Oriented diameter of graphs with given domination number
本文通过收缩不可避免的可选子图并对支配数作归纳，证实了 Kurz 和 Lätsch 关于无桥图有向直径至多为 ⌈(7γ+1)/2⌉ 的猜想，并进一步证明有向强直径至多为 7γ−1 且该界最优。
2025-07-23 math.CO
On the diameter of total domination vertex critical graphs
本文考虑了各种类型的控制点临界图，包括全控制点临界图、独立控制点临界图和连通控制点临界图。我们提供的上界的直径，其中两个是尖锐的。
2015-08-26 cs.DM math.CO
Domination Cover Pebbling: Structural Results
本文继续了“控制覆盖卵石：图族”的结果。“对于具有指定直径的图G，计算了其控制覆盖卵石（DCP）数的一个几乎尖锐界.对于直径为2的图，计算了图G的覆盖pebbling数与图G的DCP数之比的一个界。介绍了一种称为颠覆DCP的控制覆盖卵石，并讨论了初步结果。
2005-09-23 math.CO
A note on Cops and Robbers, independence number, domination number and diameter
本文研究了连通图$G$的直径$D(G)$、控制数$γ(G)$、独立数$α(G)$和copnumber $c(G)$之间的关系，证明了（i.）$c(G) \leq α(G)-\lfloor \frac{D(G)-3}{2} \rfloor$，和（ii.）$c(G) \leq γ(G) - \frac{D(G)}{3} + O (\sqrt{D(G)})$。
2022-03-31 cs.DM math.CO
Complexity of the game connected domination problem
本文研究连通支配博弈的复杂性，证明判定博弈连通支配数是否小于给定整数在Dominator先手和Staller先手情况下均为PSPACE完全问题。
2025-05-30 math.CO
Triangle-free projective-planar graphs with diameter two: domination and characterization
1975年，Plesník将所有无三角形的可平面图刻画为具有直径$2$。本文刻画了所有直径为$2$的无三角形的射影-可平面图，并讨论了它的一些应用。特别是，主要结果适用于计算类似的团数的图，即着色混合图，具有不同类型的弧和边。
2022-12-08 cs.DM math.CO
Upper broadcast domination of toroidal grids and a classification of diametrical trees
图$G=(V,E)$上的广播是对于所有$v \in V$满足$f(v) \leq e(v)$的函数$f:V \rightarrow \{0,1, \ldots, \text{diam}(G)\}$，其中$e(v)$表示$v$的偏心率，而$\text{diam}(G)$表示$G$的直径。如果每个顶点都能听到至少一个广播节点，则我们说广播支配$G$。上支配数是所有可能的最小广播的最大成本，其中广播的成本被定义为$\text{cost} (f)= \sum_{v \in V}f(v)$。本文建立了环形网格上的上控制数和上广播控制数。此外，我们还对直径树，即上控制数等于直径的树进行了分类。
2016-10-17 math.CO
Maker-Breaker total domination game
图中的Maker-Breaker全控制博弈是Duchêne，Gledel，Parreau和Renault最近研究的Maker-Breaker控制博弈的自然对应。这两个游戏都是组合制造者-破坏者游戏的实例。在图$G$上，两个局中人轮流选择图$G$的顶点，进行制造者-破坏者全控制博弈。第一个玩家，统治者，选择一个顶点，以完全支配$G$，而另一个玩家，Staller，禁止顶点统治者，以防止他达到他的目标。它表明，有无限多个连接的三次图中，Staller赢了，没有最小度条件是足以保证主导者赢得时，Staller开始游戏。一个合并引理的建立和使用，以确定在网格上玩的游戏的结果。仙人掌也根据游戏的结果进行分类。游戏和超图之间的联系。证明了该对策在分裂图和二部图上是PSPACE-完全的。也提出了一些问题和疑问。
2019-02-01 math.CO
Domination game on uniform hypergraphs
本文介绍并研究超图上的控制对策。在超图$\mathcal{H}$上，由两个参与者，即Dominator和Staller，交替选择顶点，使得每个选定的顶点扩大到目前为止被控制的顶点集。如果$\mathcal{H}$的所有顶点都是劣势的，则游戏结束。统治者的目标是尽快完成游戏，而Staller的目标是推迟游戏的结束。如果每个参与者都以最佳方式进行游戏，并且支配者开始，则游戏的长度是由$γ_g(\mathcal{H})$表示的不变的“游戏支配数”。这个定义是图上控制对策的推广，是超图上横截对策的一个特例。在一些基本的一般性结果的基础上，我们建立了$k$ -一致超图的博弈控制数的一个渐近紧上界。在本文的剩余部分中，我们证明了$γ_g(\mathcal{H}) \le 5n/9$如果$\mathcal{H}$是一个3-一致的阶为$n$的超图并且不包含孤立点。这也意味着图的以下新结果：如果$G$是$n$顶点上的孤立点自由图，并且它的每条边包含在三角形中，则$γ_g(G) \le 5n/9$。
2017-10-01 math.CO
Predominating a vertex in the connected domination game
