Connecting Zeros in Pisano Periods to Prime Factors of $K$-Fibonacci Numbers
本文证明了将Pisano周期中的零点与$K$-Fibonacci数的素因子联系起来的若干猜想，指出$K$-Fibonacci数索引的同余类完全决定了模$m$的Pisano周期中零点的数量。
2025-01-30 math.NT
On Mixed Concatenations of Fibonacci and Lucas Numbers Which are Fibonacci Numbers
设$(F_n)_{n\geq 0}$和$(L_n)_{n\geq 0}$分别为斐波那契序列和卢卡斯序列。在本文中，我们确定所有的斐波那契数，这是一个Fibonacci数和Lucas数的混合级联。通过$ a $和$ b $的混合级联，我们表示两个级联$\overline{ab}$和$\overline{ba}$在一起，其中$ a $和$ b $是任意两个非负整数。因此，这个问题的数学公式引导我们在非负整数$ (n,m,k) ,$中搜索两个丢番图方程$ F_n=10^d F_m +L_k $和$ F_n=10^d L_m+F_k $的解，其中$ d $分别表示$ L_k $和$ F_k $的位数。我们利用方程中线性形式的下界和丢番图逼近中的归约方法得到了结果。
2022-06-27 math.NT
Generalized Fibonacci Sequences and Binet-Fibonacci Curves
本文研究了Fibonacci数列的几种推广，如任意初值的数列、两个或多个Fibonacci数列的加法和任意基的Fibonacci多项式。对于指数全等的斐波那契数，利用广义Fibonacci多项式和Lucas数导出了一般公式.将比内公式推广到任意实数，构造了复平面上的Binet-Fibonacci曲线。对于正数，曲线以指数消失的幅度振荡，而对于负数，它变成比奈斐波那契螺旋。与鹦鹉螺曲线的比较显示出非常相似的行为。计算了曲线下的面积和曲率特征，以及相关特征的渐近性。当n趋于无穷大时，该区域逐渐变得无限宽，高度无限小，使得面积具有有限值$A_{\infty}=\frac{2}{5 π} ln(φ)$。
2017-07-28 math.HO math.NT
Periodicity of power Fibonacci sequences modulus a Fibonacci number
设${\mathcal F}=(F_i:i\ge 0)$是Fibonacci数列，$j$和$e$是非负整数。研究了幂Fibonacci序列${\mathcal F}^e(F_j)=(F_i^e\pmod{F_j}: i\ge 0)$的周期性.它表明，对于每个$j,e\ge 1$的序列${\mathcal F}^e(F_j)$是周期性的，它的周期性计算。该结果先前已知用于${\mathcal F}(F_j)$，即用于$e=1$。对于$e\in \{1, 2\}$，获得了归一化残基$ρ_i\equiv F_i^e\pmod{F_j}$与$0\le ρ_i<F_j-1$的值。
2022-04-01 math.NT
Analytic continuation of $\ell$-generalized Fibonacci zeta function
本文定义ℓ-广义斐波那契zeta函数，研究其到全复平面的解析延拓，计算奇点与留数，并证明其在负整数处取有理数值。
2023-05-25 math.NT
Golden Ratio Base Expansions of the Logarithm and Inverse Tangent of Fibonacci and Lucas Numbers
设$α=(1+\sqrt 5)/2$、黄金分割率和$β=-1/α=(1 - \sqrt 5)/2$。令$F_n$和$L_n$为斐波那契数和卢卡斯数，由$F_n=(α^n -β^n)/\sqrt 5$和$L_n=α^n + β^n$定义，适用于所有非负整数。对所有正整数$n$，导出了$\log F_n$，$\log L_n$，$\arctan\dfrac1{F_n}$和$\arctan\dfrac1{L_n}$的基$α$展开式.
