A Mahler measure of a K3-hypersurface expressed as a Dirichlet L-series
我们提出了另一个例子，一个3变量多项式定义一个K3-超曲面，并有一个对数马勒测度表示的狄利克雷L-级数。
2009-01-06 math.AG math.NT
Mahler Measure Variations, Eisenstein Series and Instanton Expansions
本文指出与“模马勒测度”有关的爱森斯坦级数与“非临界弦”的瞬子数之间的一个有趣的反函数关系。在一个配套文件马勒措施有关的二聚体模型。
2005-02-09 hep-th math.NT
Three-variable Mahler measures and special values of modular and Dirichlet $L$-series
本文证明了Laurent多项式$(x+x^{-1})(y+y^{-1})(z+z^{-1})+k$，$(x+x^{-1})^2(y+y^{-1})^2(1+z)^3z^{-2}-k$和$x^4+y^4+z^4+1+k^{1/4}xyz$的Mahler测度对于不同的$k$值都是$r_1 L'(f,0)+r_2 L'(χ,-1)$的形式，其中$r_1,r_2\in \mathbb{Q}$，$f$是权为3的CM新形式，$χ$是二次特征标.由于证明了这些Maher测度也可以表示为矩阵和$_5F_4$ -超几何级数，因此我们从这些结果中得到了几个新的超几何评价和变换.
2013-01-18 math.NT
Transcendence and continued fraction expansion of values of Hecke-Mahler series
设$θ$和$ρ$是实数，其中$0 \le θ, ρ< 1$和$θ$是无理数。证明了Hecke-Mahler级数$$ F_{θ, ρ} (z_1, z_2) = \sum_{k_1 \ge 1} \, \sum_{k_2 = 1}^{\lfloor k_1 θ+ ρ\rfloor} \, z_1^{k_1} z_2^{k_2}, $$（其中$\lfloor \cdot \rfloor$表示整数部分函数）在任意代数点$(β, α)$处取超越值，其中$0 < |β|, |βα^θ| < 1$ .这推广了马勒（1929）以及Loxton和van der Poorten（1977）的早期结果，Loxton和van der Poorten解决了$ρ=0$的问题。进一步，对于正整数$b$和$a$，当$b \ge 2$和$a$与$1$模$b-1$全等时，我们给出了数$$ {(b-1)^2\over b} F_{θ, ρ} \left({1\over b}, {1\over a}\right)+{\lfloor θ+ρ\rfloor(b-1)\over b^2a}, $$的连分数展开式，并由此导出了$F_{θ, ρ} (1/b, 1/a)$的无理性指数公式.
2022-03-24 math.NT
From $L$-series of elliptic curves to Mahler measures
本文证明了导体20和24的椭圆曲线的Mahler测度与$L$值之间的关系。我们还提出了新的超几何表达式的$L$值的CM椭圆曲线的导体27和36。进一步证明了多项式族$(1+X)(1+Y)(X+Y)-αXY$，$α\in\mathbb R$的Mahler测度的一个新的函数方程.
2011-09-30 math.CA math.NT
Mahler Measure, Eisenstein Series and Dimers
本说明揭示了一个神秘的联系之间的分拆函数的某些二聚体模型的二维环面和$L$ -功能的光谱曲线。它也将某些二聚体模型族中的分拆函数与爱森斯坦级数联系起来。
2005-02-09 hep-th math.NT
Hahn series and Mahler equations: Algorithmic aspects
针对线性Mahler方程的Hahn级数解是否可算法计算的问题，本文通过构造可计算的良序支撑容器给出肯定答案。
2024-12-06 cs.SC math.NT
Dynamics of 2-interval piecewise affine maps and Hecke-Mahler series
设$f : [0,1)\rightarrow [0,1)$是一个$2$ -区间分段仿射增映射，它是单射的但不是满射的.这样的映射$f$具有旋转数并且可以由三个实数参数化。我们充分明确的动力学$f$感谢两个特定的功能$δ$和$ϕ$取决于这些参数，其定义涉及Hecke-Mahler系列。作为应用，我们证明了当三个参数为代数数时，$f$的旋转数是有理数.