连通控制博弈和控制博弈一样，只是在博弈的每个阶段，所参与的顶点都诱导出一个连通子图。D-对策（S-对策）中的步数。在图上，当两个游戏者都最优地玩游戏时，$G$由$γ_{\rm cg}(G)$（分别为$γ_{\rm cg}'(G)$）表示。连通博弈的延续原理是作为对经典的延续原理的替代而建立的，经典的延续原理不适用于连通控制博弈。令$G|x$表示图$G$以及顶点$x$已经被支配的声明。第一个主要结果断言，如果$G$是一个图的$γ_{\rm cg}(G) \geq 3$和$x \in V(G)$，那么$γ_{\rm cg}(G|x) \leq 2 γ_{\rm cg}(G) - 3$和界是尖锐的。第二个主要定理指出，如果$G$是一个图，具有$n(G) \geq 2$和$x \in V(G)$，那么$γ_{\rm cg}(G|x) \geq \left \lceil \frac12 γ_{\rm cg}(G) \right \rceil$和界是尖锐的。图$G$和它们的顶点$x$，其中$γ_{\rm cg}'(G|x) = \infty$保持也被特征化。
2021-12-20 math.CO
Connected domination game: predomination, Staller-start game, and lexicographic products
连接控制博弈是最近由Borowiecki，Fiedorowicz和Sidorowicz作为控制博弈的另一种变体引入的。规则基本上是相同的，除了在游戏的所有阶段，所玩的顶点集必须连接。我们从他们的论文中回答了一个问题，关于在游戏中支配者/拖延者开始游戏的移动次数之间的关系。本文还研究了连通对策控制数与直径的关系，给出了连通对策控制数小的图。我们确定了字典序积图的值，并考虑了顶点的控制对连通对策控制数的影响。
2019-03-13 math.CO
Progress towards the 1/2-Conjecture for the domination game
支配博弈是在图$G$上由两个玩家Dominator和Staller进行的，他们交替选择顶点，直到图$G$中的每个顶点都包含在所选顶点集的闭邻域中。统治者的目标是在尽可能少的移动中达到这种状态，而Staller希望游戏持续尽可能长的时间。证明了若$G$有$n$顶点且最小度至少为2，则Dominator有策略在$10n/17+1/17$步内完成$G$上的控制对策，从而推进了Bujt{á}s，Iršiand Klavžar的一个猜想.
2023-02-07 math.CO
Domination games played on line graphs of complete multipartite graphs
图$G$（由B. Brešar，S. Klavžar，D.F. Rall \cite{BKR2010}）由两个玩家，Dominator和Staller组成，他们轮流从$G$中选择一个顶点，这样每当任何一个玩家选择一个顶点时，至少有一个额外的顶点被支配。Dominator希望在尽可能少的步骤中控制图，Staller希望尽可能延迟这个过程。博弈控制数$γ_{\small g}(G)$是Dominator开始博弈时所选择的顶点数，Staller开始博弈时用$γ_{\small g}^{\prime }(G).$表示。本文研究了完全多部图$K_{\overline{m}}$ $(\overline{m}\equiv (m_{1},...,m_{n})\in \mathbb{N} ^{n})$的线图$L\left( K_{\overline{m}}\right) $上的控制博弈，得到了博弈控制数的精确值，并描述了双方的最优策略。特别地，证明了对于$m_{1}\leq m_{2}\leq ...\leq m_{n}$，当$n\geq 2$时，$γ_{\small g}\left( L\left( K_{\overline{m}}\right) \right) =\min \left\{ \left\lceil \frac{2}{3}\left\vert V\left( K_{\overline…
2014-05-01 cs.DM math.CO
Maker-Breaker total domination game on cubic graphs
研究连通三次图上的Maker-Breaker全控制游戏，刻画了至少6个顶点的图中Dominator与Staller的胜负条件。
2022-05-29 math.CO
Maker-Breaker domination game critical graphs
本文研究了制造-破坏支配游戏中的临界图，探讨了其存在性及在先手能快速获胜情况下的特征化。
2025-02-19 math.CO
The variety of domination games
支配游戏[SIAM J.离散数学24（2010）979--991]和完全控制博弈[Graphs Combin.\ 31（2015）1453--1462]是现在由两个玩家在图上玩的成熟游戏，名为Dominator和Staller。本文引入Z-控制对策、L-控制对策和LL-控制对策作为标准控制对策的自然同伴。在新的博弈中证明了延续原理的不同版本。它被证明，在这些游戏中的每一个游戏的结果，这是一个相应的图不变量，不同的是由最多一个取决于是否占主导地位或Staller开始游戏。建立了五个控制对策的层次结构。不变量也有界的（总）控制数和顺序的一个图。给出了这三个新的不变量的值，并给出了几个待解决的问题和一个猜想。后者断言图的L-控制对策数不大于图的阶数的$6/7$。
2018-07-07 math.CO
Indicated total domination game
该研究提出了指示型全控制博弈的概念，定义了对应的指示型全控制数，证明了该数的下界为已被广泛研究的上全控制数，丰富了图控制博弈领域的理论结果。
2024-02-01 math.CO
A proof of the 3/5-conjecture in the domination game
支配博弈是由两个参与者Dominator和Staller进行的优化博弈，他们交替选择图$G$中的顶点。如果一个顶点已被选中或与选中的顶点相邻，则该顶点被称为支配顶点。每个选定的顶点必须严格增加其选择时的支配顶点的数量，一旦$G$中的每个顶点都是支配的，游戏就结束了。统治者的目标是保持游戏尽可能短，而Staller试图实现相反的。本文证明了Kinnersley，West和Zamani提出的关于$n$顶点上的图$G$，Dominator有一个最多用$3n/5$步结束博弈的策略.