2023-03-19 math.NT
On the asymptotic behavior of the double zeta function for large negative indices
本文研究了具有大负实部指标的Euler-Zagier型双zeta函数的一个渐近性质。
2023-03-08 math.NT
A Generalization of Fibonacci Far-Difference Representations and Gaussian Behavior
基B展开式的一个自然推广是泽肯多夫定理：每个整数都可以唯一地写成非连续斐波那契数$\{F_n\}$的和，其中有$F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$和$F_1=1, F_2=2$。相反，如果我们允许分解中斐波那契数的系数为零或$\pm 1$，则所得表达式称为远差表示。阿尔珀特证明了一个远差表示存在，并且在某些限制下是唯一的，这些限制推广了非连续性，特别是两个相邻的相同符号的和数必须至少相隔4个索引，而相反符号的和数必须至少相隔3个索引。我们证明了一个远差表示可以使用Skipponacci数集，这是由$S^{(k)}_{n+1} = S^{(k)}_{n} + S^{(k)}_{n-k}$的形式为$k \ge 0$的递归关系产生的。每个整数都可以唯一地写成$\pm S^{(k)}_n $的和，使得每两个相同符号的项的索引相差至少2k+2，并且每两个相反符号的项的索引相差至少k+2。此外，我们证明了在给定的Skipponacci分解的正项和负项的数量收敛到高斯，与可计算的相关系数，这是一个有理函数的最小根的特征多项式的递归。证明使用递归来获得具有固定数量的和数的生成函数，我们证明收敛到高斯的生成函数。接下来，我们探索的间隙之间的分布和，并表明，对于任何k的找到一个间隙的长度$j \ge 2k+2$的概率几何衰减，衰减率等于给定的k-Skipponacci递归的最大根。最后，…
2014-05-10 math.NT
Non-classical linear divisibility sequences and cyclotomic polynomials
可除性序列由其元素在其索引进行整除时彼此整除的性质定义。也满足线性递归的整除序列，如斐波那契数，是由多项式生成的，该多项式将其组成除以每个正整数幂。利用标号Hasse图，我们完全刻画了这类多项式的分圆多项式，并在此基础上构造了新的整数整除序列.我们还表明，不同于斐波那契数，这些非经典序列不具有强整除性。
2022-06-19 math.NT
Cancellation profiles of Fibonacci-Lucas zeta sums
研究Fibonacci-Lucas zeta和的项量级分布，证明归一化绝对项和的指数展开及收敛性，并确定最大项索引与条件数增长。
2026-09-29 math.NT
On Higher Dimensional Fibonacci Numbers, Chebyshev Polynomials and Sequences of Vector Convergents
我们研究高维交错Fibonacci序列，通过切比雪夫型函数和$m$维递归关系产生。对于每个整数$m$，存在这些序列的有理数和整数版本，其中有理数序列分解器的底层素同余结构使得整数序列能够被恢复。从有理或整数序列中，我们构造了$\mathbb{Q}^m$中的向量序列，这些序列收敛到$\mathbb{R}^m$中的无理代数点。有理序列项可以表示为简单递归、三角和、二项式多项式、平方和以及正则单位$n$ -gon的有符号对角线的幂比之和。这些序列也表现出“彩虹型”的质量，并对应于负指数的Fleck数，导致一些组合的身份涉及二项式系数。证明了定义递推关系的正交生成多项式族可被某些代数数的极小多项式整除，并导出了这些多项式的三项递推关系和微分方程.进一步讨论了与Christoffel-Darboux公式、Rodrigues公式和升降算子有关的结果。此外，还证明了这些多项式的梅林变换满足形式为$p_n(s)=\pm p_n(1-s)$的函数方程，并且只在临界线Re上有零点$s=1/2$ .
