m-weak group inverses in a ring with involution
Yukun Zhou, Jianlong Chen, Mengmeng Zhou
在具有对合的幺环中，证明了每个元至多有一个弱群逆当且仅当每个幂等元有唯一的弱群逆。进一步，我们定义了$m$ -弱群逆，并给出了$m$ -弱群逆的一些性质.
In a unitary ring with involution, we prove that each element has at most one weak group inverse if and only if each idempotent element has a unique weak group inverse. Furthermore, we define the $m$-weak group inverse and show some properties of $m$-weak group inverse.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Formal Matrix Rings with the Involution Property
本文研究正式矩阵环的对合性质，通过Morita上下文构造并描述三角环中的对合，证明若所有对角环具此性质则任意有限阶正式矩阵环也具此性质，并给出例证。
The Moore-Penrose inverse in rings with involution
设$R$是具有对合的酉环，本文给出了环$R$中元素的Moore-Penrose逆存在的几个新的充要条件，并给出了环中元素的Moore-Penrose逆的计算公式.
The Moore-Penrose inverse of differences and products of projectors in a ring with involution
本文研究了具有对合环上投影的差和积的Moore-Penrose逆。给出了这类逆存在的若干充要条件，并给出了它们的表达式。
Free algebras in division rings with an involution
给出了斜多项式环的分式除环内产生显式自由代数的一般判据。这些准则被应用到具有自然对合的除环的某些特殊情况，例如，在无挠的幂零群群的群代数的分数除环和第一Weyl代数的分数除除环中，都产生了由对称元生成的自由子代数.
Core partial order in rings with involution
设$R$是一个具有对合的酉环.给出了$R$核偏序的几个刻画和性质。特别地，我们研究了两个核心可逆元素$a,b\in R$的逆序律$(ab)^{\tiny\textcircled{\tiny\#}} = b^{\tiny\textcircled{\tiny\#}} a^{\tiny\textcircled{\tiny\#}}$。得到了核偏序与其它偏序之间的一些关系。
Moore-Penrose Invertibility of Differences and Products of Projections in Rings with Involution
本文研究了具有对合环$R$上投影的差与积的MP逆。得到了一些等价条件。作为应用，刻画了交换子$pq-qp$和反交换子$pq+qp$的MP可逆性，其中$p$和$q$是在$R$中的投影.推广了$C^*$ -代数中的一些相关结果.
New results on EP elements in rings with involution
本文主要用方程的形式给出EP元的特征。此外，一个相关的概念命名为一个中心EP元素的定义和调查。最后，我们重点讨论了广义EP元，即 *-EP元的特征。
Structure of a factor ring $R/P$ in terms of differential identities involving a new kind of involution
本文研究商环 $R/P$ 的交换性，利用 $R$ 的导子所满足的、涉及与素理想 $P$ 相关的新型对合的代数恒等式，建立了若干交换性判据。
The Core Inverse in a Banach Algebra with Involution
给出了带对合的巴拿赫代数的核逆的新的可加性结果。得到了带对合的巴拿赫代数中两个核可逆元之和为核可逆元的充要条件。然后将所得结果应用于块复矩阵，得到了块复矩阵核可逆的条件。这些结果推广了许多已知的结果，例如，~ \cite [定理4.3]{XCZ}，~ \cite [定理2.5]{XS}。
The Sum of EP elements in a ring with involution
该研究针对带对合环中EP元素和的core逆存在性问题，给出充要条件，并将其应用于含EP子块的分块复矩阵core逆条件的推导。
Strongly J-Clean Rings with Involutions
一个具有对合 * 的环称为强$J$ -*-clean，如果每个元素都是Jacobson根的一个可换元素与一个投影之和。本文证明了刻画这类环的几个结果。证明了 *-环$R$是强$J$ -*-clean的当且仅当$R$是唯一clean的和强 *-clean的，当且仅当$R$是唯一强 *-clean的，即对任何$a\in R$，存在唯一的投影$e\in R$使得$a-e$是可逆的和$ae=ea$ .
