The automorphism group of the modular curve $X_0^*(N)$ with square-free level
Francesc Bars, Josep González
我们确定的自同构群的模曲线$X_0^*(N)$，获得商的模曲线$X_0(N)$的Atkin-Lehner对合组，对于所有的无平方值的$N$。
We determine the automorphism group of the modular curve $X_0^*(N)$, obtained as the quotient of the modular curve $X_0(N)$ by the group of its Atkin-Lehner involutions, for all square-free values of $N$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Automorphisms of hyperelliptic modular curves $X_0(N)$ in positive characteristic
研究素数$ p\nmid N$上模曲线$X_0(N)$的约化$X_0(N) \times \bar{\mathbb{F}}_p$的自同构群.
Automorphisms of general modular curves
本文证明素数水平大于311的模曲线自同构均为模自同构，给出任意水平下计算模自同构的算法，并应用于LMFDB数据库。
The modular automorphisms of quotient modular curves
本文确定了 4、9 不整除层数 N 时任意商模曲线的模自同构群，发现涉及 w_25 时的非预期 3 阶自同构，并推出充分大 N 下 X_0^*(N^2) 的完整自同构群。
Automorphism group of split Cartan modular curves
我们确定了所有素数$p$的可裂Cartan模曲线$X_{\operatorname{split}}(p)$的自同构群.
The automorphism group of the non-split Cartan modular curve of level 11
我们推导出与$\,\mathrm{GL}_2(\mathbf{F}_{11})$的非分裂Cartan子群相关联的模曲线$X_{ns}(11)$的方程。这使我们能够计算曲线的自同构群，并表明它同构于克莱因的四元群。
Automorphisms of modular lattices
将具有给定自同构的极值模格的分类方法推广到模格的情形。一个比Michael Juergens博士论文中的类型稍微更一般的概念是det类型。$L$上的自同构的det-类型决定了$L$的所有部分对偶格之一。这个简单的观察允许排除相当多的det-类型的自同构在上面提到的论文中留下的开放。通过适当的p-极大格，12维的复合层14和15的极值l-模格以及层6和维16的极值l-模格被分类。
On the automorphisms of the non-split Cartan modular curves of prime level
研究了素水平$p$的非分裂Cartan模曲线$X_{ns}(p)$的自同构.我们证明了如果$p\geq 37$所有的自同构保持尖点。此外，如果$p\equiv 1\text{ mod }12$和$p\neq 13$，自同构群由$\text{GL}_2(\mathbb F_p)$的非分裂Cartan子群的正规化子给出的模对合生成。我们还证明了，对于每个$p\geq 37$，使$X_{ns}(p)$有一个CM有理点，一个例外的合理的自同构的存在会产生一个例外的合理点的模曲线$X_{ns}^+(p)$相关的正规化的非分裂Cartan子群的$\text{GL}_2(\mathbb F_p)$。
On the involution of the real line induced by Dyer's outer automorphism of PGL(2,Z)
研究了扩张模群PGL（2，Z）的外自同构所诱导的实直线的对合。这种“模”对合在有理数处是不连续的，但满足一组令人惊讶的函数方程。它保留了一组真正的二次无理数映射他们在一个非明显的方式彼此。它与伽罗瓦作用在实二次无理数上是等价的。更一般地说，它保持了模群的集合轨道，从而导致实秩2格的模空间的对合。我们将这种对合描述为无限三价树的某种自同构的边界作用。证明了至少三次的代数数在这种对合下映射为超越数。
Automorphisms of Cartan modular curves of prime and composite level