2016-05-20 math.NT
Dynamics of the Fibonacci Order of Appearance Map
本文研究Fibonacci出现阶映射的迭代动力学，证明存在无穷多整数恰经k步到达不动点，构造趋向12·5^k型不动点的无穷族，并另证所有正整数有限步内到达不动点。
2023-09-25 math.NT
When Fibonacci and Lucas Meet Smith: A Computational Exploration
Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR)（巴西联邦技术大学）
本文通过计算搜索，在斐波那契序列和卢卡斯序列中发现新的史密斯数，其中卢卡斯序列在索引小于1000时找到10个，斐波那契序列找到7个，且两序列在索引827处均存在史密斯数。
2026-09-03 math.HO math.NT
The Fibonacci numbers are not an additive uniqueness set for multiplicative functions
Department of Mathematics Education, Kyungnam University（庆南大学数学教育系）
本文通过构造反例，否证了 Spiro 关于斐波那契数构成乘法函数加法唯一性集合的猜想，并给出 AI 辅助搜索与验证方法。
2026-09-09 math.NT
From Fibonacci Numbers to Central Limit Type Theorems
Zeckendorf的一个美丽的定理指出，每个整数都可以唯一地写成非连续的斐波那契数$\{F_n\}_{n=1}^{\infty}$的和。Lekkerkerker证明了在$[F_n, F_{n+1})$中整数的被加数的平均数是$n/(ϕ^2 + 1)$，$ϕ$是黄金分割数。这一点概括如下：给定非负整数$c_1,c_2,...,c_L$和$c_1,c_L>0$以及递归序列$\{H_n\}_{n=1}^{\infty}$和$H_1=1$、$H_{n+1} =c_1H_n+c_2H_{n-1}+...+c_nH_1+1$、$(1\le n< L)$和$H_{n+1}=c_1H_n+c_2H_{n-1}+...+c_LH_{n+1-L}$ $(n\geq L)$，每个正整数在$a_i$的自然约束下可以唯一地写为$\sum a_iH_i$，$[H_{n}, H_{n+1})$中整数的被加数的均值和方差的大小为$n$，当$n$趋于无穷大时，被加数的分布趋于高斯分布.以前的方法使用数论或遍历理论。我们将问题转化为组合问题。除了重新推导这些结果，我们的方法推广到许多其他问题（在续集论文\cite{BM}中，我们展示了这种观点如何使我们能够确定分解中的被加数之间的间隙分布）。例如，已知每个整数可以唯一地写为$\pm F_n$的和，使得每两个相同（相反）符号的项的索引至少相差4（3）。负被加数的存在引…
2011-10-26 math.NT
On congruence properties of poly-Bernoulli numbers with negative upper-indices
本文研究了负上标多重伯努利数的同余与 $p$ 进性质，并将其结果应用于推导 lonesum 矩阵数量的同余性质。
2024-09-27 math.NT
On the Frobenius Problem for Some Generalized Fibonacci Subsequences -- II
本文研究了任意起始项与偶数步长下的广义Fibonacci子列集合，确定了其Frobenius数和亏格的计算问题。
2025-07-01 math.NT
On sums of two Fibonacci numbers that are powers of numbers with limited Hamming weight
在2018年，Luca和Patel证明了可以表示为两个斐波那契数之和的最大完全幂是$3864^2 = F_{36} + F_{12}$。换句话说，他们证明了方程\begin{equation}\tag{$\ast$}\label{eq:abstract} y^a = F_n + F_m \end{equation}没有$a\geq 2$和$y^a > 3864^2$的解。虽然这仍然是一个开放的问题，有几个部分的结果。例如，最近Kebli，Kihel，Larone和Luca证明了$y^a$的显式上界，它取决于$y$的大小。在本文中，我们找到了一个明确的上界$y^a$，它只依赖于汉明重量$y$关于Zeckendorf表示。更具体地说，我们证明了：如果$y$和一些非负整数$n,m$和$a\geq 2$满足$y = F_{n_1}+ \dots + F_{n_k}$和方程\eqref{eq:abstract}，则\[ y^a \leq \exp\left(C{(\varepsilon)} \cdot k^{(3+\varepsilon)k^2} \right). \]这里，$\varepsilon >0$可以任意选择，$C(\varepsilon)$是一个有效的可计算常数.
