Interval-Valued Rank in Finite Ordered Sets
我们认为秩的概念是偏序集（偏序集）元素的垂直水平和位置的度量。我们的动机是需要对大型的，现实世界的层次结构的数据对象，如本体数据库的语义层次的算法措施。这些很少满足等级性的强性质，这是传统秩函数存在所必需的。代表有限，有界偏序集等语义层次结构，我们认识到有序结构的二重性，以激励秩函数，尊重垂直从底部和顶部。因此，我们的秩函数是区间值的，并且总是存在的，即使对于非分次偏序集，也提供了与区间值秩上的区间序的序同态。秩宽度的概念自然产生，允许我们将具有点值宽度的偏序集区域识别为它的最长分次部分（我们称之为“纺锤”）。一个标准的区间秩函数的自然动机都在其极值和实用的理由。它的属性进行检查，包括传统的分级和排名功能的关系，和方法来评估比较标准的区间值排名。
2014-09-23 math.CO
Nonisomorphic Ordered Sets with Arbitrarily Many Ranks That Produce Equal Decks
证明存在具有任意多秩的非同构有序集对，其极大、极小、邻域及特定秩的移除点牌组均相等，仅在秩1和2处牌组不等。
2006-09-25 math.CO
Exterior splashes and linear sets of rank 3
在$\PG(2,q^3)$中，令$π$是在$\li$外部的$q$阶的子平面。$π$的外部飞溅定义为$\li$上位于$π$的一条线上的一组$q^2+q+1$点。本文研究了外部\orsp及其外部飞溅的特性。我们表明，以下对象是射影等价的：外部飞溅，覆盖的圆几何$CG(3,q)$，舍克表面的大小$q^2+q+1$，和$\GF(q)$ -线性集秩3和大小$q^2+q+1$。我们比较我们的建设外部飞溅的投影建设的线性集。我们给出了一个尺规作图法的两个不同的家庭的子线在外部飞溅，并比较它们的已知家庭的子线在一个分散的线性集的秩为3。
2015-12-10 math.CO
Fooling-sets and rank in nonzero characteristic (extended abstract)
一个n \times n矩阵M被称为大小为n的傻瓜集矩阵，如果它的对角元素不为零，而对于每k个\ne \ell，我们有M_{k,\ell} M_{\ell,k} = 0。Dietzfelbinger、Hromkovietry和Schnitger（1996）证明了n个\le（\rk M）^2，而不管秩是在哪个域上计算的，并询问是否可以改进\rk M上的指数。对于非零特征，我们通过构造一族有界渐近紧的矩阵来解决这个问题。构造使用线性循环序列。
2013-05-02 math.CO
Weierstrass sets on finite graphs
我们研究了图上Weierstrass半群的两种可能的热带类似物，称为秩Weierstrass集和泛函Weierstrass集。我们证明了在单图上，第一个包含在第二个中。我们完全刻画了N作为某个图的泛函Weierstrass集而产生的子集。最后，我们给出了N的一个子集是某个图的秩Weierstrass集的一个充分条件，使我们能够构造非半群的秩Weierstrass集的例子。
2021-12-21 math.CO
Alliance free sets in Cartesian product graphs
让$G=(V,E)$是一个图。对于顶点$S\subseteq V$和顶点$v\in V$的非空子集，令$δ_S(v)=|\{u\in S:uv\in E\}|$表示$v$在$S$中的邻居集合的基数，并且令$\bar{S}=V-S$。考虑以下条件：{方程} \label{alliancecondition} δ_S（v）\ge δ_{ \bar{S} }（v）+k，\{方程}表示顶点$v$在$S$中的邻居至少比它在$\bar{S}$中的邻居多$k$。对于每个顶点$v \in S$满足条件（\ref{alliancecondition}）的集合$S\subseteq V$称为\emph{defensive} $k$ - \emph{alliance} ;对于$S$邻域中的每个顶点$v$称为\emph{offensive} $k$ - \emph{alliance}。顶点$S\subseteq V$的子集是\emph{powerful} $k$ - \emph{alliance}，如果它既是防御$k$ -联盟又是进攻$(k +2)$ -联盟.此外，如果$X$不包含任何防御性（分别为进攻性或强大的）$k$-联盟，则子集$X\subset V$是防御性（进攻性或强大的）$k$-联盟自由集。本文研究了笛卡儿积图中的防御（进攻，强大）$k$ -联盟自由集与因子图中的防御（进攻，强大）$k$ -联…
