Smooth Manifolds of Kinematic Type
我们给一个简短的历史回顾早期卡鲁扎-克莱因理论。我们研究流形上的各种因果结构，特别是那些不能用签名为（+-）的度量张量描述的结构。流形上的光滑结构（图谱）与其因果结构有关。
1998-02-21 gr-qc
Discrete Spacetime: a Web of Chains
本文研究了因果集上链的分布和最大链长的分布。首先，我们提供了一个新的推导这些分布的因果集均匀嵌入在闵可夫斯基空间，为各种维度，其中包括一个纠正以前可用的表达式。数值模拟的结果表明，改进的理论分布更好的协议。作为这些分布的应用程序的例子，然后我们扩大我们以前的工作，关于他们的使用，建立因果集是否是manifoldlike，如果是，找到它的维数。然后，我们比较这种措施的尺寸与文献中的其他方法。
2019-01-31 gr-qc
Algebraic Quantum Theory on Manifolds: A Haag-Kastler Setting for Quantum Geometry
基于量子引力的当前表示在比等距更一般的量子同态下的不变性，将Haag-Kastler设置推广到没有度规背景结构的流形.首先，任意维数（d+1>2）的可微流形M上的因果结构可以通过锥（C-因果）用纯拓扑术语定义。然后，流形M上C*-代数网的一般结构及其代数量子场论所需的因果性质可以被描述为Haag-Kastler公理框架的扩展。量子几何的一个重要应用是在拓扑视界H的因果外部区域内的空间切片上，对于在空间边界S ^[2]的任何邻域内具有无穷多个边和横截（d-1）面的交点的态，得到一个外尔代数网。
2000-03-14 gr-qc
Causal Relationship: a new tool for the causal characterization of Lorentzian manifolds
定义并研究了两个同构Lorentz流形之间的一种新的关系，称为{ \em因果关系}，它是第一个流形的每一个因果向量映射到第二个流形的一个因果向量上的任意同构.我们进行了彻底的研究因果关系的数学性质，并证明特别是两个给定的洛伦兹流形（说$V$和$W$）可能是因果关系，只有在一个方向上（说从$V$到$W$，但不是从$W$到$V$）。这就引出了因果等价（或简称{ \em等因果}）洛伦兹流形的概念，因为它们是相互因果相关的。这个概念比共形关系更一般，也更具有基本性质，因为我们证明了一个显著的结果，即共形关系$\f$的特征在于它是一个{ \em specific}类型的因果关系，其中$\f$和$\f^{-1}$都是因果关系。对于等因洛伦兹流形，在它们各自的未来（和过去）对象的几个类之间存在一对一的对应，有时是非平凡的。等因果洛伦兹流形的一个更重要的特征是它们满足相同的因果约束。这表明，因果等价提供了一个可能的表征{ \it基本因果结构}，在相互因果相容的意义上，洛伦兹流形。因此，我们引入了一个偏序的等价类的等因果洛伦兹流形提供了一个分类的时空方面的因果性质，和一个分类的所有因果结构，一个给定的固定流形可以有。一份完整的摘要。
2003-01-15 gr-qc math-ph math.DG
On the Uniqueness of Embeddings of Causal Sets
University of California, Santa Barbara（加州大学圣塔芭芭拉分校）
研究因果集嵌入洛伦兹流形的唯一性，引入良态嵌入概念，证明若因果集能良态嵌入两个流形，其内部通过ε-近似等距相关，还表明高密度极限下泊松散布产生的因果集有良态嵌入，给出趋于零的误差ε。
2026-07-08 gr-qc
A characterization of causal automorphisms by wave equations
利用波动方程给出了Minkowski时空中因果自同构的一个刻画.结果表明，时空的因果分析可以用流形上波动方程的研究来代替。
2011-11-07 gr-qc
Towards a Definition of Locality in a Manifoldlike Causal Set
一个普遍的误解是时空离散必然意味着局部洛伦兹不变性的破坏。事实上，在量子引力的因果集方法中，洛伦兹不变性来自离散性假设的具体实现。然而，这是以地方为代价的。具体地，难以在流形状因果集合中定义“局部”区域，即，一个对应于一个近似平坦的时空区域。后续的建议，从以前的工作中，我们提出了一个定义的基础上丰富的m-元素的顺序间隔作为一个函数的因果集的局部性的桥梁。我们得到的期望值的函数的因果集，忠实地嵌入到一个亚历山德罗夫间隔在d维闵可夫斯基时空的合奏的解析表达式，并用它来定义局部区域的流形因果集。我们用这一点来论证，局部区域的证据是一个必要条件manifoldlikeness在因果集。这另外提供了一种新的连续维估计器。我们进行了大量的模拟，支持我们的主张。