2023-02-16 math.NT
On the diophantaine equations $J_N +J_M =F_A$ & $F_N +F_M =J_A$
设$\left\lbrace F_{k}\right\rbrace_{k\geq0}$是由$F_{k}=F_{F-1}+F_{k-2}$为所有首字母为$F_{0}=0\; F_{1}=1$的$ n\geq2$定义的斐波那契序列。令$\left\lbrace J_{n}\right\rbrace_{n\geq0}$是由$J_n=2J_{n-1}+J_{n-2}$定义的Jacobsthal序列，用于所有首字母为$J_0=0$、$J_1=1$的$ n\geq2$。本文求出了两个丢番图方程$J_n +J_m =F_a$，$F_n +F_m =J_a$在非负整数变量（n，m，a）中的所有解，即确定了所有Fibonacci数是两个Jacobsthal数之和，也确定了所有Jacobsthal数是两个Fibonacci数之和。
2022-09-29 math.NT
On the Frobenius Problem for Some Generalized Fibonacci Subsequences -- I
本文研究广义斐波那契子序列构成的集合的 Frobenius 数与亏格，针对任意起始项及奇数或等于2的间隔参数，给出计算方法。
2024-11-07 math.NT
The Number of Solutions to $ax+by+cz=n$ for Fibonacci and Lucas triplets
Department of Mathematics, Sant Longowal Institute Of Engineering And Technology（桑特隆加尔工程与技术大学数学系）
本文研究了在斐波那契和卢卡斯三元组情况下，方程 $ax+by+cz=n$ 的非负整数解的个数，并推导出精确公式。
2026-04-11 math.CO math.NT
Generalizing Zeckendorf's Theorem: The Kentucky Sequence
根据Zeckendorf定理，斐波那契数列的一个等价定义（适当规范化）是它是唯一的递增整数序列，使得每个正数都可以唯一地写成不相邻元素的和;这被称为合法分解。以前的工作研究了分布的被加数和它们之间的间距，在法律分解所产生的斐波那契数和其他线性递归关系与非负积分系数。这些结果中的许多仅限于定义复发中的首项为阳性的情况。我们研究了一个推广的斐波那契数与一个简单的概念的合法性，导致复发的首项消失。我们再次有独特的合法分解，高斯行为的数量的被加数，和几何衰减的差距的分布。
2014-09-01 math.NT
Tribonacci and Tribonacci-Lucas Matrix Sequences with Negative Subscripts
本文定义了具有负指数的Tribonacci和Tribonacci-Lucas矩阵序列，并研究了它们的性质。
2018-09-24 math.NT
On (a,b) Pairs in Random Fibonacci Sequences
我们研究随机Fibonacci树，它是一个无限二叉树，在每个节点上的非负整数。根由数字1和一个孩子组成，也是数字1。我们用下面的方法递归地定义树：如果x是y的父树，那么y有两个孩子，即|X-Y| x+y。这棵树是研究伯努瓦Rittaud谁证明了任何一对整数a，b互质出现作为一个父母子女对无限经常。我们扩展他的结果确定的概率，随机无限行走在这棵树包含正好一对（1，1），这是在树根的树。此外，我们给出了严格的上限和下界的出现次数的任何特定互质对（a，b）在任何给定的固定深度的树。
2018-02-28 math.CO math.NT
Solving Skolem problem for negative indexed $k-$generalized Pell numbers
National Institute of Technology Rourkela（国家技术研究所鲁尔克拉）
本文研究了负索引k-广义佩尔数的零点问题，证明了对于k∈[4,500]，零乘积次数为χ_k = ⌊k²/4⌋。
2026-01-23 math.NT
On the number of summands in Zeckendorf decompositions
