Symmetric skew braces and brace systems
对于斜左大括号$(G, \cdot, \circ)$，映射$λ: (G, \circ) \to \Aut \,(G, \cdot),~~a \mapsto λ_a,$，其中$λ_a(b) = a^{-1} \cdot (a \circ b)$对于所有$a, b \in G$，是群同态。那么$λ$也可以看作是从$(G, \cdot)$到$\Aut \, (G, \cdot)$的映射，一般来说，它可能不是同态。如果$λ: (G, \cdot) \to \Aut \, (G, \cdot)$是反同态（同态），则斜左大括号将被称为$λ$ -反同态（$λ$ -同态）。我们主要研究这样的斜左大括号。本文给出了一种在给定集合上构造一类二元运算的方法，使得具有任意两个二元运算的集合构成一个$λ$ -同态对称斜支撑.在文献中讨论的对称斜支撑的大多数构造都落在我们构造的框架内。然后，我们进行各种这样的建设特定的无限集。
2023-01-13 math.RA
Computing skew left braces of small orders
我们改进了[Math. Comp. { \bf 86}（2017），2519-2534]的算法5.1，用于计算所有非同构的斜左括号，并枚举了阶数高达868的左括号和斜左括号，但有一些例外。最后，本文提出了进一步研究的建议。
2019-12-04 math.RA
Trusses, ditrusses, weak trusses
本文扩展左斜环至左斜桁架，引入σπ₁运算，建立与结合互换近环的范畴同构，并揭示σ与τ的对偶性。
2025-10-27 math.RA
On congruence classes and extensions of rings with applications to braces
两个意见支持的论文，桁架是固有的环论。首先，证明了环上同余关系的每个等价类，或者等价地，环$R$与理想$I$的商的任何元素都是与$R$相关联的桁架$\mathrm{T}(R)$中的典范.其次，描述了由单侧模块对桁架的扩展。即使扩展的truss关联到一个环，得到的对象也是一个truss，而不是一个环，除非模块是平凡的。另一方面，如果延伸桁架与支撑相关联，则生成的桁架也与支撑相关联，而与使用的模块无关。
2019-12-02 math.RA
Central series' and ($n$)-isoclinism of skew left braces
本文引入斜左括号子类$\mathcal{I}_n$，定义其$n$-同斜性，证明相关结果与群论类似，且$n$-同斜性保持幂零性，还给出对称$n$-同斜括号的商与子结构关系及与对应群的联系。
2025-04-15 math.RA
Bi-skew braces and Hopf Galois structures
我们定义一个双斜花括号为一个集合$G$，它具有两个群运算$\star$和$\circ$，使得$(G, \circ, \star)$是一个具有加群$(G, \star)$和加群$(G, \circ)$的斜花括号。如果$G$是斜括号，则$G$对应于域的任何伽罗瓦扩张上的$(G, \star)$型的Hopf伽罗瓦结构，伽罗瓦群同构于$(G, \circ)$。如果$G$是双斜花括号，则$G$也对应于具有同构于$(G, \star)$的伽罗瓦群的域的伽罗瓦扩张上的$(G, \circ)$类型的Hopf伽罗瓦结构。存在许多不平凡的例子。一个来源是具有$A^3 = 0$的自由基环$A$，其中一个基团是阿贝尔的，而另一个基团不必是阿贝尔的。由Bachiller分类的度$p^3$的左大括号是双斜大括号当且仅当它们是根环。双斜括号的另一个来源是任意有限群的半直积，这产生了许多例子，其中两个群都是非阿贝尔的，以及Crespo，Rio和Vela的结果的斜括号证明，如果$G = H\rtimes J$是有限群的半直积，则具有伽罗瓦群$G$的域的伽罗瓦扩展具有$H \times J$型的Hopf伽罗瓦结构。
2019-04-18 math.RA
Skew braces, near-rings, skew rings, dirings
University of Padova（帕多瓦大学）
本文引入左斜环和左弱环概念，通过将近环的单乘法替换为两个操作，研究Yang-Baxter方程的集合解。
