Set Equality in Combinatorial Game Theory
Michael J. J. Barry
在组合对策论中，博弈等价的基本关系，用$=$表示，是在早期引入的，它取代了集合相等的概念。我们探讨会发生什么，如果设置平等是由于之前的游戏等价介绍。
In Combinatorial Game Theory, the fundamental relation of game equivalence, denoted by $=$, is introduced early on and overrides the notion of set equality. We explore what happens if set equality is given its due before game equivalence is introduced.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Tame and Wild Scoring Play Games
在本文中，我们将证明数学得分发挥组合对策论涵盖所有的组合游戏。也就是说，存在与正常玩耍游戏的集合相同的得分玩耍游戏的子集，以及与吝啬玩耍游戏的集合相同的不同子集。这最终证明，得分发挥组合对策论是一个完整的理论组合游戏，每一个组合游戏，无论规则集，可以分析使用得分发挥组合对策论。
When waiting moves you in scoring combinatorial games
组合计分游戏的特点是，具有“额外的传球动作对球员没有伤害”的属性。的表征涉及到康威的正常发挥游戏的顺序嵌入。此外，我们给出了一个定理比较游戏的分数（数字），扩展Ettinger的工作双子叶植物得分游戏。
Equality Classes of Nim Positions under Misère Play
我们确定了两种等价关系下尼姆位置的misère等价类：一种是基于与其他公平博弈的析取和，另一种是基于与partizan博弈的允许和。在公正的上下文中，我们能做的唯一标识是那些来自于添加大小为1的堆的已知事实的标识。在游击队的背景下，不同的尼姆立场是不等价的。
Scoring Play Combinatorial Games
本论文将讨论计分型组合游戏，并探讨这些游戏在不同运算子下的一般结构。我还将研究评分公平游戏的Sprague-Grundy值，并证明有一个易于计算的函数可以轻松解决大范围的八进制游戏。我还将证明我的理论可以很容易地应用于围棋的得分游戏，并可以导致对游戏的更深入的理解。
An investigation into the application of genetic programming to combinatorial game theory
遗传编程是使用代表函数操作的基因的交叉和变异来进化公式的实践。出于遗传进化，我们开发和解决两个组合游戏，我们展示了一些优势和陷阱，使用遗传规划研究格兰迪值。最后，我们调查的组合游戏，其规则和起始位置的启发遗传结构。
Scoring Play Combinatorial Games Under Different Operators
得分游戏最早是由弗雷泽·斯图尔特（Fraser Stewart）在他的博士论文中研究的。他证明了在选言和下，得分博弈是部分有序的，但不具有正常博弈的“好”结构。在本文中，我将考虑在John Conway，William Stromquist和David Ullman给出的三种不同操作符下进行游戏，即合取和，选择性和和顺序连接。
The Combinatorial Game Theory of Rex+
本文研究了Hex变体游戏Rex+的组合博弈论，通过引入新序关系并给出初步结果，分析了玩家轮流放置任意数量己方棋子以迫使对方连接两边的策略。
An Extension of the Normal Play Convention to $N$-player Combinatorial Games
我们研究短期组合游戏的三个或三个以上的球员在一个新的发挥公约，其中一个球员谁不能移动轮到他们是唯一的输家。我们发现，许多定理的公正和partizan两个球员的游戏正常发挥有自然的类似物在此设置。对于三人公平博弈，我们详细研究了求和的可能结果，并确定了三人Nim的结果和结构。
Isomorphism Theorems for Impartial Combinatorial Games
该研究引入选项图与选项保持映射的范畴作为无偏组合博弈研究模型，证明泛代数四同构定理在此范畴成立，提出商选项图可简化博弈分析。