研究了$\mathrm{GL}_2(\mathbb Z/n\mathbb Z)$的Cartan子群及其正规化子的子群所对应的模曲线的自同构.证明了当$n$足够大时，所有的自同构都是由复上半平面的分歧覆盖诱导的。对素数水平$p\ge 13$的非分裂曲线得到了新的结果：曲线$X_{\text{ns}}^+(p)$没有非平凡自同构，而曲线$X_{\text{ns}}(p)$只有一个非平凡自同构.此外，作为我们的结果的直接后果，我们计算的自同构群的$X_0^*(n):=X_0(n)/W$，其中$W$是由Atkin-Lehner对合生成的$X_0(n)$和$n$是一个足够大的广场。
On quadratic points of classical modular curves
经典模曲线是算术几何中的一个重要问题。在这项调查中，我们将展示如何Fumiyuki Momose的工作是为了列出经典的模曲线，满足二次点集在$\mathbb{Q}$是无限的。特别是我们回顾结果Momose超椭圆模曲线和自同构群的模曲线。此外，我们修正了现有文献中关于模曲线的自同构群的一些不准确之处，并且我们提供了难以找到精确参考的不同结果，例如：关于超椭圆曲线和双椭圆曲线的一个算术结果（就像哈里斯和西尔弗曼定理的算术陈述（或者阿布拉莫维奇和哈里斯定理的$d=2$））以及以X（N）为参数的$\mathbb{Q}$上椭圆曲线的导体上。
Algebraic curves admitting automorphism groups of large prime square order
针对任意特征代数闭域上的曲线，本文给出了自同构群阶为素数平方的素数界、对应曲线族分类及最高界曲线的完全自同构群。
Models for quotients of modular curves
我们描述了一个算法计算的$\Q$ -有理模型的商的模曲线的自同构群，在温和的假设下的曲线和自同构，通过确定$q$ -展开相应的空间的尖点形式的基础。我们还给出了模曲线之间的一般态射的模解释。
Automorphisms of $X_0^*(p)$
我们确定了所有素数$p$的模曲线$X_0^*(p)$的自同构群。
Bielliptic and Hyperelliptic modular curves X(N) and the group Aut(X(N))
我们确定了所有超椭圆或双椭圆的模曲线X（N）（用$N\geq 7$）.本文证明了X（N）的自同构群与$Γ(N)$在$\operatorname{PSL}_2(\mathbb{R})$中的正规化子重合.
Bielliptic intermediate modular curves
我们确定哪些模曲线$X_Δ(N)$，即位于$X_0(N)$和$X_1(N)$之间的曲线是双椭圆的。令人惊讶的是，我们发现其中一条曲线具有特殊的自同构。最后，我们找到了所有在$\mathbb{Q}$上有无穷多个二次点的$X_Δ(N)$。
K3 Surfaces and Orthogonal Modular Forms
本文研究了具有特定自同构群和Picard秩的K3曲面的模形式生成元，并通过Weierstrass型方程揭示其结构。
Bielliptic modular curves $X_0^*(N)$ with square-free levels
令$N\geq 1$是无平方的整数，使得模曲线$X_0^*(N)$具有亏格$\geq 2$。证明了$X_0^*(N)$是双椭圆曲线，并确定了这类双椭圆曲线的自同构群。特别是，我们得到了非平凡的$Aut(X_0^*(N))$的第一个例子时，亏格的$X_0^*(N)$是$\geq 3$。证明了亏格为$\geq 2$且$N$无平方的模曲线$X_0^*(N)$在$\mathbb{Q}$上的所有二次点的集合对于$N$的$51$值不是精确有限的.
On the automorphisms of the Drinfeld modular groups
本文研究了Drinfeld模群的自同构结构，发现其自同构群的生成元及作用于极点和椭圆点的特性，并构造了置换孤立顶点的无限阶自同构群。
Constraints on the automorphism group of a curve
对于定义在有限域上的亏格为$>1$的曲线$X$，我们给出了一个判定其阶为有理素数幂的自同构不存在的准则.我们展示了如何使用这个准则来确定一些高亏格的模曲线的自同构群。
On certain bilinear sums with modular square roots and applications
扩展了Dunn等人关于模平方根加法能量的界，并将结果应用于带模平方根的双线性指数和，在平方模大筛法上取得部分进展。
Hilbert modular surfaces for square discriminants and elliptic subfields of genus 2 function fields
