Selberg's zeta function for the modular group in the critical strip
Yasufumi Hashimoto
本文研究模群在临界带中的塞尔伯格 zeta 函数的增长性质，为相关数论问题提供新的分析结果。
在本文中，我们研究模群在临界带中的塞尔伯格 zeta 函数的增长。
In the present paper, we study the growth of the Selberg zeta function for the modular group in the critical strip.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Selberg zeta functions for spaces of higher rank
将Selbergzeta函数理论推广到高阶空间。对解析挠数的应用。
On the Rankin-Selberg zeta-function
得到了1/2线上Rankin-Selberg ζ函数的近似函数方程。
Differences of the Selberg trace formula and Selberg type zeta functions for Hilbert modular surfaces
本文给出了非紧高阶局部对称空间中Selberg型zeta函数的第一个例子。研究了实二次域的Hilbert模群上的Selberg型zeta函数和Ruelle型zeta函数.我们证明了它们对整个复平面具有亚纯扩张并满足函数方程。该方法是基于考虑Hilbert模群的几个Selberg迹公式在不同权值下的差异。作为Selberg迹公式的一个应用，我们还得到了实二次整数环上不定二元二次型类数的一个渐近平均.
Milnor-Selberg zeta functions and zeta regularizations
利用构造Milnor Γ函数的类似思想，我们在亏格大于1的紧致黎曼曲面上引入了Laplacian的“高阶深度行列式”.我们证明，作为一个推广的Selberg zeta函数的行列式表达式，这个更高的深度行列式可以表示为多个Γ函数和我们所说的Milnor-Selberg zeta函数的产品。它表明，Milnor-Selberg zeta函数允许一个解析延拓，一个函数方程，并显着，有一个欧拉产品。
On primeness of the Selberg zeta-function
本文证明了紧Riemann曲面上的Selbergzeta函数在分解意义下是伪素和右素的。
Functional equations for Selberg zeta functions with Tate motives
对于亏格为$g\ge 2$的紧致Riemann曲面$M$，研究了带有Tate基模$f$的Selberg zeta函数的函数方程.证明了某些函数方程成立的充要条件是$f$具有绝对自同构.
The Ihara-Selberg zeta function for PGL(3) and Hecke operators
我们证明了一个近似Ihara公式的zeta函数的算术商的Bruhat-Tits建设的p-adic PGL（3）。
Simple functional equations for generalized Selberg zeta functions with Tate motives
证明了对于秩为1的紧致局部对称黎曼空间$M$，存在无穷多个自守Tate动机$f$，使得广义Selberg zeta函数$Z_{M(f)}(s)$满足一个简单的函数方程，在这个意义上它没有Gamma因子.
Turing's method for the Selberg zeta-function
艾伦·图灵在他最后的研究论文中介绍了一种方法来证明黎曼ζ函数的零点列表的完备性。在本文中，我们认为图灵的方法在类似的设置Selberg zeta函数，我们证明，它可以进行严格的原型情况下的模块化表面。
Zeros of the extended Selberg class zeta-functions and of their derivatives
Levinson和Montgomery证明了黎曼ζ函数$ζ(s)$和它的导数在临界线的左边有近似相同数量的非实零点。R. Spira证明了$ζ'(1/2+it)=0$意味着$ζ(1/2+it)=0$。在这里，我们得到，在小的区域位于左边的临界线和附近的功能$ζ(s)$和$ζ'(s)$有相同数量的零。我们证明了我们的结果更一般的zeta函数从扩展的Selberg类$S$。我们还考虑了从$S$中得到的一类zeta函数的零轨线。
The Selberg integral and a new pair-correlation function for the zeros of the Riemann zeta-function
本文件是一份报告的联合工作与亚历山德罗·帕拉斯科和阿尔贝托Perelli对我们最近的调查塞尔伯格积分及其连接蒙哥马利的对相关函数。我们介绍了一个更一般的形式的Selberg积分，并将其连接到一个新的对-相关函数，强调其关系的分布素数在短的时间间隔。
Converse theorems: from the Riemann zeta function to the Selberg class
这是作者在第20届U.M.I.大会上演讲的扩展版本，2015年9月在锡耶纳举行。在对L-函数作了一个简单的回顾之后，我们转向H.Hamburger、E.Hecke和A.Weil的经典逆定理，以及后来的一些发展。最后，在L-函数的Selberg类的框架下给出了几个逆定理的结果.