Taming the wild in impartial combinatorial games
我们在公平组合对策论中引入了一个Misere商半群的构造，并论证了它是正常博弈的Sprague-Grundy理论对Misere博弈的自然推广.一路上，我们说明了如何使用该理论来描述两个野生采取和打破游戏的完整分析。
Combinatorial games played randomly: Chomp and nim
该研究针对双方随机走子的组合博弈模型，推导了任意起始条件下Chomp博弈的期望回合数闭式解、两行及以内Chomp的获胜概率公式，并完整分析了随机对弈下nim博弈的期望回合数与获胜概率。
Toward a Combinatorial Theory of SET and Related Card Games
我们定义了一个自然等价关系的收集卡从纸牌游戏SET，并列举了一些等价类，大大推广了标准的游戏。在此基础上，我们描述了几个可选的游戏SET甲板，包括游戏的STUN，其中的目标是找到三张卡，每个属性正好有两个值。
The Game Value of Sequential Compounds of Integers and Stars
本文研究了组合博弈论中由 Stromquist 和 Ullman 提出的序列复合的一般性质，并给出了有限个整数与星等基础博弈的序列复合的博弈值。
Error-correcting codes derived from combinatorial games
某些组合博弈的"丢失位置”构成线性错误检测和纠正码。我们表明，一个大类的游戏，可以投在形式的 * 湮灭游戏 *，提供了一个潜在的多项式方法计算代码（*anncodes*）。我们还给出了一个简短的证明，以前已知的 *lexicodes*，这是通过指数算法定义的基本属性，并与对策论。字典码的集合被看作是构成一个子集的集合的anncodes。在最后一节中，我们指出，通过一个例子，如何生产lexicodes的方法可以最佳地应用到寻找anncodes。一些扩展被指出。
Mind the gap: A real-valued distance on combinatorial games
本文提出了一种用于短组合游戏的实值距离度量，研究了其闭包性质及循环游戏的拓扑结构。
Impartial Games with Activeness
本文提出了一种新的无偏游戏框架，即具有活跃性的无偏游戏，其中游戏状态可变，不连通和在所有组件变为不活跃时结束。
Combinatorial Aspects of the Card Game War
本文研究了有限副牌上的单花色纸牌游戏War。玩家如何把赢来的牌放回手中有不同的方法，但我们主要考虑随机放回牌，并确定性地总是把赢的牌放在输的牌之前。定义了\emph{passthrough}的概念，它是指玩家从游戏中的特定点开始玩完手中的所有牌。我们考虑第二个玩家在第一次传球时获胜的博弈。我们介绍了几个与游戏相关的组合对象：游戏图，输赢序列，输赢二叉树和游戏偏序集。我们展示了这些对象是如何相互关联的。我们根据轮数和密码数来枚举状态。
Cofinite Induced Subgraphs of Impartial Combinatorial Games: An Analysis of CIS-Nim
给定一个公平的组合博弈G，我们通过在G中指定一个有限集的位置，并禁止参与者移动到这些位置来创建一类相关博弈（CIS-G）（保留所有其他博弈规则不变）。这样的修改相当于取原博弈图的余有限诱导子图（CIS）。最近的一些数值/启发式的工作表明，这种“CIS游戏”的基本结构和行为可以揭示新的光，并承担有趣的关系，从原来的游戏，他们是派生。本文给出了（三堆）Nim博弈的上有限诱导子图的一个解析处理。这是CIS博弈中最简单的非平凡情形之一。我们的主要发现是，尽管CIS-Nim博弈中获胜策略的结构与Nim博弈中获胜策略的结构有很大不同，但CIS-Nim博弈继承了Nim博弈中的周期二尺度不变性。
Combinatorial Games and the Golden Ratio on Digraphs
本文引入了名为三角游戏的新型组合游戏，探讨了有向3环图上的策略与misère玩法，并揭示黄金分割比在游戏分析中的关键作用。
Combinatorial Analysis of a Subtraction Game on Graphs
