Some results on asymptotic versions of Mahler's problems
该研究属于数论领域，证明了两类关于系数几乎全有界的超越函数的结果，推进了Mahler问题渐近版本的相关研究。
2025-02-24 math.NT
A study of inverse trigonometric integrals associated with three-variable Mahler measures, and some related identities
证明了三变量Mahler测度与反三角函数积分的关系。在导出这些积分的封闭形式后，我们得到了十个三变量Mahler测度的显式公式。其中一些结果推广了Condon和Lalín的公式。作为推论，我们还得到了双对数的三个$q$ -级数展开式。
2006-01-04 math.NT
Algebraic independence of Mahler functions via radial asymptotics
本文在Mahler方法的基础上给出了一种新的代数独立性结果的方法。特别是，我们的方法使用的渐近行为的马勒函数$f(z)$的$z$径向到一个根的单位推导出代数独立的结果的值$f(z)$在代数数。我们将我们的方法应用于二次马勒函数的典型例子，也就是说，我们将其应用于$F(z)$，函数方程$F(z)-(1+z+z^2)F(z^4)+z^4F(z^{16})=0$的幂级数解。具体地说，我们证明了$F(z)$，$F(z^4)$，$F'(z)$和$F'(z^4)$的功能是代数独立的$\mathbb{C}(z)$。一个著名的结果的应用西冈然后允许一个取代$\mathbb{C}(z)$的$\mathbb{Q}$当评估这些功能在一个非零代数数$α$在单位盘。
2015-04-04 math.CA math.NT
Integral Representations and Asymptotics for a Family of Areal Mahler Measures
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Xi’an Jiaotong University（西安交通大学）
该研究解答了Matilde Lalín提出的多项式族面积型Mahler测度问题，通过概率重述推导积分表示，得到序列差分符号规律与渐近展开。
2026-09-11 math.NT
Limits of Mahler measures in multiple variables
本文将 Boyd–Lawton 关于单变量单项式替换下马勒测度收敛的结果推广到多变量情形，并给出误差项的显式上界及一类二变量多项式的完整渐近展开。
2022-06-27 math.NT
A height gap theorem for coefficients of Mahler functions
University of Waterloo（滑铁卢大学）；University of Graz（格拉茨大学）
本文研究了马勒函数系数的高度增长行为，证明了存在五种不同的增长模式，并揭示了其中的间隙现象，同时推导了k-马勒函数的正则性和自动性条件。
2021-10-11 math.NT
Continued fractions of certain Mahler functions
研究了无穷乘积$g(x) = x^{-1}\prod_{t=0}^\infty P(x^{-d^t})$的连分式展开式，其中多项式$P(x)$满足$P(0)=1$和$°(P)<d$ .我们构造了$g(x)$的偏导数之间的关系，利用这些关系可以得到偏导数的递推公式。我们提供的情况下$d=2$和$d=3$的公式。作为应用，我们证明了对于$P(x) = 1+ux$，其中$u$是除0和1之外的任意有理数，以及对于任意整数$b$，其中$|b|>1$使得$g(b)\neq0$，$g(b)$的无理性指数等于2.在$d=3$的情况下，我们提供了一个部分模拟的最后结果与几个集合的多项式$P(x)$给$g(b)$严格大于2的无理性指数。
2018-03-07 math.NT
Mahler Measure for a Quiver Symphony
采用数论中的马勒测度，我们将其引入复曲面规范规范理论，并研究它的一些显著特征和物理含义。我们建议，马勒措施是一个普遍的措施，为natural，编码其动态与单调行为沿所谓的马勒流，包括两个特殊点在等径线和热带的限制。沿着水流，变形虫，从热带几何学，提供几何解释的动力学的热带。在等径极限下，证明了Mahler测度的极大化等价于$a$ -极大化.马勒测度及其导数与主空间密切相关，导致镜面反射函数与其展开式中的系数具有相同的函数，暗示了热带极限中自由理论的出现。此外，它们还表明了相变的存在。我们还发现，在Seiberg对偶下，Mahler测度应该是不变的.
