Furstenberg sets estimate in the plane
本研究完全解决了二维欧氏空间中的Furstenberg集猜想，明确了(s,t)-Furstenberg集的Hausdorff维数下界，同时得到离散和积问题的Elekes界类似结果并解决了Oberlin的正交投影问题。
2025-01-19 math.CA math.CO math.MG
Hausdorff dimension of Furstenberg-type sets associated to families of affine subspaces
证明了如果$B \subset \mathbb{R}^n$和$E \subset A(n,k)$是$\mathbb{R}^n$的$k$维仿射子空间的非空集合，使得每个$P \in E$在一组豪斯多夫维数中至少与$k-1 < α\leq k$相交，则$\dim B \geq α+\dim E/(k+1)$，其中$\dim$表示豪斯多夫维数.这个估计推广了著名的Furstenberg型估计，即平面上的每个$α$-Furstenberg集的豪斯多夫维数至少为$α+ 1/2$。更一般地说，我们证明，如果$B$和$E$与$0 < α\leq k$相同，则$\dim B \geq α+(\dim E-(k-\lceil α\rceil)(n-k))/(\lceil α\rceil+1)$。我们还表明，这个界是尖锐的一些参数。因此，我们证明了对任何$1 \leq k<n$，$\mathbb{R}^n$的$k$维仿射子空间的任何非空$s$-Hausdorff维族的并至少有豪斯多夫维数$k+\frac{s}{k+1}$ .
2019-03-11 math.CA math.MG
A study guide for "On the Hausdorff dimension of Furstenberg sets and orthogonal projections in the plane" after T. Orponen and P. Shmerkin
本文为 Orponen 与 Shmerkin 关于平面 Furstenberg 集 Hausdorff 维数与正交投影的论文撰写学习指南，介绍 Furstenberg 集问题、投影例外集，并总结证明思路与核心思想。
2024-06-07 math.CA math.CO math.MG
Kakeya and Furstenberg problems for sticky sets of tubes
Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University（纽约大学柯朗数学科学研究所）；Department of Mathematics, Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院数学系）
本文研究粘性管集的关联问题，证明了三维空间中满足凸Wolff公理的粘性管集的尖锐Furstenberg集估计，以及四维空间中相应的Kakeya集猜想。
2026-09-21 math.CA
Furstenberg sets and Furstenberg schemes over finite fields
我们给出了一个下界的大小的一个子集的$\mathbb F_q^n$包含丰富的k-平面在每个方向上，一个k-平面Furstenberg集。我们的方法的主要新颖之处是，我们使用的参数非约化子计划和平坦的家庭，以获得组合的事实点和k-平面之间的空间发病率。
2015-02-12 math.AG math.CA math.CO
On the Hausdorff dimension of circular Furstenberg sets
本文定义了圆形 Furstenberg 集，并证明当 $0 \leq t \leq s \leq 1$ 时，此类集合的 Hausdorff 维数下界为 $s + t$，其中 $s=1$ 的情形由 Wolff 关于圆形 Kakeya 集的工作得出。
2024-12-19 math.CA math.MG
Hausdorff dimension of unions of affine subspaces and of Furstenberg-type sets
证明了对任意$1 \le k<n$和$s\le 1$，${\mathbb R}^n$的任意非空$k$维仿射子空间的$s$-Hausdorff维族的并有豪斯多夫维数$k+s$ .更一般地，我们表明，对于任何$0 < α\le k$，如果$B \subset {\mathbb R}^n$和$E$是一个非空的集合${\mathbb R}^n$的$k$维仿射子空间，使每个$P \in E$相交$B$在一组豪斯多夫维数至少$α$，然后$\dim B \ge 2 α- k + \min(\dim E, 1)$，其中$\dim$表示豪斯多夫维数。因此，我们推广了著名的Furstenberg型估计：每个$α$ -Furstenberg集至少有豪斯多夫维数$2 α$，加强了Falconer和Mattila的一个定理;并且我们证明了对于任何$0 \le k<n$，如果集合$A \subset {\mathbb R}^n$包含围绕${\mathbb R}^n$的每个点旋转的单位立方体的$k$骨架，或者如果$A$在距${\mathbb R}^n$的每个点的固定正距离处包含$k$维仿射子空间，则$A$的豪斯多夫维数至少为$k + 1$。
