Boundary value problems for elliptic operators satisfying Carleson condition
本文以简明的形式给出了系数满足各种Carleson条件的Lipschitz域上的标量椭圆型方程的$L^p$ Dirichlet问题、正则问题和Neumann问题的可解性的最新结果，并给出了例证.更准确地说，对于$L=\mbox{div}(A\nabla)$，我们假设矩阵$A$是椭圆的，并且满足一个自然的Carleson条件，或者是（$|\nabla A(X)|\lesssim \mbox{dist}(X,\partialΩ)^{-1}$和$|\nabla A|(X)^2\mbox{dist}(X,\partialΩ)\,dX$）或者是$\mbox{dist}(X,\partialΩ)^{-1}\left(\mbox{osc}_{B(X,δ(X)/2)}A\right)^2\,dX$是Carleson测度。我们提出了两种类型的结果，第一种是所谓的“小Carleson”的情况下，对于一个给定的$1<p<\infty$，我们证明了可解性的三个考虑边值问题假设下的Carleson范数的系数和Lipschitz常数的考虑域是足够小的。第二种类型的结果（“大Carleson”）放松的限制，任何Lipschitz域和假设的Carleson范数的系数仅仅是有界的。在这种情况下，对于$(1,\infty)$的子区间中的一系列$p$，我们有$L^p$可解性。在本文的最后，我们给出了一个简短的概述最近的…
2022-12-01 math.AP math.CA
The Dirichlet boundary problem for second order parabolic operators satisfying Carleson condition
建立了时变区域上抛物型方程$u_t-\mbox{div}(A\nabla u)=0$ Dirichlet边值问题的$L^p$，$2\le p\le\infty$可解性，其中系数矩阵$A=(a_{ij})$满足小Carleson条件.该结果是由以前建立的椭圆型方程$\mbox{div}(A\nabla u)=0$的类似结果激发的。
2016-10-28 math.AP
Carleson measure estimates, corona decompositions, and perturbation of elliptic operators without connectivity
设$Ω$是一个开集，其Ahlfors-David正则边界满足螺旋条件.当$Ω$以某种定量形式连通时，我们可以证明：对于任何系数有界的实椭圆算子，椭圆测度的定量绝对连续性等价于所有有界零解满足Carleson测度估计.反过来，在相同的设置下，这些等价的属性是稳定的下February man-Kenig-Pipher扰动。然而，如果没有连通性，就没有可用的Festhiman-Kenig-Pipher微扰结果。在本文中，我们的工作与电晕分解与椭圆测度，并表明它是等价的事实，即有界零解满足部分/弱Carleson测度估计，或事实上，格林函数是可比的距离边界的电晕意义。这种定性具有深远的影响。我们将Festhiman-Kenig-Pipher的扰动推广到非连通的情形。对于拉普拉斯算子，这些电晕分解，或者等价地，部分/弱Carleson测度估计是有意义的，足以表征边界的一致可求长性。作为结果，我们得到，该集合的边界是一致可求长的，如果有界零解的任何Fundaman-Kenig-Pipher扰动拉普拉斯满足Carleson测度估计。对于Kenig-Pipher算子，其特征的任何性质在系数矩阵的转置或对称化下都是稳定的。得到了满足$L^1$ -Kenig-Pipher条件的非对称变元算子的有界零解的Carleson测度估计存在的充要条件是开集的边界是一致可求长的.我们的研究结果概括了以前的工作，定…
2022-02-13 math.AP math.CA
Uniform rectifiability and elliptic operators satisfying a Carleson measure condition
建立了一类偏微分方程解的性质与欧几里得空间中集合几何之间的对应关系。在满足Carleson测度条件的最优散度型椭圆算子类中，解决了椭圆测度关于曲面测度的（定量）绝对连续性与边界的一致可求长性是否等价的问题.该结果可以看作是一个定量模拟的维纳准则适用于奇异$L^p$数据的情况下。我们把证明分为两个主要步骤。在第一个，我们认为，在这种情况下，所需的Carleson测量条件的系数持有“足够小的常数”，使用一种新的应用技术开发的几何测度论。在第二步中，我们建立最终结果，即“大常数情况”。关键要素是一个强大的外推参数，它提供了一个一般的途径，自我改进的标度不变的小常数估计，和一个新的机制，转移定量绝对连续的椭圆测度之间的区域和子域。
2020-08-11 math.AP math.CA
Perturbations of elliptic operators in 1-sided chord-arc domains. Part II: Non-symmetric operators and Carleson measure estimates
我们推广到单边弦弧域的情形，即满足Corkscrew和Harnack链条件的域（它们分别是开放性和路径连通性的尺度不变/定量版本）并且具有Ahlfors正则边界，这是Kenig-Kirchheim-Piper-Toro的结果，其中Carleson测量方程$Lu=-{\rm div}(A\nabla u) = 0$有界解的估计，其中$A$是实数（不一定对称）一致椭圆矩阵，意味着相应的椭圆测度关于边界上的曲面测度属于Muckenhoupt $A_\infty$类.我们提出了两个应用这个结果。在第一章中，我们推广了Cavero-Hofmann-Martell最近证明的一个扰动结果，给出了一个更简单的证明，并允许非对称系数。其次，我们证明了：如果上述算子$L$的局部Lipschitz系数满足Carleson测度条件，则$ω_L\in A_\infty$当且仅当$ω_{L^\top}\in A_\infty$ .因此，我们可以删除一个主要的假设，在非对称的情况下的结果的霍夫曼-马特尔-托罗，并表明，如果系数满足一个稍微更强的Carleson措施条件的成员资格的椭圆测量与$L$类$A_\infty$产量，该域确实是一个弦弧域。