2011-12-09 math.CO
Sets Avoiding Full-Rank Three-Point Patterns in $(\mathbb{F}_q^n)^k$ Are Exponentially Small
我们证明，如果$(\mathbb{F}_q^n)^k$（$q$的奇素数权力）的子集避免了满秩三点模式$\vec{x},\vec{x}+M_1\vec{d},\vec{x}+M_2\vec{d}$，那么它是指数小，最多$3 \cdot c_q^{nk}$的大小，其中$0.8414 q \leq c_q \leq 0.9184 q$。这推广了Kovauc的一个定理，并补充了Berger，Sah，Sawhney和Tidor的结果.因此，我们证明，如果$3$是一个正方形的$\mathbb{F}_q$然后子集的$(\mathbb{F}_q^n)^2$避免等边三角形是指数小。
2022-08-30 math.CO
Maximum scattered linear sets and MRD-codes
$\mathrm{PG}(r-1,q^n)$的分散$\mathbb{F}_q$ -线性集的秩，甚至$rn$，至多是$rn/2$，正如Blokhuis和Lavrauw所证明的。对于秩为$rn/2$的离散$\mathbb{F}_q$ -线性集，给出了$r$，$n$，$q$（甚至$rn$）的无穷多个值的存在性结果和显式构造.在本文中，我们证明了界$rn/2$是尖锐的，在其余的开放情况下。最近，Sheekey证明了最大秩$n$的$\mathrm{PG}(1,q^n)$的离散$\mathbb{F}_q$ -线性集产生$\mathbb{F}_q$ -线性MRD-码，具有维度$2n$和最小距离$n-1$。我们推广了这一结果，证明了最大秩$rn/2$的$\mathrm{PG}(r-1,q^n)$的离散$\mathbb{F}_q$ -线性集产生具有维数$rn$和最小距离$n-1$的$\mathbb{F}_q$ -线性MRD-码.
2017-01-24 math.CO
Conjugacy and Iteration of Standard Interval Rank in Finite Ordered Sets
在序理论中，秩函数度量偏序集元素的垂直“水平”。它是偏序集上的一个整值函数，它随覆盖关系而增加，并且只在分次偏序集上可用。定义任意有限偏序集的垂直测度可以通过将秩函数扩展为区间值来实现。这建立了从基偏序集到实区间上的偏序集的序同态，并且标准（规范）特定区间秩函数可用作极端情况。各种顺序关系可在区间，我们开始在本文中考虑共轭秩序的“分区”空间的两两比较的顺序元素。对我们来说，这些元素是实区间，我们认为弱和子集区间顺序（近）共轭。我们也很自然地会问，区间秩函数自反地应用于我们所选择的任何区间偏序集，从而得到区间秩的一般迭代策略。我们探讨了标准和共轭区间秩的收敛性质，并以支持这项工作所需的实验数学的讨论结束。
2014-09-23 math.CO
Combinatorics of Essential Sets for Positroids
本文将Fulton的基本集概念推广到有界仿射置换，利用其与正拟阵的双射关系研究二者联系，定义连通基本集和核，提出检索满足特定秩条件正拟阵的算法。
2024-07-02 math.CO
A new and simpler noncommutative central sets theorem
利用动力学，弗斯滕伯格定义了正整数的中心子集的概念，并证明了中心集的几个强大的组合性质。后来Bergelson和Hindman利用斯通-切赫紧化的代数结构，在B. Weiss将中心集的概念推广到任何半群，并将中心集最重要的组合性质推广到中心集定理。目前，中心集定理最有力的表述是由De，Hindman和Strauss在[3，推论3.10]中提出的。然而，他们制定的中心集定理的非交换半群相比，他们制定的交换半群，复杂。在本文中，我证明了推论3.3中的非交换中心集定理的一个更简单（但仍然同样强）的版本。