2014-04-07 gr-qc hep-th
The Discrete Geometry of a Small Causal Diamond
我们研究了弯曲时空中小因果菱形的离散因果集几何，使用了基本因果集C中k元链或总序的平均丰度。首先，我们使用黎曼法向坐标获得平坦时空丰度表达式的一阶曲率修正。对于固定的时空维数，这使我们能够找到一个新的表达式的离散标量曲率的C以及时间的分量的Ricci张量的丰度的k-链。我们还找到了一个新的尺寸估计C，它取代了平坦时空Myrheim-Meyer估计一般弯曲时空。
2012-12-04 gr-qc
Spectral Geometry and Causality
对于量子引力理论的物理解释，有必要恢复经典时空，至少是近似恢复。然而，量子引力最终可能通过给出与非对易几何中出现的光谱数据类似的光谱数据来提供经典时空，而不是直接给出时空流形。证明了一个全局双曲洛伦兹流形可以由谱数据给出。在光谱几何的背景下观察到一个新的现象：因果关系。就业的光谱数据的因果关系，导致一个高效的描述洛伦兹流形，表明这种方法可能是有用的。连接到自由量子场论的动机和物理解释进行了讨论。它被证实，必要的光谱数据可以一般地从具有广义量子力学的基本结构的有效场论获得：退相干功能和历史的选择。
1996-09-21 gr-qc
Dimensional reduction in manifold-like causal sets
我们调查的因果集，近似闵可夫斯基空间在三，四，五个维度的小子集的行为，并表明其有效尺寸在小距离平滑下降。短距离行为的细节取决于维数估计的选择，但对于合理的Myrheim-Meyer维数，最小维数是$d \approx 2$，重现了在其他量子引力方法中看到的结果。
2017-10-02 gr-qc hep-th
Moment Problems and the Causal Set Approach to Quantum Gravity
我们研究了一系列离散马尔可夫链的因果集方法建模离散理论的量子引力。这些链的转移概率满足一般的协方差原理，因果关系原理和可重整化条件。相应的动力学完全由一系列非负实耦合常数决定。利用与经典矩问题相关的技术，我们给出了任何这样的耦合常数序列的完整描述。我们证明了一个表示定理：每一个离散的量子引力理论产生的因果集动力学满足协方差，因果关系和重整化对应于一个唯一的概率分布函数的非负实数，与耦合常数定义的理论由分布的时刻。
2002-09-06 gr-qc
Causal Topology in Future and Past Distinguishing Spacetimes
一个强因果时空的因果结构特别好。它不仅决定了时空维数n >2时的共形时空几何，如Malament和Hawking-King-McCarthy（MHKM）所指出的那样，而且还决定了流形维数。然而，MHKM的结果更普遍地适用于满足未来和过去可调和性（FPD）的较弱因果条件的时空，并且这种时空的因果结构是否可以确定流形维数是一个重要的问题。在这项工作中，我们表明，这个问题的答案是肯定的。我们调查未来或过去的区别时空的性质，并表明其因果结构决定了流形维数。这给出了一个非平凡的推广MHKM定理，并建议有一个因果拓扑FPD时空编码流形维，这是严格精细比亚历山德罗夫拓扑。我们表明，这样的因果拓扑结构确实存在。我们构造它使用的收敛标准的基础上的序列的“链间隔”，这是因果类似物的零测地线段。我们表明，当区域的强因果性违反满足局部的非时性条件，这种拓扑结构是等价的FPD时空中的流形拓扑结构。
2011-06-17 gr-qc math.DG
En Route to Reduction: Lorentzian Manifolds and Causal Sets
本文从哲学还原视角出发，分析因果集理论通过普朗克标度复现洛伦兹流形、以泊松撒点为核心概率方法的研究路径，论证其内格尔式还原的可行性并探讨功能主义变体前景。
2024-01-27 gr-qc physics.hist-ph
Manifold-Topology from K-Causal Order
在很大程度上，时空的度量和拓扑性质可以用纯序理论来描述。$K^+$关系已被证明对这一目的是有用的，人们可能想知道它是否可以作为其他一切都遵循的主要因果顺序。在这个方向上，我们通过定义$K^+(p)$的一个合适的序理论边界，证明了在一个$K$因果时空中，流形拓扑可以从$K^+$恢复。我们还提出了一个猜想，时间关系$I^+$可以直接定义在$K^+$。