2022-01-03 hep-th math-ph math.AG
Mahler's method in several variables and finite automata
我们开发了一个理论的线性马勒系统在几个变量的超越性和代数独立性的角度来看，其中还包括处理与足够独立的矩阵变换的几个系统的可能性。我们的主要结果远远超出了现有文献，也超过了作者在2018年在arXiv上提供的两个未发表的预印本。主要的新特点是，他们现在适用于没有任何限制的矩阵定义相应的马勒系统。作为结果，我们解决了几个问题，关于数的扩张乘法独立的基础。例如，我们证明了无理数实数在两个乘法独立的整数基中不能自动化，我们给出了自动机理论中Cobham定理的一个新的证明和一个广泛的代数推广。我们还提供了一个新的证明和多元推广西冈定理，一个里程碑式的结果在马勒的方法。
2020-12-15 math.CO math.NT
Diophantine approximation and continued fraction expansion for quartic power series over $\mathbb{F}_{3}$
虽然Roth定理指出所有无理代数数的无理测度为2，并且在特征为零的函数域上也是如此，但在正特征的函数域上发现了一些反例。这是首先提出的马勒在1949年，在他的基本文件丢番图逼近\cite{M}。看来，除了特定的元素，作为幂级数与有界的部分导数，罗斯定理成立。到目前为止，只有Mills和Robbins \cite{MR}在1986年发现的一个具有无界偏导数的元素被认为具有这种性质。它涉及$\mathbb{F}_{3}$上的一个四次幂级数，具有一个特殊的连分数展开式.这种连分数展开由Buck和Robbins \cite{BR}明确描述，后来由Lasjaunias \cite{LA2}使用另一种更简单的方法。此外，Lasjaunias \cite{LA2}改进了其与Roth定理有关的无理性测度的值.我们将看到，这个幂级数包含在一个大的四次幂级数族中，可以明确地给出它的连分数展开式和无理性测度。此外，我们还将研究$\mathbb{F}_{3}$上四次幂级数的其他例子的有理逼近，并将推广Mahler提出的反例集。
2020-10-22 math.NT
Mahler's problem and Turyn polynomials
Center for Communications Research（通信研究中心）
本文通过分析循环移位费克特多项式得到的图林多项式，建立了马勒问题的新纪录值（超过0.95），并证明其渐近归一化马勒测度及$L_1$范数极限值超过0.977，回应了纽曼的问题。
2025-10-23 math.CA math.CV math.NT
$p$-adic Mahler measure and $\mathbb{Z}$-covers of links
设$p$是一个素数。本文发展了多项式的$p$ -adic Mahler测度理论，并将其应用于环上分支的有理同调3-球面的$\mathbb{Z}$ -覆盖的研究.我们得到了挠同调增长的渐近公式的$p$ -adic模拟和Alexander多项式的首项系数、$p$ -adic熵和Iwasawa $μ_p$ -不变量之间的平衡公式.我们还将Besser-Deninger的纯$p$ -adic理论应用于链路的$\mathbb{Z}$ -覆盖.此外，我们还研究了链的有限循环覆盖的熵。我们在整个文件中检查各种例子。
2018-03-20 math.DS math.GT math.NT
On an integral of J-Bessel functions and its application to Mahler measure (with an appendix by J.S. Friedman*)
在最近的一篇论文中，Cogdell，Jorgenson和Smajlović的团队开发了复杂线性型的对数马勒测度的无穷级数表示，具有4个或更多变量。我们建立了3个变量的情况下，通过界定一个积分与被积涉及随机游动概率密度$a\displaystyle\int_0^\infty tJ_0(at) \displaystyle\prod_{m=0}^2 J_0(r_m t)dt$，其中$J_0$是零阶第一类贝塞尔函数，和$a$和{ $r_m$ }是正实数。为了方便我们的证明，我们开发了另一种描述的积分的渐近行为在其已知的分歧点。作为一个计算辅助，以适应数值实验，算法来计算这些系列中提出的附录。
2021-05-05 math.NT math.PR
Growth of Mahler measure and algebraic entropy of dynamics with the Laurent property
University of Kent（肯特大学）
研究具有拉格朗日性质的动力系统和簇代数中马勒度量的增长率，比较其与其他增长度量，并提出马勒度量的增长率与代数熵一致的猜想。
2026-03-17 math.DS math.NT nlin.SI
$L_q$ norms and Mahler measure of Fekete polynomials
本文利用显式极限随机点过程研究了 Fekete 多项式在单位圆上的值分布，解决了其 Mahler 测度的渐近行为这一古老开放问题，并给出了所有 $L_q$ 矩的渐近公式，改进了先前的研究结果。
2023-06-12 math.CA math.NT math.PR
Spanning trees in $\mathbb{Z}$-covers of a finite graph and Mahler measures
本文利用 Artin-Ihara L-函数在 u=1 处的特殊值定义 Ihara 多项式，并用其马勒测度及 p-进马勒测度刻画 Z-覆盖的有限中间图生成树数目的渐近增长和 p-进赋值，统一并推广了循环图、I-图及 Fibonacci 数赋值等已有结果。