2018-03-06 math.CA math.MG
Dimensions of Furstenberg sets and an extension of Bourgain's projection theorem
本文证明 $(s,t)$-Furstenberg 集的 Hausdorff 维数下界为 $s+t/2+\epsilon$，改进了 1999 年以来 $s<1/2$ 时的经典结果，并推广了 Bourgain 的离散化投影与乘积和定理。
2022-11-24 math.CA math.CO math.MG
The quasi-Assouad dimension of $(1,2t)$-Furstenberg sets in $\mathbb{R}^3$ is extremized by sticky sets
本文研究 $\mathbb{R}^3$ 中 $(1,2t)$-Furstenberg 集的拟 Assouad 维数，证明粘性集在所有此类集中具有最小拟 Assouad 维数，并关联 Kakeya 猜想。
2025-10-09 math.CA
Spread-out Furstenberg sets I: the sticky case
本文引入分散测度概念，针对粘性分散阴影建立最优δ离散对偶Furstenberg估计，为配套论文移除粘性假设的更一般定理奠定基础。
2026-10-12 math.CA math.CO
An improved bound for the dimension of $(α,2α)$-Furstenberg sets
该研究改进了平面$(α,2α)$-Furstenberg集的Hausdorff维数下界，证明其至少为$2α+c(α)$，推广了Katz-Tao与Bourgain的结果，方法基于调整后的Katz-Tao框架并优化了相关步骤。
2020-03-12 math.CA math.CO math.MG
Weak separation condition, Assouad dimension, and Furstenberg homogeneity
考虑了满足有限聚簇性质的Moran构造的极限集的维数性质。仅举几例，这样的极限集包括满足弱分离条件的自共形集和某些次自仿射集。除了极限集的维数结果外，我们还利用豪斯多夫维数来表示自共形集的任意闭子集的Assouad维数.作为一个有趣的结果，我们证明了Furstenberg齐次自相似集的实线满足弱分离条件。我们还展示了一个自相似集满足开集条件，但未能Furstenberg齐次。
2015-10-18 math.CA
Spread Furstenberg Sets
本文研究高维平面 Furstenberg 集问题，定义扩展 Furstenberg 集并利用有限域方法证明其维数下界，改进了相关估计。
2025-03-13 math.CA math.MG
Furstenberg sets for a fractal set of directions
本文研究了Furstenberg集的大小相对于定义它的方向集的大小的行为。对于任何一对$α,β\in(0,1]$，如果存在Hausdorff维数的单位圆的子集$E\subset \R^2$至少为$F_{αβ}$，并且对于$L$中的每个方向$e$，在$e$的方向上存在线段$\ell_e$，使得集合$E\cap\ell_e$的Hausdorff维数等于或大于$α$。这个问题被认为是在广义Hausdorff措施的更广泛的情况下，估计适当的维函数为每一类的Furstenberg集。作为我们主要结果的推论，我们得到了对任何$E\in F_{αβ}$都有$\dim(E)\ge\max\left\{α+\fracβ{2} ; 2α+β-1\right\}$.特别是，我们能够将以前已知的结果扩展到“端点”$α=0$的情况。
2010-09-02 math.CA
An analog of the Furstenberg-Katznelson-Weiss theorem on triangles in sets of positive density in finite field geometries
本文证明了：如果含有$q$元素的有限域上的二维向量空间的子集的基数是$\ge ρq^2$，且有$\frac{1}{\sqrt{q}}<<ρ\leq 1$，则它包含$\ge cρq^3$三角形的等距副本.
