A Complete Classification of Ideal Chomp Games on Low-Rank Algebras
本文完整分类了秩至多为6的$\ar{K}$-代数上Ideal Chomp Game的获胜策略，证明除五种特定情况外玩家A均有获胜策略，方法结合了博弈论分析、Artinian环结构理论与计算验证。
2025-11-03 math.CO math.RA
Nim on the Complete Graph
图上的尼姆游戏是在《尼姆论图I》中引入的，并在福山雅彦的《尼姆论图II》中扩展。他的论文详细计算格兰迪数的图形在特定情况下。我们推广了这些结果，并引入了偶数周期的策略。本文研究了一类更一般的图，限制边的重量。我们提供了结构性的条件，在这些条件下，存在着一种获胜的策略。这就产生了完全图的解。
2010-10-07 math.CO
Multi-Dimensional Chocolate and Nim with a Pass
巧克力棒游戏是CHOMP游戏的变体。三维巧克力条包括一组尺寸为1 X 1 X 1的立方体盒，其中苦味立方体盒位于列的底部位置（0，0）处。对于非负整数u、w，使得u < x且w 1 < z，在位置（u，w）处的列的高度是min（F（u，w），y）+1，其中F是单调增函数。我们将该巧克力棒表示为CB（F，x，y，z）。每个玩家依次在水平或垂直的平面上沿着凹槽切割酒吧，并吃掉碎片。玩家谁设法离开对手与单一苦立方框是赢家。在这项研究中，函数F，使得CB（F，x，y，z）的Sprague-Grundy值是xxor yxor z的特点。我们已经发表了关于三维巧克力游戏的研究。本文研究了一个多维巧克力博弈，其中维数大于3，并将其应用于Nim中的传球问题。我们修改了游戏的标准规则，允许一次性传球，也就是说，一个传球动作在游戏中最多只能使用一次，而不是从终端位置。一旦一个传球被任何一个球员使用，它就不再可用。众所周知，在经典的尼姆游戏中，传球的引入改变了游戏的基本结构，显著增加了游戏的复杂性。一个多维的巧克力游戏可以显示一个视角的复杂性的游戏尼姆与通行证。因此，作者在组合对策论中解决了一个长期悬而未决的问题。作者提出这篇论文，因为他们的发现似乎是重要的。在作者看来，巧克力游戏和尼姆传球之间的关系很快就会成为一个重要的研究课题。
2022-07-19 math.CO
Black & White Nim games
我们提出了一个新的家庭尼姆游戏的规则取决于一个给定的“着色”的令牌，每个令牌是黑色或白色。规则与Nim中的规则相同，但有一个限制，即不允许在每个堆的顶部出现白色标记。我们解决了在两个堆上进行的两个不相交博弈族的获胜策略。带有黑色标记的堆大小对应于数字$\lfloor βn \rfloor$，其中$β>2$对于其中一个族是整数，对于另一个族是无理数，并且其中$n$的范围为正整数。在此过程中，引入了新的概念\emph{invariant games}。
2011-08-08 math.CO
On the Sprague-Grundy function of Exact $k$-Nim
摩尔对{\sc Nim}游戏的推广如下。令$n$和$k$是两个整数，使得$1 \leq k \leq n$。给定$n$堆代币，两个玩家交替移动，从至少一个且至多$k$堆中移除代币。走到最后一步的玩家获胜。Moore在1910年解决了这个博弈，Jenkyns和Mayberry在1980年给出了一个Sprague-Grundy函数的显式公式，但仅适用于$n = k+1$。我们引入{\sc Nim}的另一个推广，称为{\sc精确$k$-Nim}，其中每次移动都精确地减少$k$堆。在$2k \geq n$情形下，我们给出了{\sc Exact $k$-Nim}的Sprague-Grundy函数的一个显式公式.在$n=2k$的情况下，我们的公式与Jenkyns和Mayberry的公式惊人地相似。
