On the codimension of the abnormal set in step two Carnot groups
在这篇文章中，我们证明了步骤2的某些类卡诺群的端点映射的异常集的余维数至少是3。我们的结果适用于所有步骤2卡诺群的维数高达7，是一个推广的类似结果步骤2自由幂零群。
2018-01-07 math.DG math.OC
Carnot-Caratheodory and Koranyi-Geodesics in the Heisenberg Group
本文是一个本科生研究项目的一部分。我们讨论了海森堡群H1，三维空间R3配备了两个等价的度量之一，Koranyi-和Carnot- Caratheodory度量。我们表明，这两个指标的曲线长度的概念相吻合，最短的曲线，所谓的测地线，存在。
2022-11-08 math.CA math.DG
Sharp measure contraction property for generalized H-type Carnot groups
证明了秩为$k$，维数为$n$的H型卡诺群满足$\mathrm{MCP}(K,N)$当且仅当$K\leq 0$和$N \geq k+3(n-k)$ .后一个整数与卡诺群的测地线维数一致。同样的结果也适用于本文中介绍的广义H型卡诺群的较大类，并明确计算最优综合。这构成了最大的一类卡诺群，其曲率指数与测地维数一致。我们强调广义H-型卡诺群有步骤2，包括所有的corank 1群，并在一般情况下，承认异常极小化曲线。作为推论，我们证明了广义H型卡诺群上二次代价的Wasserstein测地线的绝对连续性。
2017-11-06 math.AP math.DG math.MG
On the Cheng-Yau gradient estimate for Carnot groups and sub-Riemannian manifolds
本文证明了\cite{BaudoinBonnefont2016, BaudoinGarofalo2013, CoulhonJiangKoskelaSikora2017}中的结果如何给出两类子黎曼流形：Carnot群和满足广义曲率维数不等式的子黎曼流形上的Cheng-Yau估计.
2018-10-18 math.AP math.DG math.PR
Measure contraction properties of Carnot groups
证明了维数为$k+1$的任意corank 1卡诺群满足$\mathrm{MCP}(K,N)$当且仅当$K \leq 0$和$N \geq k+3$ .这将Jullet对Heisenberg群$\mathbb{H}_{k+1}$的著名结果推广到更大的一类结构，这类结构允许非平凡的异常极小化曲线。数$k+3$与卡诺群的测地维数一致，我们在这里为一般的度量空间定义卡诺群。我们讨论了它的一些性质，以及它与曲率指数（满足$\mathrm{MCP}(0,N)$的最小$N$）的关系.证明了在度量测度空间上，曲率指数总是大于测地维数，测地维数又大于Hausdorff维数。当应用到卡诺集团，我们的结果提高了以前的下限，由于Rifford。作为一个副产品，我们证明了卡诺集团是理想的，当且仅当它是脂肪。
2016-05-20 math.DG math.MG math.OC
A Liouville type theorem for Carnot groups
L. Capogna和M. Cowling证明了，如果$ϕ$在卡诺群G的开子集上是1-拟共形的，则与$ϕ$的复合保持Q-调和函数，其中Q表示G的齐次维数.然后他们结合这一点与一个正则性定理的Q-调和函数，以表明$ϕ$实际上是$C^\infty$。作为应用，他们观察到刘维尔型定理对步骤2的某些卡诺群成立。在这篇文章中，我们认为，使用恩格尔群作为一个例子，刘维型定理可以证明任何卡诺群。事实上，1-拟共形映射是光滑的这一事实使我们能够通过应用Tanaka延拓理论得到一个Liouville型定理。
2010-01-07 math.AP math.DG
Rigidity of 2-step Carnot groups
本文研究了二步卡诺群的刚性，等价地，研究了分次二步幂零李代数的刚性。我们证明了另一种选择，根据二维的代数，李代数结构使它总是无限型或一般刚性，我们指定的二维的选择。给出了伪$H$ -和$J$ -型代数刚性的显式判据.特别是，我们建立了所谓的$J^2$ -条件的刚性的关系，我们探讨这些条件与伪$H$ -型代数。
2017-05-21 math.DG math.RT
Sard Property for the endpoint map on some Carnot groups
在Carnot-Caratheodory或次黎曼几何中，一个主要的开放问题是Sard定理的结论是否对端点映射成立，端点映射是从无限维道路空间到有限维流形的正则映射。端点图的临界值集也称为异常集，是离开基点的异常极值的端点集。我们证明了Sard性质的一个强版本对所有的第二步卡诺群和其他几类具有左不变分布的李群都成立。也就是说，我们证明了反常集位于一个真解析子簇中。在这样做的情况下，我们检查几个特征的异常集的李群。