2019-05-16 gr-qc hep-th math-ph
The Framework, Causal and Co-compact Structure of Space-time
我们引入一个典型的，紧拓扑，我们称之为弱因果，自然产生的因果网站的J。Christensen和L. Crane，一个由量子引力的某些问题激发的无意义的代数结构。我们证明了对于每一个四维全局双曲Lorentzian流形，都存在一个相关的因果点，其弱因果拓扑关于流形拓扑是余紧的，反之亦然。因此，因果点具有关于时空拓扑的全部信息，由洛伦兹流形表示。此外，我们还发现，也存在非洛伦兹因果网站（其因果关系不是一个连续的偏序集），因此弱因果拓扑和它的de Groot对偶扩展了通常的流形拓扑的时空超越拓扑产生的传统，光滑的模型。作为灵感的来源，在拓扑研究的因果结构，我们使用的一般拓扑学和形式概念分析的一些方法和结构。
2013-11-13 gr-qc math-ph math.GN
Causal Relations and their applications
在这项工作中，我们定义和研究的洛伦兹流形之间的关系给出了因果未来有向向量映射到因果未来有向向量的同形同胚。这类非同态，称为真因果关系，包含作为一个子集的共形关系的著名群体，并深深地联系到所谓的因果张量。如果两个给定的洛仑兹流形是相互的真因果关系，那么它们被称为因果同构：从因果的观点来看，它们是不可区分的。最后，介绍了洛伦兹流形的因果变换的概念，并简要研究了它的主要数学性质。
2002-05-30 gr-qc math-ph math.DG
A Tale of Two Actions: A Variational Principle for Two-Dimensional Causal Sets
在本文中，我们将探讨两种不同的建议的行动的因果集：贝宁卡萨Dowker行动和修改版本的链行动。我们提出了一个变分原理的二维因果集，并使用它的两个行动，以确定因果集至少平均满足离散版本的爱因斯坦方程。具体来说，我们测试这种方法的因果集嵌入在二维闵可夫斯基，德西特，反德西特时空和比较这些结果最突出的nonmanifoldlike因果集，Kleitman-Rothschild因果集。
2020-10-24 gr-qc
Charting causal set configuration space with graph observables
Heidelberg University（海德堡大学）
本文通过研究九类因果集（包括流形类、非流形类及粗粒化后流形类）的图可观测量（如链接度分布、图拉普拉斯特征值和因果区间丰度），发现这些可观测量能区分不同因果集类别，为映射因果集配置空间提供了实用步骤。
2026-05-26 cond-mat.dis-nn gr-qc
Classical and Quantum Implications of the Causality Structure of Two-Dimensional Spacetimes with Degenerate Metrics
利用无质量波动方程的整体解分析了具有退化度量的二维流形的因果结构。一些新的特征出现了。尽管没有一个传统的洛伦兹柯西曲面流形与欧几里德域是可能的唯一确定一个整体解决方案（如果它存在），满足良好定义的匹配条件，在退化曲线，从柯西数据某些类空曲线在洛伦兹区域。然而，一般来说，没有满足这样的匹配条件的全局解将与该数据一致。提请注意出现的一些障碍，禁止建设一个有界的运营商连接渐近单粒子状态。讨论了这些结果对酉量子场论存在性的影响。
1996-06-21 gr-qc
Causal simplicity and (maximal) null pseudoconvexity
我们考虑洛伦兹流形和黎曼流形中的伪凸性质以及它们在静态时空中的关系。我们提供了一个因果连续和最大零伪凸时空，未能因果简单的例子。它的黎曼因子提供了一个类似的例子，流形是极小伪凸的，但不是凸的。
2021-05-19 gr-qc math-ph math.MP
In a distinguishing spacetime the horismos relation generates the causal relation
证明了在可区别时空中，Horismos关系E^+=J^+ \I^+生成因果关系J^+。换句话说，两个因果关系相关的事件由一系列horismotically相关的事件连接起来，或者再次，因果关系是包含horismos关系的最小传递关系。结果是尖锐的，在这个意义上，区别不能被削弱到未来或过去的区别。最后，证明了horismos关系生成因果关系的时空必然是非全对称的。