Commutativity criteria for prime rings with involution via pairs of endomorphisms
本文通过研究素环中涉及一对同态的中心值恒等式，提出新的可交换性准则并构造反例，验证了素性和involution性质的必要性。
Direct finiteness of representable regular rings with involution
本文研究了可表示正规环的直接有限性问题，提出了判断单位元的条件，但尚未证明该结果能用于证明环的直接有限性。
Linear representations of regular rings and complemented modular lattices with involution
在泛代数的框架下，研究了正则$\ast$ -环和模有补格在正交对称半双线性空间中的忠实表示.特别是，类的空间和类的representables之间的对应关系进行了分析，对于一类空间，这是封闭的超产品和非退化有限维子空间，后者被证明是封闭的补充下[正规]子代数，同态像，和超产品和被生成的那些成员与有限维空间。在自然限制下，这被细化为两种类型的类之间的$1$ - $1$ -对应。
Nil Clean Involutions
证明了如果环中的对合是幂等元与幂零元之和，则在此分解中的幂等元必为1。作为结果，我们完全刻画了最近在[Breaz，Danchev和Zhou，Rings in which every element is a sum or difference of a nilpotent and an idempotent，J. Algebra Appl.，DOI：10.1142/S0219498816501486]。
Matrices over a commutative ring as sums of three idempotents or three involutions
动机平野富永的工作\cite{HT}环的每一个元素是一个总和的两个幂等和德Seguins帕齐斯的结果\cite{de}分解的每一个矩阵的领域的正特征作为一个总和的幂等矩阵，我们解决分解的每一个矩阵在一个交换环作为一个总和的三个幂等矩阵，分别作为一个总和的三个对合矩阵。
EP elements in rings with involution
设$R$是具有对合的单位环.我们首先表明，EP元素在$R$可以由三个方程。即，令$a\in R$，则$a$是EP当且仅当存在$x\in R$使得$(xa)^{\ast}=xa$，$xa^{2}=a$和$ax^{2}=x.$众所周知，$R$中的所有EP元素是核心可逆的和Moore-Penrose可逆的。给出了核（Moore-Penrose）可逆元为EP元的更多等价条件。最后，利用$n$ -EP性质对EP元进行了刻画，该性质是双EP性质的推广.
Mixed Witt rings of algebras with involution
本文通过将双线性形式与厄米特形式结合，为第一类带对合代数定义了混合Witt环，并推导了其基于对合迹形式的乘积公式与互反公式等基本性质。
Pseudo core inverses in rings with involution
设$R$是一个具有对合的环.本文在$R$中引入了一种新的广义逆--伪核逆。核心逆的概念是由Baksalary和Trenkler在2010年针对指数为1的矩阵引入的，然后Rakić，Dinčić和Djordjević在2014年将其推广到任意$*$ -环的情况。伪核逆的定义将核逆的概念扩展到$R$中任意索引的元素。同时，将Manjunatha Prasad和Mohana在2014年提出的矩阵的core-EP逆的概念推广到了$*$ -环的情形.给出了$R$中伪核可逆元的一些等价刻画，并给出了其Drazin逆和1，3逆的表达式.然后，我们研究了伪核逆与其它广义逆的关系。进一步，我们建立了伪核逆的几个性质。最后给出了矩阵伪核逆的计算方法。
Herstein's question about simple rings with involution
本文的目的是试图回答Herstein关于具有对合的单环的问题，即：如果$R$是具有第一类对合的单环，有$dim_{Z(R)}R > 4$和$\Char(Z(R))\neq 2$，那么$S^2=R$是否成立？我们将看到，在这样一个环$R$，$R=S^3$。我们将带来两个可能的标准，每个显示时$R=S^2$。第一个标准：存在$x,y \in S$，如$xy-yx \neq 0$和$xSy \subseteq S^2$ $\Leftrightarrow$ $S^2=R$。第二个标准：存在$x,y \in S$，如$xy+yx \neq 0$和$xKy \subseteq S^2$ $\Leftrightarrow$ $S^2=R$。实际上，这些结果是正确的，没有任何限制的$R$在$Z(R)$的尺寸。在特征不等于2的域上的矩阵（具有转置对合和具有辛对合）的特殊情况下，不难找到，例如，$x,y \in S$，使得$xy-yx \neq 0$和对于每个$s \in S$，$xsy \in S^2$。因此，证明Herstein的评论，矩阵的答案是积极的。对于$K^6$、$K^4$、$K+KSK$、$KS+K^2$、$SKS$和$S^2K$也可以发现类似的结果。