我们定义了一个两个球员的组合游戏中，球员轮流轮流，每一轮包括删除一个顶点的图，连同所有的边缘包含这样的顶点。如果任何顶点被玩家的移动孤立，那么它也会被删除。当另一个玩家没有可用的移动时，一个玩家赢得游戏。我们研究这个游戏在不同的观点：通过寻找特定的战略，某些家庭的图形，通过使用图形的自同构群的属性，通过编写一个程序来看看Sprague-Grundy数，并通过研究游戏时，随机图。当分析在路径上玩的Grim时，使用Sprague-Grundy函数，我们发现了一个关于八进制游戏的悬而未决的问题。
Metric dimension of combinatorial game graphs
组合游戏的研究与图的研究密切相关，因为任何游戏都可以实现为有向图，其中玩家轮流遍历边，直到到达水槽。然而，迄今为止，很少有人努力使用图论度量和技术来分析博弈图。图$G$中的顶点集$S$分解$G$，如果$G$中的每个顶点都由它到$S$中的顶点的距离的向量唯一确定。$G$的度量基是一个最小分解集，度量维数是度量基的基数。在这篇文章中，我们研究了一些规则集所产生的图的度量维数，包括短博弈（那些肯定会在200多圈后结束的博弈）和循环博弈（那些相关图包含循环的博弈）。
Scoring Play Combinatorial Games
在本文中，我们将讨论得分游戏。我们将给出得分游戏的基本定义，并表明它们形成了一个定义良好的集合，在这些定义下具有清晰和独特的结果类。我们还将证明，在析取和下，这些游戏形成一个幺半群，是封闭的和偏序的。我们还表明，他们形成等价类的标准形式，即使它不是唯一的，它是作为一个唯一的标准形式。
The combinatorial game theory of Reverse Hex
本文研究反向赫克斯游戏，通过组合博弈理论分析其位置，探讨如何判断位置优劣、简化位置及特殊性质，最终实现通过分解位置确定胜负。
Combinatorial Game Distributions of Steiner Systems
某些组合对策的$\mathscr{P}$ -位置集具有特殊的组合结构。例如，由Conway和Ryba首先研究的十六进制游戏的$\mathscr{P}$ -位置集是Steiner系统$S(5, 6, 12)$在洗牌编号中的块集，$\mathcal{D}_{\text{sh}}$。然而，很少有已知的游戏与斯坦纳系统有关，如hexad游戏。对于给定的Steiner系统，我们构造了一个对策，其$\mathscr{P}$ -位置集就是它的块集.通过构造博弈，我们得到了以下两个结果。首先，我们用点集$\{0, 1, \ldots, 11\}$刻画了5040个同构$S(5, 6, 12)$中的$\mathcal{D}_{\text{sh}}$。对于每个$S(5, 6, 12)$，我们的构造产生一个博弈，其$\mathscr{P}$ -位置集是它的块集。从$\mathcal{D}_{\text{sh}}$，我们得到了六角博弈，并且这个博弈被刻画为在所得到的5040个博弈中位置数最少的唯一博弈。其次，我们利用博弈分布刻画了投射Steiner三元系。这里，Steiner系统$\mathcal{D}$的博弈分布是从同构于$\mathcal{D}$的Steiner系统获得的博弈中的位置数的频率分布。我们发现$S(t, t + 1, v)$的博弈分布可以分解成对称分量，并且Steiner三元系是投射的当且仅…
Take-Away Impartial Combinatorial Games on Hypergraphs and Other Related Geometric and Discrete Structures
在超图的拿走游戏中，两个玩家轮流移除超图的顶点和超边。在每个回合中，玩家必须移除一个顶点或一个超边。当玩家选择移除一个顶点时，包含所选顶点的所有超边也会被移除。当一个玩家选择移除一个超边时，只有那个被选择的超边会被移除。去掉最后一个顶点的人赢得比赛。在仅奇一致超图和仅等一致超图上的带离公平组合对策的获胜策略的基础上，本文研究了非奇一致超图和非等一致超图上带离公平组合对策的新的获胜策略。然而，这些既不是奇一致超图，也不是完全一致超图，必须满足特定的给定要求。
Various Diamond Properties in Combinatorial Game Theory
本文提出了一种统一的钻石框架，用于研究组合博弈中位置的简单值条件，并证明了二分图上Yashima博弈每个位置具有整数对值。
On the Existence of Optimal Strategies in a Combinatorial Game