通过将Hilbert模曲面与椭圆K3曲面的模空间相连接，计算了它们对应于平方判别式的显式有理模型.由于它们参数化了可分解的主极化阿贝尔曲面，它们也是亏格2曲线通过固定次数映射覆盖椭圆曲线的模空间。从而我们扩展了雅可比、埃尔米特、博尔扎等的经典工作，和最近的工作库恩，弗雷，卡尼，沙斯卡，Völklein，Magaard和其他人，生产明确的家庭可约雅可比。特别地，我们给出了亏格为2的曲线C和椭圆曲线E的模对（C，E）的模空间的双有理模型，该模型具有从C到E的n次映射，以及基上的重言式族，其中2 <= n <= 11.我们还从算术几何的角度分析了生成的模型，并在其上生成了几条有趣的曲线。
Quasi-inner automorphisms of Drinfeld modular groups
该研究定义了Drinfeld模群$GL_2(A)$的拟内自同构群$Quinn(G)$，证明其同构于理想类群的2-挠子群，并揭示了它在尖点、椭圆点及Bruhat-Tits树商图的端上的作用性质，推广了Serre的相关结果。
Iwasawa theory for the symmetric square of a modular form
我们构建一个兼容的家庭的全球上同调类（欧拉系统）的对称平方的模形式，并将其应用到有界的Selmer群的对称平方伽罗瓦表示及其扭曲。
Modular embeddings and automorphic Higgs bundles
我们研究半算术富克斯群的模嵌入。首先，我们证明了一些纯粹的代数几何，甚至拓扑标准的正则映射从光滑的复曲线到四元数志村品种覆盖的模嵌入。然后我们建立了模嵌入的一个抽象形式，并应用我们的准则研究了$\mathbb{C}$的抽象域自同构对模嵌入的影响。最后，通过重言式置换定义理想，得到了$\mathbb{Q}$的绝对伽罗瓦群作用于由（算术或非算术）三角形群的主同余子群定义的dessins d'enfants.
$p$-adic interpolation of square roots of central $L$-values of modular forms
我们构造了一个亚纯函数的特征曲线，插值的$L$ -函数在经典点的两个二次扭曲的中心值之比的平方根。
Modular Invariants and Generalized Halphen Systems
广义的Hubrien系统是用均匀化亏格为零的黎曼曲面的函数来求解的，其自同构群可以用模群来表示。与这些函数相关的有理映射意味着它们的自同构群之间的子群关系和相关微分系统之间的对称化关系。
Genuine non-congruence subgroups of Drinfeld modular groups
设$A$是有限域$F_q$上的代数函数域$K$中的元素在固定位置$\infty$外积分的环。在较早的文件中，我们已经表明，德林费尔德模群$G=GL_2(A)$有自同构映射的同余子群非同余子群。在这里，我们证明了存在（不可数许多）正常真正的非同余子群，定义为那些保持非同余下的行动下的每一个自同构的$G$。此外，对于所有，但大多数情况下，我们评估$ngncs(G)$，正常真正的非全等子群的最小指数的$G$，并比较它的最小指数的任意正常非全等子群。
Sums of squares in real quadratic fields and Hilbert modular groups
利用实二次域的Hilbert-Maass型的谱理论，得到了整数环中涉及两个平方和表示数的和的渐近性.
On bilinear sums with modular square roots and applications II
本文进一步研究了带有模平方根的双线性和和加性能量，改进了变量范围较大时的结果，并在平方模数的大筛理论中取得进展。
Heights on square of modular curves
本文提出了一种从数域上取值的模曲线的有理点的高度开始，通过在曲线水平上多项式的函数来定界的策略。我们的主要技术工具来自有效的Arakelov描述的模曲线和雅可比。然后我们在以下特殊情况下实现这个程序：如果$p$是一个不太小的素数，让$X_0 (p )$是经典的模块曲线的水平$p$在$\bf Q$。假定Brumer关于$J_0 (p)$的缠绕矩阵维数的猜想。我们证明，有一个功能$b(p)=O(p^{5} \log p )$（仅取决于$p$），使任何二次数域$K$，$j$ -高度的点在$X_0 (p ) (K)$这不是电梯的元素$X_0^+ (p) ({\bf Q} )$，是小于或等于$b(p)$。
On bilinear sums with modular square roots and applications III
本文改进了之前方法，针对素数平方模，通过限制二次高斯和到简化剩余类，实现显著消去，提升双线性和的分析。
On Shanks' Algorithm for Modular Square Roots
设$p$为素数$p=2^nq+1$，其中$q$为奇数。D. Shanks描述了一种计算平方根$\pmod{p}$的算法，该算法需要$O(\log q + n^2)$模乘。在这篇文章中，我们描述了这个算法的两个修改。第一种算法只需要进行$O(\log q + n^{3/2})$模乘运算，而第二种算法是一种并行算法，需要$n$处理器，需要$O(\log q+n)$时间。
