Connected components in the invariably generating graph of a finite group
Daniele Garzoni
证明了有限群的不变生成图可以有任意多个至少有两个顶点的连通分支。
We prove that the invariably generating graph of a finite group can have an arbitrarily large number of connected components with at least two vertices.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The invariably generating graph of the alternating and symmetric groups
给定一个有限群$G$，$G$的不变生成图被定义为顶点为$G$的非平凡共轭类的无向图，且两类相邻当且仅当它们不变生成$G$ .本文研究交错群和对称群的这一问题。本文的主要结果是，如果我们从图中删除孤立的顶点，所得到的图是连通的，直径至多为$6$。
On the probability of generating invariably a finite simple group
设$G$是有限单群.在本文中，我们认为存在的小子集$A$的$G$的性质，如果$y \in G$是随机均匀选择，然后以高概率$y$总是生成$G$连同一些元素的$A$。我们证明在这个方向上的各种结果，积极和消极的。作为推论，我们证明了两个随机选择的元素有限单群的李型有界秩总是产生的概率有界远离零。我们的方法是基于Fulman和Guralnick的Boston-Shalev猜想的正解，以及Lie型群的不变生成的性质与其外尔群的结构之间的某些联系。
Minimal invariable generating sets
一个子集$S$的一组$G$总是产生$G$如果，当每个元素的$S$是由一个任意的共轭取代，所产生的集合产生$G.$一个不变的生成集$X$的$G$被称为最小的，如果没有真子集的$X$总是产生$G.$我们将解决几个问题有关的行为最小不变生成集的有限群。
Invariable generation and the chebotarev invariant of a finite group
一个有限群G的子集S总是生成G，如果G = <hsg（s）js 2Si>，对于g（s）2G; s2 S的每一个选择.给出了任意有限群G的不变生成集的最小尺寸的一个紧上界。为了回答[KZ]中的一个问题，我们还限制了G中随机选择的一组元素的大小，这些元素很可能总是生成G。一路上，我们证明了每一个有限的单群总是由两个元素生成。
Invariable generation and wreath products
不变生成是有限群的一个主要研究课题。2014年，Kantor、Lubotzky和Shalev提出了大量的工具来研究无限群的不变生成。自从他们的论文以来，许多作者研究了特定无限群或无限群族的性质。如果将$S$的每个元素替换为它的任何共轭仍然导致$G$的生成集，则群总是由子集$S$生成。在本文中，我们研究如何表现这种性质的圈积。我们的主要工作是处理的情况下，基地的$G\wr_X H$是不总是产生的。根据$H$及其对$X$的作用，我们可以看到积极和消极的结果。
Lifting Generators in Connected Lie Groups
本文证明连通李群的生成元提升问题可归结为阿贝尔化情形，并据此得出完美李群满足 Gaschütz 引理，同时给出非完美情形的 Gaschütz 秩界及精确计算。
The generating graph of the abelian groups
对于群$G,$，让$Γ(G)$表示在$G$的元素上定义的图，以这种方式，两个不同的顶点通过边连接，当且仅当它们生成$G$。此外，令$Γ^*(G)$是$Γ(G)$的由$Γ(G)$的所有不孤立的顶点诱导的子图。证明了如果$G$是2-生成的非循环阿贝尔群，则$Γ^*(G)$是连通的.此外，如果$G$的挠子群是非平凡的，则为$\mathrm{diam}(Γ^*(G))=2$，否则为$\mathrm{diam}(Γ^*(G))=\infty$。如果$F$是秩为2的自由群，则$Γ^*(F)$是连通的，并且我们从$\mathrm{diam}(Γ^*(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}))=\infty$推导出$\mathrm{diam}(Γ^*(F))=\infty.$
Connectivity of generating graphs of nilpotent groups
设$G$是$2$生成的群。$Γ(G)$的生成图是以$G$的元素为顶点的图，如果$G=\langle g,h\rangle$，则两个顶点$g$和$h$相邻。该图对生成对在$G$上的分布的组合结构进行编码。本文研究了在$G$是有限幂零群幂群的情况下，与$Γ(G)$连通性有关的几个自然图论性质.例如，我们证明了，如果$G$是幂零的，那么从$Γ(G)$通过删除其孤立顶点得到的图是最大连通的，如果$|G| \geq 3$，也是Hamilton的。我们提出几个问题。
The non-commuting, non-generating graph of a non-simple group
本文研究非单群$G$的非交换非生成图$\Xi(G)$的结构，证明其连通性与直径仅存在三类情形，并详细刻画了第三类对应的有限群，补充了有限单群情形的配套研究。
On the connectivity of the generating and rank graphs of finite groups
本文研究有限群生成图与秩图的连通性，证明除有限个几乎单群外生成图连通，并证明秩图在d(G)≥3时连通，为原猜想提供支持。
The generating graph of a profinite group
设$G$为2-生成群。$G$的生成图$Γ(G)$是其顶点是$G$的元素并且其中两个顶点$g$和$h$相邻的图，如果$G = \langle g, h \rangle.$。考虑这种情况下的拓扑生成，该定义可以扩展到2-生成的投射有限群$G,$。证明了$Γ(G)$的非孤立点集$V(G)$在$G$中是闭的，并且如果$G$是可解的，则从$Γ(G)$中去掉孤立点得到的图$Δ(G)$是直径不超过3的连通图.然而，我们构造了一个2-生成的投射有限群$G$的例子，其性质是$Δ(G)$具有$2^{\aleph_0}$连通分支。这意味着所谓的“交换猜想”对n-生成的profinite群不成立。我们还证明了如果$V(G)$中的一个元素在图$Γ(G),$中有有限度，则图$G$是有限的.