Second moments of general Dirichlet series and Selberg zeta functions at $σ= 1$
本文证明有限共形富克斯群的塞尔伯格ζ函数在σ=1处二阶矩存在，借助Broucke和Hilberdink的方法规避了Landau针对一般狄利克雷级数的分离条件。
Square integrals of the logarithmic derivatives of Selberg's zeta functions in the critical strip
本文在已有对数导数上界工作的基础上，研究 Selberg zeta 函数对数导数的平方积分在模群、余紧算术群及其子群情形下的增长性质。
Artin formalism for Selberg zeta functions of co-finite Kleinian groups
设$Γ\backslash\mathbb H^3$是上半空间的有限体积商，其中$Γ\subset {\rm SL}(2,\mathbb C)$是离散子群。对于$Γ$的有限维酉表示$χ$，人们将Selberg zeta函数$Z(s;Γ;χ)$联系起来。本文证明了Selberg zeta函数的Artin形式。也就是说，如果$\tildeΓ$是${\rm SL}(2,\mathbb C)$中$Γ$的有限指数群扩张，并且$π={\rm Ind}_Γ^{\tildeΓ}χ$是导出表示，则$Z(s;Γ;χ)=Z(s;\tildeΓ;π)$。在本文的第二部分中，我们证明了一个直接的方法类似的身份散射函数，即$ϕ(s;Γ;χ)=ϕ(s;\tildeΓ;π)$，适当的规范化的爱森斯坦系列。
The Selberg Trace Formula and Selberg Zeta-Function for Cofinite Kleinian Groups with Finite Dimensional Unitary Representations: Stony Brook University PhD Thesis
对于余有限的Kleinian群，利用有限维的酉表示，我们导出了Selberg迹公式.作为一个应用，我们定义了相应的Selberg zeta函数，并计算其除数，从而推广的结果Elstrodt，Grunewald和Mennicke非平凡的酉表示。我们表明，尖点椭圆元素的存在有时会增加Zeta函数的分歧点。事实上，如果D是爱森斯坦整数环，则PSL（2，D）的Selberg zeta函数包含分歧点。
The Selberg trace formula and Selberg zeta-function for cofinite Kleinian groups with finite-dimensional unitary representations
对于余有限的Kleinian群，利用有限维的酉表示，我们导出了Selberg迹公式.作为一个应用，我们定义了相应的Selberg zeta函数，并计算其除数，从而推广的结果Elstrodt，Grunewald和Mennicke非平凡的酉表示。我们表明，尖点椭圆元素的存在有时会增加Zeta函数的分歧点。事实上，如果D是Eisenstein整数环，则PSL（2，D）的Selbergzeta函数包含分歧点，并且是亚纯函数的六次根.