Modular Arrangements
本文以模曲线平方为对象，结合其与 Hecke 曲线族及分裂 Abel 曲面模空间的关系，研究混合 Hodge 结构周期的算术性质。
On the distribution of modular square roots of primes
利用模平方根双线性和的最新界，研究了素数$p\le P$与整数$q \le Q$的同余$x^2 \equiv p \pmod q$的解的分布.这可以被认为是Duke、Friedlander和Iwaniec的组合方案，仅在模量$q$上求平均，以及Dunn、Kerr、Shparlinski和Zaharescu的组合方案，仅在$p$上求平均。
Mean squares of quadratic twists of the Fourier coefficients of modular forms
本文渐近求值了给定模形式傅里叶系数在二次扭曲下的平滑求和版本，涉及Kronecker符号及正奇无平方整数求和。
Balanced modular parameterizations
对于素水平$5 \le p \le 19$，构造了$Γ_{0}(p)$置换θ元的集合，生成了$Γ_{1}(p)$的正整数权模形式的分次环.给出了置换表示的一个显式公式和几个应用，包括一个新的表示$t$-核心分区的数量。$Γ_{0}(p)$-作用诱导系数对称内的表示为模块形式和不变子群耦合系统的微分方程。能级$p = 5,7,11$的对称性与克莱因自同构群有关。
Explicit unobstructed primes for modular deformation problems of squarefree level
设f是数域K中权至少为2且具有傅里叶系数的无平方水平的新形式。我们给出明确的界限，根据与其他newforms的f的同余，在一组素数λ K的变形问题与模λ伽罗瓦表示的f是阻碍。我们包括一些明确的例子。
Explicit refinements of Böcherer's conjecture for Siegel modular forms of squarefree level
我们制定了一个明确的改进Böcherer猜想西格尔模形式的程度2和squarefleave水平，有关加权平均值的傅里叶系数与特殊值的L-功能。为了实现这一点，我们计算相关的局部积分，出现在改进的全球Gan-Gross-Prasad猜想贝塞尔期间提出的刘一峰。我们注意到我们的猜想的算术和分析性质的L-函数和Siegel模形式的傅里叶系数的几个后果。
The Eisenstein and winding elements of modular symbols for odd square-free level
对于$N$无奇平方的同余子群$Γ_0(N)$，我们在整系数Eisenstein级数的模符号空间中显式地写出Eisenstein元.我们还计算绕组元素明确这些同余子群。这给出了一个问题的答案Merel在这些情况下。我们的结果是Manin-Drinfeld定理[Thm. 6]。这些结果是文[1]结果在无奇平方水平上的推广。
Modular Embeddings and Rigidity for Fuchsian Groups
证明了半算术富克斯群的一个刚性定理：若$Γ_1$，$Γ_2$是$\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$中虚模嵌入的两个半算术格，且$f\colonΓ_1\toΓ_2$是一个遵守同余子群概念的群同构，则$f$是由$\mathrm{PGL}(2,\mathbb{R})$的一个内自同构诱导的.
Modular forms, projective structures, and the four squares theorem
众所周知，拉格朗日的四平方定理，即每个自然数都可以写成四个平方的和，可以用经典的模形式和θ函数理论的方法来证明。我们重新审视这个证明。这样做，我们专注于几何，从而避免了一些经常遇到的棘手的分析。在射影微分几何的指导下，我们找到了一条通向拉格朗日定理的新途径。
A New Automorphism Of X0(108)
设X_0（N）表示分类具有循环N-同构的椭圆曲线的模曲线，A_0（N）表示它的代数自同构群，B_0（N）表示作用在上半平面上的矩阵的自同构子群.在一篇著名的论文中，Kenku和Momose证明了当X 0（N）的亏格至少为2时，A0（N）和B 0（N）相等（所有自同构都来自矩阵作用），除了N = 37和63。然而，他们对N = 108的分析中有一个错误。在Kenku和Momose的方法中，我们证明了B 0（108）在A0（108）中的指数为2，并在X 0（108）的标准模型上构造了一个显式的新的2阶自同构.