2017-01-17 math.CO
Vertex Nim played on graphs
给定一个顶点上具有正整数权重的图G，以及放置在某个当前顶点u上的令牌，两个玩家交替地从u移除正整数权重，然后将令牌移动到与u相邻的新的当前顶点。当一个顶点的权值设置为0时，它将被移除，其邻域将成为一个团。走到最后一步的玩家获胜。Nim在图上的这种改编被称为Vertexnim，与Stockman在2004年推出的游戏Vertex NimG略有不同。顶点可以在有向图或无向图上播放。在本文中，我们研究的复杂性，决定是否一个给定的游戏位置的顶点是第一个或第二个玩家获胜。特别是，我们表明，对于无向图，这个问题可以在二次时间内解决。我们的算法也适用于游戏顶点NimG，从而改进了Stockman的exptime算法。在有向情况下，我们能够在多项式时间内计算出几个实例的获胜策略，包括具有自循环的回路或有向图。
2012-08-03 cs.DM cs.GT math.CO
The Sprague-Grundy function for some nearly disjunctive sums of Nim and Silver Dollar games
我们引入并分析了经典的公平对策的析取和运算的一个推广。而析取和描述的位置形成的独立subpositions，我们的操作组合的位置是不完全独立的，但只在一个非常有限的方式相互作用。我们扩展了尼姆和银元的游戏，沿着一维的细胞条移动计数器，通过加入几个带在他们的初始细胞。我们证明，在某些情况下，计算的Sprague-Grundy函数可以简化为一个更简单的游戏，最多两个令牌在每个带。我们给出了一个算法，对于每个Sprague-Grundy值g，计算其Sprague-Grundy值为g的双令牌Star Nim的位置。我们建立了这些位置的条目的差异序列最终是加性周期的。
2017-02-23 math.CO
On the Complexity of the Misère Version of Three Games Played on Graphs
我们调查的复杂性，找到一个获胜的策略的misère版本的三个游戏上玩的图：两个变种的游戏$\text{NimG}$，介绍了Stockmann在2004年和游戏$\text{Vertex Geography}$的有向和无向图。我们表明，在一般的图，这三个游戏是$\text{PSPACE}$ -硬或完成。对于$\text{NimG}$的一个$\text{PSPACE}$-Hard变体，当$G$是二分图时，我们找到了一个计算有效的时间获胜策略的算法$\mathcal{O}(\sqrt{|V(G)|}.|E(G)|)$.
2015-05-03 cs.DM math.CO
On the Sprague-Grundy function of compound games
经典的{ \sc Nim}游戏可以自然地扩展到任意的超图$\cH \subseteq 2^V \setminus \{\emptyset\}$上，其顶点$V = \{1, \ldots, n\}$对应于一堆石头。通过一次移动，玩家选择$\cH$的边$H$，并任意减少所有的桩$i \in H$。在1901年布顿解决了经典的{ \sc尼姆}为其中$\cH = \{\{1\}, \ldots, \{n\}\}$。在1910年摩尔介绍并解决了一个更一般的游戏$k$ -{ \sc尼姆}，其中$\cH = \{H \subseteq V \mid |H| \leq k\}$，其中$1 \leq k < n$。在1980年，Jenkyns和Mayberry得到了摩尔{ \sc Nim}在$k+1 = n$情形下的Sprague-Grundy函数的显式公式。最近的研究表明，同样的公式适用于一大类超图。本文研究了这类超图的组合性质，得到了相应超图{ \sc Nim}对策的合取复合和选择复合的Sprague-Grundy函数的显式表达式.