2015-03-12 math.DG math.GR math.MG
The Sard problem in step 2 and in filiform Carnot groups
我们研究了一些著名的卡诺群类中端点映射的Sard问题。我们的第一个主要结果涉及步骤2卡诺群，其中我们提供了异常集余维的下界（仅取决于群的代数）;结果表明我们的界总是至少为3，这改进了arXiv：1503.03610中证明的结果，并解决了arXiv：1709.02854中出现的问题。在我们的第二个主要结果中，我们刻画了丝状群中的反常集，并证明它要么是一条水平线，要么是一个三维代数簇。
2022-03-30 math.DG math.MG math.OC
Pinched Curvature in Heintze Groups of Carnot-type
秩一对称空间具有可解群模型，该模型推广到更大类的李群，李群是幂零群的一维扩展。通过研究这些对称空间的度量性质，我们激发并证明了Carnot型Heintze群上类似的左不变黎曼度量的存在性。这些指标坚持一定的自然曲率捏属性，我们在一个特殊的情况下，这种捏是最佳的，呼吁Belegradek和Kapovitch的结果。
2021-02-23 math.DG math.GT math.MG
Sub-Riemannian curvature of Carnot groups with rank-two distributions
本文所讨论的曲率概念是黎曼截曲率的一个广泛推广。它首先由Agrachev、Barilari和Rizzi在arXiv：1306.5318中引入，并且它被定义用于广泛的一类最优控制问题：一个统一的框架，包括诸如黎曼、次黎曼、芬斯勒和次芬斯勒结构的几何结构。本文研究了秩为2的卡诺群的广义截面曲率。特别地，我们考虑了具有Goursat型水平分布的Cartan群和Carnot群。在这些卡诺群中，我们刻画了充分等正则测地线。对于具有水平Goursat分布的卡诺群，我们证明了它们的广义截面曲率仅依赖于分布的恩格尔部分。这个卡诺群族自然包含了三维海森堡群和恩格尔群。此外，我们还表明，在恩格尔和嘉当群存在初始余向量，有一个无限的离散集的时间，在相应的丰富测地线是不等正则的。
2017-02-08 math.DG math.MG math.OC
Pauls rectifiable and purely Pauls unrectifiable smooth hypersurfaces
本文讨论了在次黎曼几何中寻找一个好的可求正性概念的问题。特别地，我们研究了卡诺群中的光滑超曲面可以期望得到什么样的结果。我们的主要贡献将是以下结果的一个推论：存在一个没有特征点的$C^{\infty}$超曲面$S$，它在每个正测度子集上有无数个两两非同构的切群。这个例子是在一个拓扑维数为8的卡诺群中发现的，它的豪斯多夫维数为12，所以我们在它上面使用豪斯多夫测度$\mathcal{H}^{12}$。结果表明，对于Hausdorff维数为12的卡诺群，定义在其子集上的Lipschitz映射都有$S$-空象.特别地，我们推导出这个光滑超曲面不能由可数个映射Lipschitz参数化，每个映射定义在Hausdorff维数$12$的卡诺群的某个子集上。作为主要的结果，我们有一个概念的可求直性提出的S.Pauls是不等价的一个提出的B.Franchi，R.Serapioni和F.Serra Cassano，至少对任意卡诺群。此外，我们证明了，给定卡诺群的Hausdorff维数为$12$的齐次子群的子集$U$，每个双Lipschitz映射$f:U\to S$满足$\mathcal{H}^{12}(f(U))=0$ .最后，我们证明了这样的例子不存在于海森堡群：我们证明了所有的$C^{\infty}$ -超曲面在$\mathbb H^n$与$n\geq 2$是可数$\mathbb{H}^{n-1}…
2019-10-28 math.AP math.DG math.MG
Quantization of measures in Carnot groups
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
研究Carnot群上概率测度的最优量化，建立了Zador型渐近公式，并证明了最优中心经验测度的弱收敛。
2026-06-08 math.CA math.DG math.MG
On potentials for sub-Laplacians and geometric applications
本文提出了一种在同构卡拉尼集团中利用几何完备性估计极集哈代维度的新方法，并应用于CR几何等领域。
2025-12-24 math.AP math.DG
Distributional solutions of Burgers' type equations for intrinsic graphs in Carnot groups of step 2
