A short proof of the non-biplanarity of $K_9$
Ahmad Biniaz
Battle，Harary，and Kodama（1962）和Tutte（1963）分别证明了有9个顶点的完全图不是双平面图。为了简单和简洁，在这篇文章中，我们提供了一个简短的证明。
Battle, Harary, and Kodama (1962) and independently Tutte (1963) proved that the complete graph with nine vertices is not biplanar. Aiming towards simplicity and brevity, in this note we provide a short proof of this claim.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A short proof of Kneser's theorem via transversals
给出Kneser定理的一个很简短的截线证明.
Short proof of Halin's grid theorem for thick ends
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The choosability version of Brooks' theorem -- a short proof
我们提出了一个简短的和独立的证明布鲁克斯定理的可选性版本。
A short proof of the tree-packing theorem
本文给出了Tutte和Nash-Williams关于具有k个边不相交生成树的图的刻划的一个简单的初等证明。
A short proof of Combinatorial Nullstellensatz
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A short proof for Dougall's $_2H_2$-series identity
根据Chen和Fu的方法，我们给出了Dougall的$_2H_2$ -级数恒等式的一个简短证明.
A Very Short (Bijective!) Proof of Touchard's Catalan Identity
一个非常短的，双射证明，Touchard的加泰罗尼亚身份，使用戴克路径。
A short and elementary proof for a double sum of Brent and Osburn
我们提出了一个简短而完全初等的证明，证明了Brent和Osburn在arXiv：1309.2795v2中研究的双重和。
A short proof that ``proper = unit''
给出了具有适当区间表示的图与具有单位区间表示的图相同的一个简短证明。
A short proof of the existence of designs
针对设计存在性问题，提出一种新证明方法，其更简短且能给出更优的界。
A Shorter Proof of the Transitivity of Transfinite Connectedness
给出了超限图连通性的传递性的一个判别准则。它的证明比先前发表的关于该标准的论证要短得多。
A different short proof of Brooks' theorem
Lovász给出了一个简短的证明布鲁克斯定理着色greetings在一个良好的秩序。我们给出一个不同的简短证明，通过减少到立方的情况。然后，我们展示了如何通过核引理将结果扩展到（在线）列表着色。
Short proof of the Gallai-Edmonds Structure Theorem
从Hall定理出发，导出了Gallai-Edmonds结构定理。
Short proofs on $k$-extendible graphs
本文基于[于庆林，关于$n$-可扩图的一个注记]中证明的一个性质，给出了关于$k$-可扩图的两个已知结果的简短归纳证明. Journal of图论，16：349-353，1992]。
A short proof of the existence of a minor-universal countable planar graph
本文提出了一种新的、更简短的次泛通用平面图构造方法，证明了其存在性。
A short proof of Kotzig's theorem
本文给出了关于具有唯一完美匹配的图的Kotzig定理的一个新的最短证明。Kotzig定理是Yeo关于无交错圈边有色图的定理的一个推广。我们提出了一个证明Yeo定理的基础上相同的想法，我们的证明Kotzig定理。
A short proof of Brooks' theorem