2019-08-06 math.AP math.CA
Uniform rectifiability and elliptic operators satisfying a Carleson measure condition. Part I: The small constant case
本文建立了一类偏微分方程解的性质与欧几里得空间中集合几何之间的对应关系。在满足Carleson测度条件的最优散度型椭圆算子类中，解决了椭圆测度关于曲面测度的（定量）绝对连续性与边界的一致可求长性是否等价的问题.该结果可以看作是一个定量模拟的维纳准则适用于奇异$L^p$数据的情况下。本文在系数的Carleson测度很小的假设下讨论了自由边界问题。这项工作的第二部分开发了一个外推参数，引导这一结果的一般情况下。第一部分中的思想构成了几何测度论中发展的技术的一种新的应用。它们突出了几个领域之间的协同作用。本文提出的思想非常适合于研究几何环境中的变分问题中的奇点。
2020-01-14 math.AP math.CA
Layer potentials and boundary value problems for elliptic equations with complex $L^{\infty}$ coefficients satisfying the small Carleson measure norm condition
考虑半空间$\mathbb{R}^{n+1}_+ :=\{(x,t)\in \mathbb{R}^n\times(0,\infty)\}$上的散度型椭圆型方程$Lu:=\nabla\cdot(A\nabla u)=0$，其系数矩阵$A$是复椭圆的、有界的、可测的.此外，我们还假设$A$在横截边界的方向上满足一些额外的正则性，即$A(x,t) -A(x,0)$满足Fundaman-Kenig-Pipher型Carleson测度条件，且Carleson范数较小.在这些条件下，我们建立了$L^p$，Hardy，Sobolev，BMO和Hölder空间中双层和单层势的全范围有界性结果。此外，我们证明$L$的狄利克雷问题的可解性，与数据在$L^p(\mathbb{R}^n)$，$BMO(\mathbb{R}^n)$，和$C^α(\mathbb{R}^n)$，和诺依曼和正则性问题的可解性，与数据分别在空间$L^p(\mathbb{R}^n)/H^p(\mathbb{R}^n)$和$L^p_1(\mathbb{R}^n)/H^{1,p}(\mathbb{R}^n)$，与适当的限制指数，假设可逆性层电位的$t$ -独立运营商$L_0:= -\nabla\cdot(A(\cdot,0)\nabla)$。
2013-11-01 math.AP math.CA
Perturbation theory for solutions to second order elliptic operators with complex coefficients and the $L^p$ Dirichlet problem
对复系数二阶发散型椭圆算子建立了一个Dahlberg型扰动定理。在我们的前一篇文章中，我们证明了如下结果：如果${\mathcal L}_0=\mbox{div} A^0(x)\nabla+B^0(x)\cdot\nabla$是一个满足关于$\nabla A$和$B$的Carleson条件的$p$ -椭圆算子，则算子${\mathcal L}_0$的$L^p$狄利克雷问题在上半空间${\mathbb R}^n_+$中可解.本文证明了在${\mathcal L}_0$的小扰动下$L^p$的可解性是稳定的。也就是说，如果${\mathcal L}_1$是另一个具有复系数的发散型椭圆算子，并且算子${\mathcal L}_0$和${\mathcal L}_1$的系数在Carleson测度意义下（考虑系数的差异）足够接近，则对于相同的$p$值，算子${\mathcal L}_1$的$L^p$狄利克雷问题是可解的.作为推论，我们得到一个新的结果$L^p$可解性的狄利克雷问题的运营商的形式${\mathcal L}=\mbox{div} A(x)\nabla+B(x)\cdot\nabla$的矩阵$A$满足较弱的Carleson条件比我们以前的文件，特别是系数的$A$不再需要是可微的，而是满足Carleson条件，控制振荡的矩阵$A$的惠特尼盒。这一结果在真实情况下已经由Dindobel、P…
2018-05-19 math.AP
Carleson Perturbations for the Regularity Problem
证明了在Carleson扰动下，$L^q(\partial Ω)$中正则性问题的可解性是稳定的.如果扰动很小，那么在同一个$L^q$中保持可解性，如果扰动很大，正则性问题在$L^{r}$中对于其他$r\in (1,\infty)$是可解的。我们延长早期的结果从凯尼格和Pipher非常一般的无界域，可能与低维边界的理论开发的盖伊大卫和最后两位作者。准确地说，我们只需要域与其Ahlfors正则边界有非切向的访问，以及边界上的梯度概念。
2022-08-01 math.AP
Uniform rectifiability and elliptic operators satisfying a Carleson measure condition. Part II: The large constant case
本文及其同伴[Hofmann，Martell，Mayboroda，Toro，Zhao，arXiv：1710.06157]建立了一类偏微分方程解的性质与欧几里得空间中集合几何之间的对应关系.在满足Carleson测度条件的最优散度型椭圆算子类中，解决了椭圆测度关于曲面测度的（定量）绝对连续性与边界的一致可求长性是否等价的问题.该结果可以看作是一个定量模拟的维纳准则适用于奇异$L^p$数据的情况下。在我们之前的论文[Hofmann，Martell，Mayboroda，Toro，Zhao，arXiv：1710.06157]中，我们在这个方向上迈出了第一步，在那里我们考虑了期望的系数上的Carleson测度条件在足够小的常数下成立的情况。在本文中，我们建立了最终的，一般的结果，即“大常数的情况下”。我们的方法的关键要素是一个强大的外推参数，它提供了一个一般的途径，自我改善标度不变的小常数估计，以及一个新的机制，转移定量绝对连续的椭圆测度之间的域和子域。
