组合零点定理的一个简短证明

留数与组合零点定理

Residues and the Combinatorial Nullstellensatz

我们将Noga Alon的组合零点定理解释为一个多维留数公式，描述了这种解释的一些结果和相关的公开问题。

组合零点定理技术

Combinatorial Nullstellensatz Techniques

本文介绍多种将组合零点定理用于有限域多项式的技术，推广了Noga Alon的相关定理并提出若干新定理。

多项式展开的组合零空间方法

Combinatorial Nullstellensatz Approach to Polynomial Expanding

应用类似于组合零点的技术，我们证明了一个较低的估计$|f(A,B)|$有限子集$A$，$B$的一个字段，和多项式$f(x,y)$的形式$f(x,y)=g(x)+yh(x)$，其中程度的$g$大于程度的$h$。

组合判别式定理的启发式阐述

Motivated exposition of combinatorial Nullstellensatz

本文通过启发式方法展示组合判别式定理在解决基础问题中的应用，并引导读者进行推广。

组合零点定理与完全 r-部 r-一致超图的 Turán 数

Combinatorial Nullstellensatz and Turán numbers of complete $r$-partite $r$-uniform hypergraphs

本文利用 Lasoń 推广的组合零点定理框架构造完全 r-部 r-一致超图 Turán 数的下界，并给出 Erdős 盒子问题的简短显式构造，证明当 r≤4 时渐近匹配已知最佳界。

模素幂的组合零元数与奇偶论证

Combinatorial Nullstellensatz modulo prime powers and the Parity Argument

我们提出了新的推广奥尔森定理和阿隆的组合零点的后果。这些使我们能够扩展他们的一些组合应用的条件模素数的条件模素数的权力。我们分析了这类组合问题对应的计算搜索问题，证明了寻找度约束子图模$2^d$（如$2^d$ -可除子图）的问题和搜索$\mathbb{F}_2$上的组合零点问题属于复杂性类多项式奇偶论证（PPA）.

组合零点定理的Gröbner基方法

A Gröbner Basis Approach to Combinatorial Nullstellensatz

本文通过刻画首一多项式构成的Gröbner基，从Gröbner基视角建立一般零点定理，并由此得到多重集零点定理、带重数零点定理及穿孔零点定理等推论，进而推广超平面覆盖结果并给出广义Alon-Füredi定理的新证明。

组合最优化问题的多项式方程表示及零值化

Expressing Combinatorial Optimization Problems by Systems of Polynomial Equations and the Nullstellensatz

复数或实数上的多项式方程系统可用于模拟组合问题。这样，一个组合问题是可行的（例如，一个图是3-可着色的，哈密尔顿的，等等）。当且仅当一个相关的多项式方程组有解。在本文的第一部分中，我们构造了新的多项式编码，用于寻找图的最长圈、最大平面子图、边色数或最大k-可着色子图。对于一个不可行的多项式系统，（复）希尔伯特零点定理给出了相关组合问题不可行的证明。因此，除非P = NP，必须存在一个无穷序列的不可行的情况下，每个硬组合问题的最低程度的希尔伯特零stellenerance证书的相关多项式系统的增长。证明了不存在大于图的稳定数的独立集的最小度是图的稳定数。此外，这样的证书包含G的每个独立集的至少一个项。相比之下，对于非3-可着色性，我们发现只有图的度为4的Nullstellenkirk证书。

Hilbert零点定理及证明组合不可行性的一个算法

Hilbert's Nullstellensatz and an Algorithm for Proving Combinatorial Infeasibility

在代数闭域K上的多项式方程组可以用来对许多组合问题进行简明的建模。以这种方式，组合问题是可行的（例如，图是3-可着色的、Hamilton的等等）。当且仅当一个相关的多项式方程组在K上有解。在本文中，我们研究了一种算法，旨在证明组合的不可行性的基础上观察到的低程度的希尔伯特的零stellenestructive证书的多项式系统中产生的组合和大规模的线性代数计算K。我们报告的基础上证明的非3-着色图的问题的实验。我们成功地解决了具有数千个节点和数万条边的图问题实例。

重复应用零和网格的组合零点定理于 Martin Gardner 的最小无三连线问题

Repeatedly applying the Combinatorial Nullstellensatz for Zero-sum Grids to Martin Gardner's minimum no-3-in-a-line problem

本文通过重复应用零和网格的组合零点定理，证明了 Martin Gardner 提出的最小无三连线问题在 $n \equiv 1 \pmod 4$ 时下界为 $n+1$ 的猜想。