On the Selberg integral of the $k-$divisor function and the $2k-$th moment of the Riemann zeta function
我们深深地感谢文件的伊维奇之间的联系$2k-$次时刻的黎曼ζ函数，并说，$d_k$，$k-$除数函数。更具体地说，一个是用$d_k$的相关性的简单平均来界定$2k-$阶矩（Palanga 1996 Conference Proceedings），另一个是最近的（arXiv：0708.1601 v2，出现在JTNB上），它界定了应用ζ的$2k-$阶矩的$d_k$的Selberg积分。在前一份文件的基础上，我们应用一个基本的方法（基于算术平均值），以获得信息的反向链接到第二个工作。
On the distribution of zeros of the derivative of Selberg's zeta function associated to finite volume Riemann surfaces
W. Luo研究了与紧致双曲黎曼曲面相关的Selberg zeta函数导数的零点分布。实质上，罗文的主要结果包括以下三点：临界线左边半平面中零点个数的渐近性;测量零点垂直分布的计数函数的渐近展开;测量零点到临界线水平距离的计数函数的渐近展开。在本文中，我们研究了更复杂的设置的Selberg zeta函数的导数的零点分布的非紧，有限体积双曲黎曼曲面。有许多困难存在于非紧的情况下，不存在于紧凑的设置，开始的事实，即在非紧的情况下，塞尔伯格zeta函数不满足类似的黎曼假设。更具体地说，我们实际上研究了ZH的导数的零点，其中Z是Selberg zeta函数，H是散射矩阵的狄利克雷级数分量，两者都与任意有限体积双曲黎曼曲面相关联。我们的主要结果地址有限的零在半平面的左边的临界线，零的垂直分布的渐近计数，和零的水平距离的渐近计数。
Universality theorems of the Selberg zeta functions for arithmetic groups
本文将 Selberg zeta 函数的普适性定理从模群及其主同余子群进一步推广到模群的一般子群和由不定四元数代数导出的余紧算术群，并得到了比已有结果更宽的成立区域。
Euler products of Selberg zeta functions in the critical strip
该研究扩展了模群同余子群对应塞尔伯格zeta函数欧拉乘积的收敛区域，建立了其与素测地线定理误差项的关系，在塞尔伯格猜想下可扩展至Re s≥3/4，对平凡表示则借鉴拉马努金工作思想证明。
A note on $r$-gaps between zeros of the Riemann zeta-function
本文证明了Selberg关于黎曼ζ函数$ζ$的$r$ -零间隙的结果.我们的证明使用了Tsang基于Selberg方法的关于$\argζ$的变化的结果。在黎曼假设下，Conrey和Turnage-Butterbaugh用不同的方法得到了显式常数的相同结果。我们解释了如何获得明确的常数下的黎曼假设使用我们的方法，这是基于Selberg和曾的论点。
Computation of Selberg zeta functions on Hecke triangle groups
本文提出了一种计算Hecke三角形群的Selberg zeta函数的启发式方法$G_q$（$q>=3$）。该算法是基于转移算子的方法，并概述了相关的背景。我们给数值支持的索赔，该方法的工作原理，并可用于计算Selberg Zeta函数$G_q$的任何所需的精度。我们还提出了一些数值结果通过实施该算法。
Selberg's Central Limit Theorem weighted by Linear Statistics of Zeta Zeros
本文研究以 zeta 零点局部统计量加权的黎曼 zeta 函数对数值分布，证明其在 Fourier 支撑足够小时满足复中心极限定理，并在 Riemann 假设下将虚部支撑条件推广到自然障碍，同时刻画了 log ζ 与单层密度相关性的缓慢衰减。
Higher Selberg zeta functions for congruence subgroups
作为[KW 3]结果的推广，我们研究了同余子群的高阶Selberg zeta函数的函数方程.为了得到该函数的Gamma因子，我们引入了一个高阶Dirichlet $L$ -函数.然后，利用Barnes三重Γ函数和高阶Dirichlet $L$ -函数明确地确定Gamma因子.