1MP and MP1 inverses and one-sided star orders in a ring with involution
1 MP-逆类和MP 1-逆类是最近引入的复矩阵广义逆类。实际上，它们分别与$\{1,2,3\}$和$\{1,2,4\}$逆的类一致。我们认为这些逆的背景下，一个环的对合，并证明其最重要的特征和性质仍然是真的。我们表明，这些逆的基础上的二元关系，实际上是众所周知的左星和右星偏序。我们将这些关系推广到环的情形，将它们与基于广义逆的偏序关系的统一理论联系起来，并给出了几个性质。最后，我们指出这些结果可以应用到有界希尔伯特空间算子。
m-weak group inverse in a ring with proper involution
本文研究带对合环中m-弱群逆的新性质，提出m-弱群分解并证明其与m-弱群可逆性等价，给出类极性质的等价刻画，建立其与core-EP逆的关系，拓展了弱群逆的相关理论。
One sided a_idempotent, one sided a_equivalent and SEP elements in a ring with involution
本文通过引入单边a_幂等元与单边a_等价元概念，在群可逆且MP_可逆条件下刻画了带对合环中SEP元素的等价特征。
A nice involution for multivariable polynomial rings
Toeplitz矩阵$\left( x_{i-j+1}\right)_{1\le i,j,\le n}$的主子式直接确定多项式环$R[x_1, ... ,x_n]$在任何交换环$R$上的对合，其中$x_0=1, x_k=0$如果$k\le -1$。
An Artin-Schreier-type theory for signatures of hermitian forms over involutions
本文研究了第一类对合代数上埃尔米特型的特征理论，证明了Witt环素谱与序空间的相互决定关系可通过混合Witt环推广至该情形。
Lambda-operations for hermitian forms over algebras with involution
本文在带对合的中心简单代数的混合 Grothendieck-Witt 环上构造 λ-运算，发展预 λ-环通用框架，改进第一类对合情形，并推广对合行列式的定义。
On Strongly pi-Regular Rings with Involution
本文深入研究带对合的强π正则环，建立其多种性质并给出基于π正则性与对合的新刻画，扩展了近期相关成果。
Characterizations of weighted core inverse in rings with involution
$R$是一个具有对合的酉环。研究了$R$中元素的加权核逆的幂等元和单位的刻画和表示。例如，令$a\in R$和$e\in R$是可逆厄米元素$n\geqslant 1$，则$a$是$e$ -核心可逆的当且仅当存在元素（或幂等元）$p$使得$(ep)^{\ast}=ep$、$pa=0$和$a^{n}+p$（或$a^{n}(1-p)+p$）是可逆的。因此，令$e, f\in R$是两个可逆厄米特元素，则$a$相对于$(e, f)$加权- $\mathrm{EP}$当且仅当存在元素（或幂等元）$p$使得$(ep)^{\ast}=ep$、$(fp)^{\ast}=fp$、$pa=ap=0$和$a^{n}+p$（或$a^{n}(1-p)+p$）可逆。这些结果推广和改进了\cite{Li}中的结论.
Direct finiteness of representable regular rings with involution: A counterexample
受 Bruns–Roddy 的不可嵌入模正交格启发，本文借助 ℓ² 等内积空间上的移位算子构造 *-正则 *-环，给出可表示正则环直接有限性的反例。
A Knebusch trace formula for Azumaya algebras with involution
本文提出了一种针对具有involution的Azumaya代数的踪公式，扩展了Knebusch的工作，并探讨了总踪序列与稳定性指数的关系。
Anticommutativity of Symmetric Elements under Generalized Oriented Involutions
设$R$是一个环，其单位群记为$char(R)\neq2$，$G$是一个具有对合$*$的群，$σ:G\rightarrow\mathcal{U}(R)$是一个非平凡群同态，其中$ker\ σ=N$对所有$x\in G$满足$xx^*\in N$.设$RG$是$R$上的$G$的群环，定义$RG$中的对合$σ*$为$\left( \sum_{x\in G}α_xx\right)^{σ*}=\sum_{x\in G}σ(x)α_xx^*$ .本文对群环$RG$进行了分类，使得$\mathcal{S}$是反交换的，其中$\mathcal{S}$是$(RG)^+=\left\{ α\in RG: α^{σ*}=α\right\}$中在$char(R)\neq2$下满足反交换的最大子集.