本文证明了在任意卡诺群$\mathbb G$的第二步，与一个分裂$\mathbb G=\mathbb W\cdot\mathbb L$与$\mathbb L$一维，一个连续函数$φ\colon U\subseteq \mathbb W\to \mathbb L$的图形是$C^1_{\mathrm{H}}$ -正则精确时，$φ$满足，在分布意义下，一个Burgers'型系统$D^φφ=ω$，与一个连续的$ω$。我们强调，这种等价性在最简单的第三步卡诺群，即恩格尔群中并不成立。作为一种工具的证明，我们表明，一个连续的分布解决方案PDMATHAMR的Burgers'型系统$D^φφ=ω$，与PDMATHAMT连续，实际上是一个广泛的解决方案$D^φφ=ω$。作为一个独立的兴趣的副产品，我们得到了所有的连续分布解的$D^φφ=ω$，$ω$连续，享受$1/2$ -小Hölder正则性沿垂直方向。
2020-08-02 math.AP math.CA math.DG
Isoperimetric, Sobolev and Poincaré inequalities on hypersurfaces in sub-Riemannian Carnot groups
本文研究齐次维数为Q的k步卡诺群G中的光滑子流形。在其他结果中，我们将证明一个等周不等式，它适用于具有或不具有边界$\partial S$的$C^2$ -光滑紧致超曲面S; S和$\partial S$被赋予它们的齐次测度，实际上等价于G上关于某个齐次度量$\varrho$的内在（Q-1）维和（Q-2）维Hausdorff测度;见第5节。这推广了一个经典的不等式，涉及超曲面的中曲率，由Michael和Simon [63]证明，并由Allard [1]独立证明。特别是，从这个结果可以推导出一些相关的Sobolev型不等式;见第7节。证明策略受经典证明策略的启发。特别地，我们将从证明一些线性等周不等式开始。一旦证明了这一点，就可以推导出一个局部单调性公式，然后通过一个覆盖论证来结束证明。然而，我们强调，由于我们不同的几何设置，存在许多差异。在本文中特别开发的一些工具依次是"爆破“定理，它也适用于特征点，以及HS梯度的光滑Coarea公式;见第3节和第4节。其他工具是水平分部积分法公式和H-周长的第一个变化已经在[68]，[69]中发展，并在这里推广到具有非空特征集的超曲面。这些结果的一些自然的应用是在最小和常数水平中曲率超曲面的研究。此外，我们将证明一些纯水平的，局部的和整体的庞加莱型不等式以及一些相关的事实和结论;见第4节和第5节。
2009-10-29 math.AP math.DG
Horizontal submanifolds of groups of Heisenberg type
研究Heisenberg型Carnot群的极大水平子群。我们分类的尺寸一半的典型分布（“拉格朗日”），并说明了一些值得注意的小尺寸。一个无穷小分类的任意极大水平子流形如下的结果。
2005-10-20 math.DG
On the cut locus of free, step two Carnot groups
本文研究了具有$k$生成元的自由二阶卡诺群$\mathbb{G}_k$的割迹，这些生成元具有左不变的Carnot-Carathéodory度量.特别是，我们通过展示切割点集$C_k \subset \mathbb{G}_k$来反驳[Myasnichenko - 2002]和[Montanari，Morbidelli - 2016]中提出的切割轨迹形状的假设，对于$k \geq 4$，这些切割点集严格大于切割点集。虽然后者分别是余维$Θ(k^2)$的光滑半代数集和余维$Θ(k)$的半代数集，但集合$C_k$是半代数的，并且具有余维$2$，产生对所有$k$有效的关于$\mathbb{G}_k$的割迹大小的最佳可能下界。此外，我们还研究了割迹与所谓的异常集的关系。在低维情况下，它是已知的\[ \mathrm{Abn}_0(\mathbb{G}_k) = \overline{\mathrm{Cut}_0(\mathbb{G}_k)} \setminus \mathrm{Cut}_0(\mathbb{G}_k), \qquad k=2,3. \]对于每个$k \geq 4$，相反，我们表明，割迹总是相交的异常集，有大量的异常测地线有限的切割时间。最后，作为我们的结果的一个直接的后果，我们推导出一个明确的下界的小时间热核渐近点的$C_k$。$C_k$是否与$k\geq 4$的割迹一致的问题仍然…
2017-01-10 math.DG math.OC
Minimal surfaces in the Heisenberg group
本文研究了三维Heisenberg群H中的极小曲面问题，该群具有标准的Carnot-Caratheodory度规.使用一个特殊的表面措施，我们的特点极小曲面的一个次椭圆偏微分方程，并证明了存在性结果的高原问题，在这种设置。此外，我们提供了我们的极小曲面和黎曼常数中曲率表面之间的联系H配备了不同的黎曼度量近似的卡诺-Caratheodory度量。我们生成了一个大型图书馆的极小曲面的例子，并使用这些来表明，解决狄利克雷问题不需要是唯一的。此外，我们证明了我们所构造的极小曲面实际上是Garofalo和Nhieu意义下的X-极小曲面.