2024-07-04 math.CO math.NT
Root Statistics of Random Polynomials with Bounded Mahler Measure
多项式的马勒测度是一种复杂性的测度，它是通过取首系数的模乘以单位圆外的根的乘积的模而形成的。从Mahler测度至多为1的多项式集合中一致选取实次数$N$多项式的根，得到复平面上的Pfronian点过程.当$N$很大时，概率趋于1，根趋于单位圆，并且我们研究了单位圆上一点邻域内尺度核的渐近性。当该点远离实轴（在实轴上存在找到根的正概率）时，缩放过程退化为具有相同局部统计的行列式点过程（即，标量核）作为从马勒测度至多为1的多项式集合中均匀选择的复多项式的根形成的极限过程。三个新的矩阵核出现在$\pm 1$的邻域中，它们编码关于实根之间、复根之间以及实根和复根之间的相关性的信息。远离单位圆，核收敛到新的限制核，这意味着除其他事项外，在任何开放的子集的$\C$不相交的单位圆的根的预期数量收敛到一个正数。我们也给合奏相同的统计从二维静电与潜在的理论权重，和正常的矩阵选择关于他们的拓扑熵作为行动的欧几里得空间。
2013-07-15 math-ph math.MP math.NT
Rational digit systems over finite fields and Christol's Theorem
设$P, Q\in \mathbb{F}_q[X]\setminus\{0\}$是有限域$\mathbb{F}_q$上的两个互质多项式，其中$\operatorname{deg}{P} > \operatorname{deg}{Q}$ .我们用\[w=\sum_{i=0}^k\frac{s_i}{Q}{\left(\frac{P}{Q}\right)}^i\]表示每个多项式$w$在$\mathbb{F}_q$上，使用有理基$P/Q$和数字$s_i\in\mathbb{F}_q[X]$满足$\operatorname{deg}{s_i} < \operatorname{deg}{P}$。对于$\mathbb{F}_q$上的形式Laurent级数也定义了这种类型的数字展开式.我们证明了这些扩展的唯一性和自动性质。虽然可能的数字串的$ω$ -语言是不规则的，我们能够描述的代数元素的数字扩展。特别是，我们给出了一个版本的Christol的定理表明，一个正式的Laurent系列的数字扩展的数字串是自动的，当且仅当该系列是代数上$\mathbb{F}_q[X]$。最后，我们研究了形式Laurent级数的数位展开式与Mahler的$3/2$ -问题的有限域形式之间的关系。
2016-09-11 math.NT
Distribution of algebraic numbers
舒尔研究了极限的算术平均值$A_n$的零多项式的次数$n$与整数系数和简单的零在封闭的单位磁盘。如果首项系数有界，舒尔证明，$\limsup_{n\to\infty} |A_n| \le 1-\sqrt{e}/2.$我们表明，$A_n \to 0$，并估计收敛速率通过推广的Erdens-Turán定理的零点分布。作为一个应用，我们证明了整数多项式在单位圆盘上有一些意想不到的增长限制。舒尔还研究了问题的手段代数数的真正路线。当所有共轭代数数都是正数时，Siegel等人进一步发展了寻找$\liminf_{n\to\infty} A_n$的精确下界的问题。我们提供了一个解决这个问题的代数数均匀分布在实直线的子集。位势论方法使我们能够考虑复平面上一般集合内或附近的代数数的分布。引入广义Mahler测度，并利用它刻画了容量为1的任意紧集上代数数的渐近等分布.这种均匀分布的定量方面也分析了广义马勒措施。
2013-07-22 math.NT
A proof of the Conjecture of Lehmer
证明了Lehmer猜想是正确的。证明主要依据：（i）与Rényi-Parry算术动力系统的动态zeta函数$ζ_{\houseα}(z)$有关的Parry上函数$f_{\houseα}(z)$的性质（$β$-移位），对于$α$，房子$\houseα$的倒数代数整数大于1，（ii）发现$ζ_{\houseα}(z)$的极点在单位圆的极限"透镜状"弧上的极限处均匀等分布，当$\houseα$趋向于$1^+$时，产生Mahler测度${\rm M}(α)$的连续透镜状次项${\rm M}_{r}(\houseα)$，（iii）这些极点和次项${\rm M}_{r}(\houseα)$作为动力学度的函数的庞加莱渐近展开。Schinzel-Zassenhaus猜想被证明是正确的。得到了Mahler测度MPDMATHABMU的Dobrowolski型缩减.对某个整数$η\geq 259$，得到了M $(α)$的泛子式是$θ_η^{-1} > 1$，其中$θ_η$是$-1+x+x^η$的正实根. Salem数的集合被证明是由Perron数$θ_{31}^{-1} = 1.08545\ldots$（三项式$-1 - z^{30} + z^{31}$的优势根）从下而定界的。Lehmer的数是否是最小的Salem数仍然未知。对于Mahler测度小于最小Pisot数$Θ= 1.3247\ldots$的代…
2021-10-29 math.DS math.NT
On asymptotic expansions for basic hypergeometric functions
本文提出了一种新方法，利用Ono和Lovejoy的结果，获得与部分theta函数相关的q级数及多超几何级数的渐近展开式。
2025-07-02 math.NT