2023-02-02 math.CO
Bounds on the 2-rainbow domination number of graphs
图$G$的{ \it 2-rainbow dominance function}是一个函数$f$，它为每个顶点分配从集合$\{1,2\}$中选择的一组颜色，使得对于任何$v\in V(G)$，$f(v)=\emptyset$意味着$\bigcup_{u\in N(v)}f(u)=\{1,2\}$。图$G$的{ \it 2-彩虹控制数$γ_{r2}(G)$ }是所有这类函数$f$上的最小值$w(f)=Σ_{v\in V}|f(v)|$。设$G$是$|V(G)|=n\geq 3$阶连通图.我们证明了$γ_{r2}(G)\leq 3n/4$和我们的图实现平等的特点。利用树的控制数证明了树的2-彩虹控制数的一个下界。给出了$γ_{r2}(G)$的其它一些关于直径的上下界.
2010-05-06 math.CO
Total mixed domination in graphs
对于一个图$G=(V,E)$，如果$V \cup E$的每个元素与$S$的每个元素相邻或关联，并且$G$的全混合控制数$γ_{tm}(G)$是$G$的全混合控制集的最小基数，则称一个子集$ S\subseteq V \cup E$为$G$的全混合控制集.本文首次研究了连通图的全混合控制数，给出了图及其线图的阶数、全控制数等参数的紧界.然后讨论了图的全混合控制数与直径的关系。我们的下一步工作是研究树中的这个数。证明了一个图的全混合控制数等于由该图得到的图的全控制数。最后给出了一些特殊图的全混合控制数。
2018-10-20 math.CO
Constructions for positional games and applications to domination games
该研究提出有偏位置博弈的构造，证明其结果受先手影响且公平有偏博弈具非单调性，构建迁移装置拓展Maker-Breaker支配博弈时长结果，还引入Waiter-Client支配博弈并给出树与环上的紧性结果及一般时长差异结论。
2025-09-05 math.CO
Lower Bounds on the Distance Domination Number of a Graph
对于整数$k \ge 1$，连通图$G$的（距离）$k$ -支配集是$G$的顶点的集合$S$，使得$V(G) \setminus S$的每个顶点与$S$的某个顶点的距离至多为~ $k$. $G$的$k$ -控制数$γ_k(G)$是$G$的$k$ -控制集的最小基数.本文利用图的直径、半径和围长建立了图的$k$ -控制数的下界。证明了连通图$G$和$H$，$γ_k(G \times H) \ge γ_k(G) + γ_k(H) -1$，其中$G \times H$表示$G$和$H$的直积.