2020-01-07 math.AP math.CA
Carleson measure estimates for the Green function
本文考虑半空间中的椭圆散度型算子，证明了它的格林函数几乎是仿射的，或者更精确地说，证明了只要系数的振荡满足传统的二次Carleson条件，则在每一尺度上，格林函数与适当的仿射函数的归一化差满足Carleson测度估计.结果是尖锐的，特别是，它表明，在文件中考虑的运营商类不能得到改善。
2021-12-21 math.AP
Solvability of the Dirichlet problem using a weaker Carleson condition in the upper half plane
该研究针对上半平面的椭圆算子Dirichlet问题，提出一种关于矩阵横向导数的$L^1$ Carleson条件，拓展了满足$A_\u221e$权性质、即$L^p$ Dirichlet问题可解的椭圆算子范围。
2025-04-02 math.AP
The doubling property of the elliptic measure, for elliptic operators with drifts satisfying an average diverging condition
本文证明在漂移满足平均Carleson小性条件下，椭圆测度具有加倍性质，推广了逐点小漂移的结果，并建立了Alhfors-David正则边界域上的Hardy不等式。
2026-07-02 math.AP
Square Functions and the $A_\infty$ Property of Elliptic Measures
在本文中，我们提供了一种新的方法来建立Lipschitz域上二阶椭圆型非对称散度型算子的狄利克雷问题的可解性.我们证明了此类算子的有界解的最优Carleson测度估计隐含了相关椭圆测度的正则性结果。
2014-09-25 math.AP
The $A_\infty$ condition, $\varepsilon$-approximators, and Varopoulos extensions in uniform domains
设$Ω\subset\mathbb R^{n+1}$，$n\geq1$是具有$n$-Ahlfors正则边界的一致区域，$L$是$Ω$中的（不一定对称的）散度型椭圆实有界算子.证明了相应的椭圆测度$ω_L$关于$\partialΩ$的曲面测度是定量绝对连续的，即$ω_L \in A_\infty(σ)$当且仅当$Ω$中的$u$到$Lu = 0$的任何有界解对任何$\varepsilon \in (0,1)$都是$\varepsilon$ -可逼近的.通过$u$的$\varepsilon$ -逼近性，我们意味着存在函数$Φ= Φ^\varepsilon$使得$\|u-Φ\|_{L^\infty(Ω)} \le \varepsilon\|u\|_{L^\infty(Ω)}$和具有$d\widetildeμ = |\nabla Φ(Y)| \, dY$的测度$\widetildeμ_Φ$是具有对Carleson范数的$L^\infty$控制的Carleson测度。作为这个结果的逼近性，我们表明，边界$\operatorname{BMO}$功能与紧支持可以有Varopoulos型扩展，即使在某些集不可求长的边界，也就是说，光滑的扩展，收敛非切向回到原始数据，并满足$L^1$型Carleson测度估计与$\operatorname{BMO}$控制Carleson范数。我们的结果补充了霍夫曼和第…
2023-02-26 math.AP
The BMO-Dirichlet problem for elliptic systems in the upper-half space and quantitative characterizations of VMO
本文证明了对于任何齐次二阶常复系数椭圆型方程组$L$，边界数据为BMO的$L$中的狄利克雷问题在函数类$u$中适定，其中$dμ_u(x',t):=|\nabla u(x',t)|^2\,t\,dx'dt$为Carleson测度.本文建立了一个Fatou型定理，保证了满足Carleson测度条件的系统的光滑零解$u$的点态非切边界迹的存在性.这意味着BMO可以被刻画为光滑零解$u$到椭圆系统$L$的非切逐点迹的集合，并且具有$μ_u$是Carleson测度的性质.我们建立了上半空间中BMO-狄利克雷问题的一个正则性结果：满足上述Carleson测度条件的$L$的任意给定光滑零解的非切点态迹属于Sarason空间VMO当且仅当$μ_u$满足一个消失Carleson测度条件.此外，我们得到的Dirichlet问题的适定性时，边界数据规定在Morrey-Campanato和解决方案需要满足消失Carleson测量条件的分数阶。因此，我们将空间VMO刻画为BMO中包含的光滑函数类的闭包，其中一致连续性可以适当量化（例如满足Hölder或Lipschitz条件的光滑函数类），改进了Sarason的经典结果，将VMO描述为BMO中具有有界平均振荡的一致连续函数空间的闭包。最后，证明了满足$T(1)=0$的Calderón-Zygmund算子$T$在$\mathrm{VMO}$中扩张为有界线性算子…
2018-08-24 math.AP math.CA math.FA
Perturbation Theory for Second Order Elliptic Operators with BMO Antisymmetric Part
本文研究带无界BMO反对称部分的散度型椭圆算子的$L^p$狄利克雷问题微扰理论，证明系数差满足Carleson条件时可解性的保持与阶数关系，并将其应用于有界Lipschitz域的相关问题。
2025-05-21 math.AP
The $L^p$ Neumann problem for parabolic operators with coefficients satisfying small Carleson condition
The University of Edinburgh（爱丁堡大学）；Brown University（布朗大学）
本文证明在系数满足小Carleson条件且区域Lipschitz常数足够小时，对任意$1<p<\infty$，Lipschitz柱面上的抛物Neumann问题可解。