2015-03-13 math.CO
Rank-determining sets of metric graphs
度量图是有限图的一种几何实现，通过用实区间标识每条边。度量图$Γ$上的除数是$Γ$上自由阿尔贝群的元素。度量图上因子的秩（英语：rank of a divisor on a metric graph）是一个出现在度量图（或热带曲线）的黎曼-罗奇定理中的概念，由Gathmann和Kerber，以及Mikhalkin和Zharkov提出。定义度量图$Γ$的一个\emph{rank-determining set}为$Γ$的一个子集$A$，使得因子$D$在$Γ$上的秩总是等于限制在$A$上的$D$的秩.本文建设性地证明了存在有限秩决定集。此外，我们还研究了秩决定集的一般性质，并给出了秩决定集的一个判定准则。我们的分析是基于一个算法，以获得$v_0$ -简化除子从任何有效的因子在同一线性系。
2009-10-04 math.AG math.CO
Low elements and small inversion sets are in bijection in rank 3 Coxeter groups
在这个扩展的摘要中，我们宣布一个证明，在一个Coxeter群的秩3，低元素是双射与小反演集。这给出了[Dyer，Hohlweg '16]中猜想2的部分确认。同一篇文章提供了主要成分：小根集的二叉性用于传播反演多面体顶点上的信息。
2021-04-07 math.CO math.GR
High-rank subtensors of high-rank tensors
本文证明，对于包括张量秩、切片秩和划分秩在内的一类秩概念，高秩张量存在高秩子张量，且子张量的支撑集大小受控，并可在自然条件下要求支撑集两两不相交。
2026-10-05 math.CO
Linear sets on the projective line with complementary weights
射影直线上的线性集由于与块集、KM-弧和秩度量码等有着密切的联系而引起了人们的广泛关注。本文研究了具有两点互补权的线性集，即两点的权之和等于线性集的秩。作为一种特殊情况，我们研究了那些线性集有两个点的重量大于一，通过展示新的例子，并研究其等价性问题。此外，我们确定了一些线性化多项式，定义了Jena和Van de Voorde（2021）最近引入的线性集。
2021-07-22 math.CO
Sets of generators and chains of subspaces
点线几何G的秩通常定义为G的生成秩，即生成集的最小基数。然而，当G的子空间格满足交换性质时，我们也可以尝试一种不同的定义：考虑G的所有子空间链，并取它们的长度的上确界作为G的秩。如果G是双生成的，那么这两个定义产生相同的数。另一方面，正如我们将在本文中所展示的，如果需要无穷多个点来生成G，则以后一种方式定义的秩通常（也许总是）大于生成秩。因此，如果我们想保留第一个定义，我们应该相应地放弃第二个定义或修改它。我们可以修改它如下：只考虑良序链而不是任意链。正如我们将要证明的，子空间的良序链的长度的上确界确实等于生成秩。根据这一结果，极空间的秩（可能是无限的）可以被刻画为奇异子空间的良序链的长度的上确界;引用任意链将是错误的。
2019-10-31 math.CO
Gauss Sums, Jacobi Sums, and $p$-ranks of Cyclic Difference Sets
本文研究了$2^d$元的有限域$F_{2^d}$的乘法群中的二次剩余差集、GMW差集和单式超椭圆差集，它们都是$(2^d-1, 2^{d-1}-1, 2^{d-2}-1)$循环差集，并利用$d \geq 2$ .我们发现，除了少数情况下，小$d$，这些差集都是两两不等价的。这部分是通过检查他们的两个等级来完成的。除了与Segre和Glynn超椭圆相关的那些，所有这些差集的2秩都是以前已知的。我们确定由Segre和Glynn超椭圆产生的差集的2-秩，如下所示。Stickelberger的高斯和定理是用来减少这些2-秩的计算的问题，计数某些循环二进制字符串的长度$d$。这个计数问题，然后解决组合，与援助的转移矩阵法。我们给出了2秩公式的进一步应用，包括确定某些二元循环码的非零值，以及当$d$为奇数时，根据迹函数判定多项式$x^6 + x + β$在$F_{2^d}$中对$F_{2^d}^*$中的哪个$β$有零值的准则.