2025-12-18 math.RA
Skew braces and the Galois correspondence for Hopf Galois structures
设$L/K$是具有Galois群$Γ$的域的Galois扩张，且$L/K$也是$H$ -Hopf Galois扩张.利用最近发现的霍普夫伽罗瓦结构和斜左括号之间的联系，我们引入了一种方法来量化从$H$的子霍普夫代数到$L/K$的中间子域的伽罗瓦对应的满射性的失败，由霍普夫伽罗瓦理论基本定理给出。假设$L \otimes_K H = LN$，其中$N \cong (G, \star)$。则存在斜左大括号$(G, \star, \circ)$，其中$(G, \circ) \cong Γ$。我们发现，有一个双射之间的中间字段$E$之间的$K$和$L$和某些子斜左括号的$G$，我们称之为$\circ$稳定子群的$(G, \star)$。计算这些子群的个数，并将其与$Γ\cong (G, \circ)$的子群个数进行比较，就可以描述$H$ -Hopf伽罗瓦结构的伽罗瓦对应离满射有多远。该方法通过各种示例来说明。
2018-06-22 math.RA
Spectral topologies on skew braces
本文通过定义斜辫子的素理想，在其素理想集合上构造谱拓扑，刻画不可约闭子集并证明其有唯一泛点，给出诺特性条件，研究连续映射并证明理想谱空间为谱空间。
2022-12-25 math.RA
Cohomology, Extensions and Automorphisms of Skew Braces
定义了左斜支撑的第二上同调群，其系数在具有非平凡作用的平凡左支撑中，建立了它与左斜支撑的平凡扩张的联系，构造了第二上同调群与左斜支撑扩张的诱导自同构的Wells正合列.
2021-05-05 math.GR math.RA
Skew left braces and 2-reductive solutions of the Yang-Baxter equation
研究了杨-巴克斯特方程的2-约化非对合非退化集理论解.我们给出了任何（甚至无限）大小的任何这样的解决方案的组合建设。我们还证明了与斜左支撑相关联的解是2-约化的当且仅当斜左支撑是2类幂零的。此外，所有这样的斜左大括号实际上是双斜左大括号。我们专注于这些结构，我们给出了几个等价的性质表征与双斜左括号的解决方案。
2023-03-27 math.CO math.RA
Some properties of skew braces that are invariant under isoclinism
本文证明了斜支撑的bi-skew、$λ$-homomorphic和inner性质在等倾关系下保持不变。
2023-06-23 math.GR math.RA
Connections between properties of the additive and the multiplicative groups of a two-sided skew brace
研究了双边斜支撑的加法群与乘法群之间的关系。特别地，我们证明了：如果一个双边斜支撑的加法群是有限可解的（分别是可解的、剩余可解的、剩余有限的），那么这个斜支撑的乘法群也是可解的（分别是可解的、剩余可解的）.证明了若双侧斜支撑的乘法群是幂零类$k$的幂零群，则该斜支撑的加法群至多是类$2k$的可解群.信结果推广的结果Byott说，如果乘法群的有限斜括号是阿贝尔，然后添加剂组的斜括号是可解的。此外，我们解决了两个问题（问题19.49和问题19.90（a））有关斜括号，制定了Kourovka笔记本电脑。
2018-09-25 math.GR math.RA
Bi-Skew Braces and Regular Subgroups of the Holomorph
L. Childs定义了一个斜支撑$(G, \cdot, \circ)$是一个双斜支撑，如果$(G, \circ, \cdot)$也是一个斜支撑，并给出了这个概念的应用，以等价理论的霍普夫伽罗瓦结构。本文的目的是从$(G, \cdot)$的全同态的正则子群的等价观点来处理双斜支撑$(G, \cdot, \circ)$.特别地，我们发现T. Kohl，F. Dalla Volta和作者，以及C. Tsang都给出了双斜括号的例子。在Childs构造的基础上，我们还给出了构造双斜支撑的进一步例子的各种方法。