New approximations for the higher order coefficients in an asymptotic expansion for the Barnes $G$-function
在本文中，我们提供了新的公式来确定出现在渐近展开的Barnes $G$ -函数的$n$趋于无穷的某些类的渐近展开的$G$ -函数。我们注意到，我们的公式可以用来逼近Keathing-Snaith猜想中的"随机矩阵因子”的渐近展开中的系数和Barnes $G$ -函数的倒数的" Lévy-Khintchine型表示“的渐近展开中的系数.
2021-08-29 math.NT
The range of multiplicative functions on C[x], R[x] and Z[x]
Mahler's measure is generalized to create the class of { \it multiplicative distance functions}. These functions measure the complexity of polynomials based on the location of their zeros in the complex plane . Following work of S.-J. Chern and J. Vaaler in \cite{chern-vaaler} , we associate to each multiplicative distance function two families of analytic functions which encode information about its range on \C [x] and \R [x]. These { \it moment functions} are Mellin transforms of distribution functions associated to the multiplicative distance function and demonstrate a great deal of arithme…
2007-07-13 math.CO math.NT
An asymptotic expansion of Selberg's central limit theorem near the critical line
本文在$ 0 < θ< \frac12$为常数的情况下，得到了黎曼ζ函数的Selberg中心极限定理在$σ= \frac12 + ( \log T)^{-θ}$和$t \in [T, 2T]$上的渐近展开式.
2021-06-03 math.NT
A note on an asymptotic expansion related to the Dickman function
本文改进了Soundararajan关于Dickman函数的一个渐近展开.结果表明，一个相对简单的方法来计算这些积分数值。
2017-10-28 math.NT
Asymptotic expansions of the prime counting function
本文给出了素数计数函数$π(x)$及其相关函数的几种渐近展开式。我们定义一个实或复变量的复值函数的{ \it渐近连分式展开式}是一个可能发散的连分式，其逼近提供了给定函数的渐近展开。我们表明，对于每个正整数$n$，两个著名的连分式展开的指数积分函数$E_n(z)$相应地产生两个渐近连分式展开的$π(x)/x$。我们证明了这一点，首先建立一些一般性的结果渐近连分式展开。例如，我们表明，“最佳”的有理函数逼近的一个功能拥有渐近雅可比连续分数的扩展，正是连续分数的逼近，作为一个推论，我们确定所有的最佳有理函数逼近的功能$π(e^x)/e^x$。最后，我们将我们在$π(x)$上的结果推广到任何满足公理A的算术半群，从而推广到任何数域。
2021-08-17 math.NT
A Proof of the Conjecture of Lehmer and of the Conjecture of Schinzel-Zassenhaus
证明了Lehmer的猜想是正确的。证明主要依据：（i）与Rényi-Parry算术动力系统的动态zeta函数$ζ_{house(α)}(z)$相关的Parry上函数$f_{house(α)}(z)$的性质，对于$α$，房子“$house(α)$“的代数整数$α$大于1，（ii）发现了$ζ_{house(α)}(z)$的极点在单位圆的极限“透镜状”弧上的极限处均匀地等分布，当$house(α)$趋向于$1^+$时，产生马勒测度${\rm M}(α)$的连续透镜形次量${\rm M}_{r}(house(α))$，（iii）这些极点和次量${\rm M}_{r}(house(α))$作为动力学度的函数的庞加莱渐近展开。用同样的论证证明了Schinzel-Zassenhaus猜想的正确性。得到了一个不等式，改进了Dobrowolski不等式和Dobrowtier不等式. Salem数的集合被证明是由Perron数$θ_{31}^{-1} = 1.08545\ldots$（三项式$-1 - z^{30} + z^{31}$的优势根）从下而上限定的。Lehmer的数是否是最小的Salem数仍然未知。得到了非零全实代数数$\neq \pm 1$的Weil高度的一个下界（Bogomolov性质）.对于Mahler测度小于最小Pisot数的代数整数序列，证明了其共轭的Galois轨道测度收敛于$|…
2017-09-12 math.NT
The asymptotic formula in Waring's problem: higher order expansions
当k > 1且s关于k足够大时，我们得到了一个关于大自然数的表示数为s的正整数k次幂和的显式多项渐近展开.