Enumerative Aspects of Nullstellensatz Certificates

Using polynomial equations to model combinatorial problems has been a popular tool both in computational combinatorics as well as an approach to proving new theorems. In this paper, we look at several combinatorics problems modeled by systems of polynomial equations satisfying special properties. If the equations are infeasible, Hilbert's Nullstellensatz gives a certificate of this fact. These certificates have been studied and exhibit combinatorial meaning. In this paper, we generalize some known results and show that the Nullstellensatz certificate can be viewed as enumerating combinatorial …

3色性的低度零值证书

Low Degree Nullstellensatz Certificates for 3-Colorability

在一篇开创性的论文中，De Loera et.本文介绍了一种算法NulLA（Nullstellenalgebra线性代数），并用它来衡量判定一个图是否是3-可着色的难度。其关键在于图的3-着色与域$\mathbb{k}$上的多项式方程组的解之间的对应关系。在这篇文章中，我们给出了一个新的直接的组合特征图，可以确定为非3-着色在该算法的第一次迭代时，当$\mathbb{k}=GF(2)$。这大大简化了德Loera等的工作。al，因为我们直接用图本身来表示组合特征，而不引入多余的有向图。此外，对于最多$12$顶点上的所有图，我们确定当$\mathbb{k}=GF(2)$时，NulLA在哪个迭代处检测到图不是3-可着色的。

斜多项式环中的组合零点定理、Chevalley-Warning定理与弱有限定理

The Combinatorial Nullstellensatz, Chevalley-Warning Theorem and weak Finitesatz in skew polynomial rings

该研究针对多元斜多项式环，推广了组合零点定理，并在除环为有限域时，证明了Chevalley-Warning定理、Ax引理及Terjanian有限定理弱情形的斜类比结果。

组合零点定理在魔术型图标记中的应用

Application of the Combinatorial Nullstellensatz to magic-type graph labelings

本文利用组合零点定理，对简单图\(G\)，在给定整数\(k\geq 2\)下，研究边标记\(h\)诱导顶点标记的情况，分析\(G\)成为\(t -\)和\(\mathbb Z_k -\)魔术图以及\(\mathbb{Z}_{k}-\)反魔术图的条件。

通过多项式理想和消元定理研究Ramsey数

Ramsey Numbers through the Lenses of Polynomial Ideals and Nullstellensätze

本文通过多项式理想和消元定理研究Ramsey数，构造消元证书并推广至其他Ramsey理论数

Alon零点定理的一些推广

Some extensions of Alon's Nullstellensatz

阿隆的组合零点，特别是由此产生的非零准则是组合数学中最强大的代数工具之一，具有许多重要的应用。本文在两个方向上推广了非零定理。我们证明了一个版本，允许重点。另外，我们还建立了一个变体，它不仅在域的子环上有效，而且在任意交换环上都有效。作为应用，我们证明了Alon和Füredi关于离散立方体超平面覆盖定理的推广.

定量组合零点

Quantitative Combinatorial Nullstellensatz

本文的主要结果是一个系数公式，它改进和推广了Alon和Tarsi的组合零点公式，当只给出多项式$P(X_1,...c,X_n)$的不完全信息时，它提供了多项式映射$P|_{\X_1\times...\times\X_n}$的一些信息.在一个非常一般的工作框架中，在代数解--某个描述多项式$P(X_1,...c,X_n)$--下不为零的网格点$x\in\X_1\times\...b\times\X_n$对应于问题的显式解。作为系数公式的结果，我们证明了代数解的存在性等价于问题的非平凡解的存在性。所谓问题，我们指的是同时“拥有”这两个问题的一切，一个是集合$§$，可以称为\emph{set of solutions} ;另一个是子集$\St\subseteq§$，即\emph{set of trivial solutions}。我们给出了几个例子，说明如何找到代数解，以及如何应用我们的系数公式。这些例子主要是从图论和组合数论，但我们也证明了几个版本的Chevalley和警告的定理，包括推广奥尔森定理，作为例子和有用的推论。将系数公式应用于矩阵多项式，得到了一个积和公式，它是图多项式的推广。该公式是对下列公式的综合概括和深化：1.雷瑟的永久配方2. Alon's Permanent Lemma. 3.关于图的定向和着色的Alon和Tarsi定理。此外，结合平面（n）正则图的Vignero…