2009-04-21 gr-qc
Spacetime Entanglement Entropy: Covariance and Discreteness
本文综述了连续统和流形因果集中自由量子标量场的时空纠缠熵的Sorkin公式的最新结果。二维圆柱时空中因果菱形的SSEE被证明具有卡拉布雷斯-卡迪形式，而对于$d>2$维中的德西特视界和史瓦西德西特视界，它与模式方式的冯诺伊曼熵相匹配。在这些连续体实例中，通过施加UV截止值来调节SSEE。流形类因果集具有自然的协变时空截止，从而提供了一个舞台来研究监管QFT。然而，在$d=2$和$d=4$中，不同流形（如因果集）的SSEE已被证明表现出体积定律而不是面积定律。只有当一个额外的紫外截止实施的光谱的缩放制度，模仿连续行为的面积法恢复。我们讨论了这些结果的影响，并建议，体积法可能是一种表现的因果集的基本非局部性和新的紫外物理学的标志。
2022-07-05 gr-qc
A numerical study of the correspondence between paths in a causal set and geodesics in the continuum
本文介绍了因果集的路径测地线对应的计算研究的结果。对于平坦时空和特定弯曲时空中的区间，我们给出了相应因果集区间中的最长极大链（最长路径）在适当的连续极限中统计地接近该区间的测地线的证据。
2005-12-13 gr-qc
Topology and Closed Timelike Curves II: Causal structure
由于洛伦兹流形上的封闭类时曲线（CTC）不能变形为点，因此任何包含CTC的流形都必须具有拓扑特征，称为类时虫洞，以防止CTC变形为点。如果所有的虫洞都有视界，这在没有奇异物质的时空中似乎是典型的情况，那么每个CTC必须经过某个类时虫洞的视界。因此，一个包含CTC的洛伦兹流形，一旦其视界被删除，仍然可能因果地表现良好。例如，可能存在一个柯西类曲面，每一条类时曲线在穿过视界之前都只经过一次。
2006-09-14 astro-ph gr-qc math.DG
Do causal sets have symmetries?
本文研究因果集是否具有对称性，通过分析有限偏序集的自同构群来系统识别和分类其对称性，并将一般偏序集与撒点因果集的局部对称性进行比较，以寻找可作为离散时空模型的偏序集。
2024-10-03 gr-qc hep-th math-ph
Gromov, Cauchy and causal boundaries for Riemannian, Finslerian and Lorentzian manifolds
最近，时空V的因果边界的旧概念以一种一致的方式被重新定义。对标准共形定常时空V = R x M的这个边界$\partial V$的计算表明，一个自然的紧化$M_B$与M上的任何黎曼度量有关，或者更一般地说，与任何芬斯勒度量有关。相应的边界$\partial_B M$构造的Busemann型函数。粗略地说，$\partial_B M$表示M中所有方向的集合，包括渐近和“有限”（或“不完全”）方向。这个Busemann边界$\partial_B M$与两个经典边界有关：Cauchy边界和Gromov边界。我们的目标是：（1）研究两者的微妙之处，任何广义（可能非对称）距离的柯西边界和任何（可能不完全）芬斯勒流形的格罗莫夫紧化，（2）引入新的布斯曼紧化$M_B$，将其与前两个完备化联系起来，（3）给出任何标准共形稳态时空的因果边界$\partial V$的完整描述。
2012-03-05 gr-qc math-ph math.DG
The space of light rays: Causality and $L$-boundary
共形洛伦兹流形$(M,\mathcal{C})$的光线空间$\mathcal{N}$在一定的拓扑条件下是一个基本元素为非参数化零测地线的流形。这种流形$\mathcal{N}$受到R.彭罗斯的扭量理论保留了$M$的全部信息，可以作为时空模型的补充空间。本文介绍了$\mathcal{N}$的几何结构和相关结构，如天空空间$Σ$和接触结构$\mathcal{H}$。$M$的因果结构被表征为$\mathcal{N}$几何的一部分。由R提出的时空$M$的一个新的因果边界。Low，$L$ -边界，是在$3$ -维流形$M$的情况下构造的，并被提出作为其一般维度构造的模型。它的定义只依赖于$\mathcal{N}$的几何，而不依赖于时空$M$的几何。$L$边界$\partial M$所满足的性质允许刻画所得到的扩张$\overline{M}=M\cup \partial M$，这种刻画也被提出用于一般维数。