2013-09-02 math.NT
Power Series with Binomial Sums and Asymptotic Expansions
本文研究了系数为二项式（迭代有限差分）的幂级数。我们的结果可用于级数求和、级数变换或涉及第二类Stirling数的渐近展开。在某些情况下，我们得到渐近展开涉及伯努利多项式，多伯努利多项式，或欧拉多项式。我们还讨论了与欧拉级数变换和其他级数变换公式的联系。
2015-01-18 math.NT
On the asymptotic expansion of the sum of the first n primes
导出了前n个素数和的一个渐近公式。这一结果改进了P.Dusart以前的结果。利用这种渐近展开，我们证明了R. Mandl和G. Robin关于前n个素数之和的上界和下界。
2015-06-23 math.NT
Asymptotic expansions, $L$-values and a new Quantum Modular Form
2010年，Zagier提出了量子模形式的概念。他的第一个例子是“奇怪的”功能$F(q)$的Kontsevich。在这里，我们产生了一个新的例子，量子模形式利用一些Ramanujan的模拟θ函数。使用这些功能和他们的转换行为，我们也计算渐近展开类似的$F(q)$的扩展。
2013-11-14 math.NT
Random Walks, Spectral Gaps, and Khintchine's Theorem on Fractals
这项工作解决的问题，同时丢番图逼近分形，动机是一个长期存在的问题，马勒康托的中间$1/3$集。我们得到的第一个例子中，一个完整的类似欣钦定理持有分形措施。我们的结果适用于分形是自相似的系统的合理相似性的$\mathbb{R}^d$（任何$d\geq 1$），并有足够小的Hausdorff余维。在马勒问题的背景下，这种度量的一个具体例子是“中间$1/5$康托集“上的豪斯多夫度量;即$5$基展开缺少一位数的数字集。关键的新成分是一个有效的等分布定理，某些分形措施的齐性空间$\mathcal{L}_{d+1}$的幺模格;结果的独立利益。后者是建立通过一个新的技术，涉及建设的$S$ -算术运营商拥有的频谱间隙和编码的算术结构的地图生成的分形。作为我们的方法的结果，我们表明，某些随机游动的球平均值自然相关的分形措施有效地均匀分布在$\mathcal{L}_{d+1}$。
2022-11-10 math.DS math.NT
Distribution of mixed character sums and extremal problems for Littlewood polynomials
University of Bristol（布里斯托大学）；Heilbronn Institute for Mathematical Research（希尔布隆数学研究所）
本文研究混合特征和的分布特性，并应用结果构造具有大Mahler测度和L1范数的Littlewood多项式，同时证明Turyn多项式L_{2k}范数在α=1/4处渐近最小，解决了Günther和Schmidt的猜想。
2026-11-05 math.CA math.CV math.NT
An asymptotic expansion related to the Dickman function
证明了Broadurst（arXiv：1004.0519v1）关于与Dickman函数有关的某些重对数型函数的渐近展开的一个猜想.
2010-05-19 math.CA math.NT
Asymptotic expansions for the reciprocal Hardy-Littlewood logarithmic integrals
本文通过定义一族递推关系推广Comtet公式与Panaitopol渐近展开，从而获得与第一哈代-利特尔伍德猜想相关的倒数对数积分的渐近展开。
2024-12-27 math.CO math.NT