本研究针对源自德国全国数学竞赛的组合博弈，提出依赖初始集合规模和固定除数的广义版本，证明偶数规模集合后手必胜、多数奇数规模情形先手有必胜策略，并通过网页实现验证部分结果。
On the combinatorial value of Hex positions
我们开发了一个理论的组合游戏，是适当的描述位置在十六进制和其他单调集着色游戏。我们考虑这样的游戏的两个自然条件：一个游戏是单调的，如果所有的移动提供给两个球员都是好的，并通过，如果在每个位置，至少有一个球员至少有一个好的移动可用。后一个条件相当于说，如果允许传球，没有球员会从传球中受益。显然，每一个单调的游戏是通行证，我们证明，反之亦然的游戏。我们给出了一些例子，说明如何将这个理论应用于六角位置的分析。
On numbers and endgames: Combinatorial game theory in chess endgames
在调查的应用组合对策论国际象棋，我们构建新的相互Zugzwang位置，解释了一个神秘的棋子残局从“指南国际象棋结局”（Euwe和胡珀），显示位置包含非整数值（分数，开关，tinies，和循环游戏），并提出开放的问题，可能实现的价值观，无论是在标准或非标准的棋盘上的位置。
Simultaneous Combinatorial Game Theory
组合对策论（CGT），由Berlekamp、Conway和Guy提出，涉及两个在完全信息零和对策中交替移动的参与者，并且没有机会装置。此外，游戏具有有限下降属性（每个游戏终止于有限数量的移动）。这两个球员通常被称为左和右。游戏通常分为多个组件，玩家必须选择其中一个组件进行游戏。CGT的一个主要目的是单独分析各个组成部分（而不是分析整体），然后使用这些信息来分析总和。在本文中，局中人同时行动的组合对策。三个总和被认为是由终止规则定义的：（i）一个组件没有同时移动;（ii）没有组件有一个同时移动;（iii）一个球员没有任何组件移动。这些都与获胜惯例相结合，获胜惯例是：（i）基于哪个玩家剩下的移动;或（ii）最大的分数。在每一个组合中，我们表明，平等的游戏诱导一个等价关系和等价类是偏序的。此外，在可能的情况下，给定游戏$A$和$B$，我们进行检查以确定Left是否更喜欢在求和中用$B$替换$A$。
Absolute Combinatorial Game Theory
我们为组合对策论中的标准约定提出了一个统一的可加性理论，包括Berlekamp、Conway、Dorbec、Ettinger、Guy、Larsson、Milley、Neto、Nowakowski、Renault、Santos、Siegel、Spena、Stewart（1976-2019）等研究的正常、吝啬和得分博弈。博弈{ \em universe}是满足某些标准封闭性的博弈集合。在这里，我们揭示了当基本的游戏比较问题，``是$G\su H$？“，简化为一个建设性的”本地“的解决方案，这推广了康威的基本结果在ONAG（1976）的正常发挥游戏。只要给定的游戏宇宙是{ \em绝对}，这就以广泛和一般的方式发生。在绝对宇宙中的游戏满足两个属性，称为{ \em parentality}和{ \em saturation}，我们证明了后者是由前者所隐含的。亲合性意味着任何一对非空的有限博弈集都可以作为选项，饱和性意味着，给定任何博弈，第一个博弈者可以在析取和中得到青睐。博弈比较是组合对策论的核心，例如，势归约定理的效率依赖于局部比较。我们区分三个层次的游戏比较;上级（全球），基本（半建设性）和下级（本地）的比较。在证明中，CGT的研究人员有时会面临一个乏味的挑战：为了证明不等式是错误的，可能需要一个显式的区分博弈。在这里，我们解释了当宇宙是绝对的时候，这个工作是如何变得过时的。也就是说，只…
Partisan Combinatorial Game of Edge and Vertex Removal on Graphs
我们考虑三个变种的两个球员之间的党派组合游戏，左和右，发挥无向单图。“左”能够删除顶点（和关联边），而“右”能够删除边。这个类似的公平游戏的自然扩张通过允许一个玩家在另一个玩家不能的小的子图上玩的能力而给了一个玩家明显的优势。我们的最后一个变体通过假设一个移动对一个玩家有效当且仅当另一个玩家在同一个图上有一个有效的移动来消除这个优势。在这种情况下，我们表明，删除顶点的能力是更有利的删除边缘相比。
Padlock Solitaire: A martingale trick for combinatorial enumeration