2026-09-17 math.AP math.CA
The $L^p$ Dirichlet and Regularity problems for second order Elliptic Systems with application to the Lamé system
在论文arXiv：1708.02289中，我们对Lipschitz图上的区域上的发散形式的强椭圆二阶方程组引入了新的可解性方法，满足$2$附近的$p$的$L^p$ -边界数据.我们的结果的主要新颖的方面是，它适用于运营商的有限的正则性系数，并适用于运营商满足自然Carleson条件，已首先考虑在标量的情况下。在本文中，我们在几个方向上推广这个结果。我们将$L^p$ Dirichlet问题的可解性范围提高到区间$2-\varepsilon < p<\frac{2(n-1)}{(n-3)}+\varepsilon$，对于在区间$2-\varepsilon < p<\infty$中的$n=2,3$维系统.我们通过考虑正则性问题（边界数据在$L^p$中有一个导数）在$2-\varepsilon < p<2+\varepsilon$范围内的可解性来做到这一点。其次，我们看看扰动型的结果，我们可以推导出一个运营商的$L^p$ Dirichlet问题的可解性从已知的$L^p$ Dirichlet可解性的\lq \lq关闭”运营商（在Carleson措施的意义下）。这导致改进的主要结果的文件arXiv：1708.02289;我们建立的$L^p$ Dirichlet问题的可解性的区间$2-\varepsilon < p<\frac{2(n-1)}{(n-2)}+\varepsilon$下一个更弱的（…
2020-06-21 math.AP
Solvability of the Dirichlet problem for a new class of elliptic operators
针对上半空间椭圆算子Dirichlet问题，通过引入仅依赖横向导数的混合L¹-L^∞型Carleson条件，改进原有t独立性条件，证明该条件下ω∈A∞(σ)，上半平面情形下进一步得到更强的L¹型Carleson条件结果。
2025-08-02 math.AP
Carleson--Buckley measures beyond the scope of $A_\infty$ and their applications
Carleson测度在调和分析中是普遍存在的。1991年，Fückman-Kenig-Pipher的论文中，为了解决椭圆型偏微分方程的正则性问题，引入了一类有趣的Carleson测度。这些Carleson指标与$A_\infty$权重相关。在离散设置（我们需要确切的离散设置在这里），他们研究了巴克利的，在那里他们与二元$A\infty^d$。我们在这里的目标是表明，这样的Carleson-Buckley措施（在离散设置）存在几乎任何积极的功能（重量）。当然需要一些修改，因为已知巴克利测度的Carleson性质等价于$A_\infty^d$中的权。然而，一个非常自然的概括这些事实存在的权重更一般的$A_\infty$，当然，在一个特殊的情况下，$A_\infty^d$它给巴克利的结果。我们对Buckley不等式的推广超出了$A_\infty$的范围，从而证明了所谓的bump猜想.
2012-09-08 math.AP math.CA
Carleson Conditions for Weights: The quantitative small constant case
研究Fefferman-Kenig-Pipher的$A_\infty$权特征的小常数情形，证明两个相关量在小条件下互为平方根控制，并应用于椭圆测度研究。
2023-05-23 math.AP math.CA
Approximation of Green functions and domains with uniformly rectifiable boundaries of all dimensions
本文建立了域边界的一致可求长性与椭圆算子的格林函数可以用仿射函数（到超平面的距离）很好地逼近的性质之间的等价性。这些结果在许多方面都是新颖的，特别是（1）这是文献中第一次发现格林函数由仿射函数或由到边界的距离（在Carleson普遍集的意义下）控制的基本性质，所建立的“直接”结果在半空间中也是新的;（2）结果是最优的，提供了在（标准）温和拓扑假设;（3）据作者所知，这是第一个适用于所有椭圆算子的自由边界结果，对系数没有任何限制（直接的假设标准的，必要的，Carleson测度条件）;（4）我们的定理适用于所有域，可能具有较低的维度边界：这是第一个自由边界，导致更高的余维设置，因此，对于一组维度$d$，$d<n-1$，在${\mathbb{R}}^n$。本文提供了一个一般的方法来处理相关的问题大大超出了上述定理的范围，包括问题的梯度的格林函数的逼近，和比较的格林函数的某个版本的距离到原始集，而不是距离的超平面。
2020-11-11 math.AP
The Dirichlet problem for elliptic equations in divergence and nondivergence form with singular drift term
给定两个非散度型椭圆算子L和M，分别具有系数A_L（x），A_M（x）和漂移项b_L（x），b_M（x），满足R^{n+1}中Lipschitz域Ω中的Carleson测度不相容条件，则它们的调和测度相互绝对连续.作为应用，利用一个新的逼近论证和已知结果，得到了单个算子L（发散或非发散形式）关于勒贝格测度具有正则调和测度的充要条件.结果在所有情况下都是尖锐的。
2005-10-18 math.AP
Carleson measure estimates for caloric functions and parabolic uniformly rectifiable sets
本文证明了抛物一致可求长集外热方程有界解满足 Carleson 测度估计，核心创新是利用正则 Lip(1/2,1) 图区域构建日冕区域逼近方案，其椭圆版本改进了已知结果。
2021-03-23 math.AP math.MG
Perturbation of elliptic operators in 1-sided NTA domains satisfying the capacity density condition