2020-07-22 math.GR math.RA
Semidirect products of skew braces
本研究针对双群与斜 brace，探讨了作用、半直积和理想换位子的概念，为相关代数结构研究提供基础。
2023-08-25 math.GR math.RA
On the Sylow Theorem for Skew Braces
研究有限斜格的Sylow定理，证明当斜格为双侧、双斜、右nilpotent、λ-同态或超可解时成立，并探讨了更多专门情形，证明了广义Hall型定理。
2026-04-21 math.GR math.RA
On bi-skew braces and brace blocks
L. N. Childs将双斜花括号定义为斜花括号，如果我们交换两个操作的角色，那么我们再次找到斜花括号。本文对双斜撑进行了系统的分析。本文研究了杨-巴克斯特方程的幂零性和可解性，以及双斜花括号和集合论解之间的联系。进一步，我们在双斜括号的情况下处理了Byott猜想，并使用双斜括号作为工具解决了L。文德拉明在最后一部分，我们研究了支撑块，定义为A。Koch是一个给定集合上的群运算族，使得其中任何两个都产生一个双斜支撑。我们提供了一个特征的支撑块，说明如何在文学中所有已知的结构遵循自然的方式从我们的特征，并给出了几个新的例子。
2022-12-15 math.GR math.QA math.RA
On two-sided skew braces
本文通过引入弱平凡斜撑并给出其分类，研究双侧斜撑的结构，推广了加法群与乘法群关系的已知结果，并证明两类素与半素斜撑概念在双侧情形下等价。
2024-09-06 math.GR math.QA math.RA
Finite skew braces of square-free order and supersolubility
本文研究超可解斜 braces，证明其具有 Sylow 塔并刻画中心幂零理想与多重置换层性质，同时给出判定相关结构斜 brace 是否超可解的算法。
2024-02-28 math.GR math.RA
The Schur--Zassenhaus Theorem and Sylow's Third Theorem for Finite Skew Braces
本文证明了有限斜支架的Schur-Zassenhaus定理和Sylow第三定理，包括Hall理想的子斜支架补的存在性以及Sylow p-子斜支架个数模p同余1的性质。
2026-07-02 math.GR math.RA
Soluble skew left braces and soluble solutions of the Yang-Baxter equation
本文引入并研究斜左括号的可解性性质，由此定义Yang-Baxter方程解的可解性，证明非退化集合论可解解可由可解斜左括号刻画，还展示了其丰富理想结构并给出相关实例。
2024-08-14 math.GR math.RA
Radical and weight of skew braces and their applications to structure groups of solutions of the Yang-Baxter equation
我们定义了斜左花括号的根和权，并给出了这些概念的一些基本性质。特别地，我们得到了Artin斜左括号的Wedderburn型分解.此外，我们证明类似物的一个定理的Wiegold，一个定理的舒尔和其逆的上下文中斜左括号。最后，我们将这些结果应用于检测杨-巴克斯特方程的有限双射非退化集理论解的结构群中的挠率。
2020-01-29 math.GR math.RA
A Counterexample to Byott's Conjecture for Finite Skew Braces
构建加法群可解、乘法群不可解的有限斜括号，其乘法群商同构于\(\PSL_2(7)\)，反驳拜奥特猜想。
2026-07-28 math.GR math.RA
A construction of the free skew brace
本文的目的是给出集合$X$上自由斜支撑的一个简单构造。
2020-02-27 math.GR math.QA math.RA