2019-07-19 math.DS math.NT
Transcendence of Hecke-Mahler Series
本文证明了Hecke-Mahler级数在特定条件下的超越性，其中涉及非常数整数多项式、无理数参数和绝对值大于1的代数数基底。
2024-12-17 cs.FL math.NT
Computing basis of solutions of any Mahler equation
Institut Fourier, UMR 5582, Laboratoire de Math\'ematiques, Universit\'e Grenoble Alpes, CS 40700, 38058 Grenoble cedex 9, France
本文提出了一种算法，能够计算任意马赫尔方程的完整解基底，并在普西乌斯级数域上分解每个解。
2025-11-24 cs.SC math.NT
Mesure de Mahler d'hypersurfaces K3
本文用Eisenstein-Kronecker级数表示了定义广义Picard数为19的K3超曲面的两族多项式的对数Mahler测度。对于某些奇异的K3曲面（即Picard数为20的曲面），我们把这个测度记为权为3的Hecke L-级数，并带有“Gr\”ossen特征”.
2005-01-11 math.AG math.NT
Asymptotic expansion of the difference of two Mahler measures
我们证明了对于几乎所有复系数多项式P（x，y），P（x，y）和P（x，x^n）的对数Mahler测度之差可以展开为一种形式级数，类似于1/n的渐近幂级数展开.这推广了Boyd的一个结果。我们还表明，这样的扩展是唯一的，并提供了一个公式，其系数。当P具有代数系数时，展开式中的系数是具有代数系数的代数数的多项式的线性组合。
2011-11-11 math.NT
Evaluating the Mahler measure of linear forms via Kronecker limit formulas on complex projective space
在Cogdell等人的研究中，\it LMS讲座笔记系列\bf 459，\rm 393- 427（2020），\rm作者证明了与任何除数$\mathcal D$相关联的克罗内克极限公式的一个模拟，该除数在任何光滑凯勒流形$X$上的余维1是光滑的。在本文中，我们应用上述克罗内克极限公式的情况下，$X$是复射影空间$\CC\PP^n$的$n \geq 2$和$\mathcal D$是一个超平面，这意味着一个线性形式$P_D({z})$为${z} = (\mathcal{Z}_{j}) \in \CC\PP^n$。我们的主要结果是一个明确的评价马勒措施的$P_{D}$作为一个收敛的系列，其每一项是在有理数，多项式系数，和$L^{2}$ -规范的系数向量的$P_{D}$。
2021-01-23 math.NT
A problem around Mahler functions
设$K$是特征为零的域，$k$和$l$是两个乘法独立的正整数.本文证明了Loxton和van der Poorten在80年代提出的一个结果：幂级数$F(z)\in K[[z]]$满足$k$ -和$l$ -Mahler型函数方程当且仅当它是有理函数.
2013-03-08 math.CO math.NT
On an integral of J-Bessel functions and its application to Mahler measure (with an appendix by J.S. Friedman*)
在最近的一篇论文中，Cogdell，Jorgenson和Smajlović的团队开发了复杂线性型的对数马勒测度的无穷级数表示，具有4个或更多变量。我们建立了3个变量的情况下，通过界定一个积分与被积涉及随机游动概率密度$a\displaystyle\int_0^\infty tJ_0(at) \displaystyle\prod_{m=0}^2 J_0(r_m t)dt$，其中$J_0$是零阶第一类贝塞尔函数，和$a$和{ $r_m$ }是正实数。为了方便我们的证明，我们开发了另一种描述的积分的渐近行为在其已知的分歧点。作为一个计算辅助，以适应数值实验，算法来计算这些系列中提出的附录。
2021-05-05 math.NT math.PR
Mahler's method in several variables II: Applications to base change problems and finite automata
这是第二部分的工作致力于研究线性马勒系统的几个变量的角度超越和代数的独立性。从第一部分中得到的提升定理，我们首先推导出一个一般性的结果，表明马勒函数在几个变量，与变换具有乘法依赖的谱半径，采取代数独立的值在代数点，只要这些点是足够独立的。然后，我们专注于这一结果的应用程序和本工作的第一部分的两个主要结果。我们的主要应用关注的问题，自然和实数的整数基础，涉及自动机理论的表示。这些可以被翻译成代数关系在$\overline{\mathbb Q}$之间的值的马勒函数在一个变量。我们也将我们的结果应用到Mahler函数及其特殊化的代数独立性，以及Hecke-Mahler级数的值的研究。
2018-09-13 math.CO math.NT
Algebraic independence of Mahler functions via radial asymptotics
本文在Mahler方法的基础上给出了一种新的代数独立性结果的方法。特别是，我们的方法使用的渐近行为的马勒函数$f(z)$的$z$径向到一个根的单位推导出代数独立的结果的值$f(z)$在代数数。我们将我们的方法应用于二次马勒函数的典型例子，也就是说，我们将其应用于$F(z)$，函数方程$F(z)-(1+z+z^2)F(z^4)+z^4F(z^{16})=0$的幂级数解。具体地说，我们证明了$F(z)$，$F(z^4)$，$F'(z)$和$F'(z^4)$的功能是代数独立的$\mathbb{C}(z)$。一个著名的结果的应用西冈然后允许一个取代$\mathbb{C}(z)$的$\mathbb{Q}$当评估这些功能在一个非零代数数$α$在单位盘。