Hierarchy of the Selberg zeta functions
我们引入了一个二元Selberg型zeta函数，它插值于几个高阶Selberg zeta函数.得到了该函数在黎曼曲面上通过拉普拉斯算子的解析延拓、函数方程和行列式表达式。
An analogue of the Chowla-Selberg formula for several automorphic L-functions
本文给出了黎曼ζ函数的一个确定公式，该公式用$K$ -Bessel函数组成的无穷级数表示黎曼ζ函数.这样的无穷级数表达式可以看作是Chowla-Selberg公式的一个类似物。粗略地说，Chowla-Selberg公式是用由$K$ -Bessel函数组成的无穷级数表示Epstein zeta函数的公式。此外，我们还给出了Dirichlet $L$ -函数和与全纯尖点形式相关的$L$ -函数的Chowla-Selberg公式的某些类似公式.此外，我们还引入了一个类似于实解析Eisenstein级数的二元函数，并给出了它的一个极限公式。这种极限公式可以看作是克罗内克极限公式的一种类似形式。
Superzeta functions, regularized products, and the Selberg zeta function on hyperbolic manifolds with cusps
令$Λ= \{λ_{k}\}$表示复数序列，并假设计数函数$#\{λ_{k} \in Λ: | λ_{k}| < T\} =O(T^{n})$对于某个整数$n$。从Hadamard定理，我们可以构造一个阶至多为$n$的整函数$f$，使得$Λ$是因子$f$。在本文中，我们证明了在合理的一般条件下，与$Λ$相关的超zeta函数$\Z_{f}(s,z)$允许亚纯延拓。此外，我们描述了序列$z-Λ$和函数$f$的正则化乘积之间的关系构造为Weierstrass产品。当$f$在某右半平面上存在Dirichlet级数展开时，我们得到了$\Z_{f}(s,z)$在$s$中的亚纯延拓是$f'/f$的积分变换.我们应用这些结果得到了与具有尖点的有限体积双曲流形相关的Selberg zeta函数的超zeta积估计。
Arithmetic expressions of Selberg's zeta functions for congruence subgroups
Sarnak的文章证明了SL（2，Z）的Selbergzeta函数可用本原不定二元二次型的基本单位和类数表示.本文的目的是得到SL（2，Z）的同余子群的Selberg zeta函数的对数导数的类似算术表达式.作为应用，我们研究了Brun-Titchmarsh型素测地线定理，类数和的渐近性质.
Lower Bounds for Rankin-Selberg $L$-functions on the Edge of the Critical Strip
设$F$是数域，$π_1$和$π_2$分别是$\operatorname{GL}_{n_1}(\mathbb{A}_F)$和$\operatorname{GL}_{n_2}(\mathbb{A}_F)$的酉尖点自守表示.本文在$t$ -方面给出了Rankin-Selberg $L$ -函数$L(s, π_1 \times \widetildeπ_2)$沿临界带边$\Re s = 1$的新下界.还确定了$L(s, π_1 \times \widetildeπ_2)$相应的无零区。
Perturbation of zeros of the Selberg zeta-function for $Γ_0(4)$
研究了同余子群$Γ_0(4)$的Selberg zeta函数的零点作为单参数特征标族的函数趋于平凡特征标的渐近性态.这项研究的动机来自于基于数值计算的观察。一些观察到的现象导致精确的定理，我们证明和比较与原来的数值结果。
Meromorphic continuation of Selberg zeta functions with twists having non-expanding cusp monodromy
本文研究了几何有限富克斯群$Γ$和有限维表示$χ$的Selberg zeta函数$Z_{Γ,χ}$.我们证明了对于$(Γ,χ)$的所有选择，Selberg zeta函数$Z_{Γ,χ}$收敛于$\mathbb{C}$中的某个半平面上。此外，在假设$Γ$承认一个严格的转移算子的方法下，我们证明了$Z_{Γ,χ}$亚纯扩展到所有的$\mathbb{C}$。
Analogues of the Artin factorization formula for the automorphic scattering matrix and Selberg zeta-function associated to a Kleinian group
对于作用于双曲三维空间的Kleinian群，我们证明了Selberg zeta函数和自守散射矩阵的因子分解公式。我们将Venkov和Zograf的结果从富克斯群扩展到克莱因群，并且给出了一个简单且可扩展到更一般群的证明。
Selberg's zeta functions for congruence subgroups of modular groups in SL(2,R) and SL(2,C)
已知模群的Selbergzeta函数有一个用不定二元二次型的类数和基本单位表示的表达式。本文将这一表达式推广到SL（2，R）和SL（2，C）中模群的任意同余子群。
Remarks on a special value of the Selberg zeta function
令$\CmZ_{Y_0(N)}$为模曲线$Y_0(N)$的Selberg zeta函数在$s=1$处的对数导数的常数项。Jorgenson和Kramer通过将其与几何不变量联系起来，建立了约束$\CmZ_{Y_0(N)}=O_ε(N^ε)$、$ε>0$。本文利用$L$ -函数和指数和给出了$N$素数的另一个证明，改进了Abbes-Ullmo和Michel-Ullmo的方法.我们进一步导出了$\log N$在同一直线上的幂。
An asymptotic expansion of Selberg's central limit theorem near the critical line
本文在$ 0 < θ< \frac12$为常数的情况下，得到了黎曼ζ函数的Selberg中心极限定理在$σ= \frac12 + ( \log T)^{-θ}$和$t \in [T, 2T]$上的渐近展开式.