On almost k-covers of hypercubes

In this paper, we consider the following problem: what is the minimum number of affine hyperplanes in $\mathbb{R}^n$, such that all the vertices of $\{0, 1\}^n \setminus \{\vec{0}\}$ are covered at least $k$ times, and $\vec{0}$ is uncovered? The $k=1$ case is the well-known Alon-Füredi theorem which says a minimum of $n$ affine hyperplanes is required, proved by the Combinatorial Nullstellensatz. We develop an analogue of the Lubell-Yamamoto-Meshalkin inequality for subset sums, and completely solve the fractional version of this problem, which also provides an asymptotic answer to the integr…

Zeilberger-Bressoud q-Dyson定理的一个简单证明

A simple proof of the Zeilberger-Bressoud q-Dyson theorem

作为组合零点定理的一个应用，我们给出了由Andrews提出并由Zeilberger和Bressoud首先证明的Dyson猜想的q-模拟的一个简短的多项式证明。

Orientations of 1-Factorizations and the List Chromatic Index of Small Graphs

As starting point, we formulate a corollary to the Quantitative Combinatorial Nullstellensatz. This corollary does not require the consideration of any coefficients of polynomials, only evaluations of polynomial functions. In certain situations, our corollary is more directly applicable and more ready-to-go than the Combinatorial Nullstellensatz itself. It is also of interest from a numerical point of view. We use it to explain a well-known connection between the sign of 1-factorizations (edge colorings) and the List Edge Coloring Conjecture. For efficient calculations and a better understandi…

Addition Theorems in Fp via the Polynomial Method

In this article, we use the Combinatorial Nullstellensatz to give new proofs of the Cauchy-Davenport, the Dias da Silva-Hamidoune and to generalize a previous addition theorem of the author. Precisely, this last result proves that for a set A $\subset$ Fp such that A $\cap$ (--A) = $\emptyset$ the cardinality of the set of subsums of at least $α$ pairwise distinct elements of A is: |$Σ$$α$(A)| $\ge$ min (p, |A|(|A| + 1)/2 -- $α$($α$ + 1)/2 + 1) , the only cases previously known were $α$ $\in$ {0, 1}. The Combinatorial Nullstellensatz is used, for the first time, in a direct and in a reverse wa…

A Short Combinatorial Proof of Derangement Identity

The $n$-th rencontres number with the parameter $r$ is the number of permutations having exactly $r$ fixed points. In particular, a derangement is a permutation without any fixed point. We presents a short combinatorial proof for a weighted sum derangement identities.

一个著名组合恒等式的简短证明

A short proof of a famous combinatorial identity

我们解释了身份$$\sum_{i+j=n}\binom{2i}{i}\binom{2j}{j}\;=\;\displaystyle4^n$$是一个很容易的后果的容斥原理。

组合的Alexander对偶--一个简单的证明

Combinatorial Alexander Duality -- a Short and Elementary Proof

设X是一个具有基集V的单纯复形，定义其Alexander对偶为一个单纯复形X* = {A \subset V：V \setminus A \notin X}。组合Alexander对偶指出X的第i个约化同调群同构于X* 的第（|V| -i-3）个约化上同调群（在给定的交换环R上）。我们给出了一个完备的证明。

代数学组合几何：算术组合学、关联组合学和数论中的多项式方法

Algebraic combinatorial geometry: the polynomial method in arithmetic combinatorics, incidence combinatorics, and number theory

算术组合学经常关注的问题是，在一个群或环中，关于算术运算（如加法或乘法）的任意有限集的行为的边界。类似地，组合几何通常关注的问题是约束几何对象（如点、线或圆）的任意有限集合相对于几何运算（如关联或距离）的行为。由于这些问题中存在任意有限集，用于攻击这些问题的方法主要是组合的性质。然而，近年来，这些问题中的许多悬而未决的问题已经通过代数手段（更具体地说，使用代数几何和/或代数拓扑的工具）得到解决，从而产生了一套新兴的技术，现在被称为多项式方法。虽然多项式方法的各种实例已经知道了几十年（如Stepanov方法、组合零点定理或Baker定理），这种方法的一般理论尚处于成熟过程中;特别是多项式方法的局限性还没有被很好地理解，并且仍然有相当大的范围来应用来自代数几何或代数拓扑的更深入的结果以进一步加强该方法。在本调查中，我们提出了这些方法的几个已知的应用程序，重点放在最简单的情况下来说明的技术。我们将尽可能少地假设代数几何的先验知识。