令$Ω\subset\mathbb{R}^{n+1}$、$n\ge 2$是单侧非切向可达域（也称为均匀域），即，一组满足内部螺旋形和Harnack链条件，分别规模不变/定量版本的开放性和路径连通性。假设$Ω$满足所谓的容量密度条件。设$L_0u=-\mathrm{div}(A_0\nabla u)$，$Lu=-\mathrm{div}(A\nabla u)$是两个实（不一定对称）一致椭圆算子，对于相关的椭圆测度记为$ω_{L_0}$，$ω_L$.该程序的目标是找到保证$ω_L$满足关于$ω_{L_0}$的$A_\infty$ -条件或$RH_q$ -条件的充分条件。我们证明了，如果两个矩阵的差异满足一个自然的Carleson测量条件，就$ω_{L_0}$，然后$ω_L\in A_\infty(ω_{L_0})$。此外，如果假设Carleson测度条件在一个足够小的常数下成立，则对于任何给定的$1<q<\infty$，$ω_L\in RH_q(ω_{L_0})$。这扩展了Febriman-Kenig-Pipher和Milakis-Pipher-Toro以前的工作，他们考虑了Lipschitz和弦弧域。在这里，我们超越了容量密度条件比外部螺旋球的存在要弱得多。“大常数”的情况下，其中的差异满足Carleson测量条件，是新的，即使是很好的域，如单位球，上半空间，或Lipschitz域，…
2021-03-19 math.AP math.CA
Bounded variation approximation of L_p dyadic martingales and solutions to elliptic equations
我们证明了连续性和满射的迹映上$L_p$，从一个空间的功能的局部有界的变化，定义的Carleson功能。扩展映射是通过一个停时参数构造的。这扩展了Varopoulos在BMO情况下与Corona定理相关的早期工作。我们还证明了椭圆型非光滑散度型方程解的$L_p$ Carleson逼近性结果，推广了Hofmann，Kenig，Mayboroda和Pipher在$p=\infty$情形下的结果.
2016-06-21 math.AP math.CA math.FA
Perturbations of elliptic operators in chord arc domains
研究了散度型算子解的边界正则性，这些算子是已知解的边界正则性的算子的小扰动。如果系数的偏差函数满足小范数Carleson测度条件，则一个算子是另一个算子的小扰动。本文将Escauriaza关于Lipschitz域的结果推广到具有小常数的弦弧域.特别地，我们证明了如果$L_1$是$L_0$的小扰动，并且$\log k_0$有小的BMO范数，那么$\log k_1$也有小的BMO范数.这里，$k_i$表示$L_i$的椭圆测度相对于域边界的表面测度的密度。
2012-10-20 math.AP
Small $A_\infty$ results for Dahlberg-Kenig-Pipher operators in sets with uniformly rectifiable boundaries
本文考虑了以弦弧曲面$Γ$为界的椭圆算子$L=-\textrm{div}(A\nabla)$，其系数$A$满足常系数矩阵逼近的Dahlberg-Kenig-Pipher条件的弱形式，且具有足够小的Carleson范数，并证明了与$L$相关联的极点在无穷远处的椭圆测度关于$Γ$上的曲面测度是$A_\infty$ -绝对连续的，具有小的$A_\infty$常数。换句话说，我们证明了对于相对平坦的一致可求长集和具有缓慢振荡系数的算子，椭圆测度满足具有小常数的$A_\infty$条件，并且泊松核的对数具有小振荡.
2022-07-27 math.AP
A Green function characterization of uniformly rectifiable sets of any codimension
本文通过Green函数二阶导数的Carleson估计，给出了任意余维数一致可求长集的统一刻画，将余维数1情形下Azzam关于Laplacian的结果推广至更一般椭圆算子，并首次解决了余维数大于1区域的全新刻画问题。
2023-07-30 math.AP
Transference of scale-invariant estimates from Lipschitz to Non-tangentially accessible to Uniformly rectifiable domains
本文证明在一致可整流边界开集中，若解在Lipschitz子域满足Carleson测度、平方函数及ε-可逼近估计，则这些估计仍成立，并建立从Lipschitz到弦弧及一致可整流域的通用实变量迁移原理。
2020-07-13 math.AP math.CA
The Green function with pole at infinity applied to the study of the elliptic measure
研究具有无穷远极点的格林函数，在两种情形下证明椭圆测度与 Lebesgue 测度等价，并通过 Carleson 测度扩展算子范围，证明 $A_\infty$-绝对连续性。
2021-06-25 math.AP
Geometric regularity estimates for fully nonlinear elliptic equations with free boundaries
在这篇手稿中，我们研究的几何正则性估计驱动的完全非线性椭圆算子在强吸收条件下的问题。我们沿着自由边界建立改进的几何规则性，对于仅取决于结构参数的尖锐值。非简并等措施的理论性质也得到了。证明了在无穷远处具有受控增长的整体解的一个尖锐的Liouville结果。我们还提出了一些应用程序的结果，我们的研究结果。
2020-08-11 math.AP
Equivalence between solvability of the Dirichlet and Regularity problem under an $L^1$ Carleson condition on $\partial_t A$
Department of Mathematics, Brown University（布朗大学数学系）
本研究针对上半空间椭圆算子，在$|\u2202_t A|$满足$L^1$-Carleson条件下证明了Dirichlet问题与正则性问题可解性的等价性，扩展了$L^p$正则性问题可解的算子类。