The structure skew brace associated with a finite non-degenerate solution of the Yang-Baxter equation is finitely presented
本文证明了与Yang-Baxter方程的有限非退化解相关联的结构斜撑具有有限表示性质。
2023-07-08 math.GR math.RA
On the multiplicative group of a two-sided skew brace of solvable type
Università di Cagliari（卡利亚里大学）
研究双侧斜近生的乘法群在加法群可解时的有限商群性质，证明其可解性，并扩展Nasybullov定理至任意可解类型双侧斜近生。
2026-03-25 math.GR math.RA
Skew Braces of Squarefree Order
设$n \geq 1$为无平方整数，$M$、$A$为两个$n$阶群。利用我们以前关于无平方度域的伽罗瓦扩张上的Hopf-Galois结构的计数结果，我们确定了乘法群$M$和加法群$A$的斜括号（直到同构）的个数.作为一个应用，我们列举了斜括号的顺序是三个不同的素数的产品。
2019-10-21 math.QA math.RA
Skew braces with no proper left ideals
Ochanomizu University（御茶水女子大学）
本文研究有限左单斜辫子的部分分类，其中左单斜辫子定义为没有非平凡真左理想的斜辫子，并与有限域扩张上的极小Hopf-Galois结构一一对应。
2026-08-06 math.GR math.RA
On the Galois correspondence for Hopf Galois structures arising from finite radical algebras and Zappa-Szép products
设$L/K$是具有$N$型$H$-Hopf伽罗瓦结构的域的$G$ -伽罗瓦扩张.我们研究的比例$GC(G, N)$，这是中间字段的数目$E$与$K \subseteq E \subseteq L$是在图像的伽罗瓦对应的$H$-Hopf伽罗瓦结构$L/K$，除以中间字段的数目。通过伽罗瓦下降，$L \otimes_K H = LN$其中$N$是$\mathrm{Perm}(G)$的$G$不变正则子群，然后$GC(G, N)$是$N$的$G$不变子群的个数除以$G$的子群的个数。我们期待在伽罗瓦对应比率的霍普夫伽罗瓦结构的问题转化为计数某些子群相应的斜支撑。我们研究由有限根代数$A$和有限群的Zappa-Szép乘积产生的斜括号，特别是当$A^3 = 0$或Zappa-Szép乘积是半直积时，在这种情况下，相应的斜括号是双斜括号，即，具有两个群运算$\circ$和$\star$的集合$G$，使得$G$是一个斜括号，其中任一群结构充当斜支撑的加法群。我们得到了几个例子的伽罗瓦对应比。特别地，如果$(G, \circ, \star)$是无平方阶$2m$的双斜大括号，其中$(G, \circ) \cong Z_{2m}$是循环的，而$(G, \star) = D_m$是二面角的，则对于大$m$，$GC(Z_{2m},D_m), $接近1/2，而$GC(D_m, Z_{2m})$接近0。
2020-02-02 math.RA
On Dedekind Skew Braces
本文研究Dedekind斜辫子，证明有限情形中心幂零，推广至局部循环群，并给出相关解的刻画。
2025-08-14 math.GR math.RA
Factorizations of skew braces
本文引入了斜支撑的强左理想，并证明了它们产生杨-巴克斯特方程的集合论解的非平凡分解。我们研究因子分解斜左括号通过强左理想，我们证明类似的伊藤定理的背景下斜左括号。作为推论，我们得到了杨-巴克斯特方程的对合非退化解的可收缩性问题的应用。最后，我们分类斜括号，不包含非平凡的真理想。
2019-05-14 math.GR math.QA math.RA
Skew left braces of nilpotent type
研究斜左大括号的左理想列，它们是群的上中心序列的类似物。这些概念允许我们定义左和右幂零斜左括号。证明了与这些概念有关的几个结果，并给出了它们在无限左支撑中的应用。利用斜左大括号的结构研究了杨-巴克斯特方程的不可分解解.