Johnson 方案中三个组合结果的简短证明

Short proofs of three combinatorial results in the Johnson scheme

本文给出 Johnson 方案中三个极值问题定理的简短证明，主要结果是证明了 Aljohani–Bamberg–Cameron 猜想：若 n > n_0(k) 且存在一个 (n,k,L)-系统和一个 (n,k,{0,…,k-1}\L)-系统，其大小乘积为 C(n,k)，则它们分别是某个 t 的 t-相交族和 Steiner 系统 S(t,k,n)。

关于组合序列与不完全Gamma函数的一个注记

A note about combinatorial sequences and Incomplete Gamma function

在这个简短的说明中，我们提出了一组有趣的和有用的性质的一个参数的家庭的序列，包括阶乘和subfactorial，和它们的关系的伽玛函数和不完全伽玛函数。

Combinatorial Proofs of Identities Involving Symmetric Matrices

Brualdi and Ma found a connection between involutions of length $n$ with $k$ descents and symmetric $k\times k$ matrices with non-negative integer entries summing to $n$ and having no row or column of zeros. From their main theorem they derived two alternating sums by algebraic means and asked for combinatorial proofs. In this note we provide such demonstrations making use of the Robinson-Schensted-Knuth correspondence between symmetric matrices and semi-standard Young Tableau. Additionally, we restate the proof of Brualdi and Ma's main result with this perspective which shortens the argument.

Andrews 与 El Bachraoui 若干结果的组合证明

Combinatorial Proofs of Some Results of Andrews and El Bachraoui

本文针对 Andrews 与 El Bachraoui 由 q-级数恒等式导出的受限互异偶数分拆和 4-正则分拆恒等式，给出组合证明，并进一步证明受限互异奇数分拆的对应恒等式。

图的Ihara-Selberg Zeta函数的Bass赋值的组合证明

A Combinatorial Proof of Bass's Evaluations of the Ihara-Selberg Zeta Function for Graphs

我们得出的主要两个评价的Ihara-Selberg Zeta函数与图的组合证明。我们给出了三个证明的第一个评价都基于代数的林登字。在第三个证明中，它表明，第一次评估是一个直接后果的Amitsur的身份的特征多项式的总和矩阵。Ihara-Selberg Zeta函数的第二个评价是首先通过一个符号变化的对合技术。我们的第二种方法使用了一个简短的矩阵代数参数。

Weak dual equivalence for polynomials

We use dual equivalence to give a short, combinatorial proof that Stanley symmetric functions are Schur positive. We introduce weak dual equivalence, and use it to give a short, combinatorial proof that Schubert polynomials are key positive. To demonstrate further the utility of this new tool, we use weak dual equivalence to prove a nonnegative Littlewood--Richardson rule for the key expansion of the product of a key polynomial and a Schur polynomial, and to introduce skew key polynomials that, when skewed by a partition, expand nonnegatively in the key basis.

计数树-子网络的Pons-Batle恒等式的一个简短组合证明

A Short Combinatorial Proof of the Pons-Batle Identity for Counting Tree-Child Networks

针对计数树-子网络的Pons-Batle恒等式，本文给出一个简短的组合证明，明确了相关网络数目满足的递推关系。

不存在 $srg(19,6,1,2)$：组合证明

Nonexistence of $srg(19,6,1,2)$: Combinatorial Proof

本文针对参数为 $λ=1$、$μ=2$ 的强正则图族中最小参数集 $srg(19,6,1,2)$ 的不存在性，首次给出了纯组合证明，填补了以往仅依赖代数论证的空白。

Freehedra are short

We prove the combinatorial property of shortness for freehedra. Note that associahedra, a sibling family of polytopes, are not short.

A Combinatorial Approach for Nonparametric Short-Term Estimation of Queue Lengths using Probe Vehicles

Traffic state estimation plays an important role in facilitating effective traffic management. This study develops a combinatorial approach for nonparametric short-term queue length estimation in terms of cycle-by-cycle partially observed queues from probe vehicles. The method does not assume random arrivals and does not assume any primary parameters or estimation of any parameters but uses simple algebraic expressions that only depend on signal timing. For an approach lane at a traffic intersection, the conditional queue lengths given probe vehicle location, count, time, and analysis interval…