2019-03-19 math.CO
On the $\mathcal{P}$-positions of some infinite families of Slow $A$-Nim
Department of Mathematics, University of Quebec, Montreal（蒙特利尔魁北克大学数学系）；Department of Mathematics, Cal State LA（加州州立大学洛杉矶分校数学系）
本文研究了慢A-尼姆游戏的P位置，针对A={n-1}、A={n-1,n}和A={1,n}三种无限家族，揭示了其P位置的优雅描述及一般性结论。
2026-04-22 math.CO
Transfinite Version of Welter's Game
我们研究了超限版本的韦尔特的游戏，一个组合游戏上的皮带分为广场编号与一般序数。特别是，我们给出了一个直接的解决方案的超限版本，基于那些超限版本的尼姆和原始版本的韦尔特的游戏。
2019-05-13 math.CO
The Arithmetic-Periodicity of \textsc{cut} for $\mathcal{C}=\{1,2c\}$
\textsc{cut}是一类在有限数量的有限堆令牌上进行的划分游戏。\textsc{cut}的每个版本都由割集$\mathcal{C}\subseteq\mathbb{N}$指定。合法移动包括选择一个桩并将其划分为$d+1$非空桩，其中$d\in\mathcal{C}$。没有代币从游戏中移除。结果表明，任何具有$c\geq 2$的$\mathcal{C}=\{1,2c\}$的nim集都是算术周期的，这回答了\cite{par}的一个公开问题。关键的一步是证明$\mathcal{C}=\{1,6\}$的\textsc{cut}的nim-集和$\mathcal{C}=\{1,2c\}, c\geq 4$的\textsc{cut}的nim-集之间存在对应关系。该结果很容易推广到$\mathcal{C} = \{1, 2c_1, 2c_2, 2c_3, ...\}$的情况，其中$c_1,c_2, ... \geq 2$。
2022-03-04 math.CO
The spectrum of nim-values for achievement games for generating finite groups
本文研究Anderson和Harary提出的有限群生成成就博弈，证明其nim值谱为{0,1,2,3,4}，肯定回答了两个猜想。
2023-07-13 math.CO math.GR
Building Nim
尼姆游戏，以其简单的规则，优雅的解决方案和历史的重要性，是一个组合游戏的精髓，这就是为什么它导致了这么多的推广和修改。我们提出了一个新的旋转修改：建立尼姆。在给定有限数量的代币和堆叠的情况下，这个两人游戏分两个阶段进行（因此属于与例如九人莫里斯相同的游戏家族）：第一个建筑，玩家交替将一个代币放在最初空的堆叠中的一个上，直到所有代币都被使用。然后，玩家扮演尼姆。当然，因为nim游戏的解是已知的，所以开始nim游戏的玩家的目标是放置代币，使得在建造结束时堆叠高度的Nim总和不为0。如果代币的总数是奇数，因为Nim-sum永远不会为0，或者如果代币的数量和堆叠的数量都是偶数，因为一个简单的模仿策略在第二个玩家的每次移动后都会导致Nim-sum为0，那么这个游戏就很简单了。我们提出了一些非平凡的情况下，这个游戏的解决方案，并提出了一个普遍的猜想。
2015-08-27 cs.DM math.CO
Blocking Wythoff Nim
Wythoff Nim的2人公平游戏在两堆代币上进行。移动包括从其中一堆中删除任何数量的代币，或者从两堆中删除相同数量的代币。获胜者是移除最后一个代币的玩家。我们研究这个游戏的封锁策略，也就是说，对于每一个移动，下一个球员移动之前，前一个球员可以宣布最多一个预定的数量，$k - 1 \ge 0$，禁止的选项。当下一个玩家移动时，任何阻挡动作都会被遗忘，对游戏没有任何进一步的影响。我们解决了这个游戏的$k = 2$和$k = 3$的获胜策略，并支持计算机模拟，状态的渐近“行为”的$P$ -位置为各自的游戏时，$4 \le k \le 20$。
2010-10-27 math.CO math.NT
Transverse Wave: an impartial color-propagation game inspired by Social Influence and Quantum Nim