2018-09-23 math.GR math.QA math.RA
Action accessibility in the variety of skew braces
本文通过研究Huq意义下的中心化子范畴概念，证明了斜括号簇不是动作可达的，从而否定了2025年Oberwolfach迷你工作坊中关于斜括号范畴存在分裂扩张分类器的问题。
2026-10-01 math.CT math.RA
Chain conditions on skew braces and solutions of the Yang-Baxter Equation
研究满足理想极大或极小条件的斜辫环，类比Hall和McLain的群论结果，分析可解性和局部幂零性对有限生成性的作用，并引入Yang-Baxter方程非退化集论解的有限性和链条件。
2026-07-15 math.GR math.RA
On simple compact Lie skew braces
Università di Cagliari（卡利亚里大学）
本文从全局和微分视角研究李斜 brace 的简单性，证明紧致连通简单李斜 brace 的结构特性，并构造非紧致例子展示其非刚性。
2026-04-24 math.DG math.GR math.RA
Problems on skew left braces
大括号是Rump作为Jacobson根环的推广而引入的。事实证明，大括号允许我们使用环理论和群论的方法来研究杨-巴克斯特方程的对合解。如果用斜大括号代替大括号，那么可以使用类似的方法来研究不一定对合的解。在这里，我们收集有关的问题（斜）括号和集理论解决方案的杨-巴克斯特方程。
2018-09-07 math.GR math.QA math.RA
Constructing skew left braces whose additive group has trivial centre
本文完整刻画了加法群具有平凡中心的有限斜左括号的所有可能乘法群，改进了Tsang的早期结果，并回答了其在2024年Ischia群论会议上提出的公开问题。
2024-05-23 math.GR math.RA
Commuting probability of skew left braces
Harish-Chandra Research Institute, A CI of Homi Bhabha National Institute（哈里什-昌德拉研究所，霍米·巴巴国立学院的一个附属机构）
研究斜左 brace 的交换概率，证明其上限为 3/4，且 3/4 是唯一在 (5/8,1) 区间内出现的有理数，同时探讨了其性质与应用。
2026-03-17 math.GR math.RA
Free commutative skew braces
本文构造了任意生成集上的自由交换斜括号，将其嵌入有理函数并用线性方程刻画像，从而简化元素比较。
2025-06-24 math.AC math.GR math.RA
Drinfeld Twists on Skew Braces
我们引入的概念Drinfeld扭曲集理论YBE解决方案和斜括号。我们给出这样的扭曲的例子，并表明，所有扭曲之间的斜括号来自家庭的同构之间的添加剂组。然后，我们描述了这些定义与$\mathrm{SupLat}$范畴中FRT型霍普夫代数上的余扭之间的关系，证明了$\mathrm{SupLat}$范畴中余拟三角霍普夫代数上的任何余扭都诱导其剩余斜支撑上的Drinfeld扭.我们继续分类co-twists bicrossproduct霍普夫代数来自具有独特的因式分解的群体，和扭曲，他们诱导斜括号。
2021-05-07 math.GR math.QA math.RA
Near-Rings and Skew Braces
University of L’Aquila（拉奎拉大学）
本文推广Rump的根基环与括号对应关系，利用近环定义拓扑右斜括号，其乘法群可自然对应Nottingham群等典型群，实现了相关代数结构的拓展应用。
2026-10-22 math.GR math.RA
A Lazard correspondence for post-Lie rings and skew braces
本文通过研究Lazard对应在李环半直和上的行为，建立了后李环与满足自然完备性条件的斜括号之间的对应关系，并推广了Smoktunowicz关于阶为$p^k$的斜括号与左幂零后李环对应的结果。
2024-10-18 math.GR math.RA
Hopf formulae for homology of skew braces
本文利用非阿贝尔同调代数方法，针对斜括号到根环、群和阿贝尔群三个子簇的反射子建立新Hopf公式，并刻画相应中心扩张，导出Stallings-Stammbach正合序列及中心列新结果。
2025-09-10 math.CT math.QA math.RA
Skew braces whose left series is not generated by right-normed star products
Ochanomizu University（御茶水女子大学）
本文构造斜括号显式例子，证明其左序列第三项不能由右规范星积生成，揭示斜括号结构性质。
2026-09-22 math.GR math.QA math.RA
Relative commuting probability and BFC-type results for finite skew braces
