高秩张量的高秩子张量
High-rank subtensors of high-rank tensors
AI总结：
本文证明，对于包括张量秩、切片秩和划分秩在内的一类秩概念，高秩张量存在高秩子张量，且子张量的支撑集大小受控，并可在自然条件下要求支撑集两两不相交。
摘要：
设 $d \ge 2$ 为整数。我们证明，对于一类阶为 $d$ 的张量的秩概念 $R$（特别包括张量秩、切片秩和划分秩），存在函数 $F_{d,R}$ 和 $G_{d,R}$，使得如果一个阶为 $d$ 的张量的 $R$-秩至少为 $G_{d,R}(l)$，那么我们可以将其条目限制到集合 $X_1 \times \dots \times X_d$ 的乘积上，使得该限制的 $R$-秩至少为 $l$，并且集合 $X_1, \dots, X_d$ 的大小均至多为 $F_{d,R}(l)$。此外，我们的证明方法允许我们证明，在一个非常自然的条件下，我们可以要求集合 $X_1, \dots, X_d$ 两两不相交。
英文摘要：
Let $d \ge 2$ be an integer. We show that for a class of notions $R$ of rank for order-$d$ tensors, which includes in particular the tensor rank, the slice rank and the partition rank, there exist functions $F_{d,R}$ and $G_{d,R}$ such that if an order-$d$ tensor has $R$-rank at least $G_{d,R}(l)$ then we can restrict its entries to a product of sets $X_1 \times \dots \times X_d$ such that the restriction has $R$-rank at least $l$ and the sets $X_1, \dots, X_d$ each have size at most $F_{d,R}(l)$. Furthermore, our proof methods allow us to show that under a very natural condition we can require the sets $X_1, \dots, X_d$ to be pairwise disjoint.
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