A generalization of Combinatorial Nullstellensatz
Michał Lasoń
本文给出了一个推广的组合零点定理，并对非零单项式作了较弱的假设。我们还提出了我们的结果的应用在原来的定理似乎不工作的情况下。
In this note we give an extended version of Combinatorial Nullstellensatz, with weaker assumption on nonvanishing monomial. We also present an application of our result in a situation where the original theorem does not seem to work.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A short proof of Combinatorial Nullstellensatz
本文给出了著名的组合零点定理的一个简短而直接的证明。
Computational Aspects of the Combinatorial Nullstellensatz Method
在这里，我们讨论一些计算方面的组合零stellenerance参数。我们的主要结果表明，数量级的对称群与置换的变量在代数约束，决定了算法的性能自然推导出从阿隆的组合Nullstellenerance参数。最后给出了一个证明组合问题解的存在性或不存在性的原始-对偶多项式构造。
The Generalized Combinatorial Lason-Alon-Zippel-Schwartz Nullstellensatz Lemma
本文综述了Alon组合零点定理与Schwartz-Zippel引理的若干强化与推广，证明了当变量在足够大范围内独立取值时多元多项式非零值的存在性。
Combinatorial Nullstellensatz and DP-coloring of Graphs
我们开始研究应用组合零点定理的DP-染色的图，即使是众所周知的，Alon-Tarsi定理不适用于DP-染色。我们定义的概念，良好的覆盖的素数阶，这使我们能够应用组合零点DP着色。我们将这些工具应用于某些二部图和唯一3-可着色图的锥的DP-着色。我们还将Akbari，Mirrokni和Sadjad（2006）关于唯一列表可着色性的结果扩展到DP着色的上下文中。建立了图$G$满足$χ_{DP}(G) \leq 3$的一个充分代数条件，并完全确定了所有圈的平方的DP-色数.
$4$-choosability of planar graphs with $4$-cycles far apart via the Combinatorial Nullstellensatz
通过著名的Schlassen定理和Voigt描述的可平面图，我们知道每个可平面图都是$5$ -可选的，并且其界是紧的. 1999年，Lam，Xu和Liu在无$C_4$的可平面图上将$5$约化为$4$.本文应用著名的组合零点定理，设计了一个处理表着色问题的有效算法。同时，我们证明了可平面图$G$是$4$ -可选的，如果任意两个$4$ -圈在$G$中的距离至少为$5$，推广了Lam等人的结果.
Coloring linear hypergraphs: the Erdős-Faber-Lovász conjecture and the Combinatorial Nullstellensatz
长期存在的Erdens-Faber-Lovász猜想指出，每个具有$n$边的$n$ -均匀线性超图都有一个使用$n$颜色的适当顶点着色。在本文中，我们提出了一个代数框架的问题，并制定了相应的更强的猜想。利用组合零点定理，我们将Erdens-Faber-Lovász猜想归结为某些多项式中存在非零系数。这些系数又与一些辅助图的具有规定入度序列的方向的数量有关。我们证明了某些方向的存在性，这验证了我们的代数方法工作的必要条件。
Residues and the Combinatorial Nullstellensatz
我们将Noga Alon的组合零点定理解释为一个多维留数公式，描述了这种解释的一些结果和相关的公开问题。
Combinatorial Nullstellensatz Techniques
本文介绍多种将组合零点定理用于有限域多项式的技术，推广了Noga Alon的相关定理并提出若干新定理。
Combinatorial Nullstellensatz Approach to Polynomial Expanding
应用类似于组合零点的技术，我们证明了一个较低的估计$|f(A,B)|$有限子集$A$，$B$的一个字段，和多项式$f(x,y)$的形式$f(x,y)=g(x)+yh(x)$，其中程度的$g$大于程度的$h$。
Motivated exposition of combinatorial Nullstellensatz
本文通过启发式方法展示组合判别式定理在解决基础问题中的应用，并引导读者进行推广。
Combinatorial Nullstellensatz and Turán numbers of complete $r$-partite $r$-uniform hypergraphs
本文利用 Lasoń 推广的组合零点定理框架构造完全 r-部 r-一致超图 Turán 数的下界，并给出 Erdős 盒子问题的简短显式构造，证明当 r≤4 时渐近匹配已知最佳界。
Combinatorial Nullstellensatz modulo prime powers and the Parity Argument
我们提出了新的推广奥尔森定理和阿隆的组合零点的后果。这些使我们能够扩展他们的一些组合应用的条件模素数的条件模素数的权力。我们分析了这类组合问题对应的计算搜索问题，证明了寻找度约束子图模$2^d$（如$2^d$ -可除子图）的问题和搜索$\mathbb{F}_2$上的组合零点问题属于复杂性类多项式奇偶论证（PPA）.