Free symmetric algebras in division rings generated by enveloping algebras of Lie algebras
对域上的任何李代数L，它的泛包络代数U（L）可以嵌入Lichtman构造的除环D（L）中.若U（L）是Ore整环，则D（L）与它的分式分式环重合.众所周知，L的主对合$x\mapsto -x$可以推广为U（L）的对合，Cimpric证明了这个对合可以推广为D（L）上的对合.对于特征为零的域上的一大类非交换李代数L，我们证明了D（L）包含由关于主对合（的扩张）的对称元生成的非交换自由代数.这个类包含所有的非交换李代数，使得U（L）是Ore域。
The (b, c)-inverse in semigroups and rings with involution
本文首先证明了：在（ab）* = ab和（ac）* = ac的条件下，若a是左（b，c）-可逆和左（c，b）-可逆的，则a在a *-幺半群中是（b，c）-可逆和（c，b）-可逆的.此外，我们还考虑了ba是（c，b）-可逆的，同时ca在相同条件下也是（b，c）-可逆的，从而将Chen等人关于Moore-Penrose逆的相关结果推广到了（b，c）-逆.作为应用，我们得到在条件（a2）* = a2下，a是EP元当且仅当a是单侧核可逆的当且仅当a是群可逆的.
Natural Partial Order on Rings with Involution
本文引入了对合环上的一个偏序，它是Rickart *-环上投影集上的偏序的推广。证明了具有自然偏序的 *-环构成分段半补偏序集。证明了在交换Rickart *-环的情形下，每个区间[0，x]构成正交模格.推广了广义可比性（GC）和部分可比性（PC）的概念，使之包含了 *-环的所有元素。进一步证明了这些概念在有限交换Rickart *-环上是等价的。
Anticommutativity of Skew-symmetric Elements under Generalized Oriented Involutions
设$R$是一个环，其单位群用$char(R)\neq2$表示，$G$是一个群，$RG$是一个群环.设$*$是$G$中的一个对合，$σ:G\rightarrow\mathcal{U}(R)$是一个非平凡群同态，其中$ker\ σ=N$对所有$x\in G$都满足$xx^*\in N$，定义$RG$中的广义定向对合$σ*$为$\left( \sum_{x\in G}α_xx\right)^{σ*}=\sum_{x\in G}σ(x)α_xx^*$ .一个元素$α\in RG$被称为反对称的，如果$α^{σ*}=-α$，并且所有反对称元素的集合由$(RG)^-$表示。本文对群环$RG$进行了分类，使得$(RG)^-$是反交换的，推广了群环$RG$，并由此得到了\cite{GP13a}的主要结果.