Harish-Chandra Research Institute（哈里什-钱德拉研究所）；Homi Bhabha National Institute（霍米·巴巴国立研究所）；University of Brasilia（巴西利亚大学）；Universit‘a di Napoli Federico II（那不勒斯费德里科二世大学）
本文为有限斜左辫环引入相对交换概率，建立BFC型定理，证明正下界迫使大截面平凡，并推广至杨-巴克斯特方程解的交换概率，给出结构商的有界性。
2026-09-16 math.PR math.RA
Skew braces of size $pq$
利用Byott对同阶的Hopf-Galois扩张的分类，我们构造了所有$pq$（其中$p>q$是素数）大小的斜括号.对于$p\not\equiv 1 \pmod{q}$，只存在一个平凡斜括号。当$p\equiv 1 \pmod{q}$时，我们有$2q+2$斜括号，其中两个是循环类型（因此，包含在Rump的分类中）和非阿贝尔类型的$2q$。
2020-01-19 math.GR math.QA math.RA
On skew braces and their ideals (with an Appendix by Agata Smoktunowicz)
我们定义了有限斜括号的组合表示，并使用这个想法来产生一个数据库的斜括号的小尺寸。这个数据库，然后用来探索不同的概念的理论，斜括号，如理想，一系列的理想，总理和半素理想，贝尔和Wedderburn根和可解性。本文提出了几个问题。
2021-09-07 math.GR math.QA math.RA
Skew braces and Rota-Baxter operators on semi-direct products
Indian Institute of Science Education and Research Mohali（印度科学教育与研究学院莫哈利分校）
本文研究了斜左 brace 与半直积上的 Rota-Baxter 运算符关系，定义了斜左 brace 的平方结构，提供了一种构造 Yang-Baxter 方程新解的方法，并证明了该构造的泛性质。
2026-03-30 math.GR math.QA math.RA
Finite skew braces with isomorphic non-abelian characteristically simple additive and circle groups
斜大括号是一个三元组$(A,\cdot,\circ)$，其中$(A,\cdot)$和$(A,\circ)$是组，使得大括号关系$x\circ (y\cdot z) = (x\circ y)\cdot x^{-1}\cdot (x\circ z)$对所有$x,y,z\in A$都成立。本文研究了有限斜支撑$(A,\cdot,\circ)$的个数，直到同构，使得$(A,\cdot)$和$(A,\circ)$都同构于$T^n$，且$T$是非交换单的，且$n\in\mathbb{N}$ .我们证明了它等于在$n+1$顶点上的无标号有向图的个数，其中有一个顶点是无标号的，并且其底层无向图是树。特别地，它仅依赖于$n$，而独立于$T$。
2021-08-06 math.GR math.RA
On a family of simple skew braces
针对非 brace 型单斜 brace 实例稀缺的问题，研究者构造了首个不源自非交换单群的此类无限族，证明满足特定整除条件的素数 p、q 对应两个同构类的 p^p q 阶单斜 brace。
2025-03-24 math.GR math.QA math.RA
Nilpotency of skew braces and multipermutation solutions of the Yang-Baxter equation
本文研究斜括号中不同幂零性概念的关系，提出零化子幂零斜括号作为幂零群的类比，并在该框架下推广了群论中的若干著名定理，应用于Yang-Baxter方程解的结构分析。
2023-10-12 math.GR math.QA math.RA
Isoclinism of skew braces
本文定义了skew brace的同倾概念，证明了右幂零性是其同倾不变量，并将该结果应用于Yang-Baxter方程的集合论解理论中。
2023-07-10 math.GR math.QA math.RA
Analogues of Grün's lemma and Baer's theorem for skew left braces
Universitat de València（瓦伦西亚大学）；Oles Honchar Dnipro National University（奥列戈尼恰尔第聂伯国立大学）
本文在斜左括号的框架下证明了群论中Grün引理和Baer定理的类比，通过引入三因子化群改进了先前结果。
2026-10-01 math.GR math.RA
On Simply Connected Simple Lie Skew Braces with Nilpotent Multiplicative Group
Università di Cagliari（卡利亚里大学）
证明乘法群幂零的单连通单李斜辫必须是一维且交换的，即若乘法群幂零且维数大于1，则李斜辫不是单的。
2026-06-24 math.GR math.RA