2008-04-30 math.CA math.CO
Incidence bounds related to circular Furstenberg sets
本文研究平面内圆族与点族的近似关联问题，通过建立关联界推出圆形 $(u,v)$-Furstenberg 集的维数下界，并在较大参数 $u,v$ 下取得新结果。
2025-02-15 math.AP math.CA math.CO
A proof of Furstenberg's conjecture on the intersections of $\times p$ and $\times q$-invariant sets
本文证明了Furstenberg（1969）的猜想：若$A,B\subset [0,1]$分别在$\times p \mod 1$和$\times q \mod 1$下闭不变，且若$\log p/\log q\notin \mathbb{Q}$，则对所有实数$u$和$v$，$$\dim_{\rm H}(uA+v)\cap B\le \max\{0,\dim_{\rm H}A+\dim_{\rm H}B-1\}.$$我们研究了$\mathbb{R}$上不可约自相似集的交，得到了这个结果.我们的方法还允许我们给任意片的平面自相似集满足SSC和某些自然的不可约条件的尺寸上界。
2019-02-07 math.CA math.DS math.MG
Refined size estimates for Furstenberg sets via Hausdorff measures: a survey of some recent results
本文收集和讨论了关于所谓的“Furstenberg集问题”的一些最新结果，该问题的经典形式涉及平面集的豪斯多夫维数的估计，该平面集在任意方向上包含一个在该方向上具有某个规定维数的区间点的子集。这个问题与“挂谷针问题”密切相关。在这项工作中，我们从一个更一般的角度来处理这个问题，在广义Hausdorff措施与维函数。我们推广了已知的结果的“对数间隙”，并获得类似的经典估计。此外，这些类似物允许我们将我们的结果扩展到零维端点。我们还得到了关于定义为分形方向集的Furstenberg集的变化的维数的结果。我们证明了类似的不等式，反映了一组方向的大小和每个纤维的大小之间的相互作用。这个问题也研究了一般情况下的Hausdorff措施。
2013-05-16 math.CA
Projections, Furstenberg sets, and the $ABC$ sum-product problem
University of Jyväskylä（于韦斯屈莱大学）；The University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）
本文在几何测度论、加性组合与调和分析交汇处，推进了离散求和-乘积问题和弗斯特内格集维数的研究，同时揭示了正交投影例外集的维数信息。
2026-03-21 math.CA math.CO math.MG
A Furstenberg-Katznelson-Weiss type theorem on (d + 1)-point configurations in sets of positive density in finite field geometries
我们表明，如果$E \subset \mathbb{F}_q^d$，$d$维向量空间的有限域与$q$元素，和$|E| \geq ρq^d$，其中$ q^{-\frac{1}{2}}\ll ρ\leq 1$，那么$E$包含一个等距副本至少$c ρ^{d-1} q^{d+1 \choose 2}$不同的$(d+1)$ -点配置。
2010-09-21 math.CA math.CO
Integrability of orthogonal projections, and applications to Furstenberg sets
设$\mathcal{G}(d,n)$是$\mathbb{R}^{d}$的$n$维子空间的格拉斯曼流形，$π_{V} \colon \mathbb{R}^{d} \to V$是正交投影.证明了如果$μ$是$\mathbb{R}^{d}$上的紧支撑Radon测度，且对所有的$x \in \mathbb{R}^{d}$和$r > 0$满足$s$维Frostman条件$μ(B(x,r)) \leq Cr^{s}$，则$$\int_{\mathcal{G}(d,n)} \|π_{V}μ\|_{L^{p}(V)}^{p} \, dγ_{d,n}(V) < \infty, \qquad 1 \leq p < \frac{2d - n - s}{d - s}.$$ $p$的上界至少对$d - 1 \leq s \leq d$和所有的$0 < n < d$是尖锐的.我们提出这个问题的动机来自于发现$(s,t)$ -Furstenberg集的Hausdorff维数的改进下界。对于$0 \leq s \leq 1$和$0 \leq t \leq 2$，一个集合$K \subset \mathbb{R}^{2}$称为$(s,t)$ -Furstenberg集合，如果在$\mathbb{R}^{2}$中存在一个$t$维仿射线族$\mathcal{L}$，使得对所有$\ell \in \mathcal{L}…