Rings of low rank with a standard involution
考虑任意基环R上的低秩R-代数的分类问题。我们首先根据代数的度对代数进行分类，并将度为2的代数类与具有标准对合的代数类联系起来。然后，我们研究了一类例外环的程度2发生在每个rank n >= 1，并表明，他们本质上刻画所有代数的程度2和rank 3。
Rings That Are Morita Equivalent to Their Opposites
考虑环$R$在什么条件下等价：（A）$R$与有对合的环Morita等价，（B）$R$与有反自同构的环Morita等价，（C）$R$与其对环Morita等价.这个问题的动机是由一个定理的索特曼其中大致规定，所有条件是等价的Azumaya代数。基于最近提出的“广义双线性型“，我们给出了一个求解该问题的一般机制，并利用它证明了当$R$是半局部的或$\mathbb{Q}$ -有限的时，（C）$\iff$（B）.进一步的结果类似的味道也得到了，例如：如果$R$是一个半局部环，使$\mathrm{M}_{n}(R)$有一个对合，那么$\mathrm{M}_{2}(R)$有一个对合，并在进一步温和的假设下，$R$本身有一个对合。与此相反，我们证明了（B）并不意味着（A）。我们的方法也给出了一个新的角度对Knus-Parimala-Srinivas证明的Saltman定理。最后，我们给出了一个检验指数为$2$的Azumaya代数对合存在性的方法，并利用它构造了这类代数的显式例子。
Characterizations of core and dual core inverses in rings with involution
设R是具有对合的单位环，利用Hermite元（或投影）和单位给出了R中元素的核逆和对偶核逆的刻画和表示.例如，设a在R中，n是一个大于或等于1的整数，则a是核可逆的当且仅当存在一个埃尔米特元素（或投影）p使得pa=0，a^n+p是可逆的。因此，a是EP元当且仅当存在厄米特元（或投影）p使得pa=ap=0，a^n+p是可逆的。给出了正则元的核可逆和对偶核可逆的一个新的单位刻画，并给出了它们的表达式。特别地，我们证明了对于n是大于或等于2的整数，a是Moore-Penrose可逆的和群可逆的当且仅当（a*）^n沿a可逆.
Continuity of total signature maps for Azumaya algebras with involution
本文将中心单代数的签名研究方法推广至带对合的Azumaya代数，实现了给定序下埃尔米特型签名的自然选取，证明所得全签名是基环实谱上的连续函数。
New characterizations for core inverses in rings with involution
复矩阵的核逆是由Baksalary和Trenkler提出的。Rakić、Dinčić和Djordjević将复矩阵的核心逆推广到环中元素的情况。他们还证明了环中元素的核逆可以用五个方程来刻画，并且每个核可逆元素都是群可逆的。当一个群可逆元是核可逆的时，这是很自然的问题，本文将回答这个问题。我们将使用三个方程来描述元素的核心逆。也就是说，令$a, b\in R$，然后$a\in R^{\tiny\textcircled{\tiny\#}}$与$a^{\tiny\textcircled{\tiny\#}}=b$当且仅当$(ab)^{\ast}=ab$，$ba^{2}=a$和$ab^{2}=b$。最后，我们研究了两个核可逆元的可加性。此外，给出了两个核可逆元之和的计算公式。
Free symmetric group algebras in division rings generated by poly-orderable groups
证明了非交换多序群G上的标准对合扩张到域k上G的群代数k[G]的分式D的Hughes-free除环，并且关于这个对合，D包含一对对称元，它们自由地生成k上D的一个自由群子代数.
Further results on weighted core inverse in a ring
最近，在具有对合的环中引入了加权核逆的概念[Mosic et al. Comm. Algebra，2018; 46（6）; 2332-2345]。本文在不同的条件下，给出了带对合的单位环中两个加权核可逆元的和与差的加权核逆的新的表示和刻画.进一步讨论了环中加权核可逆元的逆序律和混合型逆序律。
General solutions to equation $axb^*-bx^*a^*=c$ in rings with involution
在[Q. Xu等人，一些算子方程的解，线性代数应用。（2008），doi：10.1016/j.laa.2008.05.034]，Xu等人在Hilbert $C^*$ -模之间的伴随算子的一般设置中提供了方程$AXB^*-BX^*A^*=C$的解存在的充要条件。在广义逆的基础上，得到了可解情形下解的一般表达式。本文将他们的工作推广到更一般的具有对合 * 的环$R$上，并通过将“矩形”嵌入到作用在同一空间上的方阵环或算子环中，重新获得了Hilbert $C^*$ -模之间的矩形矩阵和算子的结果.