我们给出了一个简单的简短证明布鲁克斯定理只使用归纳法和贪婪着色，同时避免了图的连通性问题。这个论证很容易推广到Brooks定理的一些扩展，包括列表着色，符号图着色和对应着色的变体。
A short proof of Lagrange-Good formula using Dirac delta function
利用狄拉克δ函数的傅里叶表示，给出了Lagrange-Good公式的简洁半页证明。
A short proof of generalized Jacobi-Trudi expansions for Macdonald polynomials
我们给出了麦克唐纳多项式的发展的一个初等证明的“修改完全”和初等对称函数。
Complete minors and average degree -- a short proof
我们提供了一个简短的和自包含的经典结果的证明Kostochka和Kastason，确保每一个图的平均度$d$有一个完整的未成年人的顺序$d/\sqrt{\log d}$。
A short proof of the Deutsch-Sagan congruence for connected non crossing graphs
我们给出了一个简短的证明，使用拉格朗日反演，一个同余模3的数量连接不交叉图的n个顶点，是由Emeric Deutsch和布鲁斯萨根。更复杂的证明已经由S. P. Eu，S.- C. Liu和Y.- N.是的。
A short proof of the canonical polynomial van der Waerden theorem
我们提出了一个简短的新证明的规范多项式范德瓦尔登定理，最近建立的Girao [arXiv：2004.07766]。
A Short Proof to Defant and Kravitz's theorem on the Length of Hitomezashi Loops
本文为Defant和Kravitz关于Hitomezashi环长度模8的定理提供了更简短的证明。
A Short Combinatorial Proof of Derangement Identity
具有参数$r$的第$n$次逆数是具有恰好$r$不动点的排列的数目。特别地，乱序是没有任何不动点的置换。给出了一个加权和错位恒等式的一个简短的组合证明。
Analysis of the parallel peeling algorithm: a short proof
Jiang，Mitzenmacher和Thaler最近的一篇论文上限了应用于边缘密度低于k-核心出现阈值的随机超图的并行剥离算法所需的轮数。我在这篇笔记中给了他们的结果一个非常简短的证明。
Short proofs of some extremal results II
我们证明了几个结果从不同领域的极值组合，包括完全或部分解决方案的一些开放的问题。这些结果主要来自于极值图论和拉姆齐理论，因为在每种情况下相关的证明都很短，所以被收集在一起。
Short proofs of some extremal results
我们证明了几个结果，从不同领域的极值组合，提供完整或部分解决方案的一些开放的问题。这些结果，来自领域，如极值图论，拉姆齐理论和添加剂组合，已收集在一起，因为在每种情况下，有关的证明是相当短的。
A Short Proof of Euler--Poincaré Formula
“V-E + F = 2”是著名的欧拉多面体公式，它可以自然地推广到任何有限维的凸多胞体，也称为欧拉-庞加莱公式。我们给出了这个一般公式的另一个简短的归纳证明。我们的证明是自包含的，它不使用多面体的可壳性。
A short proof that every finite graph has a tree-decomposition displaying its tangles
我们给出了一个简短的证明，每个有限图（或拟阵）有一个树分解，显示所有的最大缠结。这一定理的图形是一个中心的结果，图未成年人项目的罗伯逊和西摩和扩展拟阵是由于吉伦，Gerards和惠特尔。
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利用抛物型Hecke代数的Kazhdan-Lusztig理论，给出了从Specht基到Kazhdan-Lusztig基的基变换系数的一个简短证明.
A short proof of the Kac-Ward formula
给出了平面图上伊辛模型的配分函数的Kac-Ward公式的一个简短证明.
A short proof of the Four Colour Theorem
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A Short Proof of the Zeilberger-Bressoud $q$-Dyson Theorem
给出了Zeilberger和Bressoud首先证明的Andrews的$q$ -Dyson猜想的一个正式的洛朗级数证明.