2022-06-10 gr-qc math-ph math.MP
Causal structures and causal boundaries
我们给出了一个最新的视角与因果性质的理论，推导出的因果结构，它们的分类和应用，因果边界和因果对称的定义和建设的一般概述，主要是洛伦兹流形，但也在更抽象的设置。
2005-03-08 gr-qc math-ph math.DG
A Derivation of Special Relativity from Causal Sets
我们提出了一个新的推导狭义相对论的基础上的事件的信息物理组成的因果集。我们假设事件是基本的，一些事件有可能接收其他事件的信息，但反之亦然。这导致了偏序事件集的概念，称为因果集。量化通过选择两个协调事件链进行，每个链代表一个观察者，并为每个链分配一个估值。事件可以通过识别链上最早的事件来投射到每个链上，该事件可以被告知。通过这种方式，每个事件都可以通过一对数字来量化，称为一对数字，该数字来自链上的估值。对可以被分解为对称和反对称对的总和，它们对应于类时间和类空间坐标。从这个对，我们得到一个标量测度，并表明这是闵可夫斯基度量。接着是洛伦兹变换，以及速度是联系两个惯性系的一个相关量，并且存在一个最大速度，它在所有惯性系中都是不变的。所有结果都直接来自事件假设和所采用的量化方案。
2010-08-29 gr-qc hep-th math-ph
Generalized relative locality and causal sets
National Centre for Nuclear Research（国家核研究中心）
本文提出一种新的研究现象量子引力理论的框架，通过引入两种时空结构，证明相对局域性在一般PQG模型中成立，无论动量空间曲率如何。
2026-04-19 gr-qc hep-th
Local Structure of Sprinkled Causal Sets
我们描述的因果集洒到时空流形的数值和分析调查。本文的第一部分是数值研究有限因果集洒到维度为$1 + 1$，$1 + 2$和$1 + 3$的闵可夫斯基时空的亚历山德罗夫子集。特别地，我们考虑了spreaded causet事件的秩2过去，这是与过去有两个链接的事件的集合。对于每个事件，将秩为2的过去事件中的一个作为“优选过去”，产生“优选过去结构”，这是最近提出的因果集d 'Alembert的基础。我们测试六个标准选择秩2过去的子集。一个标准在唯一地选择--以非常高的概率--满足期望属性的首选过去时表现得特别好。论文的第二部分涉及一般时空流形的（无限）洒因果集。在回顾了用泊松测度构造喷淋过程之后，我们考虑了各种具体的应用。除其他事项外，我们计算的概率，获得一个给定的同构类的洒因果集的组合手段，使用因果集之间的对应关系，在亚历山德罗夫子集的$1 + 1$维闵可夫斯基时空和2D订单。这些方法也被用来计算过去无穷大的期望大小，作为一个洒因果集的总大小的比例。
2021-04-28 gr-qc hep-th
Stable manifolds of heteroclinic chains in Hořava-Lifshitz cosmology
Universidad Complutense de Madrid and ICMAT（马德里康普顿斯大学和ICMAT）
该研究针对Hořava-Lifshitz宇宙学，证明比安基II型异宿链对GR小扰动鲁棒，超临界情况（$v\in(1/2,1)$）下每条异宿链在康托集内存在稳定流形，还详细分析了周期3、4的异宿链。
2026-10-14 gr-qc math.DS
Dynamics of discrete spacetimes with Quantum-enhanced Markov Chain Monte Carlo
本文提出一种量子增强马尔可夫链蒙特卡洛算法，通过在哈密顿量中添加约束项并推导Benincasa-Dowker作用量的量子比特哈密顿量作为问题哈密顿量，对因果集空间进行采样以研究离散时空动力学，实现了超二次的量子标度优势。
2025-06-24 gr-qc physics.comp-ph quant-ph
Path length distribution in two-dimensional causal sets