2015-07-31 math.CO
Total connected domination game
图$G$上的（全）连通控制博弈是由两个参与者Dominator和Staller根据标准（全）控制博弈进行的，并且附加要求是在博弈的每个阶段，所选择的顶点诱导出$G$的连通子图。如果支配者开始游戏并且两个玩家都以最佳方式进行游戏，则在游戏期间选择的顶点数是$G$的（总）连通游戏支配数（$γ_{\rm tcg}(G)$）$γ_{\rm cg}(G)$。我们表明，$γ_{\rm tcg}(G)\in \{γ_{\rm cg}(G), γ_{\rm cg}(G) + 1, γ_{\rm cg}(G) + 2\}$，并因此定义$G$类$i$，如果$γ_{\rm tcg}(G) = γ_{\rm cg} + i$为$i \in \{0,1,2\}$。构造了一类$0$图，它包含了所有连通笛卡尔积图和最小度至少为$2$的连通直积图.我们表明，没有树是类$2$和类$1$树的特点。本文给出了一类无限族的$2$类二部图。
2020-10-10 math.CO
Fast winning strategies for Staller in the Maker-Breaker domination game
制造者-破坏者支配博弈是在图$G$上由两个参与者进行的，这两个参与者称为支配者和施特勒，他们交替选择一个迄今为止还没有玩过的顶点。如果支配者的移动形成支配集，则支配者赢得游戏。如果Staller从顶点$v \in V(G)$的封闭邻域中选择所有顶点，则她获胜。支配者的快速获胜策略在前面已经研究过了。在这项工作中，我们专注于当Staller在游戏中有一个获胜的策略的情况下。我们引入不变量$γ'_{\rm SMB}(G)$（分别为，$γ_{\rm SMB}(G)$），它是最小整数$k$，使得在支配者的任何策略下，Staller可以通过玩最多$k$顶点来赢得游戏，如果Staller（分别，支配者）在图形$G$上首先播放。证明了$γ_{\rm SMB}(G)$和$γ'_{\rm SMB}(G)$的一些基本性质，并研究了它们在取图的不交并和删除割点等算子下的参数变化。证明了不等式$δ(G)+1 \le γ'_{\rm SMB}(G) \le γ_{\rm SMB}(G)$总是成立，并且对于每三个具有$2\le r\le s\le t$的整数$r,s,t$，存在一个图$G$使得$δ(G)+1 = r$，$γ'_{\rm SMB}(G) = s$，和$γ_{\rm SMB}(G) = t$ .本文证明了$γ'_{\rm SMB}(G)$的精确公式，其中$G$是一条路，或它是一个由一个圈和一条路的…
2022-06-26 math.CO
Maker-Breaker domination number
制造者-破坏者支配博弈是由支配者和施特勒在图$G$上进行的。玩家交替地选择在游戏过程中尚未选择的$G$的顶点。如果在某一点上，支配者选择的顶点形成支配集，则支配者获胜。如果支配者不能形成支配集，则拖延者获胜。本文引入了$G$的Maker-Breaker控制数$γ_{\rm MB}(G)$，它是指当支配者具有获胜策略并且是第一个下局时，支配者赢得比赛的最小走法数。如果Staller先演奏，则相应的不变量表示为$γ_{\rm MB}'(G)$。比较这两个不变量，我们发现它们的行为与相关的博弈控制数有很大的不同。不变量$γ_{\rm MB}(G)$也与控制数进行了比较。利用Erdens-Selfridge准则，我们找到了一类图$G$，其中$γ_{\rm MB}(G) > γ(G)$成立.引入残差图并用于绑定/确定$γ_{\rm MB}(G)$和$γ_{\rm MB}'(G)$。使用残差图，$γ_{\rm MB}(T)$和$γ_{\rm MB}'(T)$确定任意树。还得到了圈的不变量和并图的有界不变量。一个开放的问题和进一步调查的方向清单。
2019-03-13 math.CO
Game Total Domination Critical Graphs
在图$G$上进行的完全控制博弈中，玩家Dominator和Staller交替选择$G$的顶点，尽可能长，使得每个选择的顶点增加完全控制的顶点的数量。支配者（Staller）希望最小化（最大化）所选顶点的数量。$G$的游戏总控制数$γ_{\rm tg}(G)$是当支配者开始游戏并且两个玩家都最优地玩时选择的顶点的数量。如果$G$的一个顶点$v$被声明为已经是完全支配的，那么我们用$G|v$表示这个图。本文引入了全控制对策临界图$G$，对$G$中的每个顶点$v$，$γ_{\rm tg}(G|v) < γ_{\rm tg}(G)$都成立.如果为$γ_{\rm tg}(G) = k$，则$G$称为$k$ - $γ_{\rm tg}$ -critical。证明了圈$C_n$是$γ_{\rm tg}$ -临界的当且仅当$n\pmod 6 \in \{0,1,3\}$，路$P_n$是$γ_{\rm tg}$ -临界的当且仅当$n\pmod 6\in \{2,4\}$ . $2$ - $γ_{\rm tg}$ -临界图和$3$ - $γ_{\rm tg}$ -临界图以及图的$3$ - $γ_{\rm tg}$ -临界联也被刻画.