2015-04-04 math.CA math.NT
Mahler measures and $L$-values of elliptic curves over real quadratic fields
本文证明 Villegas 公式中次数可由 CM 点类数界定，由此推导 28 个新恒等式及 5 个将实二次域上 CM 椭圆曲线 $L$-值表为 $m(k)$ 行列式的公式，推广了 Guo 等人的工作。
2024-02-03 math.NT
Diophantine approximation and continued fraction expansion for quartic power series over $\mathbb{F}_{3}$
虽然Roth定理指出所有无理代数数的无理测度为2，并且在特征为零的函数域上也是如此，但在正特征的函数域上发现了一些反例。这是首先提出的马勒在1949年，在他的基本文件丢番图逼近\cite{M}。看来，除了特定的元素，作为幂级数与有界的部分导数，罗斯定理成立。到目前为止，只有Mills和Robbins \cite{MR}在1986年发现的一个具有无界偏导数的元素被认为具有这种性质。它涉及$\mathbb{F}_{3}$上的一个四次幂级数，具有一个特殊的连分数展开式.这种连分数展开由Buck和Robbins \cite{BR}明确描述，后来由Lasjaunias \cite{LA2}使用另一种更简单的方法。此外，Lasjaunias \cite{LA2}改进了其与Roth定理有关的无理性测度的值.我们将看到，这个幂级数包含在一个大的四次幂级数族中，可以明确地给出它的连分数展开式和无理性测度。此外，我们还将研究$\mathbb{F}_{3}$上四次幂级数的其他例子的有理逼近，并将推广Mahler提出的反例集。
2020-10-22 math.NT
Counting Exceptional Points for Rational Numbers Associated to the Fibonacci Sequence
如果$α$是一个非零代数数，我们用$m(α)$表示$α$在$\mathbb Z$上的极小多项式的Mahler测度. Dubickas和Smyth的一系列文章，以及后来的作者，发展了一个修改版的马勒测度，称为$t$ -度量马勒测度，记为$m_t(α)$。对于固定的$α\in \bar{\mathbb Q}$，映射$t\mapsto m_t(α)$是连续的，而且，除了在$α$中称为{ \it例外点}的点之外，在所有点处都是无穷可微的。确定是否存在元素序列$α_n\in \bar{\mathbb Q}$，使得$α_n$的例外点的数量趋向于$\infty$为$n\to \infty$，这仍然是开放的。我们利用斐波那契序列的连接，制定一个猜想$t$度量马勒措施。如果猜想是真的，我们证明了这是最好的可能性，它意味着存在的有理数与许多例外点，因为我们喜欢。最后，与一些计算援助，我们解决了各种特殊情况下的猜想，构成早期结果的改进。
2016-07-07 math.NT
Skew-invariant curves and the algebraic independence of Mahler functions
对于$p \in \mathbb{Q}_+ \smallsetminus \{ 1 \}$一个正有理数不同于一，我们说，Puismartx系列$f \in \mathbb{C}((t))^\text{alg}$是$p$ -马勒的非例外多项式类型，如果有一个多项式$P \in \mathbb{C}(t)^\text{alg}[X]$的程度至少为2这是不共轭的单项式或加或减切比雪夫多项式方程$f(t^p) = P(f(t))$举行。证明了如果$p$和$q$是乘法独立的，且$f$和$g$分别是非例外多项式型的$p$-Mahler和$q$ -Mahler，则$f$和$g$在$\mathbb{C}(t)$上代数独立.该定理被证明为一个更一般定理的结果，即如果$f$是非异常多项式类型的$p$ -Mahler，并且$g_1, \ldots, g_n$各自满足关于替换$t \mapsto t^q$的某个差分方程，则$f$在代数上独立于$g_1, \ldots, g_n$。这些定理本身是一个精细分类的斜不变曲线分裂多项式动力系统$\mathbb{A}^2$的后果。
2022-03-09 math.AG math.DS math.NT
Values of generalized Liouville power series at algebraic numbers
本文引入广义 Liouville 级数概念，给出了其取值为 $U_m$-数的充要条件，并证明了其在 $m$ 次简单代数整数处取 $U_m$-值。
2025-07-17 math.NT
Hyper-Mahler measures via Goncharov-Deligne cyclotomy
本文利用Goncharov-Deligne周期（单位根处的多重多重对数的有理线性组合），以闭式计算了两类超Mahler测度，并将相关无穷级数显式表示为特定级别的Goncharov-Deligne周期。
2023-12-28 hep-th math.CO math.NT
The existence of $T$-numbers in positive characteristic
作为Mahler实数分类的一个类似，Bundschuh引入了有限域上洛朗级数的一个分类，将其分为$A,S,T,U$ -数.已知每个$A,S,U$ -数都是非空的.另一方面，$T$ -数的存在性是公开的.本文给出了这个问题的肯定回答.