On the connectivity of the non-generating graph
给定一个2-生成有限群$G$，$G$的非生成图的顶点是$G$的元素，且两个顶点相邻当且仅当它们是不同的且不生成$G$。我们考虑由$G$的非生成图通过删除泛点得到的图$Σ(G)$。证明了如果$G$的导出子群不是幂零的，则该图是连通的，且直径不超过5。并且给出了有限群$G$的完全分类，使得$Σ(G)$是不连通的.
A remark on the connectedness of spheres in Cayley graphs
这篇小笔记的目的是要证明一个基本的但有用的性质的群。设G是一个有一端的有限生成群.固定一个（有限）生成集，设$B_n$为围绕$e$的半径为$n$的球。令$B_n^{c,\infty}$是$B_n$的补的无限连通分支。如果存在一个$r >0$使得所有$n \geq 0$的$B_{n+r} \cap B_n^{c,\infty}$连通，则G有连通球面.这注记表明，如果G是双存在的，那么它有连通球面。
Virtually generating graphs of pro-$p$ groups
本文研究pro-$p$群的虚拟生成图，证明多类此类群的该图连通，并给出直径上界，涵盖局部域上解析群的紧子群与诺丁汉群。
The virtually generating graph of a profinite group
研究有限生成 profinite 群的虚拟生成图，证明移除孤立顶点后的图连通分支数可任意指定，且另一相关子图连通且直径至多 3。
Graphs encoding the generating properties of a finite group
假设$G$是一个有限群。对于每个$a, b \in\mathbb N,$，我们定义了一个图$Γ_{a,b}(G)$，它的顶点对应于$G^a\cup G^b$的元素，并且其中两个元组$(x_1,\dots,x_a)$和$(y_1,\dots,y_b)$相邻当且仅当$\langle x_1,\dots,x_a,y_1,\dots,y_b \rangle =G.$。（孤立点，回路，连通性，连通分支的直径），并研究了它们的性质与群结构之间的关系，目的是理解关于$G$的哪些信息由这些图编码。
Strong boundedness of simply connected split Chevalley groups defined over rings
本文研究 S-算术分裂 Chevalley 群的强有界性，证明由共轭类定义的字度量直径仅依赖共轭类数量，并通过正规生成集示例说明界的尖锐性及小型生成集障碍。
Connectivity of the Product Replacement Graph of Simple Groups of Bounded Lie Rank
乘积替换算法是产生有限群的随机元的一种实用算法。该算法可以被描述为一个图上的随机游动，该图的顶点是该组的生成k元组（对于一个固定的整数k）。证明了存在一个函数c（r），使得对任意李秩为r的有限李型单群，其生成k-元组的乘积置换图对任意k > c（r）是连通的.证明使用的结果拉森和粉红色，不依赖于有限的单群的分类。
The non-commuting, non-generating graph of a nilpotent group
对于幂零群$G$，设$Ξ(G)$是$G$的生成图的补图与$G$的交换图之间的差，其中对应于$G$的中心元素的顶点被移除。也就是说，$Ξ(G)$具有顶点集$G \setminus Z(G)$，其中两个顶点相邻当且仅当它们不交换并且不生成$G$。此外，令$Ξ^+(G)$是由其非孤立顶点诱导的$Ξ(G)$的子图。证明了如果$Ξ(G)$有边，则$Ξ^+(G)$与直径$2$或$3$相连，在直径$3$的情况下与$Ξ(G) = Ξ^+(G)$相连.在无限情形下，我们的结果更一般地适用于任何具有每个极大子群正规的群。当$G$是有限的，我们探索的$G$和$Ξ(G)$的结构之间的关系更详细。
Normal $2$-coverings of the finite simple groups and their generalizations