The action of the Hecke operators on the component groups of modular Jacobian varieties
对于素数$q\geq 5$和与$q$互素的正整数$N$，Ribet证明了Hecke代数在$q$处对$Nq$的模曲线的雅可比簇的分支群的作用是“Eisenstein”，即当$\ell$是不整除该层的素数时，Hecke算子$T_\ell$作用于$\ell+1$.本文通过对具有额外自同构的超奇异点的研究，完全计算了Hecke代数在这一分支群上的作用。
Multiple Modular Values and the relative completion of the fundamental group of $M_{1,1}$
多重模值是多重zeta值和模形式的周期的普遍概括，并且是混合模动机的假设Tannakian类别的周期。它们是由上半平面上的正则化迭代积分给出的，推广了Manin的迭代Shimura积分。本文在全模群的情况下建立了基本理论的一些第一性质：特别是，在所有正整数处模形式的L-函数与特殊值的关系，以及拓扑运动伽罗瓦群通过某个自同构自同构群的作用。
Modular forms with large coefficient fields via congruences
本文应用模形式的同余理论（可约素数的控制，水平降低），椭圆曲线和Q曲线的模性，以及一对Fermat-Goldbach型Frey曲线的结果，证明了具有任意大次数和无平方或几乎无平方水平的系数域的重量为2和平凡模的新形式的存在性.更精确地说，我们证明了对任意给定的数t和B，存在一个权为2的新形式f和平凡的Neumanypus，其水平N是无平方的（几乎无平方的），N正好有t个素除子（分别是t个奇素除子和一个2的小幂除它），并且f的系数域的次数大于B.
A formula for the derivative of the p-adic L-function of the symmetric square of a finite slope modular form
设f是权为k的模形式，Neumypus为$ψ$ .通过推广Dabrowski和Delbourgo的一个构造，构造了一个p-adic L函数，它插值于L函数的特殊值$L(s,\mathrm{Sym}^2(f)\otimes ξ)$，其中$ξ$是Dirichlet特征标.当s=k-1和$ξ=ψ^{-1}$时，由于存在所谓的平凡零，这个p-adic L函数消失。当f在p处为Steinberg时，我们给出了这个p进L函数在s=k-1处的导数的一个公式.如果f的权是偶数，导体是偶数且无平方的，且Neumerypus是平凡的，这个公式蕴含着Benois的一个猜想.
Automorphism Groups of Endomorphisms of $\mathbb{P}^1 (\bar{\mathbb{F}}_p)$
对于任何代数闭域$K$和$\mathbb{P}^1(K)$的任何次数至少为2的自同态$f$，$f$的自同构是与$f$交换的莫比乌斯变换，并且这些变换形成$\operatorname{PGL}_2(K)$的有限子群。在复杂动力系统的模空间中，具有非平凡自同构的映射的轨迹已经被详细研究，并且可以追溯到Klein的具有指定自同构群的映射的构造技术。研究了当$K$是有限域的代数闭包$\bar{\mathbb{F}}_p$时的相应问题。我们利用$\operatorname{PGL}_2(\bar{\mathbb{F}}_p)$的有限子群的分类证明了每个有限子群都可实现为自同构群。为了构造例子，我们使用模块化不变理论的方法。然后，我们计算了$\bar{\mathbb{F}}_p$上具有非平凡自同构的$2$度的映射的轨迹，显示了几何和可能的自同构群如何依赖于素$p$。
Iwasawa Theory for the Symmetric Square of a CM Modular Form at Inert Primes
设f是CM模形式，p是CM域中惰性的奇素数.我们构造了f的对称平方的两个p-adic L-函数，其中一个具有与Delbourgo-Dabrowski构造的函数相同的插值性质，而第二个具有类似的插值性质，但对应于Frobenius的不同特征值。这两个p-adic L-函数之间的对称性允许我们定义p-adic L-函数的正和负。我们还定义了类似于Kobayashi的Selmer群的正、负p-Selmer群。我们解释如何通过一个主要的猜想这两组对象。
The Farey Maps Modulo N
Farey映射是自同构群为经典模群的泛三角映射。利用模群的主同余子群研究Farey映射的等价性。我们还研究了这些子图的基础图的结构。
Shortest Distance in Modular Hyperbola and Least Quadratic Nonresidue
在本文中，我们研究如何小盒包含至少两个点从一个模双曲线$x y \equiv c \pmod p$。边长为$p^{1/4 + ε}$的正方形中有两个这样的点。此外，还证明了边长为$p^{1/6 + ε}$的正方形中有两个这样的点，或者最小二次非剩余小于$p^{1/(6 \sqrt{e}) + ε}$。
Modular realizations of hyperbolic Weyl groups
研究了最近发现的双曲外尔群与陌生的模群之间的同构。这些模群定义在赋范可除代数的整数域上，我们重点讨论涉及四元数和八元数的情形。我们概述了如何构建和分析这些群体的自守形式，它们的结构取决于整数域的基本算术性质。利用单位八维数及其自同构群给出了外尔群W（E ~ 8）的一种新的实现.