2006-04-13 math.DG
Comparing three possible hypoelliptic Laplacians on the 5-dimensional Cartan group via div-curl type estimates
本文在具有2个生成元的3步自由Carnot群（5维Cartan群）上提出三种亚椭圆Hodge-Laplacian定义，并比较它们在获得精确div-curl型不等式方面的适用性，以克服Rumin外微分非齐次性带来的困难。
2024-07-30 math.AP math.DG
The Quasi Curvature-Dimension Condition with applications to sub-Riemannian manifolds
我们得到了各种子黎曼流形中的域上的$L^p$ -Poincaré和log-Sobolev不等式的最佳定量估计，包括理想卡诺群，特别是理想广义H型卡诺群和海森堡群，corank $1$卡诺群，Grushin平面，以及各种H型叶理，Sasakian和$3$ -Sasakian流形。此外，这构成了第一次建立在这些空间上的独立于维度的定量估计。例如，Li-Yau / Zhong-Yang谱隙估计对任意维数的海森堡群都成立，直到$4$的一个因子。我们实现这一点，通过引入一个准凸松弛的Lott-Sturm-Villani $\mathsf{CD}(K,N)$条件，我们称之为准曲率维数条件$\mathsf{QCD}(Q,K,N)$。我们的动机源于最近的插值不等式沿瓦塞尔斯坦测地线在理想的次黎曼设置由于Barilari和Rizzi。证明了在维数为$n$的理想次黎曼流形上，测度收缩性质$\mathsf{MCP}(K,N)$蕴涵$\mathsf{QCD}(Q,K,N)$和$Q = 2^{N-n} \geq 1$，从而在上述理想空间上验证了后者的性质; Balogh-Kristály-Sipos的一个结果被用来处理非理想corank $1$ Carnot群.通过将局部化范式扩展到完全一般的插值不等式，我们将$\mathsf{QCD}$空间上的各种解析和几何不等式的研究减少到一维的情况。因此，我们推断，虽…
2020-09-16 math.DG math.FA math.MG
Stability theorems for H-type Carnot groups
本文引入二阶Carnot群的H型偏差，给出其消失等价于H型结构，并建立水平梯度与次Laplace调和性的逆向解析刻画，还提出并在一类各向异性Heisenberg群上验证定量稳定性猜想。
2022-08-09 math.AP math.DG math.MG
Casimir functions of free nilpotent Lie groups of steps three and four
任何自由幂零李代数都是由它的秩和步长决定的。本文研究了3阶、4阶自由幂零李代数及相应的连通和单连通李群。我们构造这样的群的Casimir函数，即，coadjoint表示的不变量。对于自由3步幂零李群，我们得到了余伴随轨道的完整描述。证明了一般余伴轨是仿射子空间，特殊余伴轨是仿射子空间或非奇异二次曲面的直积。Casimir函数的知识对于研究动力系统的积分性质和Carnot群上的最优控制问题是有用的。特别是，对于3步自由卡诺群上的某些广泛类型的时间最优问题，我们得出结论，对应于二维余伴随轨道的极值控制具有与海森堡群或恩格尔群上的时间最优问题相同的行为。
2020-05-30 math.DG math.OC
Integrable geodesic flows of non-holonomic metrics
本文从哈密顿系统理论的观点出发，讨论了卡诺-卡拉西奥多里的正规测地线流。本文将三维海森堡群上对应于左不变度量和左右不变秩2分布的测地线流作为可积系统来分析。李群上的左不变度量和左不变分布所对应的流被简化为李群上的欧拉方程。这些结构的分析力学问题的关系进行了讨论。
1996-10-23 dg-ga math.DG