组合行列式

A combinatorial determinant

Mina的一个定理计算元素为$D^j(f(x)^i)$的矩阵的行列式。我们注意到矩阵元素在$x=0$上求值的重要特殊情况，并给出了一个简单的证明，以及一些应用。然后，我们给出一般情况下的一个简短证明。

Di Francesco关于Aztec三角形猜想的一个简短组合证明

A short combinatorial proof of Di Francesco's conjecture on Aztec triangles

本文针对Di Francesco关于Aztec三角形domino平铺数的乘积公式猜想，利用完美匹配的分解定理和互补定理，给出了一个无需计算机的简短组合证明。

加强的Hanna Neumann猜想I：一个组合证明

The Strengthened Hanna Neumann Conjecture I: A Combinatorial Proof

我们证明了加强汉娜诺依曼猜想，在其共同的图论制定。我们原来的方法，这一猜想使用上同调的层图，虽然在这里我们给出了一个简短的组合证明，我们发现在一系列的简化的上同调的方法。我们的证明是归纳的，并要求Tardos以前的结果解决秩二的情况下的猜想。

关于Kazhdan--Lusztig多项式组合不变性的一个注记

A note on Combinatorial Invariance of Kazhdan--Lusztig polynomials

本文引入惊人超立方体分解及双捷径概念，提出蕴含对称群Kazhdan--Lusztig多项式组合不变性猜想的组合性猜想，附录还在余初等区间下证明了双超立方体的类似猜想。

A study of unimodality of some combinatorial sequences and polynomials

In this article, we present a short, non-exhaustive study of an important and well-known property of combinatorial sequences - unimodality. We shall have a look at a sample of classical results on unimodality and related properties, and then proceed to understand the unimodality of the Gaussian polynomial in more detail. We will look at an outline of O'Hara's proof of the unimodality of the Gaussian polynomial. In order to grasp the challenge of the problem of obtaining an injective proof of the unimodality of the Gaussian polynomial (which is still an open question), we make several attempts …

Rectangular Young tableaux with local decreases and the density method for uniform random generation (short version)

In this article, we consider a generalization of Young tableaux in which we allow some consecutive pairs of cells with decreasing labels. We show that this leads to a rich variety of combinatorial formulas, which suggest that these new objects could be related to deeper structures, similarly to the ubiquitous Young tableaux. Our methods rely on variants of hook-length type formulas, and also on a new efficient generic method (which we call the density method) which allows not only to generate constrained combinatorial objects, but also to enumerate them. We also investigate some repercussions …

部分等距延拓性质的一个组合证明

A combinatorial proof of the extension property for partial isometries

本研究针对有限度量空间类的部分等距延拓性质，给出了一个简短自包含的组合证明，为该性质提供了新的简洁推导思路。

On sparse random combinatorial matrices

Let $Q_{n,d}$ denote the random combinatorial matrix whose rows are independent of one another and such that each row is sampled uniformly at random from the subset of vectors in $\{0,1\}^n$ having precisely $d$ entries equal to $1$. We present a short proof of the fact that $\Pr[\det(Q_{n,d})=0] = O\left(\frac{n^{1/2}\log^{3/2} n}{d}\right)=o(1)$, whenever $d=ω(n^{1/2}\log^{3/2} n)$. In particular, our proof accommodates sparse random combinatorial matrices in the sense that $d = o(n)$ is allowed. We also consider the singularity of deterministic integer matrices $A$ randomly perturbed by a s…

On certain partition bijections related to Euler's partition problem

We give short elementary expositions of combinatorial proofs of some variants of Euler's partitition problem that were first addressed analytically by George Andrews, and later combinatorially by others. Our methods, based on ideas from a previous paper by the author , enable us to state and prove new generalizations of two of these results.

随机张量模型的组合学

Combinatorics of random tensor models

在这篇简短的评论中，我们介绍了群域论，一类特殊的随机张量模型，它代表了当今的候选人之一，量子引力的基本理论。我们坚持组合丰富的相关结构，即张量图，带状图（或组合地图）的自然推广。

Combinatorial quantum field theory and the Jacobian conjecture

In this short review we first recall combinatorial or ($0-$dimensional) quantum field theory (QFT). We then give the main idea of a standard QFT method, called the intermediate field method, and we review how to apply this method to a combinatorial QFT reformulation of the celebrated Jacobian conjecture on the invertibility of polynomial systems. This approach establishes a related theorem concerning partial elimination of variables that implies a reduction of the generic case to the quadratic one. Note that this does not imply solving the Jacobian conjecture, because one needs to introduce a …