Unexpected primes of good reduction in quotients of modular and Shimura curves
研究权重2、平方自由层数N且有固定阿特金 - 勒纳符号模式的新形式零维空间，借此对平方自由层数的模曲线和志村曲线阿特金 - 勒纳商中良好约化的意外素数进行分类。
On a parity result for the symmetric square of modular forms with congruent residual representations
本文证明了具有同余剩余Galois表示的两个模形式相关联的对称平方表示在分圆扩张上Selmer群λ-不变量的奇偶性结果，并处理了普通与非普通两种情况。
Derivative at s = 1 of the p-adic L-function of the symmetric square of a Hilbert modular form
设p是奇素数，F是全实数域.设f是一个Hilbert尖点特征形，其平行权为2，平凡Neumerypus，在p处为常值。可以构造一个p-adic L函数，它内插与f的对称平方表示相关联的复L函数。这个p-adic L函数在s=1时为零，即使复L函数不为零。假设p是惰性的，f在p是Steinberg，我们给出了这个p-adic L函数在s=1处的p-adic导数的一个公式，推广了Greenberg和Tilouine未发表的工作.根据一些假设的导体的f，我们证明了一个特殊的情况下的猜想格林伯格平凡零。
Generation of Hecke fields by squares of cyclotomic twists of modular $L$-values
本文证明非CM椭圆新形式及其分圆扭曲的Hecke域复合可由中心L值绝对值平方生成，方法基于单幂混合猜想解决技术。
Shifted bilinear sums of Salié sums and the distribution of modular square roots of shifted primes
研究Salié和的移位双线性和的上界，并分析移位素数的模平方根分布，揭示$b\not \equiv 0 \bmod q$时的新困难。
Close points on a modular hyperbola
本文研究模双曲线上至少含两点的小正方形边长下界，并探讨点间距离为素数、无平方因子数、光滑数及更一般乘法封闭集或几乎稠密集时的情形。
Fermat's Last Theorem and modular curves over real quadratic fields
本文研究了二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$上的Fermat方程$x^n+y^n=z^n$，其中$d$是无平方的，有$26 \leq d \leq 97$ .通过研究二次点上的模曲线$X_0(N)$，$d$ -正则素数，并与Hecke运营商的空间的希尔伯特新形式，我们扩展工作的Freitas和Siksek表明，大多数squarefree $d$在这个范围内有没有非平凡的解决方案，这个方程的$n \geq 4$。
On generalized modular forms with a cuspidal divisor
在[6]中，Kohnen证明了，如果$Γ=Γ_0(N)$其中$N$是无平方整数，则任何权为$0$的模函数对于$Γ$具有在尖点处支持的除数是$η$ -积。在具有有理傅里叶系数的条件下，我们可以将Kohnen的结果推广到$N$是素数的平方的情形.如果合理性条件不成立，我们表明，该声明不再是真的，通过提供一个家庭的反例，自然推广的Dedekind $η$ -功能。本文适合在Knopp和Mason意义下的广义模形式的框架内。
Numerical verification of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for hyperelliptic curves of higher genus over $\mathbb Q$ up to squares
Flynn，Leprévost，Schaefer，Stein，Stoll和Wetherell等用模方法对32条亏格为2的模超椭圆曲线的Jacobian证明了Birch和Swinnerton-Dyer猜想.在实际周期的计算中，有一点不准确，这可能会给在Néron模型的特殊纤维中具有非约化分量的曲线带来问题。在本文中，我们解释了如何计算的实际周期，以及如何验证已扩展到许多更多的超椭圆曲线，一些亏格3，4和5，而不使用模块的方法。
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