2026-09-21 math.AP
On an elliptic-parabolic MEMS model with two free boundaries
本文讨论了一个具有两个自由边界的混合型演化自由边界问题，该问题模拟了一个理想化的静电驱动MEMS器件。当电势是椭圆型方程的解时，膜的位移动力学由两个抛物型方程模拟。结果表明，该模型是局部适定性的时间和解决方案存在的全球小电源电压，而不存在的大电压值。此外，我们的模型具有一个稳态解，是渐近稳定的。最后，我们表明，在消失的纵横比限制，该模型的解决方案收敛到解决方案的相关小纵横比问题。
2014-07-14 math.AP
Semilinear elliptic equations in thin regions with terms concentrating on oscillatory boundaries
本文研究了具有齐次Neumann边界条件的半线性椭圆型方程在二维振动薄区域中的一族解的性质，其中反应项集中在振动边界的邻域内.我们的主要结果是关于解集的上、下半连续性下半连续性。我们表明，我们的扰动方程的解决方案可以近似与一个一维方程，这也捕捉了所有相关的物理过程中发生的原始问题的影响。
2018-03-25 math.AP
Dirichlet problem in domains with lower dimensional boundaries
本文首先研究了具有低维边界的区域中具有$L^q$边界数据的二阶复系数算子的狄利克雷问题，在$Ω:= \mathbb R^n \setminus \mathbb R^d$和$d<n-1$中。在Guy David和两位第一作者的第一个结果的基础上，引入了一个适当的退化椭圆算子，并证明了当系数满足小Carleson范数条件时，狄利克雷问题对所有$q>1$都是可解的.即使在经典情形$d=n-1$的上下文中，我们的结果也是新的。对系数的条件比以前已知的条件更宽松（最值得注意的是，我们对系数的系数矩阵的第一$n-1$行不施加任何限制），并且结果更一般。我们建立当地而不是全球的平方函数和非切向最大函数之间的估计，也许更重要的是，我们建立新的Moser型估计在边界和改善内部的。
2018-10-16 math.AP
Parabolic uniform rectifiability is characterized by Carleson measure estimates for bounded caloric functions
University of Alabama（阿拉巴马大学）；Universitat de Barcelona（巴塞罗那大学）；University of Missouri（密苏里大学）
本文证明抛物型均匀可修正性等价于热方程有界解的Carleson测度估计及热测度的日冕分解，在温和假设下建立了新的刻画。
2026-09-15 math.AP math.CA
Free boundary regularity for a degenerate fully non-linear elliptic problem with right hand side
考虑一类退化的完全非线性椭圆算子的单相自由边界问题，其右端非零。我们使用\cite{DeSilva}中的方法证明了平坦自由边界和Lipschitz自由边界是$C^{1, γ}$。
2018-10-18 math.AP
Regularity and Neumann problems for operators with real coefficients satisfying Carleson condition
本文继续研究了$\mathbb R^n,$中Lipschitz图上区域上的一类二阶椭圆算子$\mathcal L=\mbox{div}(A\nabla\cdot)$，其中矩阵$\mathcal L=\mbox{div}(A\nabla\cdot)$的系数满足Carleson测度条件，表示为Whitney球上振动的条件.对于这类算子，已知（自2001年以来）$L^q$狄利克雷问题对于某些$1 < q < \infty$是可解的。进一步的研究完全解决了当振动的Carleson测度范数足够小时，Lipschitz域上Dirichlet，Regularity，Neumann问题的$L^q$可解性的范围.我们证明了存在$p_{reg}>1$，使得对于所有的$1<p<p_{reg}$，算子$\mathcal L=\mbox{div}(A\nabla\cdot)$的$L^p$正则性问题是可解的。此外，$\frac1{p_{reg}}+\frac1{q_*}=1$其中$q_*>1$是使得伴随算子$\mathcal L^*$的$L^q$狄利克雷问题对所有$q>q_*$都可解的数。此外，当$n=2$时，存在$p_{neum}>1$，使得对于所有$1<p<p_{neum}$，算子$\mathcal L=\mbox{div}(A\nabla\cdot)$的$L^p$ Neumann问题是可解的。其中$\f…
2022-12-01 math.AP math.CA
The Dirichlet Problem for elliptic equations with singular drift terms
University of Missouri（密苏里大学）
本文研究了带奇异漂移项的椭圆方程在1侧弦弧域中的狄利克雷问题，证明了在特定条件下该问题的L^p解存在性。
2026-09-16 math.AP
Convexity for free boundaries with singular term (nonlinear elliptic case)
考虑外区域\begin{cases}\begin{array}{cc} Lu=g(u) & \text{in }Ω\setminus K, \\ u=1 & \text{on }\partial K,\\ |\nabla u|=0 &\text{on }\partial Ω, \end{array}\end{cases}中的自由边界问题，其中$K$是$\mathbb{R}^n$（$n\ge2$）中的（给定）凸紧集，$Ω=\{u>0\}\supset K$是未知集，$L$是完全非线性算子或$p$ -Laplace算子.在对$K$和$g$适当的假设下，我们证明了上述问题的非负拟凹解的存在性.我们还考虑了当集合$K$包含在$\{x_n=0\}$中时的情况，并得到类似的结果。