我们研究了因果集的两个元素之间的最大链长的分布及其与因果集在平坦时空区域中的可嵌入性的关系。我们从闵可夫斯基空间中均匀分布的点得到的因果集开始。经过一些一般性的考虑，我们专注于2维的情况下，并推导出一个递归关系的预期数量的最大链$n_k$作为其长度$k$和最大和最小元素之间的点$N$的总数的函数。通过研究这些理论分布以及从Minkowski空间中的模拟喷洒生成的分布，我们识别两个特征，分布$k_0$的最可能路径长度或峰值及其宽度$Δ$，其可用于提供因果集作为Minkowski空间中的点的均匀分布的可嵌入性的度量并确定其维度，如果因果集是流形的话最后，我们用几个简单的例子来说明非流形因果集的$n_k$分布。
2018-05-18 gr-qc hep-th math-ph
Spacetime causal structure and dimension from horismotic relation
在广义相对论和其他相对论引力理论中，集合上的自反关系可以作为定义时空因果结构的起点。如果我们把这种关系确定为类光的分离事件之间的关系（horismos关系），我们就能以一种自然的方式构建整个因果结构：因果关系和时序关系、因果曲线和拓扑结构。通过施加一个简单的附加条件，该结构获得了一定数量的维度。这种构造对连续时空和离散时空都适用。在离散情况下也得到了维数，因此这种方法可以适用于证明因果集的基本猜想。其他简单的条件导致一个可微流形与共形结构（度量到一个比例因子）在洛伦兹流形。这种结构提供了相对论性引力理论中时空的简单而普遍的重建，这通常需要拓扑结构、微分结构、几何结构（在保形结构中分解，给出因果关系和体积元）。这种重建的动机来自相对论引力理论，其中共形结构很重要，来自奇点问题，以及来自量子引力，其中追求各种离散化方法，特别是因果集方法。
2016-05-27 gr-qc math-ph math.MP
Causality and Legendrian linking for higher dimensional spacetimes
设$(X^{m+1}, g)$是具有Cauchy曲面$M^m$的$(m+1)$维整体双曲时空，$\widetilde M^m$是Cauchy曲面的泛覆盖.设$\mathcal N_{X}$是$X$中所有未来有向非参数化光线的接触流形，我们将其与球面余切丛$ST^*M.$相识别。与Stefan Nemirovski一起，我们证明了当$\widetilde M^m$是{ \bf不是\/}紧致流形时，然后两个点$x, y\in X$是因果相关的当且仅当通过$x$和$y$的所有光线的勒让德球面$\mathfrak S_x, \mathfrak S_y$在$\mathcal N_{X}.$中链接注意，我们使用Frauenfelder、Labrousse和Schlenk的接触Bott-Samelson定理来证明，对于所有$X$，如果闭$\widetilde M$的整上同调环是{ \bf not} CROSS（紧致秩一对称空间）的整上同调环，则相同的陈述成立。如果$M$允许一个黎曼度量$\overline g$，一个点$x$和一个数$\ell>0$，使得所有从$x$开始的单位速度测地线在时间$\ell$返回到$x$，则$(M, \overline g)$称为$Y^x_{\ell}$流形。与Stefan Nemirovski一起，我们观察到$(M\times \mathbb R, \overlin…
2018-06-08 gr-qc math-ph math.DG
The causal topology of neutral 4-manifolds with null boundary
本文从中性度量的零锥的角度考虑4-流形拓扑的各个方面，我们称之为中性因果拓扑。特别是，我们构建和调查中性4-流形的零边界，产生从规范的3-和4-维设置。一个零超曲面由它的法线形成叶状，在中性的情况下，在每一点上继承一对完全零的平面。本文主要讨论了平面丛在一些经典情形下的结构。第一个构造是平坦中立4-空间到4-球的共形紧化。在这种情况下，边界上的零叶理是3-球面上的Hopf纤维化，并且边界上的全零平面是可积的。4-球上的度量是共形平坦的、标量平坦的、正的里奇曲率中性度量。第二种构造是三维空间形式中的定向测地线的四维空间的子集，配备了它的正则中性度量。我们考虑所有切于一个给定的嵌入严格凸2-球面的定向测地线。第三个是一个中立的几何模型的相交的两个表面在一个4-流形。这些曲面是三维欧氏空间中两个圆球的定向法线的集合，它们在所有定向线的四维空间中形成拉格朗日曲面。交叉的边界，他们的正常的邻里形式环面，我们证明是完全真实的和洛伦兹，如果领域不相交。最后，我们总结了这三种构造的可能拓扑应用，分别包括中性Kirby演算、中性纽结不变量和中性Casson句柄。
2016-10-24 gr-qc math-ph math.DG