2017-09-18 math.CO
On Maker-Breaker domination game critical graphs
本文研究 Maker-Breaker 支配博弈中的 $2$-$\gamma_{\rm MB}'$-临界图，刻画含割点图的两个无限族，并证明 $C_5$ 是唯一非二部且无三角形的此类临界图。
2025-07-23 math.CO
Tightness of Paired and Upper Domination Inequalities for Direct Product Graphs
图$G$中的顶点集$D$称为控制图，如果$G$的每个顶点都在$D$中或与$D$的一个顶点相邻. $G$的成对控制数$γ_{\mathrm{pr}}(G)$是其导出子图允许完美匹配的控制集的最小尺寸，上控制数$Γ(G)$是最小控制集的最大尺寸.本文研究了图积为直积$\times$的两个关于控制参数的乘法不等式的尖锐性.我们表明，对于每一个正常数$c$，存在图$G$和$H$的任意大直径，使$γ_{\mathrm{pr}}(G \times H) \leq cγ_{\mathrm{pr}}(G)γ_{\mathrm{pr}}(H)$，从而回答了一个问题的拉尔以及两个问题的Paulraja和Sampath Kumar。然后，我们研究当这个不等式与$c = \frac{1}{2}$，特别是证明它持有时，$G$和$H$是树。最后，我们证明了不等式$Γ(G \times H) \geq Γ(G) Γ(H)$，由于Brešar，Klavžar和Rall，是紧的。
2020-08-10 math.CO
Progress Towards the Total Domination Game $\frac{3}{4}$-Conjecture
在本文中，我们继续研究图中的全控制对策[Graphs Combin. 31（5）（2015），1453- 1462]，其中玩家Dominator和Staller交替地选择$G$的顶点。每个顶点的选择必须严格增加完全支配的顶点数，其中一个顶点完全支配另一个顶点，如果它们是邻居。该过程最终产生$G$的全支配集$S$，其中每个顶点完全被$S$中的顶点支配。Dominator希望最小化所选顶点的数量，而Staller希望最大化它。$G$的游戏总控制数$γ_{\rm tg}(G)$是Dominator开始游戏时所选顶点的数量，并且两个玩家都最优地玩。Henning，Klavžar和Rall [Combinatorica，to appear]发布了$\frac{3}{4}$ -Game Total Domination Conjecture，该猜想指出，如果$G$是$n$顶点上的图，其中每个组件至少包含三个顶点，则$γ_{\rm tg}(G) \le \frac{3}{4}n$。本文证明了这一猜想在一类图$G$上的存在性，这类图满足两个条件：$G$中相邻顶点的度和至少为$4$，以及$G$中没有两个度为$1$的顶点相距$4$.特别地，我们证明了通过采用一个贪婪策略，支配者可以完成在一个图的最小度至少$2$在最多$3n/4$移动的总控制游戏。
2015-12-09 math.CO
On connectivity, domination number and spectral radius of the proper enhanced power graphs of finite nilpotent groups
对于群$G,$，$G$的增强幂图是具有顶点集$G$的图，其中两个不同的元素$x, y$是相邻的当且仅当在$G$中存在元素$w$使得$x$和$y$都是$w.$的幂。真增强幂图是集合$G \setminus S,$上的增强幂图的导出子图，其中$S$是$G \setminus S,$的控制顶点的集合。增强功率图本文首先刻画了有限幂零群的增强幂图的控制点。然后，我们对所有的幂零群$G$进行分类，使得适当的增强幂图是连通的，并找出它们的直径。我们还明确地求出了有限幂零群的真增强幂图的控制数。最后，我们确定了幂零群幂群的增强幂图的Laplacian谱半径的重数。
2021-08-11 math.CO
Biased domination games
本文研究有偏 Maker-Breaker 支配博弈，完整刻画了支配者在树上具有获胜策略的条件，给出路径和圈的幂图上的精确获胜轮数，并为所有树提供不依赖于 b 的最优界，同时讨论了最小度条件及拖延者获胜时支配者仍能支配的顶点数。
2024-08-01 math.CO
Domination game: effect of edge- and vertex-removal