A short proof of the finiteness of Dynkin friezes
本文用初等方法简短证明了任意 Dynkin 图仅有有限多个正整数 friezes，并为相关数值提供显式上界。
A short proof of a famous combinatorial identity
我们解释了身份$$\sum_{i+j=n}\binom{2i}{i}\binom{2j}{j}\;=\;\displaystyle4^n$$是一个很容易的后果的容斥原理。
Short proofs of some extremal results III
我们证明了选择的结果从不同领域的极值组合，包括完整或部分解决方案的一些开放的问题。这些结果，主要来自极值图论和拉姆齐理论，已收集在一起，因为在每种情况下，有关的证明是合理的短。
Short proof that Kneser graphs are Hamiltonian for $n\geq 4k$
对于整数$n\geq k\geq 1$，Kneser图$K(n,k)$是具有点集$V=[n]^{(k)}$和边集$E=\{\{x,y\} \in V^{(2)}: x\cap y=\emptyset\}$的图。Chen证明了对于$n\geq 3k$，Kneser图是哈密尔顿的，后来改进为$n\geq 2.62k+1$。此外，Chen和Füredi给出了一个简短的证明：若$k | n$，则Kneser图是$n\geq 3k$的Hamilton图.在本文中，我们给出了一个不需要整除条件的简短证明，即，给出了$K(n,k)$是$n\geq 4k$的哈密尔顿算子的一个简短证明。
A short conceptual proof of Narayana's path-counting formula
我们推导出纳拉亚纳的公式，适合在一个年轻的图作为一个直接后果的Gessel-Viennot定理不相交的晶格路径的晶格路径的数量。
A Short Proof of Gowers' Lower Bound for the Regularity Lemma
Gowers的一个著名结果是：对于每个ε> 0，存在一个图G，使得G的每个ε-正则划分（在Szemeredi正则引理的意义下）的阶由1/ε中高度多项式的指数塔给出。在本说明中，我们给出了一个新的证明这个结果，使用的建设和证明的正确性，显着更简单，更短。
A Short Proof for a Lower Bound on the Zero Forcing Number
对Davila和Kenter关于图$G$的迫零数$Z(G)$的一个下界猜想给出了一个简短的证明.更具体地说，我们证明了$Z(G)\geq (g-2)(δ-2)+2$，对于每个图$G$周长$g$至少$3$和最小度$δ$至少$2$。
A Short Proof of Jacobi's Formula for the Number of Representations of an Integer as a Sum of Four Squares
一个简短的初等证明和有限形式的推广，给出了雅可比公式的数量的方式写一个整数作为一个四个平方和（这意味着拉格朗日著名的1777年定理。
A short proof of Isserlis' theorem
本文通过将Isserlis定理作为各向同性张量不变张量定理的推论，给出了该定理的一个简短证明。
A short proof of rigidity of convex polytopes
给出了Dehn关于凸多胞体无穷小刚性定理的一个简化证明。我们的方法是基于Trushkina和Schramm的想法。
A short, based on the mixed volume, proof of Liggett's theorem on the convolution of ultra-logconcave sequences
R. Pemantle承认，和T. M。Liggett在1997年证明了两个超对数凹的卷积是超对数凹的。利格特的证明是基本的，但很长。我们在这里提出了一个简短的证明，基于混合体积的凸集。
A short proof of Erdős's $B+C$ conjecture
本文通过简化的证明方法，展示了具有正上Banach密度的自然数集包含两个无限集的和，改进了之前的证明。
A short proof of the Bernoulli decomposition theorem
本文通过构造可容许划分，给出了Bernoulli分解定理的一个简短证明。
A short proof of Kneser's addition theorem for abelian groups
Martin Kneser证明了以下的加法定理对每一个阿贝尔群$G$。如果$A,B \subseteq G$是有限且非空的，则$|A+B| \ge |A+K| + |B+K| - |K|$其中$K = \{g \in G \mid g+A+B = A+B \}$。在这里，我们给出了一个简短的证明，这是基于一个简单的交集联盟的论点。
A Short Proof of the Rank Formula for Inclusion Matrices using the Representation Theory of the Symmetric Group
通过构造包含矩阵的列所张成的$k\mathcal{S}_n$ -模并计算其维数，给出了包含矩阵秩的一个著名公式的新证明。
A short proof of a conjecture on the higher connectivity of graph coloring complexes
Hom-complex是由Lovasz为了研究图着色的拓扑障碍而引入的。Hom（G，K_n）是（n-d-2）-连通的，其中d是G的顶点的最大度，这是由Babson和Kozlov提出的，Cukic和Kozlov证明了这一点.我们给出了一个简短的证明的猜想。
A short proof that $w(3,k) \ge (1-o(1))k^2$
本文给出了双色vanderWaerden数$w(3,k)$由$(1-o(1))k^2$下界的一个简短证明.以前的工作已经表明，一个超多项式下界保持$w(3,k)$。然而，我们相信我们的结果仍然是由于我们的技术感兴趣。
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