Group, Moore-Penrose, core and dual core inverse in rings with involution
设$R$是一个具有对合的环.最近引入的核心和双核逆的概念，从矩阵推广到任意$*$ -环的情况。证明了群、Moore-Penrose、核和对偶核逆是密切相关的，它们可以用适当的幂等元以同样的方式处理。给出了这些逆的几个特征。得到了一些新的性质，推广了一些已知的结果。得到了$R$中EP元素的一些特征。证明了核和对偶核逆属于沿元素的逆类和$(b,c)$ -逆类。特别考虑了$R$是希尔伯特空间上所有有界线性算子的代数的情况。
Counterexamples in Involutions of Azumaya Algebras
本文首次通过寻找非零的上同调障碍，构造了Azumaya代数中无法被Brauer平凡代数覆盖的“非凡对合”反例，并给出了不动点轨迹不连通但代数类型全局一致的交换环反例。
Associative Geometries. II: Involutions, the classical torsors, and their homotopes
对于所有的典型群（以及它们在无限维或一般基域或环上的类似群），我们构造了某些收缩，称为“同伦”。该结构是几何的，使用作为成分的关联几何的对合。我们证明了在适当的假设下，群及其同伦有一个标准半群完备化。
Associative Geometries. II: Involutions, the classical torsors, and their homotopes
对于所有的典型群（以及它们在无限维或一般基域或环上的类似群），我们构造了某些收缩，称为“同伦”。该结构是几何的，使用作为成分的关联几何的对合。我们证明了在适当的假设下，群及其同伦有一个标准半群完备化。
A new class of generalized inverses in semigroups and rings with involution
本文在带对合半群和环中引入 $w$-核逆与对偶 $v$-核逆两类新广义逆，建立其刻画、表达式及与已知广义逆的联系，并给出 $*$-环中基于单位的存在性判据。
On $*$-Clean Group Rings over SLC-groups
本文研究SLC-群上群环在典范对合下的*-clean性质，证明了*-clean性蕴含群为Q_8与满足额外条件的阿贝尔群的直积，并在特定情形下给出逆命题，推广了关于Q_8的已有结果。
On $*$-clean group rings over finite fields
环$R$称为干净的，如果$R$的每个元素是单位元与幂等元之和。出于林提出的一个问题的清洁冯诺依曼代数，Vaillon介绍了一个更自然的概念清洁$*$ -环，称为$*$ -清洁。更精确地说，一个$*$ -环$R$称为$*$ -干净环，如果$R$的每个元素都是一个单位与一个投影之和（$*$ -不变幂等元）.设$\mathbb F$是有限域，$G$是有限阿贝尔群.本文在$\mathbb FG$形式的群环上引入了两类对合，并刻画了这两类群环的$*$ -清洁性.当$*$为经典对合时，我们还利用$\mathbb F_qG$中的LCD阿贝尔码和自正交阿贝尔码刻画了$\mathbb F_qG$的$*$ -清洁性.
Involutions of Azumaya algebras
我们考虑局部环拓扑$(\mathbf{X}, {\mathcal{O}}_{\mathbf{ X}})$上的度为$n$的Azumaya代数$A$的一般情况，其中后者带有一个（可能是平凡的）对合，记为$λ$。这推广了Azumaya代数在具有对合的概型上的对合的通常概念，而这又推广了中心单代数的对合的概念。给出了两个带有扩展$λ$的对合的Azumaya代数是否局部同构的判别准则，描述了由该关系得到的等价类，并通过给出上同调条件，解决了Azumaya代数$A$与带有扩展$λ$的对合的代数何时Brauer等价的问题.我们注意到，这些结果是新颖的，即使在计划的情况下，因为我们允许分歧，非平凡的基础对象的对合。我们观察到，如果上同调条件得到满足，那么$A$是Brauer等价于一个Azumaya代数的程度$2n$携带一个对合。通过与拓扑空间的比较，我们证明了整数$2n$是极小的，即使是具有不动点自由对合的非奇异仿射簇$X$.作为一个附带的步骤，我们证明了，如果$R$是一个交换环的对合的固定环$S$是本地的，那么要么$R$是本地的或$R/S$是一个二次代数环的扩张。
Group rings with Lie metabelian set of symmetric elements
设$R$是特征为零的交换环，$G$是任意群.本文对关于群环$RG$的经典对合的对称元集是Lie亚交换的群$G$进行了分类。
Unitary SK_1 for a Graded Division Ring and its Quotient Division Ring
设E是中心上有限维的分次除环，其分次群是无挠的，q（E）是它的商除环.设τ是E上的保度酉对合。我们证明了SK_1（E，tau）与SK_1（q（E），tau）同构。
Embedding truncated skew polynomial rings into matrix rings and embedding of a ring into 2x2 supermatrices
对于R的自同态s，s^{t}=1，证明了截断多项式环（代数）R[w，s]/（w^{t}）嵌入到M_{t}（R[z]/（z^{t}））中.对于对合，我们证明了R嵌入到M_{2,1} ^{s}（R）中，其中M_{2,1} ^{s}（R）是所谓的（s，2，1）超矩阵的代数。
Free symmetric and unitary pairs in division rings infinite-dimensional over their centers
设$D$是中心为$k$的无限维除环，其乘法群为$D^{\times}$ .我们证明了如果$D$属于某些族，则在$D^{\times}$中存在关于$D$上的$k$ -对合的自由对称对和酉对.