Period functions for Hecke triangle groups, and the Selberg zeta function as a Fredholm determinant
本文将上有限Hecke三角形群的Maass尖点形式刻画为转移算子族的适当正则性的1-本征函数。这个转移算子家族与轨道上的测地流的某种符号动力学相关联，该轨道上的测地线流作为Hecke三角形群在双曲平面上的作用的轨道空间而产生。此外，我们表明，Selberg zeta函数是弗雷德霍姆行列式的转移算子家庭与此符号动力学的加速。
A transfer-operator-based relation between Laplace eigenfunctions and zeros of Selberg zeta functions
在过去的几年里波尔（部分共同与合著者）开发双“慢/快”转移算子的方法自守函数，共振，和Selberg zeta函数的某一类双曲曲面$Γ\backslash\mathbb{H}$与尖点和所有有限维酉表示$χ$的$Γ$。快速转移算子的具有本征值$1$的本征函数确定了$(Γ,χ)$的Selberg zeta函数的零点。进一步地，如果$Γ$是上有限的，并且$χ$是平凡的一维表示，则具有慢转移算子的本征值$1$的高度正则本征函数表征$Γ$的马斯尖点形式。从推测上讲，这种特征扩展到更一般的自守函数以及共振处的残基。本文在不依赖Selberg理论的情况下，研究了有限或无限区域的Hecke三角形曲面$Γ\backslash\mathbb{H}$和Hecke三角形群$Γ$的有限维酉表示$χ$的这两类转移算子的本征空间之间的关系.特别是，我们提供相关子空间之间的显式同构。这解决了穆勒和波尔的一个猜想，刻画了Selberg zeta函数的一些零点独立于Selberg迹公式，并支持了前面提到的猜想。
Selberg's Conjectures and Artin $L$-functions
作者回顾了Selberg关于一类狄利克雷级数函数与黎曼ζ函数具有相同性质的结果和图解，并将这项工作与Artin L-函数理论联系起来。
A thermodynamic formalism approach to the Selberg zeta function for Hecke triangle surfaces of infinite area
我们提供了一个明确的截面的测地流上的无限区域Hecke三角形表面，使我们能够进行一个转移算子的方法Selberg zeta函数的建设。此外，我们构建密切相关的横截面的台球流相关的三角形表面上，并赋予所产生的离散动力系统和转移算子家族的两个权函数，这大概编码Dirichlet分别Neumann边界条件。这些转移算子族的弗雷德霍姆行列式构成了动态zeta函数，它提供了Hecke三角形曲面的Selberg zeta函数的因式分解。
Effective uniform approximation by $L$-functions in the Selberg class
最近，Garunkštis，Laurinčikas，Matsumoto，J. & R. Steuding利用Voronin的一个有效的多维稠密性结果证明了黎曼ζ函数的一个有效的普适型定理。本文将Voronin的有效结果及其定理推广到满足一定条件的Selberg族的元素上。
Zeros of Rankin-Selberg $L$-functions at the edge of the critical strip
设$π$和$π_0$是酉尖点自守表示.我们证明了无对数零密度估计的Rankin-Selberg $L$ -函数的形式$L(s,π\timesπ_0)$，其中$π$变化在一个给定的家庭和$π_0$是固定的。这些估计是无条件的，在许多情况下的利益，他们持有充分的普遍性，假设一个平均形式的广义拉马努金猜想。我们考虑这些估计的应用有关的质量均匀分布的Hecke-Maass形式，朗道-西格尔零点的Rankin-Selberg $L$ -功能，Chebotarev密度定理，和$\ell$ -扭转类群的数域的稀有性。
Residues of Rankin-Selberg Zeta integrals and the split non-tempered Gan-Gross-Prasad conjectures
本文通过 Zeta 积分残差正则化方法，解决了非温控 Gan-Gross-Prasad 猜想及其细化版本在局部域上的问题。