给定一个有限群$G$，我们称$G$有弱正规覆盖数$γ_w(G)$，如果$γ_w(G)$是最小的整数，且$G$允许真子群$H_1,\ldots,H_{γ_w(G)}$，使得$G$的每个元素在$H_i$中有共轭，对于某个$i\in \{1,\ldots,γ_w(G)\}$，通过$G$的自同构群中的元素.证明了每个非交换单群的弱正规覆盖数至少为$2$，并对达到$2$的非交换单群进行了分类.作为应用，我们对具有正规覆盖数$2$的非阿贝尔单群进行了分类.我们还证明了几乎单群的弱正规覆盖数至少为2直到一个例外。确定了基柱为散生单群的几乎单群的弱正规覆盖数和正规覆盖数。用类似的方法求出了以散在单群为基柱的几乎单群的不变生成图的团数。
Generating the Torelli group
本文给出了Birman-Powell定理的一个新的证明：亏格至少为3的闭可定向曲面的映射类群的Torelli子群是由称为边界对映射的简单同胚生成的.关键成分是一个证明的子复合形的曲线复杂的曲面跨越一个固定的同调类。
On the Minimal Size of a Generating Set of Lattices in Lie Groups
我们证明了一般连通李群中格的秩（即生成集的最小尺寸）由格到群的半单部分的投影的余体积有界。这是证明了Gelander为半单李群和Mostow为可解李群。在这里，我们考虑一般情况下，依赖于半简单的情况。特别是，我们扩展Mostow定理从可解到顺从的群体。
Connectedness of spheres in Cayley graphs
本文引入了Cayley图中球面的连通厚度的概念，它与闭端及其后退深度有关。众所周知，单端群的连通厚度是有界的。我们计算出，对于线上和树上的点灯人群的自然生成集，连接厚度分别是线性的或对数的。我们表明，它强烈依赖于生成集。我们给出了一个例子，其中度规诱导的（有限）厚度的连接给直径的顺序$n^2$的半径$n$的球。讨论了连通厚度与渗流理论中截集和几乎凸性之间的关系以及连通厚度与几乎凸性之间的关系。最后，我们提出了一个开放的问题，在凯莱图的领域。
Large sets of generating tuples for Lie groups
我们证明了对于一个连通的半单线性李群$G$，生成元素对或子群的空间在许多方面都是良好的：生成稠密子群的元素对的集合在紧的情况下是Zakki-开的，在一般情况下是欧几里得-开的，并且总是稠密的。类似地，对于$G$的充分一般的圆子群$H_i$，$i=1,2$，生成稠密子群的$H_i$的共轭空间总是Zerkiki-开且稠密的。类似的陈述适用于李代数$Lie(G)$的李子代数对。
On groups with unbounded Cayley graphs
证明了无限域上的每个非平凡紧连通群和每个非平凡一般或特殊线性群都存在一个生成集，使得相应的Cayley图具有无穷直径.
Combinatorics of cyclic shifts in plactic, hypoplactic, sylvester, and related monoids
幺半群的循环移位图是其顶点是幺半群的元素并且其边连接相差循环移位的元素的图。对于某些与组合学相关的幺半群，例如platic幺半群（Young tableaux的幺半群）和sylvester幺半群（二叉搜索树的幺半群），连通分量由具有相同求值的元素组成（即包含相同数量的每个生成符号）。本文讨论了这些幺半群的有限秩类似物的循环移位图的连通分支直径的新结果，证明了连通分支的最大直径仅与秩有关。证明技术的西尔维斯特幺半群的情况下解释。
Existence and genericity of finite topological generating sets for homeomorphism groups
证明了区间和圆的保向$C^1$ -纯同态的拓扑群$Diff_{+}^{1}(I)$和$Diff_{+}^{1}(\mathbb{S}^1)$分别允许纯生成稠密子群.我们还调查的问题的genericity（在Baire范畴的意义上），这样的有限拓扑生成集在相关的群体。证明了同胚群$Homeo_+(I)$中的类属元素对生成$Homeo_+(I)$的稠密子群.相比之下，如果$M$是任何边界不是区间的紧致连通流形，我们观察到来自相关边界固定同胚群$Homeo(M,\partial M)$的开稠密对集将生成离散子群。我们对包括$\mathbb{S}^1$在内的无边界流形的同胚群也作了类似的观察。
Pervasive ellipticity in locally compact groups
本文刻画连通局部紧群的（开）几乎椭圆性，依据极大半单商、紧子群作用及权条件给出完整分类，并阐明紧群经可解 Lie 群扩张的判别准则。
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