2022-06-08 math.CA math.CO math.MG
Spread-out Furstenberg sets II: general configurations and fractal restricted projections
该论文针对阴影未局部集中于 pencil 的特定构型证明最优对偶 Furstenberg 估计，推导平面及高维限制投影定理，并将其应用于 Grassmann 流形曲面投影、固定距离等多个分形相关问题。
2026-10-12 math.CA math.CO
Small Furstenberg sets
对于$(0,1]$中的$α$，$\RR$的子集$E$称为$α$类型的Furstenberg集或$F_α$ -集，如果对于单位圆中的每个方向$e$，在$e$的方向上存在线段$\ell_e$，使得集合$E\cap\ell_e$的Hausdorff维数大于或等于$α$。在本文中，我们表明，如果$α> 0$，存在一个集合$E\in F_α$，使$\HH{g}(E)=0$为$g(x)=x^{1/2+3/2α}\log^{-θ}(\frac{1}{x})$，$θ>\frac{1+3α}{2}$，这改善了以前已知的界限，即$H^β(E) = 0$为$β>1/2+3/2α$。进一步，通过精细的方法，我们能够得到一个尖锐的零维Furstenberg型集类的维数估计。即，对于$\h_γ(x)=\log^{-γ}(\frac{1}{x})$，$γ>0$，我们构造了Hausdorff维数不大于1/2的集合$E_γ\in F_{\h_γ}$。由于在以前的工作中，我们表明，1/2是一个下界的Hausdorff维数的任何$E\in F_{\h_γ}$，与目前的建设，价值1/2是尖锐的整个类Furstenberg集相关的零维功能$\h_γ$。
2012-11-12 math.CA math.CO
A Furstenberg-type problem for circles, and a Kaufman-type restricted projection theorem in $\mathbb{R}^3$
本文利用离散几何中的透镜切割技术，证明分形集上 Wolff 圆极大函数变体的精确 $L^p$ 界，从而解决 $\mathbb{R}^3$ 中空间曲线参数化的例外投影维数猜想。
2024-10-25 math.CA math.MG
Restriction estimates using decoupling theorems and two-ends Furstenberg inequalities
本文提出利用 decoupling 定理与 two-ends Furstenberg 不等式研究限制性猜想，并给出一个蕴含该猜想的 two-ends Furstenberg 猜想，在平面上予以证明，进而推导出三维 $p>22/7$ 的限制性估计及高维改进。
2024-12-19 math.CA math.CO math.MG
Fourier analytic variants of the Furstenberg and Kakeya problems
School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews（圣安德鲁斯大学数学与统计学院）
本文研究了平面中著名的卡耶ya和傅斯特嫩格集合问题的几种不同的傅里叶分析变体，提出了(s,t)-卡耶ya集的概念，并推导了其傅里叶维数的上下界。
2026-10-14 math.CA math.MG
A strong-type Furstenberg-Sárközy theorem for sets of positive measure
本文证明正测度平面集合中必存在一点，使得该集合与过此点的一整族幂型曲线非平凡相交，并证明参数区间在对数尺度上可任意大，推广了连续参数Sárközy型定理。
2023-02-27 math.CA math.CO
On the Hausdorff dimension of Furstenberg sets and orthogonal projections in the plane
本文证明平面中(s,t)-Furstenberg集的Hausdorff维数至少为2s+ε，并改进Wolff(1999)与Kaufman(1968)的结果，ε仅依赖于s和t。
2023-09-05 math.CA math.CO math.MG
Restricted Projections to Lines in $\mathbb{R}^{n+1}$
本文利用高维 cinematic family 的 Furstenberg 集维数下界，证明曲率大于1的球面上受限投影的维数公式，并改进相关下界且重新证明 Mattila 投影定理。
2023-12-07 math.CA math.MG
Polynomials with dense zero sets and discrete models of the Kakeya conjecture and the Furstenberg set problem