2022-11-18 math.AP
Parabolic $L^p$ Dirichlet Boundary Value Problem and VMO-type time-varying domains
本文证明了在时变区域上，当系数$A= [a_{ij}(X, t)]$和$B=[b_i]$满足一定的自然小Carleson条件时，$1 < p \leq \infty$的抛物型$L^p$ Dirichlet边值问题对于形式为$u_t = \mbox{div} (A \nabla u) + B \cdot \nabla u$的偏微分方程的可解性.这一结果把抛物面的情形归结为椭圆的标准。进一步证明了若算子$A,\,B$的系数满足Carleson条件，且时变区域为VMO型，则抛物型$L^p$ Dirichlet边值问题对所有$1 < p \leq \infty$都是可解的.这一结果与文献中的结果由Mazalena，Mitrea和Shaanova，和霍夫曼，Mitrea和泰勒的事实，即域的边界有正常的VMO或附近VMO意味着可逆的某些边界算子在$L^p$的所有$1 < p \leq \infty$，然后（使用层势的方法）意味着可解的$L^p$边值问题在同一范围内的某些椭圆型偏微分方程。我们的结果没有使用层势的方法，因为我们考虑的系数太粗糙，不能使用这种技术，但值得注意的是，我们恢复了$L^p$的可解性在整个范围内的$p$的上述两篇论文。
2018-05-18 math.AP
Regularity theory for solutions to second order elliptic operators with complex coefficients and the $L^p$ Dirichlet problem
当矩阵$A$的系数满足一个自然代数条件时，我们建立了一个新的二阶椭圆型复值方程$\mathcal L=$ div $A(\nabla\cdot)$的正则性理论，该条件是文献中已知的$L^p$ -耗散性条件的加强形式.准确地说，正则性结果是内球上解的$L^p$平均的逆Hölder条件，并作为实值散度型椭圆算子解的De Giorgi - Nash - Moser正则性的替代。Cialdea和Maz'ya在一系列论文中研究了二阶复系数算子和系统的$L^p$ -耗散性的充要条件。最近，Carbonaro和Dragičević引入了一个他们称之为$p$ -椭圆性的条件，并证明了它对某些由复值二阶微分算子产生的双线性算子的有界性有影响。他们的$p$ -椭圆性条件正是我们的$L^p$ -耗散性的加强版本.当$A$和$B$满足一个自然而熟悉的Carleson测度条件时，本文的正则性结果被应用于求解$\mathcal L=$ div $A(\nabla\cdot)+B\cdot\nabla$的$L^p$ Dirichlet问题.证明了当$A$是$p$ -椭圆时，$p$的$L^p$ Dirichlet边值问题的可解性.
2018-03-31 math.AP
Causal sparse domination of Beurling maximal regularity operators
我们证明了Calderón-Zygmund算子作用在由$L_1$ Carleson泛函和$L_q$（$1<q<\infty$）Whitney平均定义的域上的Banach函数空间中的有界性.为了保持这样的界限，我们假设算子映射到域的边界。我们得到的Carleson估计证明点态支配的运营商，稀疏运营商的因果结构。这项工作的动机是椭圆偏微分方程的最大正则性估计，并与单侧加权估计的奇异积分。
2022-02-17 math.AP math.CA math.FA
Boundary value problems for second order elliptic operators with complex coefficients
$\mathcal{L}=\mbox{div} A(x)\nabla$形式的二阶复系数算子理论最近在$p$ -椭圆性假设下得到了发展。特别地，如果矩阵$A$是$p$ -椭圆的，则解$u$至$\mathcal{L}u = 0$将满足更高的可积性，即使它们在内部可能不是连续的。此外，这些解决方案具有以下性质：$|u|^{p/2-1}u \in W^{1,2}_{loc}$。这些性质的解决方案被用于Dindoethan-Pipher解决$L^p$狄利克雷问题的$p$ -椭圆算子的系数满足进一步的正则性条件，一个Carleson措施的条件，经常出现在文献中的研究，真正的椭圆发散形式的运营商。本文包含两个主要结果。首先，我们建立了这类算子的正则性边值问题的可解性，在相同的范围内的狄利克雷问题。正则性问题，即使在真实的椭圆设置，是更微妙的比狄利克雷问题，因为它需要估计的导数的解决方案。其次，正则性的结果使我们能够扩展以前建立的狄利克雷问题的$L^p$可解性的范围，使用一个定理，由于Z。Shen关于一般有界次线性算子。
2018-10-22 math.AP
A stability result for parabolic measures of operators with singular drifts
该研究在抛物上半空间中分析带奇异漂移的椭圆算子，建立了依赖于系数振荡与漂移小性的抛物测度定量A∞估计，证明用到新的抛物Green函数估计和各向异性A∞权的定量Carleson测度准则。
2024-12-12 math.AP math.CA
The $L^p$ regularity problem for parabolic operators
The University of Edinburgh（爱丁堡大学）；Brown University（布朗大学）
本文研究了抛物PDE在Lipschitz圆柱上的正则性问题，证明了在某些$p\in(1,\infty)$范围内存在解，并解决了Carleson条件下的问题。
2026-04-25 math.AP math.CA
Perturbations of elliptic operators in 1-sided chord-arc domains. Part I: Small and large perturbation for symmetric operators