1998-08-28 math.CO math.NT
Partition Rank and Partition Lattices
本研究提出将分拆秩法应用于非对角张量的通用方法，通过推广相异性指示符为分拆指示符、结合有限集分拆格上的莫比乌斯反演，统一了该方法的分散应用，还推广了数论与组合几何中的多项已有结果。
2024-09-17 math.CO
On subspaces defining linear sets of maximum rank
研究最大维数 $\mathbb{F}_q$-子空间定义相同射影点的条件，并完整刻画 $r=2$ 情形。
2025-01-21 math.CO
Skeptical inferences in multi-label ranking with sets of probabilities
Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）
在本文中，我们考虑了多标签排序问题的怀疑推理问题。我们假设我们的不确定性是由一个凸概率集（即一个置信集）描述的，定义在标签集上。因此，我们不是学习一个单例预测（或者一个完整的标签排名），而是根据由完整排名组成的集值预测来寻求怀疑性推理。
2022-10-16 cs.LG math.CO stat.ML
Projective geometries in exponentially dense matroids. II
对每个正整数$a$，证明了：如果$\mathcal{M}$是一个不包含所有秩- $(a+1)$一致拟阵的次闭拟阵类，则存在一个整数$c$，使得$\mathcal{M}$中的每个秩- $r$拟阵至多能被$r^c$秩- $a$集合覆盖，或$\mathcal{M}$包含GF $(q)$ -对于某个素数幂$q$和每个秩的可表示拟阵-$\mathcal{M}$中的$r$拟阵最多可以被$cq^r$秩- $a$集合覆盖.在后一种情况下，这决定了$\mathcal{M}$中拟阵的最大密度，直到一个常数因子。
2013-06-02 math.CO
Saturating linear sets of minimal rank
本文研究有限域射影空间中饱和线性集的最小秩问题，给出达到已知下界的构造方法，并建立饱和性与散射性之间的联系，同时指出该下界在某些参数下不紧。
2023-09-21 cs.IT math.CO math.IT
Projective geometries in exponentially dense matroids. I
对每个正整数$a$，我们证明了：如果$\cM$是一个不包含所有秩- $(a+1)$一致拟阵的次闭拟阵类，则存在一个整数$n$，使得$\cM$中的每个秩- $r$拟阵可以被秩至多为$a$的至多$r^n$集覆盖，或者$\cM$包含某个素数幂$q$的$\GF(q)$ -可表示拟阵，并且$\cM$中的每个秩- $r$拟阵可以被秩至多为$a$的至多$r^nq^r$集合覆盖.这决定了$\cM$中拟阵的最大密度，直到多项式因子。
2012-09-07 math.CO
Linear Cutting Blocking Sets and Minimal Codes in the Rank Metric
这项工作调查的结构秩度量码的概念，从有限几何，最显着的$q$ -类似物的投影系统和阻塞集。我们还说明了如何将一个经典的汉明度量码的秩度量之一，在这样一种方式，各种秩度量性质自然转化为hommandy汉明度量的概念下，这种对应关系。最有趣的应用，我们的结果在于理论的最小秩度量码，我们介绍和研究从几个角度。我们的主要贡献是一个最小的秩度量码，一般存在的组合参数的基础上的结果，和一个明确的代码建设的一些参数集，使用的概念，分散的线性集的参数范围。在整个文件中，我们还显示和评论奇怪的类比/分歧之间的理论纠错码的秩和汉明度量。
2021-06-23 cs.IT math.CO math.IT
Equivalence and automorphism groups of two families of maximum scattered linear sets
有限域上的射影空间中的线性集在块集、半域、秩度量码等的研究中起着重要的作用。尽管经过二十年的研究，在射影直线中只有少数已知的最大离散线性集，包括Csajbók，Marino，Polverino和Zanella 2018构造的族，以及Csajbók，Marino，Zullo 2018构造的族（也包括Marino，Montanucci和Zullo 2020）。本文的目的是解决每个族中线性集的等价问题，并确定它们的自同构群。
2022-12-26 math.CO
A note on Brill-Noether thoery and rank determining sets for metric graphs
我们产生了度量图的模空间的开子集，其中Brill-Noether轨迹的维数大于相应的Brill-Noether数。这些图也有最小的秩确定集，比预期的大，给counterexamples罗的猜想。此外，这些图的极限具有期望维数的Brill-Noether轨迹，因此度量图的Brill-Noether轨迹的维数在族中不会连续变化。受这些例子的启发，我们研究了度量图的Brill-Noether轨迹的秩的概念，非常类似于因子秩的Baker-Norine定义。我们证明了度量图族中Brill-Noether轨迹的秩是上连续变化的，并且通过一个特殊化不等式与代数曲线的Brill-Noether轨迹的维数有关.