A Gröbner Basis Approach to Combinatorial Nullstellensatz
本文通过刻画首一多项式构成的Gröbner基，从Gröbner基视角建立一般零点定理，并由此得到多重集零点定理、带重数零点定理及穿孔零点定理等推论，进而推广超平面覆盖结果并给出广义Alon-Füredi定理的新证明。
Expressing Combinatorial Optimization Problems by Systems of Polynomial Equations and the Nullstellensatz
复数或实数上的多项式方程系统可用于模拟组合问题。这样，一个组合问题是可行的（例如，一个图是3-可着色的，哈密尔顿的，等等）。当且仅当一个相关的多项式方程组有解。在本文的第一部分中，我们构造了新的多项式编码，用于寻找图的最长圈、最大平面子图、边色数或最大k-可着色子图。对于一个不可行的多项式系统，（复）希尔伯特零点定理给出了相关组合问题不可行的证明。因此，除非P = NP，必须存在一个无穷序列的不可行的情况下，每个硬组合问题的最低程度的希尔伯特零stellenerance证书的相关多项式系统的增长。证明了不存在大于图的稳定数的独立集的最小度是图的稳定数。此外，这样的证书包含G的每个独立集的至少一个项。相比之下，对于非3-可着色性，我们发现只有图的度为4的Nullstellenkirk证书。
Hilbert's Nullstellensatz and an Algorithm for Proving Combinatorial Infeasibility
在代数闭域K上的多项式方程组可以用来对许多组合问题进行简明的建模。以这种方式，组合问题是可行的（例如，图是3-可着色的、Hamilton的等等）。当且仅当一个相关的多项式方程组在K上有解。在本文中，我们研究了一种算法，旨在证明组合的不可行性的基础上观察到的低程度的希尔伯特的零stellenestructive证书的多项式系统中产生的组合和大规模的线性代数计算K。我们报告的基础上证明的非3-着色图的问题的实验。我们成功地解决了具有数千个节点和数万条边的图问题实例。
Repeatedly applying the Combinatorial Nullstellensatz for Zero-sum Grids to Martin Gardner's minimum no-3-in-a-line problem
本文通过重复应用零和网格的组合零点定理，证明了 Martin Gardner 提出的最小无三连线问题在 $n \equiv 1 \pmod 4$ 时下界为 $n+1$ 的猜想。
Enumerative Aspects of Nullstellensatz Certificates
利用多项式方程来模拟组合问题，已成为计算组合学中的一种流行工具，也是证明新定理的一种方法。在本文中，我们研究了几个由满足特殊性质的多项式方程系统建模的组合数学问题。如果方程是不可行的，希尔伯特的零点定理给出了这个事实的证明。这些证书已被研究，并表现出组合的意义。在本文中，我们推广了一些已知的结果，并表明，Nullstellenerance证书可以被视为枚举组合结构。因此，用于解决这些判定问题的Gröbner基算法也可以隐式地解决计数问题。
Low Degree Nullstellensatz Certificates for 3-Colorability
在一篇开创性的论文中，De Loera et.本文介绍了一种算法NulLA（Nullstellenalgebra线性代数），并用它来衡量判定一个图是否是3-可着色的难度。其关键在于图的3-着色与域$\mathbb{k}$上的多项式方程组的解之间的对应关系。在这篇文章中，我们给出了一个新的直接的组合特征图，可以确定为非3-着色在该算法的第一次迭代时，当$\mathbb{k}=GF(2)$。这大大简化了德Loera等的工作。al，因为我们直接用图本身来表示组合特征，而不引入多余的有向图。此外，对于最多$12$顶点上的所有图，我们确定当$\mathbb{k}=GF(2)$时，NulLA在哪个迭代处检测到图不是3-可着色的。