我们介绍一个人的游戏，我们称之为挂锁接龙，类似于著名的时钟纸牌游戏。分析这个游戏的变种，我们得到一些经典的组合学结果，包括选票定理和枚举的各种图和超图的生成树的简单证明。
Series of combinatorial games
本文提出组合博弈序列的求和定义，使其在实数收敛序列和序数序列情形下分别兼容经典求和与无穷自然和，并探讨了字符串极限、Hackenbush 变体及无环超限无穷和等扩展。
Indecomposable combinatorial games
该研究针对组合博弈论中短博弈形式的不可分解性问题，刻画了不可分解尼姆数和不可分解超实数的判定条件，明确了尼姆数不可分解等价于大小为2的幂、数不可分解等价于绝对值不大于1的结论。
Infinite sums of combinatorial games (Dadaist games)
本文提出组合博弈无穷和的解释，探讨包含无穷运行但无循环的博弈，并指出交替运行概念存在多种可能性。
Mathematical aspect of the combinatorial game "Mahjong"
我们说明了如何使用基本的组合理论和计算机编程技术（Python）来分析组合游戏：麻将。结果证实了一些关于游戏的民间传说，并揭示了一些意想不到的结果。相关的结果和未来可能的研究与人工智能提到。对该主题感兴趣的读者可以进一步开发技术，以加深对游戏的研究，或研究其他组合游戏。
The strange algebra of combinatorial games
我们提出了一个分析组合博弈的代数框架。这个框架包含了partizan游戏的经典理论，以及一些misere游戏，遵守约束游戏，和纸牌游戏，最近已经研究。它的重点是建设商幺半群的游戏，一个想法，已成功地应用于几类游戏。
A Combinatorial Generalization of a Random-Player Game
通过将博弈与随机排列的循环分解耦合，将随机玩家与确定性玩家的博弈推广到每次移除q个元素的情形，并证明获胜概率由排列的第一个短循环决定。
A Ring structure on the Class of Combinatorial Games
本文探讨了组合博弈类在更精细等价关系下的环结构，提出了一种新的等价关系，并指出其他可能的等价关系。
Playability and arbitrarily large rat games
在1973年弗伦克尔发现有趣的序列分裂的正整数。这些序列变得著名，因为一个相关的未解决的猜想。在这里，我们构建组合游戏，与“可玩”的规则集，这些序列构成第二个玩家的获胜位置。关键词：组合博弈，Fraenkel猜想，公平博弈，正常博弈，可玩性，有理模，分裂序列
Combinatorial Game Theory, Well-Tempered Scoring Games, and a Knot Game
我们首先回顾和证明组合对策论的基本事实。然后，我们考虑得分游戏（也称为米尔诺游戏或位置游戏），专注于“固定长度”的游戏，其中所有的游戏序列在相同数量的移动后终止。固定长度的得分游戏的理论被证明具有类似于循环组合游戏的理论，与操作类似的onsides和offsides的属性。我们用短分对策类给出了定长得分对策的结构的完整描述。我们还考虑了在二元布尔代数中取值的固定长度的得分游戏，并将这些游戏分类为不可分的。然后，我们应用这些结果来分析Pechenik，Townsend，Henrich，MacNaughton和Silversmith的打结-解开游戏中的一些位置。
An Introduction to Conway's Games and Numbers
这是对约翰·康威美丽的组合对策论的介绍，为他的理论的基本部分提供了精确的陈述和详细的证明。(1)组合对策论，（2）对策群，（3）数域，（4）序数，（5）对策与数，（6）无穷小对策，（7）公平对策。
A Finite Automaton Approach to Combinatorial Games
本研究将有限自动机用于组合博弈自动求解，提出两阶段算法、广义 misère 商，解决 Kotzig's nim 等博弈的关键猜想，为组合博弈论提供新工具与范式。
Tatami Maker: A combinatorially rich mechanical game board
日本的榻榻米垫子通常是四个垫子不相接触的。这种局部限制施加了丰富的组合结构时，适用于monomino-domino覆盖的直线网格。我们描述了一个模块化的机械游戏板，原型与桌面3D打印机，强制执行这一限制，并将榻榻米纸笔拼图转换成互动雕塑。我们回顾了最近的一些数学发现的榻榻米覆盖物，并提出了五个新的组合游戏的游戏板上实现。