Cut time in the sub-Riemannian problem on the Cartan group
研究了阶数为3的5维卡诺群上秩为2的左不变分布所决定的次黎曼结构。证明了Y的截割时间。sachkov的次黎曼Cartan问题。沿着证明，我们得到了一个比较与已知的切割时间在子黎曼恩格尔群，和一个充分（一般）条件的唯一性的长度极小两点之间。因此，我们减少了最佳综合解决某一方程组在椭圆函数。
2021-07-14 math.DG math.OC
Co-adjoint orbits and time-optimal problems for two-step free-nilpotent Lie groups
我们描述了两步自由幂零李代数的余伴随轨道和Casimir函数。辛叶理由不同维数的李余代数的仿射子空间组成。进一步，我们考虑了两步卡诺群上的左不变时间最优问题，其中容许速度集是内部包含原点的李代数第一层中的严格凸紧集。本文描述了庞特里亚金最大值原理的哈密顿系统的垂直子系统的积分。此外，我们描述了该子系统解的恒定性和周期性，并控制并描述了二维共伴轨道的流。
2020-02-15 math.DG math.OC
An intrinsic measure for submanifolds in stratified groups
对于分层群的每个子流形，我们只依赖于它的切丛、分次和固定的黎曼度量，找到了一个数和一个测度。在两步分层群中，我们证明了这样的数和测度分别与子流形的豪斯多夫维数和关于Carnot-Caratheodory距离的球面Hausdorff测度一致.我们的主要技术工具是在最大程度上的内在爆破。我们还表明，在这些点的子流形的内在切锥总是一个子群。最后，通过在恩格尔群中的直接计算，我们展示了我们的结果如何可以扩展到更高阶的分层群，只要子流形是充分正则的。
2006-08-03 math.CA math.DG
Abelian instances of nonabelian symplectic reduction
University of Michigan（密歇根大学）；Università di Padova（帕多瓦大学）
研究在哈密顿群作用下，非交换辛约化与交换子群辛约化等价的充要条件，并给出包括海森堡群在内的幂零李群族实例。
2026-06-17 math.DG math.SG
Polynomial and horizontally polynomial functions on Lie groups
我们推广了李群上的多项式函数的概念和卡诺群上的水平仿射映射的概念。我们将左不变向量场代数$\mathfrak g$的子集$S$固定在李群$\mathbb G$上，并假设$S$ Lie生成$\mathfrak g$。我们说一个函数$f:\mathbb G\to \mathbb R$（或者更一般地说是$\mathbb G$上的一个分布）是$S$ -多项式，如果对于所有的$X\in S$都存在$k\in \mathbb N$，使得迭代导数$X^k f$在分布意义上为零。首先，我们表明，所有的$S$ -多项式函数（以及分布）表示的解析函数，如果指数$k$在前面的定义是独立的$X\in S$，他们形成一个有限维向量空间。其次，如果$\mathbb G$是连通的且幂零的，我们证明了$S$ -多项式函数是Leibman意义下的多项式函数.对于非幂零群，同样的结果可能不成立.最后，我们证明了在连通幂零李群中，在Leibman意义下是多项式，在指数图上是多项式，以及在$\mathfrak g$方向上某个固定次数的混合导数为零是等价的概念.
2020-11-27 math.DG math.FA math.GR
Sub-Laplacians on Compact Lie Groups: Heat Kernels, Distance, and Zeta Determinants
该研究针对紧李群闭连通子群确定的次拉普拉斯算子，推导热核积分表示、小时间热迹展开等结果，并应用于$\rm SU(N)$块子群得到经典谱。
2026-09-01 math.CA math.DG math.RT