The Combinatorial Nullstellensatz, Chevalley-Warning Theorem and weak Finitesatz in skew polynomial rings
该研究针对多元斜多项式环，推广了组合零点定理，并在除环为有限域时，证明了Chevalley-Warning定理、Ax引理及Terjanian有限定理弱情形的斜类比结果。
Application of the Combinatorial Nullstellensatz to magic-type graph labelings
本文利用组合零点定理，对简单图\(G\)，在给定整数\(k\geq 2\)下，研究边标记\(h\)诱导顶点标记的情况，分析\(G\)成为\(t -\)和\(\mathbb Z_k -\)魔术图以及\(\mathbb{Z}_{k}-\)反魔术图的条件。
Ramsey Numbers through the Lenses of Polynomial Ideals and Nullstellensätze
本文通过多项式理想和消元定理研究Ramsey数，构造消元证书并推广至其他Ramsey理论数
Some extensions of Alon's Nullstellensatz
阿隆的组合零点，特别是由此产生的非零准则是组合数学中最强大的代数工具之一，具有许多重要的应用。本文在两个方向上推广了非零定理。我们证明了一个版本，允许重点。另外，我们还建立了一个变体，它不仅在域的子环上有效，而且在任意交换环上都有效。作为应用，我们证明了Alon和Füredi关于离散立方体超平面覆盖定理的推广.
Quantitative Combinatorial Nullstellensatz
本文的主要结果是一个系数公式，它改进和推广了Alon和Tarsi的组合零点公式，当只给出多项式$P(X_1,...c,X_n)$的不完全信息时，它提供了多项式映射$P|_{\X_1\times...\times\X_n}$的一些信息.在一个非常一般的工作框架中，在代数解--某个描述多项式$P(X_1,...c,X_n)$--下不为零的网格点$x\in\X_1\times\...b\times\X_n$对应于问题的显式解。作为系数公式的结果，我们证明了代数解的存在性等价于问题的非平凡解的存在性。所谓问题，我们指的是同时“拥有”这两个问题的一切，一个是集合$§$，可以称为\emph{set of solutions} ;另一个是子集$\St\subseteq§$，即\emph{set of trivial solutions}。我们给出了几个例子，说明如何找到代数解，以及如何应用我们的系数公式。这些例子主要是从图论和组合数论，但我们也证明了几个版本的Chevalley和警告的定理，包括推广奥尔森定理，作为例子和有用的推论。将系数公式应用于矩阵多项式，得到了一个积和公式，它是图多项式的推广。该公式是对下列公式的综合概括和深化：1.雷瑟的永久配方2. Alon's Permanent Lemma. 3.关于图的定向和着色的Alon和Tarsi定理。此外，结合平面（n）正则图的Vignero…
On almost k-covers of hypercubes
在本文中，我们考虑以下问题：什么是最小的仿射超平面的数目，在$\mathbb{R}^n$，使所有的顶点$\{0, 1\}^n \setminus \{\vec{0}\}$被覆盖至少$k$倍，和$\vec{0}$是未覆盖的？$k=1$的例子是著名的Alon-Füredi定理，该定理说需要最小的$n$仿射超平面，由组合零点定理证明。我们发展了一个类似的Lubell-Yamamoto-Meshalkin不等式的子集和，并完全解决了这个问题的分数版本，这也提供了一个渐进的答案，固定$n$和$k \rightarrow \infty$的积分版本。我们还利用Ball和Serra提出的一个组合零空间证明了$k=3$需要最小的$n+3$仿射超平面，并对任意的$k$和大的$n$提出了一个猜想.
