子群是有限指数的。本文的主要结果是对秩为$4$的$1.2$ -反射极大各向异性格的完全分类。
Quasi-isometric co-Hopficity of non-uniform lattices in rank-one semi-simple Lie groups
证明了若$G$是秩1半单李群$\ne Isom(\H^2_\R)$中的非均匀格，则$G$是拟等距余Hopf.这意味着每一个拟等距嵌入$G\to G$都是粗略的，因此是一个拟等距。
Rank, combinatorial cost and homology torsion growth in higher rank lattices
研究了剩余有限群中同调挠的秩梯度和增长性。作为一种工具，我们引入了一个新的复杂性概念的生成集，使用测量广群和组合成本。作为应用，我们证明了直角群的子群的Farber序列的上述不变量的消失。一个群是直角群，如果它可以由无限阶的元素序列生成，使得任何两个连续的元素可交换。高阶单李群中的非均匀格大多数是直角的。对于$p,q$的某些值，我们给出了$\mathrm{SL}(n,\mathbb{R}),~n\geq 3$和$\mathrm{SO}(p,q)$中的一致（共紧）直角算术群的第一个例子。这是一类格的同余子群性质一般不知道。利用刚性理论和不变随机子群的概念，可以得出：对于任意直角格中的任意子群序列，在高秩单李群中，秩梯度和同调扭增长都为零。
Non-uniform higher-rank lattices are character rigid
该研究证明了特征不为2的半单群中非均匀高阶不可约格的特征刚性，由此推出保概率测度作用的稳定子刚性与不变随机子群刚性，全面证实了Stuck和Zimmer的相关猜想。
A moonshine path for 5A and associated lattices of ranks 8 and 16
我们继续在\cite{gl3cpath}中开始的程序，在扩展的$E_8$图的节点和Monster单群之间建立一条月光路径。我们的目标是通过以更具体的形式实现McKay，Glauberman和Norton的理论，为他们的观察提供一个背景。在本文中，我们处理5A节点。本文的主要工作是研究行列式为5的幂的秩为8、16和24的某些格。
Universal lattices and unbounded rank expanders
我们研究了非交换泛格的表示，并利用它们来计算交换泛格$G_{d,k}= \SL_d(\Z[x_1,...,x_k])$关于几个生成集的\TauC的下界。作为上述结果的一个应用，我们证明了有限群$\SL_{3k}(\F_p)$的Cayley图可以通过适当地选择生成元而成为扩张图.这提供了第一个例子的扩展家庭的团体的李型的秩是没有界的，并给出了一个自然的（和明确的）反例，两个programmures的亚历克斯Lubotzky和本杰明韦斯。
Property $(T)$ for noncommutative universal lattices
我们建立了Kazhdan性质$(T)$的一个新的谱判据，它适用于由生成元和关系定义的一大类离散群.作为主要的应用，我们证明了群$EL_n(R)$的性质$(T)$，其中$n\geq 3$和$R$是一个任意可生成的结合环.我们还加强了Dymara和Januszkiewicz（Invent. Math 150（2002））。
The distortion dimension of $\mathbb Q$--rank $1$ lattices
设$X=G/K$是非紧型秩对称空间$k\ge 2$ .证明了$X$中的球面是Lipschitz $(k-2)$ -连通的，如果它们的中心不包含在$X$在无穷远处的球面建筑的一个适当的连接因子中.因此，在$\mathbb R$-秩$k$的线性半单李群$G$中，不可约的$\mathbb{Q}$-秩$1$格$Γ$的失真维数是$k-1$。也就是说，给定$m< k-1$，在$Γ$中的Lipschitz $m$-球$S$（与之准等距的多面体复形），以及在$X$（或$G$）中填充$S$的$(m+1)$-球$B$，在$Γ$中存在填充$S$的$(m+1)$ -球$B'$，使得$\operatorname{vol} B'\sim \operatorname{vol} B$。特别是，这样的算术格满足欧氏等周不等式的尺寸$k-1$。
Fixed point property for universal lattice on Schatten classes
特殊线性群G=SL_n（Z[x1，...，xk]）（n至少为3且k有限）称为泛格。设n至少为4，p为（1，\infty）中的任意实数。主要结果是：G的任意有限指数子群关于p-Schatten类算子空间上的仿射等距作用具有不动点性质.此外，还证明了高阶格也具有同样的性质。这些结果是作者和Bader-Furman-Gelander-Monod关于交换Lp-集的定理的推广。
On cube and Cremona rigidity for higher-rank lattices
研究实秩至少为2的半单李群中不可约格在CAT(0)立方体复形上的作用，通过证明上同调消失结果及利用超刚性等方法，得出相关作用可正则性的结论，绕过对FW性质的直接使用。
Classification of $(1{,}2)$-reflective anisotropic hyperbolic lattices of rank $4$
一个双曲格称为\textit{$(1{,}2)$-reflective}，如果它的自同构群是由直到有限指数的$1$ -和$2$ -反射生成的。本文证明了三维Lobachevsky空间中的$\mathbb{Q}$ -算术余紧反射群的基本多面体包含一条边，使得其框架面之间的距离足够小.利用这一事实，我们得到了$4$秩的$(1{,}2)$ -反射各向异性双曲格的分类。
Almost-minimal nonuniform lattices of higher rank
若Gamma是实秩大于1的半单李群中的一个非一致不可约格，我们证明了Gamma包含一个子群同构于SL（3，R），SL（3，C），或直积SL（2，R）^m x SL（2，C）^n$中的一个非一致不可约格，其中m + n > 1. (In几何术语，这可以解释为关于有限体积的、非紧的、局部对称的高阶空间的全测地子空间的存在性的陈述。结果的另一种表述是，如果G是Q（有理数）上的任何迷向的几乎单代数群，使得G的实秩大于1，则G包含迷向的几乎单Q-子群H，使得H是拟分裂的，并且H的实秩大于1。
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