2011-12-09 math.AG math.CO
On the intersection problem for linear sets in the projective line
研究了有限域上射影直线上两个线性集的交问题。特别是，我们分析了两个俱乐部之间的交集最终不同的最大领域的线性。此外，我们还分析了由多项式$αx^{q^k}+βx$定义的线性集与其他具有相同秩的线性集之间的交集，这个族包含由$x^q$定义的伪正则型线性集。该策略依赖于对某些代数曲线的研究，这些曲线的有理点描述了两个线性集的交点。在其他几何和代数工具中，函数域论和Hasse-Weil界起着至关重要的作用。作为应用，我们给出了Bel秩为2的半域的渐近结果。
2020-04-20 math.CO
Saturating linear sets in PG$(2,q^4)$
本文研究PG$(2,q^4)$中割线覆盖全平面的1-饱和线性集，利用广义Gabidulin码的刻画证明其秩至少为5，回答了Bartoli等人提出的问题。
2024-02-22 math.CO
Signs in the cd-index of Eulerian partially ordered sets
一个分次偏序集是欧拉的，如果每个区间的偶数秩元素和奇数秩元素的个数相同。凸多胞体的面格是欧拉的。对于欧拉偏序集，标志向量可以有效地编码在cd索引中。多胞形的cd索引都是正数。一个重要的公开问题是给出具有非负cd-指标的欧拉偏序集的最广自然类。本文完全确定了所有欧拉偏序集的cd-指数中哪些元素是非负的。它还表明，没有其他的下限或上界的cd系数（除了c^n的系数）。
2000-01-10 math.CO
Classes and equivalence of linear sets in $PG(1,q^n)$
研究了$PG(1,q^n)$的秩为n的$\mathbb{F}_q$ -线性集的等价性问题，包括伴随簇、投影配置、$\mathbb{F}_q$ -Rédei型线性块集和MRD-码.
2016-07-23 math.CO
Fooling sets and rank
如果$n\times n$矩阵$M$的对角线项非零，则它被称为\textit{fooling-set matrix of size $n$}，并且对于每个$k\ne \ell$都是$M_{k,\ell} M_{\ell,k} = 0$。Dietzfelbinger、Hromkovi和Schnitger（1996）证明了$n \le (\mbox{rk} M)^2$，无论在哪个字段上计算秩，并询问是否可以改进$\mbox{rk} M$上的指数。我们解决这个问题。在特征零点，我们构造了一个无限族的有理傻瓜集矩阵的大小为$n = \binom{\mbox{rk} M+1}{2}$。在非零特征下，我们构造了一类具有$n= (1+o(1))(\mbox{rk} M)^2$的矩阵无穷族。
2014-01-16 cs.CC math.CO
Expectations of Tutte-related functions of random ranked sets with multiplicities
采用两种模型，我们表明，各种计数函数的随机变量定义的限制或收缩的排名集的多重性（例如，经典和算术拟阵）具有由相应的多元Tutte多项式给出的期望。第一个模型基于Kung（2010）卷积公式的推广，从拟阵扩展到具有多重性的排序集。该模型使我们能够计算许多常见多项式的期望，如色多项式，流多项式和Ehrhart多项式，推广了Welsh（1996）关于随机图的经典结果。第二个模型被设计来计算不变量的期望值，这些不变量通常不是上面提到的多项式的求值，例如阿贝尔李群排列中超曲面相交的连通分量的数量，以及半开带形中的格点的数量。特别是，这两个模型产生新的概率解释的算术Tutte多项式和$G$ -Tutte多项式。一个简单的，但似乎是新的卷积式的Ehrhart多项式的格zonotopes公式也将给出。
2020-03-16 math.CO math.PR
New MRD codes from linear cutting blocking sets
最小秩度量码或等价的线性截块集的特征在于第二广义秩权重，通过它们与相关的$q$ -系统的回避性质的连接。使用这个结果，我们提供了第一个家庭的$\mathbb{F}_{q^m}$ -线性MRD码的长度$2m$，而不是作为一个直和的两个较小的MRD码。此外，这样的家庭有更好的参数，因为它的代码具有广义秩权重严格大于那些以前已知的MRD码。这表明并非所有的MRD码都具有相同的广义秩权重，与汉明度量设置中发生的情况相反。