A simple proof of the Zeilberger-Bressoud q-Dyson theorem
作为组合零点定理的一个应用，我们给出了由Andrews提出并由Zeilberger和Bressoud首先证明的Dyson猜想的q-模拟的一个简短的多项式证明。
Orientations of 1-Factorizations and the List Chromatic Index of Small Graphs
作为出发点，我们制定了一个推论的定量组合零点。这个推论不需要考虑多项式的任何系数，只需要计算多项式函数。在某些情况下，我们的推论比组合零点定理本身更直接适用，也更容易实现。从数字的角度来看，这也是令人感兴趣的。我们用它来解释1-因子分解的符号（边着色）和列表边着色猜想之间的一个众所周知的联系。为了更有效的计算和更好地理解符号，我们引入并描述了单1-因子的符号。我们证明了在1-因子分解中所有1-因子的所有符号上的乘积是该1-因子分解的符号。在算法中使用这个结果，我们试图证明所有顶点不超过10个的图的列表边着色猜想。这给我们留下了一些需要用其他方法来解决的例外情况。
Addition Theorems in Fp via the Polynomial Method
本文利用组合零点定理给出了Cauchy-Davenport定理和Dias da Silva-Hamidoune定理的新证明，并推广了作者以前的一个加法定理。确切地说，这最后一个结果证明，对于集合A $\subset$ Fp，使得A $\cap$（-A）= $\emptyset$，A的至少$α$两两不同元素的子和的集合的基数是：|$Σ$ $α$（A）|$\ge$ min（p，|A|（|A| + 1）/2 -- $α$（$α$ + 1）/2 + 1），之前已知的唯一病例为$α$ $\in$ {0，1}。第一次，以直接和反向的方式使用组合零点。直接（和通常）的方式表明，如果多项式的某个系数不为零，则存在解或矛盾。相反的方式依赖于系数公式（相当于组合零点）。该公式给出了系数的表达式，表示为对任何笛卡儿积的和。对于这三个加法定理，一些算术级数（达到边界）将允许考虑笛卡儿积，使得系数公式是所有项都为零但恰好为一的和。因此，我们可以得出结论的证明，而无需计算适当的系数。
A combinatorial proof of Guo's multi-generalization of Munarini's identity
给出了郭文贵关于Munarini恒等式的多重推广的一个组合证明，回答了郭文贵的一个问题。
On a generalization of Kelly's combinatorial lemma
Kelly组合引理是研究Ulam重构猜想的基本工具。Pouzet给出了v-元集合的t-元子集族的一个推广。我们认为这个推广的一个版本模一个素数p。我们给插图的图形和比赛。
A Generalization of Combinatorial Designs Related to Almost Difference Sets
本文研究了与几乎差集相关的组合设计的一个推广，即丁存生在2015年提出的$t$ -a设计。显然，$2$ -a设计是一种部分平衡不完全区组设计，它在许多组合和统计问题中自然出现。讨论了它们的一些基本性质，给出了$2$ -a设计的几种构造（其中一些对应于新的几乎差集，另一些对应于新的几乎差族），以及$3$ -a设计的两种构造.讨论了它们的关联矩阵和码的一些基本性质。
Combinatorial proofs and generalizations of conjectures related to Euler's partition theorem
在最近的一项工作中，安德鲁斯给出了分析证明的两个alturtures有关的一些变化的两个组合的身份之间的分区的一个正整数成奇数部分和分区成不同的部分发现贝克。随后，使用与Andrews相同的方法，陈省身给出了另一个Beck猜想的解析证明，该猜想与无间隙划分和奇数长度的不同划分有关。然而，这些结构的组合解释仍然是不清楚的和必要的。本文受Glaucine双射的启发，直接或通过证明更一般的结果，给出了这三个定理的组合证明。
Several combinatorial results generalized from one large subset of semigroups to infinitely many
本文借鉴Phulara 2015年将中心集定理从半群单个大子集推广到可数多个的原创思想，将其应用于其他组合结果以获对应推广，并进一步将Phulara的结果扩展到可处理不可数多个C-集。
The Telephone Exchange Problem Revisited: A Combinatorial Approach
本文通过推广Bessel多项式重新研究电话交换问题，揭示其组合性质及其与Whitney数和Dowling数的联系。
Colored Multipermutations and a Combinatorial Generalization of Worpitzky's Identity
