非稀疏幂级数特殊值代数独立性的一个推广
An extension of algebraic independence of special values for non-lacunary power series
浏览论文内容
中文总结 AI 辅助
本文针对非稀疏幂级数在Pisot或Salem数倒数处的特殊值，提出了三个值代数独立性的新判据，并应用于证明特定级数和的代数独立性，且系数与指数选择灵活。
中文摘要 AI 辅助
我们研究幂级数 $f(\beta^{-1})$ 的特殊值的代数独立性，其中 $\beta$ 是一个固定的 Pisot 数或 Salem 数。特别地，我们考虑 $f(X)=\sum_{n\geq 0} t(n) X^{w(n)}$ 不是稀疏级数且不假定满足任何特殊函数方程（如 Mahler 型函数方程）的情形。在我们的主要结果中，我们给出了三个值代数独立性的一个新判据。应用我们的主要结果，我们证明以下三个值是代数独立的：\\[ \sum_{n=3}^{\infty}\lfloor n^{y}\rfloor\beta^{-\lfloor n^{\log \log n}\rfloor},\quad \sum_{n=3}^{\infty}\beta^{-\lfloor n^{\log \log n}\rfloor},\quad \sum_{n=1}^{\infty}\beta^{-\lfloor n^{\log n}\rfloor}, \\] 其中 $y$ 是任意正实数。由于我们的判据是灵活的，我们在选择系数 $(t(n))_{n\geq 0}$ 和指数 $(w(n))_{n\geq 0}$ 方面有相当大的自由度。
英文摘要
We study the algebraic independence of special values of power series $f(β^{-1})$, where $β$ is a fixed Pisot or Salem number. In particular, we consider the case where $f(X)=\sum_{n\geq 0} t(n) X^{w(n)}$ is not a lacunary series and is not assumed to satisfy any special functional equation, such as a Mahler-type functional equation. In our main results, we give a new criterion of the algebraic independence of three values. Applying our main results, we prove that the following three values are algebraically independent: \[ % \begin{gathered} \sum_{n=3}^{\infty}\lfloor n^{y}\rfloorβ^{-\lfloor n^{\log \log n}\rfloor},\quad \sum_{n=3}^{\infty}β^{-\lfloor n^{\log \log n}\rfloor},\quad \sum_{n=1}^{\infty}β^{-\lfloor n^{\log n}\rfloor}, % \end{gathered} \] where $y$ is an arbitrary positive real number. Since our criterion is flexible, we have considerable freedom in choosing the coefficients $(t(n))_{n\geq 0}$ and the exponents $(w(n))_{n\geq 0}$.