支配博弈由两个名为Dominator和Staller的参与者在图$G$上进行。他们交替选择$G$的顶点，使得每个选择的顶点扩大在其上移动之前被支配的顶点集。支配者的目标是游戏尽快结束，而Staller希望游戏尽可能长地持续。假设双方都是最优的。游戏1和游戏2是游戏的变体，其中支配者和拖延者分别拥有第一步。博弈控制数$γ_g(G)$和Staller-start博弈控制数$γ_g'(G)$分别是博弈1和博弈2中选择的顶点数。证明了如果$e\in E(G)$，则$|γ_g(G) - γ_g(G-e)| \le 2$和$|γ_g'(G) - γ_g'(G-e)| \le 2$，并且对于$γ_g(G)$和$γ_g'(G)$大于5的所有值，这里的每种可能性都可以由连通图$G$实现。对于其余的小值，要么证明实现是不可能的，要么提供实现的例子。证明了若$v\in V(G)$，则$γ_g(G) - γ_g(G-v) \le 2$和$γ_g'(G) - γ_g'(G-v) \le 2$ .在几乎所有情况下，这里的可能性也可通过连通图$G$实现，例外值的处理与边去除情况类似。
2013-07-20 math.CO
Indicated domination game
受控制博弈与指示着色博弈启发，本文提出了指示控制博弈，证明了新不变量$γ_i(G)$在控制链中的位置界限，并给出了其在树、分裂图、网格及路径幂等图类中的精确公式与等价关系。
2024-03-27 math.CO
Bounds on the Exponential Domination Number
作为图中支配的自然变体，Dankelmann等人[Domination with exponential decay，Discrete Math.309（2009）5877-5883]引入了指数支配，其中顶点被认为具有随距离呈指数下降的某种支配功率，并且被支配的顶点必须积累足够量的从支配顶点发出的这种功率。更精确地说，如果$S$是图$G$的顶点集，则$S$是$G$的指数支配集，如果对于$V(G)\setminus S$中的每个顶点$u$都有$\sum\limits_{v\in S}\left(\frac{1}{2}\right)^{{\rm dist}_{(G,S)}(u,v)-1}\geq 1$，其中${\rm dist}_{(G,S)}(u,v)$是图$G-(S\setminus \{ v\})$中$u\in V(G)\setminus S$和$v\in S$之间的距离。$G$的指数控制数$γ_e(G)$是$G$的指数控制集的最小阶。Dankelmann等人给出了阶为$n$、直径为${\rm d}$的连通图$G$的$$\frac{1}{4}({\rm d}+2)\leq γ_e(G)\leq \frac{2}{5}(n+2)$$。我们提供了进一步的界限，特别是加强他们的上限。具体地说，对于阶为$n$，最大度$Δ$至少为$3$，半径${\rm r}$至少为$1$的连通图$G$，我…
2015-10-29 math.CO
On Domination Number and Distance in Graphs
一个图$G$的顶点集$S$是一个\emph{dominating set}，如果$G$的每个顶点都属于$S$或与$S$中的一个顶点相邻. $G$的\emph{domination number} $γ(G)$是$S$的最小基数，因为$S$在$G$的所有控制集上变化。已知$γ(G) \ge \frac{1}{3}(diam(G)+1)$，其中$diam(G)$表示$G$的直径。定义$C_r$为最大常数，使得对于任意连通图$G$的任何$r$顶点，$γ(G) \ge C_r \sum_{1 \le i < j \le r}d(x_i, x_j)$;然后在此视图中为$C_2=\frac{1}{3}$。本论文的主要研究结果是：$C_r=\frac{1}{r(r-1)}$用于$r\geq 3$。紧接着是$γ(G)\geq μ(G)=\frac{1}{n(n-1)}W(G)$，其中$μ(G)$和$W(G)$分别是$n$阶的$G$的平均距离和Wiener指数。作为主要结果的应用，我们证明了DeLaViña等人的一个猜想即$γ(G)\geq \frac{1}{2}(ecc_G(B)+1)$，其中$ecc_G(B)$表示任意连通图$G$的边界的偏心率。
2014-09-14 math.CO
On graphs with equal domination and total domination numbers
Dhirubhai Ambani University（Dhirubhai Ambani大学）
该研究针对无孤立顶点图，解决了控制数为2时控制数与全控制数相等的结构刻画问题，按围长分类推导相关性质并应用于极端图族，形成完整可检验的结构转化词典。
2026-09-04 math.CO
Optimal pebbling and rubbling of graphs with given diameter
图上的鹅卵石移动从一个顶点移除两个鹅卵石，并将一个鹅卵石添加到相邻的顶点。如果可以使用pebbling移动将pebble移动到某个顶点，则该顶点可以从pebble分布到达。最佳卵石数目$π_{opt}$是保证可到达任何顶点的$m$卵石的卵石分布所需的最小数目$m$。一个rubbling移动类似于一个卵石移动，但它可以删除两个卵石从两个不同的顶点。最佳揉化数$ρ_{opt}$的定义类似于最佳揉化数。本文利用距离$k$控制数给出了最优pebbling数和最优rubbling数的下界。利用这个界，我们证明了对于每个$k$，存在一个图$G$，其直径为$k$，使得$ρ_{opt}(G)=π_{opt}(G)=2^k$ .