设$Ω\subset\mathbb{R}^{n+1}$，$n\ge 2$是一个单侧弦弧域，即满足内部Corkscrew和Harnack链条件（它们分别是开性和路连通性的尺度不变/定量形式）的域，其边界$\partialΩ$是$n$维Ahlfors正则的.考虑$L_0$和$L$两个实对称散度型椭圆算子，并设$ω_{L_0}$，$ω_L$为相应的椭圆测度.证明了如果$ω_{L_0}\in A_\infty(σ)$，其中$σ=H^n|_{\partialΩ}$，和$L$是$L_0$的扰动（在这个意义上，$L_0$和$L$之间的差异满足一定的Carleson测度条件），则$ω_L\in A_\infty(σ)$ .此外，如果$L$是$L_0$的一个足够小的扰动，那么我们可以保留逆Hölder类，也就是说，如果对于某些$1<p<\infty$，我们有$ω_{L_0}\in RH_p(σ)$，那么就有$ω_{L}\in RH_p(σ)$。等价地，如果$L^{p'}(σ)$中的Dirichlet问题对于$L_0$是可解的，那么对于$L$也是如此。这些结果可以看作是Dahlberg，February man-Kenig-Pipher和Milakis-Pipher-Toro在更良性的环境中得到的扰动定理的推广。作为我们的方法的结果，我们可以证明，对于拉普拉斯算子的任何扰动（或者更一般地说，任何具有满…
2017-08-22 math.AP math.CA
An alternative proof of the $L^p$-regularity problem for Dahlberg-Kenig-Pipher operators on $\mathbb R^n_+$
本文给出了$\u211d^n_+$上满足Carleson测度条件的一致椭圆算子正则性问题可解性的更简洁替代证明，扩展了可解算子类别，并在$\u211d^n \setminus \u211d^d$带权情形下建立了类似结果。
2025-08-02 math.AP
The $L^p$ Dirichlet boundary problem for second order Elliptic Systems with rough coefficients
给定一个域以上的Lipschitz图，我们建立可解性结果的强椭圆二阶系统的发散形式，允许有低阶（漂移）的条款，与$L^p$ -边界数据$p$附近的$2$（更准确地说，在一个区间的形式$\big(2-\varepsilon,\frac{2(n-1)}{n-2}+\varepsilon\big)$的一些小$\varepsilon>0$）。我们的结果的主要新颖的方面是，运营商的系数不一定是常数，或具有非常高的规律性，而是他们将满足自然Carleson条件，已经出现在标量的情况下。我们的结果可以应用到一个系统的一个重要例子是各向同性非均匀材料的Lamé系统。我们表明，我们的结果适用于各向同性材料的泊松比$ν<0.396$。处理真正的系统带来了大量的新挑战，在标量情况下没有。除此之外，一般椭圆系统不存在最大值原理，De Giorgi - Nash - Moser理论也可能不适用。尽管如此，我们还是成功地建立了估计的平方函数和非切向最大算子的椭圆系统的解决方案，并使用这些作为替代工具，证明$L^p$可解性结果$2$附近的$p$。
2020-06-24 math.AP
A geometric result for composite materials with $C^{1,γ}$-boundaries
本文得到了复合材料中椭圆型和抛物型偏微分方程的一个几何结果。在经典论文Li and Vogelius（2000）和Li and Nirenberg（2003）中，他们假设对于任何尺度和任何点，存在一个坐标系，使得复合材料的各个组分的边界局部成为$C^{1,γ}$ -图。我们证明了如果复合材料的各个组分由$C^{1,γ}$ -边界组成，则Li and Vogelius（2000）和Li and Nirenberg（2003）中的这种坐标系存在，从而得到了与复合材料相关的线性椭圆方程组的梯度有界性和分段梯度Hölder连续性结果.
2022-06-16 math.AP
Elliptic measures for Dahlberg-Kenig-Pipher operators: Asymptotically optimal estimates
一致椭圆型散度型算子对应的椭圆测度的定量和渐近性质一直是近年来研究的热点。在此设置中，我们证明了椭圆测度的系数满足消失Carleson条件的上半空间的运营商是一个渐近最佳的$A_\infty$的重量。特别地，对于这样的运营商的椭圆核的对数是在空间（局部）消失的平均振荡。为了实现这一目标，我们证明了当地的，定量估计的数量（介绍了Festhiman，凯尼格和Pipher），控制的$A_\infty$常数。我们的工作使用David，Li和Mayboroda最近获得的结果。这些定量的估计可以提供一个新的框架来处理类似的问题。
2021-08-19 math.AP math.CA
Uniform rectifiability, elliptic measure, square functions, and $\varepsilon$-approximability via an ACF monotonicity formula
设$Ω\subset\mathbb{R}^{n+1}$，$n\geq2$是具有Ahlfors-David正则边界且满足螺旋条件的开集.我们考虑一个一致椭圆算子$L$的发散形式与矩阵$A$与真正的，只是有界的，可能是非对称的系数，这也是局部Lipschitz和满足适当的Carleson型估计。本文证明了：如果$L^*$是与$A$的转置矩阵相关联的散度型算子，则$\partialΩ$是一致$n$ -可求长的当且仅当$Lu=0$的每一有界解和$Ω$中的$L^*v=0$的每一有界解是$\varepsilon$ -可逼近的当且仅当$Lu=0$的每一有界解和$Ω$中的$L^*v=0$的每一有界解满足适当的平方-函数Carleson测度估计此外，我们得到了两个额外的一致可求直的准则。一个是在所谓的$S<N$估计方面，另一个在一个合适的电晕分解涉及$L$ -谐波和$L^*$ -谐波措施。证明了若$L$ -调和测度和$L^*$ -调和测度满足弱$A_\infty$ -型条件，则$\partial Ω$是$n$ -一致可求长的.在这个过程中，我们得到了一个版本的Alt-Caffarelli-Friedman单调性公式的一个相当广泛的一类椭圆算子，这是独立的利益，并在我们的论点中发挥了重要作用。
2017-06-29 math.AP math.CA