Free symmetric and unitary pairs in the field of fractions of torsion-free nilpotent group algebras
设$k$是一个不同于$2$的特征域，$G$是一个非交换剩余无挠的幂零群.已知$G$是可序群。设$k(G)$表示由$k$上的$G$的群代数生成的Malcev-Neumann级数环的细分环.如果$\ast$是$G$上的一个对合，那么它扩展到$k(G)$上唯一的$k$ -对合。我们证明了$k(G)$包含关于$\ast$的对称元素对，这些对称元素在$k(G)$的乘法群内生成一个自由群。如果$G$是无挠的幂零的，则自由酉对也存在。最后，我们考虑了除环$D$的一般情形，其中$k$ -对合$\ast$，在其乘法群中包含正规子群$N$，使得$G \subseteq N$，其中$G$是有限幂零的无挠无挠的子群，它不是有限交换的，满足$G^{*}=G$和$N^{*}=N$。我们证明$N$包含一个自由对称对。
On rational twisted generalized Weyl algebra
本文研究了当系数环是特征零域上多项式环的局部化，并给出对合时，扭代数的结构.给出了有理扭广义Weyl代数的一个并行构造.基于复李代数的泛包络代数的Gelfand-Zeitlin实现，给出了构造性描述这些代数及其对合对称不变子代数的方法和公式.作为具体的例子，我们讨论特殊的酉和正交代数的秩三。
Antisymmetric Elements in Group Rings II
设$R$是交换环，$G$是群，$RG$是它的群环.令$\vp : RG\to RG$表示定义在$G$上的对合$\vp$的$R$ -线性扩张。如果$\vp (x) = -x$，则$RG$中的元素$x$称为$\vp$ -反对称。给出了$RG$的$\vp$ -反对称元可换的一个特征.这是早期工作的完成。
Free group algebras in division rings with valuation II
我们应用过滤和分级的方法在早期的作品中找到（非交换）自由群代数的除环。如果$L$是一个李代数，我们用$U(L)$表示它的泛包络代数。P. M. Cohn构造了一个包含$U(L)$的除环$\mathfrak{D}_L$。我们用$\mathfrak{D}(L)$表示由$U(L)$生成的$\mathfrak{D}_L$的除子环。设$k$是特征为零的域，$L$是非交换李$k$ -代数.如果$L$是剩余幂零的或$U(L)$是Ore整环，我们证明了$\mathfrak{D}(L)$包含（非交换）自由群代数.在同样的情况下，如果$L$具有对合，我们能够证明$\mathfrak{D}(L)$中的自由群代数在大多数情况下可以由对称元生成。设$G$是一个非交换剩余无挠幂零群，$k(G)$是由群代数$k[G]$生成的Malcev-Neumann级数环的除子环.若$G$具有对合，则证明了$k(G)$包含一个由对称元生成的（非交换）自由群代数.
The inverse along an element in rings
本文将在幺环的背景下研究沿元素的逆的几个性质。新的特征的存在性，这逆将被证明。此外，将充分描述沿着固定元素的所有可逆元素的集合。因此，沿着一个元素的交换逆将被表征。还将考虑群逆、（广义）Drazin逆和Moore-Penrose逆（在具有对合的环中）的特殊情况。
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