2017-08-30 math.CO
Broadcasts in Graphs: Diametrical Trees
在顶点集为V的图G上的支配广播是将V映射到{0，1，. diam（G）}使得f（v）对所有顶点v不超过e（v）（v的偏心率），且每个顶点u与具有正f（v）的顶点v的距离至多为f（v）. G的上广播控制数为Γ_{b}（G），它等于函数值f（v）之和的最大值，其中最大值取G上所有最小控制广播f的最大值.正如Erwin在[D. Erwin，图的成本控制，博士论文，西密歇根大学，2001]，对任意图G，Γ_{b}（G）在下有界于直径（G）.我们调查树的上广播支配数等于他们的直径，在更一般的结果，这一属性的特征毛虫。
2017-08-17 math.CO
Identification, location-domination and metric dimension on interval and permutation graphs. II. Algorithms and complexity
本文研究区间图或置换图的最优识别码、（开）定位支配集和分解集（记为识别码、（开）定位支配集和度量维数）的求法问题。在这些问题中，人们要求通过顶点的子集来区分图的所有顶点，使用解集内的邻域或到解顶点的距离。使用这类问题的一般减少，我们证明了与这四个概念相关的决策问题是NP-完全的，即使是区间图的直径$2$和置换图的直径$2$。当用解的大小进行参数化时，识别码和（开）定位支配集是平凡的固定参数可处理的，而已知在相同的设置下，度量维数是$W[2]$ -难的。我们表明，对于区间图，这种参数化的度量维数是固定参数，听话。
2016-07-11 cs.DM cs.DS math.CO
Non-Isomorphic Optimal Cayley Graphs
本文构造了七十多个与已知最优Cayley图非同构的度直径最优Cayley图，通过全面比较图不变量，揭示了最优Cayley图的非唯一性，并扩充了已知最优图目录。
2026-06-24 math.CO
The minimum degree question for the Maker Breaker Domination Game
Johannes Kepler University Linz, Institute for Algebra（林茨约翰·开普勒大学代数研究所）；Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics, Austrian Academy of Sciences（奥地利科学院约翰·拉登计算与应用数学研究所）；Institute of Science and Technology, Austria（奥地利科学技术研究所）
研究在Maker-Breaker支配游戏中，给定最小度d，使得先手Dominator输掉的最小图的大小β(d)，精确确定了d≤3时的值，并将下界改进为β(d)≥2^{d+1}+2。
2026-06-03 math.CO
Containment game played on random graphs: another zig-zag theorem
我们考虑一个变种的警察和强盗的游戏，称为遏制，其中警察从边缘移动到相邻的边缘，强盗从顶点移动到相邻的顶点（但不能沿着被警察占领的边缘移动）。警察通过“遏制”抢劫犯，也就是说，通过占据与抢劫犯占据的顶点相关的所有边来获胜。包含图$G$上的强盗所需的最小警察数$ξ(G)$称为可包含数，这是众所周知的警察数$c(G)$的自然对应物。Komarov和Mackey最近引入了这个游戏的变体，他们证明了对于每个图$G$，$c(G) \le ξ(G) \le γ(G) Δ(G)$，其中$γ(G)$和$Δ(G)$分别是$G$的控制数和最大度。他们推测一个上限可以被改进，事实上，$ξ(G) \le c(G) Δ(G)$。（观察一下，微不足道的是，$c(G) \le γ(G)$。）这似乎是目前这场比赛的主要问题。通过研究扩展性质，我们提供了一个广泛的$p=p(n)$的二项随机图$G(n,p)$的可包含数的渐近几乎必然界，显示它形成了一个有趣的锯齿形。这一结果也证明了该猜想对$p$的某些范围成立（或对其它一些范围成立于常数或$O(\log n)$乘法因子）。
2015-05-07 math.CO
Diameters of Cocircuit Graphs of Oriented Matroids: An Update
定向拟阵（通常称为序型）是一种组合结构，它推广了点配置、向量配置、超平面排列、多面体、线性规划和有向图。定向拟阵在组合学、计算几何和优化中起着关键作用。本文综述了以往的工作，并提出了一个更新的搜索上的直径上的界限的定向拟阵的余圈图。我们回顾了直径问题，并证明了一般定向拟阵的直径界约化为一致定向拟阵的直径界。我们给出了低秩和低余秩的定向拟阵的最新精确界，以及所有不超过9个元素的定向拟阵的最新精确界（这部分需要大量的计算机证明）。我们研究的动机是单纯形法和十字形法的复杂性。对于任意定向拟阵，我们对Finschi的一个二次界进行了改进.我们的讨论突出了两个非常重要的相关的多项式赫希猜想的多面体直径。
2020-06-16 math.CO
The Normal Play of the Domination Game
本文首次研究控制博弈的正常玩法，证明其在直径为2的图中是PSPACE完全的，利用Sprague-Grundy理论给出了路径与环的胜负条件，并提出了判定路径与环不相交并集胜者的多项式时间算法。
2025-08-12 cs.DM math.CO