Symbolic dynamics, automorphic functions, and Selberg zeta functions with unitary representations
以Hecke三角形表面的有限和无限区域为例，我们提出了技术的热力学形式主义的方法Selberg zeta函数与酉有限维表示$(V,χ)$双曲曲面（orbifolds）$Γ\backslash\mathbb{H}$以及转移算子技术开发周期函数的$(Γ,χ)$ -自守尖点形式。这导致了几个自然的结果。我们进一步展示了如何将这些结果推广到底层三角曲面上的台球流，并研究了转移算子沿Hecke三角群序列的收敛性。
Optimising Selberg's method for critical zeros
本文优化了Selberg方法，通过改进算术平均值和引入半正定mollifiers，证明了Riemann zeta函数至少7%的非平凡零点位于临界线上，为该方法迄今最强结果。
Selberg Integrals, Multiple Zeta Values and Feynman Diagrams
证明了Feynman图的霍普夫代数与C<<X，Y>>中齐次重Zeta值环H所对应的霍普夫代数之间存在同构.换句话说，费曼图在所有情况下都评估为多个Zeta值。这证明了Connes-Kreimer以及包括Broadhurst和Kontsevich在内的其他人最近的一个猜想。我们定理的关键步骤是将Terasoma [22]中讨论的Selberg积分表示为从有根树运算到多重Zeta值的霍普夫代数的泛函。这是一个新的构造，它为zeta值、结合子、费曼图和模空间之间的关系提供了启发。我们的主要定理的一个直接含义是，通过应用Terasoma的结果和使用我们的Selberg积分有根树泛函的构造，我们证明了Mulase [18]中讨论的埃尔米特矩阵积分在所有三种情况下都是多重Zeta值：渐近地，极限N趋于无穷大，以及一般情况。此外，这种构造为Goncharov猜想提供了一个正解（见[7]第30页）。Selberg积分泛函可以推广到X上深度为m的多重多项式上。
Iterated integrals, multiple zeta values and Selberg integrals
经典的多重zeta值可以被看作是从$0$到$1$的微分$\frac{dt}{t}, \frac{dt}{1-t}$的迭代积分。本文重新证明了Brown定理：对于$a_i, b_i, c_{ij}\in \mathbb{Z}$，如果收敛，则形式为\[ \mathop{\int\cdots \int}\limits_{0<t_1<\cdots<t_N<1}\prod_i t_i^{a_i}(1-t_i)^{b_i} \prod_{i<j}(t_j-t_i)^{c_{ij}}dt_1\cdots dt_N \]的迭代积分是$\mathbb{Q}$ -权$\leq N$的多个zeta值的线性组合.进一步证明了：若$p_i(t), 1\leq i\leq N, $在由多个多项式及其对偶生成的$\mathbb{Q}\left[t,1/t, 1/(1-t)\right]$ -代数中，且$q_{ij}(t), 1\leq i<j\leq N$在由对数生成的$\mathbb{Q}\left[ t,1/t\right]$ -代数中，则迭代积分\[ \mathop{\int\cdots \int}\limits_{0<t_1<\cdots<t_N<1}\prod_i p_i(t_i)\prod_{i<j}q_{ij}(t_j-t_i)dt_1\cdots dt_N \]是多个zeta值的$\mathbb…
Distribution of the zeta functions singularities for compact even-dimensional locally symmetric spaces
对于紧的、偶维的、局部对称的空间，我们得到了U。Bunke和M.奥尔布里希
Order of zeta functions for compact odd-dimensional locally symmetric spaces
我们证明了Bunke和Olbrich所考虑的Ruelle和Selberg zeta函数的亚纯延拓是有穷级的，不大于其下紧的奇维局部对称空间的维数.