Zeckendorf证明了每一个正整数都有一个唯一的表示为非连续的斐波那契数之和。一旦显示了这一点，很自然地会问需要多少个被加数。Lekkerkerker使用连分数方法证明了$[F_n, F_{n+1})$中整数所需的这种被加数的平均数是$n / (φ^2 + 1) + O(1)$，其中$φ= \frac{1+\sqrt{5}}2$是黄金平均数。令人惊讶的是，似乎没有人研究被和数的分布;我们的主要结果是，这收敛到高斯$n\to\infty$。此外，这样的结果不仅适用于斐波那契数，而且适用于许多其他问题，例如具有非负整数系数的线性递归关系（这是数的基$B$展开式的推广）和远差表示。一般来说，证明涉及采用组合的观点，并通过部分分式展开和微分恒等式分析产生的生成函数。由此产生的论点变得相当技术性;本文的目的是集中在特殊和最有趣的情况下的斐波那契数，其中的障碍消失和证明遵循一些组合和斯特林公式;见[MW]的证明在一般情况下。
2010-08-19 math.NT
Analytic Continuation for Multiple Zeta Values using Symbolic Representations
我们引入了负指数下$r$ -重调和和的符号表示。这种表示使我们能够恢复和扩展Duchamp等人最近的一些结果，例如这些和的递归关系和生成函数。这种方法也适用于研究家庭的扩展伯努利多项式，这出现在计算谐波和负指数。它还允许我们重新解释Raabe解析延拓的多重zeta函数作为一个常数项扩展的Faulhaber公式，并作为一个自然的重整化过程的Faulhaber公式的结果。
2019-03-18 math.NT
On a new closed formula for the solution of second order linear difference equations and applications
本文利用矩阵理论建立了二阶常系数齐次线性差分方程解的一个新的闭公式。这反过来又给出了新的闭公式，涉及所有序列的这种类型，如斐波那契和卢卡斯序列。作为应用，我们证明了Binet公式在这种情况下对负整数也是有效的.最后，我们发现新的求和公式有关的元素，这样的序列。
2020-12-29 math.NT
New families of special numbers for computing negative order Euler numbers
本文的主要目的是构造新的特殊数族及其生成函数。这些数字与许多著名的数字有关，这些数字是伯努利数，斐波那契数，卢卡斯数，第二类斯特林数和中心阶乘数。本文的另一个启发与Golombek问题\cite{golombek} \textquotedblleft Aufgabe 1088，El. 49（1994）126-127 \textquotedblright。我们的第一个数不仅与Golombek问题有关，而且与负阶欧拉数的计算有关。我们计算一些由表给出的数字的值。我们给出了一些在概率和统计中的应用。也就是说，在二项分布和伯恩斯坦多项式中，数学期望的特殊值给我们的数字的值。对生成函数求导，得到了偏微分方程和函数方程。利用这些方程，我们得到了一些递推关系和一些计算公式。此外，我们给出了两个算法计算我们的号码。我们也给出了一些组合应用，进一步说明了我们的数及其生成函数。
2016-04-19 math.NT
Conjectures About Cyclic Numbers: Resolutions and Counterexamples
本文系统解决了Cohen关于循环数的22个猜想（证16否6），涵盖渐近、间隙、比值及结构等结果，并完全解决了OEIS中滑动平均为斐波那契数的序列问题，证明Fried猜想2。
2025-11-06 math.NT
Gaussian Behavior in Generalized Zeckendorf Decompositions
Zeckendorf的一个美丽的定理指出，每一个整数都可以唯一地写成非连续斐波那契数$\{F_n\}_{n=1}^{\infty}$的和; Lekkerkerker证明了$[F_n, F_{n+1})$中整数的被加数的平均数是$n/(ϕ^2 + 1)$，其中$ϕ$是黄金平均数。有趣的是，更高的时刻似乎被忽略了。我们讨论的证明，分布的数目的被加数收敛到一个高斯$n \to \infty$，并评论有关分解的推广。例如，每个整数都可以唯一地写为$\pm F_n$的和，使得每两个相同（相反）符号的项的索引至少相差4（3）。正和负被加数的分布收敛于具有可计算的负相关的二元正态分布，即$-(21-2ϕ)/(29+2ϕ) \approx -0.551058$。
2011-07-14 math.NT
Resolution of the Skolem Problem for $k$-Generalized Lucas Sequences
National Institute of Technology Rourkela（国家技术研究所鲁尔凯拉分校）；Institute of Mathematics and Applications, Andharua, Bhubaneswar（数学与应用研究所）
本文研究了$k$-广义卢卡斯序列的零分布问题，通过确定负指数下零点的分布，证明了该序列的零乘数为$(k-1)(k-2)/2$。
2026-03-07 math.NT