Erratum to: Lattice point methods for combinatorial games
我们在论文的出版版本中更正了定义6.3、命题6.7和第7节。
Hopeful windows and fractals in cellular automata and combinatorial games
本文研究了2人公平组合博弈，其结果对应于元胞自动机（CA）的更新，它推广了Wolfram的基本规则60和规则110（Cook 2004）。游戏扩展了\emph{triangle placing games}（Larsson 2013）的类别，在游戏的每个阶段，前一个玩家都可以选择阻止下一个玩家的某些有希望的移动。我们还研究了CA的一个子类中的分形和部分收敛性。
A Symbolic Finite-state approach for Automated Proving of Theorems in Combinatorial Game Theory
我们开发了一个有限状态自动机的方法，实现在一个Maple包{ \tt ToadsAndFrogs}，可从我们的网站上，为programming，然后严格证明，值为大家庭的位置在理查德盖伊的组合游戏"蟾蜍和青蛙“。特别地，我们证明了Jeff Erickson的猜想。
Combinatorial Games with a Pass: A dynamical systems approach
通过将组合博弈视为动力系统，我们能够解决组合对策论中一个长期悬而未决的问题，即引入“传球”移动到博弈中如何影响其行为。我们考虑两个著名的组合游戏，3-堆尼姆和3-行Chomp。在Nim的例子中，我们观察到传球的引入极大地改变了游戏的底层结构，使其变得更加复杂，而对于Chomp，传球移动的影响相对较小。我们展示了如何通过将这些游戏重新描述为可由动态递归关系描述的动力系统来理解这些结果。从这些递归关系中，我们能够识别出这些“传球游戏”和最近引入的一类“一般（扰动）游戏”之间的潜在结构联系。“这种联系，加上（非严格的）数值稳定性分析，使人们能够理解和预测传球对比赛的影响。
The Combinatorial Game Theory of Well-Tempered Scoring Games
我们考虑一类“脾气好”的整数值得分游戏，它具有的属性，奇偶性的游戏的长度是独立的线的发挥。我们考虑这些游戏的析取和，并为他们开发一个理论类似于标准理论的析取和正常发挥partizan游戏。我们表明，幺半群的好脾气的得分游戏模不可撤销性是cancellative，但不是一个群体，我们描述了它的结构在正常发挥partizan游戏组。我们还分类布尔值的好脾气的得分游戏，显示有正好70，等价。
Atomic weights and the combinatorial game of Bipass
我们定义了一个所有的小规则，Bipass，正常发挥组合游戏的框架内。一种游戏是在有限的黑白相间的石头上进行的。不同颜色的石头交换，只要他们不绕过自己的同类之一。我们发现了一个满射函数从条到整数原子量（Berlekamp，Conway和Guy 1982），它测量了所有小游戏中的单位数。这一结果为许多博弈提供了明确的获胜策略，在没有的情况下，它给出了规范形式博弈值的狭窄范围。我们证明了博弈值 *2并不表现为一个Bipass的析取和。此外，我们找到了一些参数化的游戏族的游戏值，包括无限数量的价值 * 条。
All passable games are realizable as monotone set coloring games
证明所有可过游戏可单调集着色游戏实现，
Tron, a combinatorial Game on abstract Graphs
我们研究了组合二人游戏Tron。我们回答一般图的极值问题，也考虑较小的图形类。Bodlaender和Kloks在[2] PSPACE-完整性中进行了猜想。我们证明了这个猜想。
Simplicial Complexes are Game Complexes
强布局对策（SP-对策）是一类组合对策，其结构允许人们通过单纯复形来描述对策。一个自然的问题是，是否众所周知的组合游戏的不变量，如“游戏值”，出现作为单纯复形的不变量。本文件是朝着这个方向迈出的第一步。我们证明了每一个单纯复形都编码了一种SP-对策（称为“不变SP-对策”），这种SP-对策的规则与它所处的棋盘无关，我们还证明了在这类SP-对策中，同构的单纯复形对应于同构的对策树，因此具有相等的对策值.我们还研究了SP-对策的一个子类对应的旗复合体，表明总是有一个游戏，其对应的复杂性是一个旗复合体，无论它是在哪一个板上玩。