在本文中，我们研究了一个丰富多彩的，公平的组合游戏在一个二维网格，横向波。我们之所以被这个游戏所吸引，是因为它表面上很简单，对比起来却很棘手，而且与另外两个组合游戏有着内在的联系，一个是受社会影响的启发，另一个是受量子叠加的启发。更准确地说，我们表明，横波是在社会影响力启发的朋友圈和基于叠加的半量子尼姆的交叉点。横向波也与舍费尔的逻辑游戏避免真。除了分析横波的数学结构和计算复杂性之外，我们还提供了一个基于网络的游戏版本，可以在https://turing.plymouth.edu/~kgb1013/DB/combGames/transverseWave.html上玩。此外，我们制定了一个基本的网络影响启发游戏，称为人口影响，它同时概括了Node-Kyles和Demi-Quantum Nim（这反过来又包含Nim，Avoid True和Transverse Wave的特殊情况）。这些连接照亮格序，诱导的特殊情况下/泛化关系的数学游戏，基本的设计和比较分析的组合游戏。
2021-01-19 cs.CC math.CO
Ordinal Sums with Substitution of Impartial Games
本文提出一种新的序数和游戏，称为带有替代的序数和，研究其基本性质并推导出其变体集合的简单公式，同时给出链式结构的Grundy数表达式及例子。
2026-04-13 math.CO
Row Impartial Terminus
提出整数分拆上的公平组合游戏Row Impartial Terminus，证明其局面可分解为核心与残部，Conway对等价于残部对应的Nim游戏局面，据此给出完整获胜策略并完成层级分类。
2025-09-03 cs.DM math.CO
The combinatorial game nofil played on Steiner Triple Systems
我们介绍了一个公平的组合对策的Steiner三元系称为Nofil。玩家交替移动，选择三元系的点数。如果一个玩家被迫在他们的回合中填满一个方块，他们就输了。我们探讨发挥诺菲尔所有施泰纳三元系的顺序为15和抽样订单19，21和25。我们通过计算每个博弈及其子博弈的nim值来确定最优策略。游戏Nofil可以被认为是在一个相应的超图上玩。随着游戏的进行，超图会缩小，最终将等同于在同构图上玩游戏Node Kayles。Node Kayles是很好的研究和理解。出于这一动机，我们研究节点凯尔斯的位置可以达到，即嵌入到一个施泰纳三元系。我们证明了存在这种图嵌入的必要条件和充分条件，并得出结论，确定游戏的结果Nofil Steiner三元系的复杂性是PSPACE-完全的。
2021-03-24 cs.DM math.CO
Algebraic games - Playing with groups and rings
在下面的公平组合博弈中，两个参与者交替走棋：给定一个可交换生成的阿贝尔群$A$，一步棋包括选择一些非零元素$a \in A$。然后，游戏继续进行商群$A/ \langle a \rangle$。证明了在正常博弈规则下，第二个局中人有获胜策略当且仅当$A$是正方形，即对于某个交换群$B$，$A$同构于$B \times B$.在米泽尔游戏规则下，只需要对基本阿贝尔群做一些小的修改就可以描述获胜的情况。我们还计算了$2$生成的阿贝尔群的数目，即Sprague-Grundy值。一个类似的游戏可以用任意的代数结构来玩。研究了非交换群和交换环的一些例子，如$R[X]$，其中$R$是主理想整环.
2017-05-04 math.CO math.GR math.RA
Digraph Placement Games
Simon Fraser University（西蒙菲莎大学）；University of New Brunswick（新不伦瑞克大学）
本文研究有向图放置博弈，证明其为通用 partisan 规则集，属于冲突放置游戏，判定其胜者为 PSPACE 难问题，并给出对应最小游戏的阶数界。
2026-08-06 math.CO
Partition games
Univ Lyon, Université Lyon 1, LIRIS UMR CNRS 5205（里昂第一大学）；Instituto de Matemáticas, UNAM Juriquilla（墨西哥国立自治大学数学研究所）；National University of Singapore（新加坡国立大学）
本文研究了2人分割游戏，探讨了其Sprague-Grundy序列的周期性特征，并提出了一种计算测试条件以解决更多游戏。
2020-05-15 cs.DM math.CO