2018-08-06 math.NT
On vanishing coefficients of algebraic power series over fields of positive characteristic
设$K$是特征$p>0$的域，$f(t_1,...,t_d)$是多元有理函数域$K(t_1,...,t_d)$上的$K$中系数为$d$变量的幂级数.我们证明了一个推广的Derksen最近模拟的Skolem-Mahler-Lech定理的正特征和一个经典的Christol定理，通过显示的指数集$(n_1,...,n_d)\in \mathbb{N}^d$的系数$t_1^{n_1}...t_d^{n_d}$在$f(t_1,...,t_d)$是零是一个$p$ -自动集。应用这一结果多元有理函数导致有趣的有效结果有关的一些丢番图方程有关的$S$单位方程和更普遍的Mordell-郎定理领域的积极特征。
2012-05-18 math.NT
Rational digit systems over finite fields and Christol's Theorem
设$P, Q\in \mathbb{F}_q[X]\setminus\{0\}$是有限域$\mathbb{F}_q$上的两个互质多项式，其中$\operatorname{deg}{P} > \operatorname{deg}{Q}$ .我们用\[w=\sum_{i=0}^k\frac{s_i}{Q}{\left(\frac{P}{Q}\right)}^i\]表示每个多项式$w$在$\mathbb{F}_q$上，使用有理基$P/Q$和数字$s_i\in\mathbb{F}_q[X]$满足$\operatorname{deg}{s_i} < \operatorname{deg}{P}$。对于$\mathbb{F}_q$上的形式Laurent级数也定义了这种类型的数字展开式.我们证明了这些扩展的唯一性和自动性质。虽然可能的数字串的$ω$ -语言是不规则的，我们能够描述的代数元素的数字扩展。特别是，我们给出了一个版本的Christol的定理表明，一个正式的Laurent系列的数字扩展的数字串是自动的，当且仅当该系列是代数上$\mathbb{F}_q[X]$。最后，我们研究了形式Laurent级数的数位展开式与Mahler的$3/2$ -问题的有限域形式之间的关系。
2016-09-11 math.NT
Fast Computation of the Nth Term of an Algebraic Series over a Finite Prime Field
我们解决的问题，计算一个选定的一项代数幂级数。在特征零中，目前已知的用于计算代数级数的第$N$个系数的最佳算法使用微分方程，并且在$\sqrt{N}$中具有准线性的算术复杂度。我们证明了在正特征$p$的素域上，复杂度可以降低到$O(\log N)$。这个戏剧性的改进的数学基础是一个经典的定理，它指出在有限域中系数的形式幂级数是代数的，当且仅当它的系数序列可以由自动机生成。我们重新审视和加强这一结果的两个建设性的证明有限素域。第一个证明使用马勒方程，其大小似乎大得令人望而却步。第二个证明依赖于有理数函数的对角线，我们把它变成一个有效的算法，在$\log N$和准线性$p$的复杂性线性。
2016-05-18 cs.SC math.NT
An extension of algebraic independence of special values for non-lacunary power series
本文针对非稀疏幂级数在Pisot或Salem数倒数处的特殊值，提出了三个值代数独立性的新判据，并应用于证明特定级数和的代数独立性，且系数与指数选择灵活。
2026-09-15 math.NT
Arithmetic properties of the Taylor coefficients of differentially algebraic power series
针对系数在代数闭域上的微分代数幂级数泰勒系数序列，通过分析其非线性递推关系中的多项式，证明了分母上界的优化结果，推广线性情形性质并验证相关猜想，提供实例支撑。
2025-02-13 math.CA math.CO math.NT