Constructive comparison in bidding combinatorial games
本文针对投标组合博弈的比较问题，提出一种算法化玩法解决方案，推广了交替正常玩法中的经典博弈比较技术，并揭示了整数、二进分数等结构性质及博弈 * 的不可逆性，同时提出若干开放问题。
Lattice point methods for combinatorial games
我们编码任意有限公平组合游戏的有理凸多面体的格点。由这些\emph{lattice games}提供的编码对于八进制游戏特别有效，我们将其推广到\emph{squarefree games}。这些还包括自然环境中的所有堆游戏，其中正常游戏的Sprague-Grundy定理以几何形式表现出来。我们提供了一个算法来计算正常的播放策略。格子游戏的设置自然允许mis 'ere play，其中0被宣布为失败的位置。格子博弈也允许更大的有限位置集被宣布失败的情况。获胜位置集的生成函数为格游戏的策略提供了数据结构。我们猜想每个格对策都有一个\emph{rational strategy}：一个其获胜位置的有理生成函数。此外，我们猜想，每个格游戏有一个\emph{affine stratification}：一个分区的一组获胜的位置到一个有限的不相交的并有限生成模仿射半群。
Combinatorial simplex algorithms can solve mean payoff games
组合单纯形算法是单纯形法的一个实例，其中主元仅依赖于组合数据。我们表明，这种算法承认热带模拟，可用于解决平均收益游戏。此外，任何具有强多项式复杂性的组合单纯形算法（这样的算法的存在是开放的）将以这种方式提供求解平均支付博弈的强多项式算法。平均支付博弈是NP和co-NP的，它们是否可以在多项式时间内解决是一个开放的问题。我们的算法依赖于一个热带实施的单纯形法在一个实封闭的领域的哈恩系列。其中一个关键因素是一种新的符号扰动方案，它允许我们将任意平均回报游戏实例提升为哈恩级数上的非退化线性规划。
Structural Relations of Symmetry among Players in Strategic Games
战略博弈中的对称性和匿名性的概念在文献中已经以不同的方式形式化。我们提出了一个组合的框架来分析这些概念，使用群作用。然后，同样的框架被用来定义部分对称的支付矩阵。为了达到这个目的，我们引入了一个玩家扮演的角色相对于另一个玩家的概念，并研究了角色之间的组合关系。在此基础上，我们直接定义了玩家之间的关系，这提供了战略博弈的支付矩阵中结构对称性的另一个表征。
Game semantics of universes
这项工作扩展了作者的计算游戏语义的马丁-洛夫型理论的累积层次的宇宙。这个扩展在现代游戏语义学30年的历史中首次完成了Martin-Löf类型理论所有标准类型的游戏语义。因此，游戏语义的强大的组合推理变得可用于研究由它们生成的宇宙和类型。实现宇宙的博弈语义的一个主要挑战来自身份类型和宇宙之间的冲突：由宇宙编码身份类型的朴素博弈语义导致了函数之间相等的决策过程，这与递归论中的一个众所周知的事实相矛盾。我们通过新颖的宇宙游戏克服了这个问题，这些游戏为身份类型编码游戏，而不决定平等。
Cheating Robot Games: A model for insider information
组合游戏是两个玩家的纯策略游戏，其中玩家，通常称为左和右，交替移动。在本文中，我们介绍了作弊机器人游戏。这些问题来自于一个玩家拥有内幕信息（“作弊”）的恶意组合游戏。游戏以回合进行。在一轮比赛开始时，双方球员都知道他们可以采取的行动。左选择一步。知道左的行动，右然后选择一个行动。右派的行动不受左派选择的限制。直到双方玩家都做出选择，这一轮才结束。只有当一个或两个玩家在一轮开始时没有移动时，游戏才结束。知道左的行动，右选择一步，使游戏确定性，区别于同时游戏。此外，结束条件将这类游戏与组合游戏区分开来，因为结果现在是左赢，右赢和平局。给出了博弈的基本理论和性质，包括博弈的等价关系和偏序关系。虽然没有逆类的所有游戏，我们表明，有一个子类，简单的热游戏，其中的整数有逆。在这一子类中，最优策略是通过求解一个顶点数等于析取和中被加数的图上的最小权匹配问题而得到的。
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