A Reduction of the Reconstruction Conjecture using Domination and Vertex Pair Parameters
本文通过引入支配数和顶点对参数，简化了重构猜想，证明特定条件下的图可从deck中识别。
2026-01-02 math.CO
Maker-Breaker domination number for Cartesian products of path graphs $P_2$ and $P_n$
该研究针对图上的Maker-Breaker控制博弈，推导了任意图及两顶点完全图与任意图笛卡尔积的控制数上界，精准确定了路径图P₂与Pₙ的笛卡尔积及其不交并的先手、后手Maker-Breaker控制数的精确值。
2024-04-02 math.CO
Cops and Robbers on graphs of bounded diameter
警察和强盗的游戏是一个众所周知的游戏玩的图形。本文考虑一类直径有界的图。本文改进了Cops的策略和以前使用的概率方法，得到了有界直径图的Cops数的一个改进的上界。特别地，对于直径为4的图，我们将上界从$n^{\frac{2}{3}+o(1)}$提高到$n^{\frac{3}{5}+o(1)}$，对于直径为3的图，将上界从$n^{\frac{2}{3}+o(1)}$提高到$n^{\frac{4}{7}+o(1)}$。
2019-12-16 cs.DM math.CO
Cops and Robbers on diameter two graphs
在这篇简短的论文中，我们研究了警察和强盗的游戏，在一些固定的图$G$的阶$n$的顶点。逮捕一个抢劫犯所需的最少警察人数称为警察人数$G$。我们证明了直径为2的图的copnumber至多为$\sqrt{2n}$，改进了Lu和Peng的一个结果.我们猜想这个界仍然不是最优的，并得到了一些关于最优界的部分结果。
2014-09-28 cs.DM math.CO
Maker-Breaker domination game on trees when Staller wins
研究图上Maker-Breaker支配博弈中Staller获胜的情况，刻画了Staller先手获胜所需步数的树结构，并推导了细分星图和毛毛虫树的精确公式与上界。
2023-08-25 math.CO
Unitary graphs
酉图是弧传递图，其顶点是厄米酉的标志，其边由基础有限域的某些元素定义。他们在最近的一类弧传递图的分类中发挥了重要作用，这些图允许自同构群在顶点上直接起作用。本文证明了所有酉图都是直径为2围长为3的连通图。在此基础上，对任意素数幂$q > 2$，得到了度为$Δ= q(q^2-1)$，直径为2的弧传递图的最大顶点数的阶$O(Δ^{5/3})$的下界.
2015-03-24 math.CO
Maker-Breaker domination game on Cartesian products of graphs
该研究针对图笛卡尔积上的Maker-Breaker支配博弈，确定了路径、星图、完全二部图的笛卡尔积上的博弈获胜方及获胜步数，推导了星图乘积下四类博弈步数的精确公式。
2024-08-19 math.CO
Unitary Cayley Graphs of Dedekind Domain Quotients
若$X$是一个有单位元的交换环，则定义$X$的酉Cayley图为点集为$X$，边集为$\{\{a,b\}\colon a-b\in X^\times\}$的图，记为$G_X$.当$R$是戴德金整环且$I$是$R$的理想使得$R/I$是有限且非平凡的时，我们称$G_{R/I}$为\emph{generalized totient graph}。我们研究广义totient图的图形$G_{\mathbb{Z}/(n)}$，最近出现在文献中，有时下的名称\emph{Euler totient Cayley graphs}的推广。我们开始推广到戴德金域的算术功能称为Schemmel totient功能，我们使用这些推广提供一个简单的公式，为任何正整数$m$，团的数量$m$在一个广义totient图。特别地，我们证明了$G_{\mathbb Z/(n)}$中$m$阶团的个数是\[\prod_{k=1}^m\frac{S_{k-1}(n)}{k},\]，其中$S_r$是$r^{\text{th}}$ Schemmel函数.然后，我们着手确定许多性质的广义totient图，如他们的团数，色数，色指数，团控制数，和（在许多情况下，但不是所有情况下）围长。我们还确定了广义totient图的每个分支的直径。我们纠正了文献中关于Euler totient Cayley图的团控制数的一个错误的说法，并为关于…
2017-03-26 math.CO
Maker-Breaker resolving game played on corona products of graphs
本文研究了图的冠积上Maker-Breaker解决游戏的胜负规则，证明了特定条件下冠积图的胜负结果。
2024-06-21 math.CO
Partition strategies for the Maker-Breaker domination game
该研究针对Maker-Breaker支配博弈中判断Dominator获胜策略的PSPACE完全问题，提出基于图划分的后手策略，在正则图、外平面图等多类图上得出判定结论，并给出k-嵌套区间图的对应算法。
2024-06-21 cs.DM math.CO