Worpitzky的身份表示$n^p$的欧拉数和二项式系数：$$n^p = \sum_{i=0}^{p-1} \genfrac<>{0pt}{}{p}{i} \binom{n+i}{p}.$$皮塔-鲁伊斯最近定义的数字$A_{a,b,r}(p,i)$隐含地满足广义Worpitzky身份$$\binom{an+b}{r}^p = \sum_{i=0}^{rp} A_{a,b,r}(p,i) \binom{n+rp-i}{rp},$$，并询问是否有一个组合的解释数字$A_{a,b,r}(p,i)$。我们提供了这样一个组合的解释，通过定义一个概念的下降在有色多重排列，然后证明$A_{a,b,r}(p,i)$是等于数的有色多重排列的$\{1^r, 2^r, \ldots, p^r\}$与$a$的颜色和$i$弱下降。我们用这个组合证明涉及$A_{a,b,r}(p,i)$，包括上述广义Worpitzky身份的几个身份。
A Combinatorial Analog of a Theorem of F.J.Dyson
塔克引理（Tucker's Lemma）是Borsuk-Ulam定理的一个组合类比，在n=2的情况下由塔克于1945年提出。从那时起，出现了许多引理的推广和应用。2006年，Meunier在他的博士论文中证明了引理的普遍性。论文Borsuk-Ulam定理的推广和扩展还没有组合类似物。本文给出了Freeman J. Dyson的一个结果的组合类比，并证明了我们的结果与Dyson定理是等价的。与塔克引理一样，我们希望这将导致推广和应用，并最终导致杨定理的组合模拟，其中Borsuk-Ulam和Dyson都是特例。
A combinatorial proof of Sun's "curious" identity
一个二项式系数恒等式由于孙志伟是最近的六篇论文的主题，证明了它的各种分析技术，并建立了一个推广。在这里，我们给出了一个简单的证明，使用重量反转对合适当的配置，涉及多米诺骨牌和着色。通过更多的工作，该方法也扩展到泛化。
Enumerative and bijective aspects of combinatorial maps: generalization, unification and application (PhD thesis)
本文研究组合映射的计数问题，并将其应用于其它组合对象的计数。组合映射，或简称为映射，形成了丰富的组合模型。它们有直观的几何定义，但也与一些深层的代数结构有关。例如，一种称为星座的特殊类型的映射为关于对称群中的因子分解的一些计数问题提供了一个统一的框架。站在多个域交汇的位置上，可以用各种各样的方法来研究地图，它们的枚举也可以帮助我们计算其他组合对象。本文是对地图计数中丰富的结果和联系的一个抽样。本文的结构分为四个主要部分。第一部分包括第一章和第二章，主要介绍地图的列举研究。第二部分，第3章和第4章，包含了我在星座计数方面的工作，星座是一种特殊类型的映射，可以作为对称群中恒等式的某些因子分解的统一模型。第三部分由第五章和第六章组成，展示了我对从映射到其他组合对象的枚举链接的研究，例如Tamari格和可嵌入到曲面上的随机图的推广。最后一章是本文的结语，对地图列举研究的前景和未来的发展方向进行了展望。
Generalizations of Bell number formulas of Spivey and Mezo
我们提供了q-推广斯皮维的贝尔数公式在各种设置考虑统计不同的组合结构。这导致新的身份涉及q-斯特林数的两种和q-拉数。作为推论，我们得到了二项系数和q-二项式系数的恒等式.我们的结果同时也推广了Mezo最近的r-Stirling数公式。最后，我们提供了一个组合的证明和改进徐的Spivey公式的推广到广义Stirling数的许和Shiue。要做到这一点，我们开发了一个组合的解释，这些数字的扩展拉分布。
A Combinatorial Generalization of a Random-Player Game
通过将博弈与随机排列的循环分解耦合，将随机玩家与确定性玩家的博弈推广到每次移除q个元素的情形，并证明获胜概率由排列的第一个短循环决定。
Combinatorial study of the q-Catalan triangle and its generalizations
本文通过七种组合结构探讨q-Catalan三角形的组合意义，引入镜像多项式并证明其双重递推关系，提出q,p-Catalan三角形及多变量推广，首次完整证明基于312-avoiding排列的q-Catalan三角形定理。
Normal Ordering in the Algebra Generated by $x$ and $\mathrm{I}$ and a Combinatorial Generalization of Bessel Numbers
本文研究了由x和I生成的代数中单词的正常排列，并展示了该代数中幂的系数与经典贝塞尔数的关系，同时提出了广义算子的正常排列表达式。
Combinatorial proofs for identities related to generalizations of the mock theta functions $ω(q)$ and $ν(q)$
Andrews，Dianjin和Yee分别引入了两个配分函数$p_ω(n)$和$p_ν(n)$，它们分别与三阶模拟θ函数$ω(q)$和$ν(q)$有关.最近，Andrews和Yee分析研究了两个恒等式，它们分别将$p_ω(n)$和$p_ν(n)$的精化与广义二元模拟θ函数$ω(z;q)$和$ν(z;q)$联系起来。然而，他们说这些身份哭了双射证明。本文首先定义了广义三元模拟θ函数$ω(y,z;q)$和$ν(y,z;q)$。然后利用奇Ferrers图得到了关于$ω(y,z;q)$和$ν(y,z;q)$的一些恒等式，推广了Andrews关于$ω(z;q)$和$ν(z;q)$的一些早期结果.借助于包含$ω(y,z;q)$和$ν(y,z;q)$的恒等式所产生的组合解释，我们最后给出了Andrews-Yee的两个恒等式的双射证明.