2022-09-06 cs.IT math.CO math.IT
Some New Modular Rank Four Nahm Sums as Lift-dual of Rank Three Examples
本文通过对Zagier及作者工作中的三阶模性Nahm和应用提升对偶操作，发现九组可能模性的四阶Nahm和，证明其中四组的模性并给出若干猜想恒等式，推进了Nahm和的模性研究。
2025-08-17 math.CO math.NT
Kochen-Specker Sets and the Rank-1 Quantum Chromatic Number
图$G$的量子色数被夹在图的色数和团数之间，这两个量是众所周知的NP-困难量。我们限制我们的注意力的秩-1量子色数$χ_q^{(1)}(G)$，上限的量子色数，但定义在更强的约束。研究了它与色数$χ(G)$和正交表示$ξ(G)$的最小维数的关系.已知$ξ(G) \leq χ_q^{(1)}(G) \leq χ(G)$ .我们回答了有关这些关系的三个悬而未决的问题：我们给出了具有$ξ(G) = χ_q^{(1)}(G)$的充分必要条件，我们展示了一类图，使得$ξ(G) < χ_q^{(1)}(G)$，并且我们给出了具有$χ_q^{(1)}(G) < χ(G)$的充分必要条件。我们的主要工具是Kochen-Specker集，向量集合在物理理论的非上下文性研究中具有传统的重要作用，最近在量子零错误能力的量化中也有重要作用。最后，作为我们的结果和Avis，Hasegawa，Kikuchi和Sasaki关于量子色数的结果的推论，我们给出了一族增长维数的Kochen-Specker集。
2011-06-03 math.CO quant-ph
On the dimension of max-min convex sets
遵循热带凸性的方法，我们引入了最大-最小凸集的维度的概念。我们引入一个极大极小模拟热带秩的矩阵，并表明它是等于相关的多面体的维数。我们描述了这种秩与极大极小代数中强正则性概念之间的关系，强正则性概念传统上是根据线性系的唯一可解性和梯形性质来定义的。
2014-01-17 math.CO math.MG
On algebras associated to partially ordered sets
我们继续研究有限偏序集上环的层。我们提出的例子，其中的环的整体瓣符合复曲面的面孔环，由单项式理想和代数的多项式环与拉直法律。我们证明了一个秩选择定理，它推广了著名的Stanley-Reisner环的秩选择定理。最后，我们确定了一个明确的介绍某些全球环的部分。
2005-07-18 math.AC math.CO
Hilbert cubes in arithmetic sets
我们给出了Hilbert立方体$H=a_0+\{0,a_1\}+\cdots + \{0, a_d\}\subset S \cap [1, N]$在几个算术兴趣集$S$中的最大维数$d$的上界，如平方、幂数和纯幂。
2015-10-18 math.CO math.NT
Multiple typical ranks in matrix completion
本文研究实数域上矩阵补全的典型秩问题，证明多类指定元素集合只有一个典型秩，并刻画了具有两个典型秩的循环图族，完整确定了部分情形下的典型秩。
2025-03-12 math.AG math.CO
Explicit Rank Extractors and Subspace Designs via Function Fields, with Applications to Strong Blocking Sets
The Ohio State University（俄亥俄州立大学）；Shandong University（山东大学）
本文提出显式构造有限域上秩提取器、弱子空间设计及强s-阻集的方法，改进了非显式构造的边界，适用于小域情形。
2026-09-02 cs.IT math.CO math.IT
Clubs in projective spaces and three-weight rank-metric codes
该文研究高维射影空间中$i$-club的结构，通过关联秩度量码与MacWilliams恒等式推导秩上界，给出多类显式构造与分类结果，并拓展构造了三重量秩度量码。
2025-08-01 cs.IT math.CO math.IT