On the logarithmic derivative of zeta functions for compact even-dimensional locally symmetric spaces
在紧致的、偶维的、局部对称的秩为1的空间上，我们导出了Selberg和Ruelle zeta函数的对数导数的近似公式。所得到的公式是根据zeta奇点给出的。
On the Vertical Distribution of Values of $L$-functions in the Selberg Class
证明了Selberg类中$L$ -函数的$α$ -点的显式公式.接下来我们将Littlewood关于黎曼ζ函数$ζ(s)$零点的垂直分布的一个定理推广到上述$L$函数的$α$点的情形。这个结果意味着$α$ -点的连续性的均匀分布，并由此导出了一个离散的普适性定理。
Integrality of $\mathrm{GL}_2\times\mathrm{GL}_2$ Rankin-Selberg integrals for ramified representations
本文研究GL₂×GL₂秩纳积分在分裂表示下的积分性，引入了(π₁×π₂)积分数据的概念，并改进了雅克布-兰格兰德的GCD结果，与新形式的傅里叶系数的积分性相容。
The Zeta Function of a Hypergraph
我们以一种自然的方式将Ihara-Selberg zeta函数推广到超图。桥本的因子分解结果的双正则二部图适用，导致确切的因子分解。对于$(d,r)$ -正则超图，我们证明了一个修正的黎曼假设成立当且仅当超图是Winnie Li和Patrick Solé意义下的Ramanujan.最后，我们给出了一个例子来说明如何将广义zeta函数应用于图，以区分具有相同Ihara-Selberg zeta函数的非同构图。
On the variance of sums of arithmetic functions over primes in short intervals and pair correlation for L-functions in the Selberg class
本文建立了素数上Selberg类$L$ -函数零点的对相关性与短区间上一类相关算术函数和的方差的等价关系。这将Goldston & Montgomery [7]和Montgomery & Soundararajan [11]关于黎曼ζ函数的结果推广到Selberg类中的其他$L$ -函数。我们的方法是基于统计的零点，因为模拟的Hardy-Littlewood猜想的自相关的算术函数，我们认为是不提供一般。我们的主要发现之一是，这些算术函数在素数上的和的方差在短间隔内具有不同的形式，当相关的$L$函数的次数为2或更高时，其在次数为1时成立（例如，黎曼ζ函数）。具体而言，当度为2或更高时，存在两种制度，其中方差采取性质上不同的形式，而在度为1的情况下，存在单一制度。
Test vectors for Rankin-Selberg $L$-functions
研究了$p$ -adic域上$GL_n\times GL_m$的一对一般表示$(π,τ)$，$n>m$的局部zeta积分.通过一个过程中的单幂平均，我们产生了一对相应的Whittaker函数的zeta积分是非零的，我们表示这个积分的朗兰兹参数的$π$和$τ$。在许多情况下，这些Whittaker函数也用作相关Rankin-Selberg（局部）$L$函数的测试向量。
Extreme values of the Riemann zeta function at its critical points in the critical strip
我们估计$|ζ(ρ')|$的大值和小值，其中$ρ'$在临界带的右半部分中的zeta函数的临界点上运行，即$ζ'(ρ')=0$和$1/2<\Re ρ'<1$的点。
Expansions of the Riemann Zeta function in the critical strip
利用与Hermite或Laguerre等特殊函数有关的函数展开式，得到了黎曼ζ函数在涉及一组零点在Re（s）=1/2线上的多项式的临界带上的一些特征展开式.
Zero-free strips for the Riemann zeta-function derived from the Prime Number Theorem
利用素数定理证明了黎曼ζ函数存在无零点带。精确地说，我们证明了存在$δ>0$，如果$0\leq r<δ$，那么$ζ(s)\neq 0$，对于Re，$(s)>1-r$ .
A product formula of Mumford forms, and the rationality of Ruelle zeta values for Schottky groups
在任意正亏格情形下，给出了Schottky群的类似Selberg型zeta值的无穷乘积表示的Mumford型的显式表达式.这一结果被认为是Ramanujan δ函数在亏格1情形下公式的推广，特别适用于研究Schottky群Ruelle zeta值的合理性.
On the Gram's Law in the Theory of Riemann Zeta Function
建立了关于Riemann zeta函数零点的虚部分布的一些命题。这些断言与所谓的“格拉姆定律”或“格拉姆规则”有关。特别是，我们给出了几个塞尔伯格公式的证明，他说，没有证明他的论文“的Zeta函数和黎曼假设”（1946年），和他们的一些等价物。
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