Combinatorial proof of an identity of Andrews and Yee
最近，Andrews和Yee研究了Andrews，Dianjin和Yee引入的两个包含分拆函数$p_ω(n)$和$p_ν(n)$的恒等式的二元推广.在本文中，我们提出了一个有趣的身份在他们的工作组合证明。
A generalization of the quadrangulation relation to constellations and hypermaps
星座和超映射根据排列的因子分解来概括组合映射，即图在表面中的嵌入。本文推广了Jackson和Visentin（1990）关于四边形剖分与二部四边形剖分之间的计数关系的一个结果。利用Littlewood关于特征标因子分解的一个结果，证明了超映射与星座之间的相似关系。并给出了Littlewood结果的一个组合证明。此外，我们表明，在我们的关系系数都是正整数，暗示的组合解释的可能性。利用这个计数关系，我们恢复了Chapuy（2009）中关于超映射的渐近行为的一个结果。
A combinatorial proof of the Rogers-Ramanujan and Schur identities
本文利用Dyson秩的一个新推广的两个对称性，给出了第一个Rogers-Ramanujan恒等式的组合证明。这些对称是由直接双射建立的。
New Identities from a Combinatorial Approach to Generalized Fibonacci and Generalized Lucas Numbers
我们在这里提出了一些新的身份推广的Fibonacci和Lucas数的组合解释这些数字的数量方面的某些平铺的$1 \times m$板。因此，一些新的有趣的身份涉及普通Fibonacci和Lucas数的推导。
Generalization and Probabilistic Proofs of Some Combinatorial Identities
本文通过概率方法推导出涉及伽马和贝塔函数的组合恒等式，扩展了二项式系数和特殊函数的已知恒等式，并通过研究两个伽马和贝塔随机变量差的矩得出新恒等式。
Proof of a Combinatorial Conjecture Coming from the PAC-Bayesian Machine Learning Theory
给出了A的一个猜想的证明. Lacasse在他的博士论文中有机器学习算法的应用。证明依赖于阿贝尔（1839）引入的一些有趣的二项式和恒等式，以及赫维茨（1902）对多项式情况的推广。
Combinatorial proofs of the Newton-Girard and Chapman-Costas-Santos identities
本文给出了一些著名恒等式的组合证明，并得到了一些推广。给出了Chapman和Costas-Santos关于矩阵和的行列式的一个结果的直观证明。同时，我们还找到了一个新的表示矩阵和的积和式的恒等式。此外，我们还给出了Newton-Girard恒等式的一个图解解释。
A combinatorial study of multiplexes and ordinary polytopes
Bisztriczky将多重定义为单纯形的推广，并将普通多面体定义为循环多面体的推广。本文介绍的结果有关组合的多路复用和普通多面体。计算复用的标志向量，并且示出为等于多边形上的多折叠金字塔的标志向量。多重，但不是其他普通的多面体，被证明是基本的。它表明，所有的完全子图的图的多重确定面的多重。给出了一般5维多面体的复曲面h-向量。研究了普通多面体图。计算了它们的色数和直径，证明了它们是Hamilton的.
Restricted $r$-Stirling Numbers and their Combinatorial Applications
我们研究了在任意索引集$S$中发现的具有$r$特征元素和块大小的集划分。这些$(S,r)$ -划分的枚举导致了$(S,r)$ -Stirling数的引入，这是经典Stirling数和$r$ -Stirling数的一个非常广泛的推广。我们还介绍了相关的$(S,r)$ -Bell和$(S,r)$ -阶乘数。我们研究这些数字的基本方面，包括递归关系和行列式表达式。对于具有某种额外结构的$S$，我们证明了$(S,r)$ -Stirling矩阵的逆矩阵编码两个偏序集族的默比乌斯函数.通过几个例子，我们证明了对于某些$S$，矩阵及其逆矩阵涉及多个组合对象的枚举序列。此外，我们强调如何自然产生的$(S,r)$ -斯特林数的特殊图的集团和非循环方向的枚举，强调其普遍性和重要性。最后，我们介绍了相关的$(S,r)$推广的多伯努利和多柯西数，统一了许多过去的作品广义组合序列。
Algebro-combinatorial generalizations of the Victoir method for constructing weighted designs
本研究推广了Victoir的加权设计构造方法，支持任意水平正交阵列，构造出显式等权5-设计，还建立了高斯t-设计存在性定理并改进了Milman的等距嵌入定理。
Combinatorial proofs of some Bell number formulas
在本说明中，我们提供了双射证明的一些身份涉及贝尔数，如前所述。我们的论点可以扩展到产生一个推广的完整的贝尔多项式。我们还提供了一个相关的差异加泰罗尼亚数的容斥原理的进一步解释。
A combinatorial proof of a plethystic Murnaghan--Nakayama rule
本文给出了Murnaghan-Nakayama定则的一个广义组合证明。主要结果是将Schur函数与体积函数$p_r \circ h_n$的乘积表示为Schur函数的积分线性组合。这个证明使用了詹姆斯算盘上的珠子移动序列的符号反转对合，其灵感来自于N。Loehr，Schur函数恒等式的Abacus证明，SIAM J.离散数学。24（2010），1356-1370。
A uniform generalization of some combinatorial Hopf algebras
我们将自由拟对称函数、拟对称函数、非交换对称函数和对称函数的霍普夫代数推广到有限Coxeter系统范畴及其对偶范畴的某些表示.我们研究了它们与有限Coxeter系统的0-Hecke代数的表示论的联系。在B型和D型的限制下，得到了相应的A型霍普夫代数上的对偶分次模和余模.
Some Combinatorial Properties of Hook Lengths, Contents, and Parts of Partitions
本文证明了韩国牛的一个猜想的推广，这个猜想最初是由Nekrasov和Okounkov的一个恒等式启发的。主要结果表明，n的分划p上的某些和，涉及p的钩长平方的对称函数，是n的多项式函数。对于n的内容和移位部分的对称函数，也得到了类似的结果。
New Polynomial Identities and Some Consequences
本文借助 Euler Beta 函数与二项式定理推导两个多项式恒等式，推广已知结果，并由此得到及推广 Frisch、Klamkin 组合恒等式，还给出一类恒等式的推导方案。
Several generalizations and variations of Chu-Vandermonde identity
本文证明了几个组合恒等式，它们可以看作是显着的Chu-Vandermonde恒等式的推广和变化。本文用初等组合概率方法证明了最近研究的离散随机变量的某些特殊情形的$k$阶矩（$k=1,2,3$）的表达式。利用其中一个Chu-Vandermonde型恒等式，建立了两个组合同余式。
Linear and matrix generalizations of some combinatorial min-max theorems
本文综述了Hall婚姻定理和Kőnig定理的线性与矩阵推广，并将其与Dilworth定理和Menger定理的推广联系起来。
A combinatorial generalization of the Boson-Fermion correspondence
我们试图解释无处不在的tableaux和皮耶里和柯西公式组合定义的对称函数的家庭。我们表明，这样的公式是预期从对称函数所产生的海森堡代数的陈述。由此产生的框架，我们描述的是一个推广的经典玻色子费米子对应，舒尔功能产生。我们的工作可以用来理解霍尔-利特尔伍德多项式，麦克唐纳多项式和Lascoux，Leclerc和Thibon的带状函数，以及其他新的家庭的对称函数。
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