我们证明了$\mathbb{R}^n$上Kakeya猜想的离散模拟.这一结果表明，一个（假设）低维Kakeya集不能直接从离散配置。我们还证明了一个推广，完全解决了离散模拟的Furstenberg集问题的所有维度。我们的定理和（真正的）问题之间的区别仅仅是（仍然困难的）连续性问题，因为没有强加横截性假设。证明的主要工具是Wongkew \cite{wongkew2003volumes}的定理，该定理指出低次多项式的零点集在单位立方体内不能太密集，再加上Dvir型多项式参数\cite{dvir2009size}。从证明的角度出发，我们还提出了一个强于并几乎等价于Minkowski（低）版本的Kakeya猜想的猜想，并证明了它的一些结果，同时给出了我们在\cite{wongkew2003volumes}中对该定理的证明.我们的证明表明，这一定理遵循的多项式的零集的性质和一个一般命题的超曲面，这可能是独立的利益的组合。最后，我们讨论了如何将Bourgain猜想推广到高维，这与本文的主题密切相关。
2014-09-03 math.CA math.CO math.DG
Packing and Hausdorff measures of Cantor sets associated with series
我们研究了Morán的和集的推广，获得有关$h$ -Hausdorff和$h$ -包装措施，这些集合和它们的某些子集。
2015-03-30 math.CA
Exact Hausdorff and Packing measure of certain Cantor sets, not necessarily self-similar or homogeneous
我们计算了可能不是自相似或齐次的线性Cantor集的精确Hausdorff和Packing测度。该计算基于集合上支持的自然概率测度的局部行为。
2017-01-03 math.CA
Continuity of packing measure function of self-similar iterated function systems
本文主要研究自相似集的填充测度。设$K$是一个自相似集，其豪斯多夫维数和packing维数都等于$s$，如果$K$满足开集$\mathcal{O}$的强开集条件，则对于以$K$为中心的每个开球$B(x,r)\subset \mathcal{O}$，有$\mathcal{P}^s(K\cap B(x,r))\geq (2r)^s$，其中$\mathcal{P}^s$表示$s$维packing测度.利用这个不等式得到了自相似集的填充测度的一些精确的密度定理，这些定理可以用来计算$K$的$s$维填充测度$\mathcal{P}^s(K)$的精确值.利用上述结果，证明了满足强分离条件的自相似迭代函数系统空间上吸引子的填充测度函数的连续性.这个结果完全回答了L.奥尔森
2012-07-20 math.CA math.MG
On the Packing Functions of some Linear Sets of Lebesgue Measure Zero
本文利用 Minkowski 可测性刻画，证明了实数线截取子集的单调重排上最佳填充渐近性的存在性，给出了显式比例常数 $p_d$，并通过 Digamma 函数和更新理论探讨了其极限值与结果的尖锐性。
2025-06-24 math.CA math.MG
On the Packing Dimension and Category of Exceptional Sets of Orthogonal Projections
本文考虑了几个经典的正交投影例外集的豪斯多夫维数的结果，并试图找出它们是否有合理的packing维数公式。我们还研究了Marstrand和Falconer-Howroyd型投影结果的类别版本的存在性。
2012-06-04 math.CA
Restricted Radon transforms and projections of planar sets
当方向集具有分数维时，我们建立了平面上Radon变换的混合模估计。这个估计被用来证明一个与平面集的投影有关的例外方向集的结果。这就引出了一个类似于著名的弗斯滕伯格猜想的猜想。
2008-05-12 math.CA
Null-additive sets and packing measures
Czech Technical University（捷克理工大学）
本文刻画了严格测度零集，证明其在波兰局部紧群中为零可加，并在康托集、欧氏空间和环面上与零可加性等价。
2026-10-06 math.CA
On the packing dimension of distance sets with respect to $C^1$ and polyhedral norms
本文证明了$\mathbb{R}^d$上多面体或$C^1$范数下，填充维数为$s$的集合$E$的距离集填充维数至少为$s/d$，通过非线性投影定理实现，并构造显式例子说明该界对多面体范数类是紧的。
2025-04-15 math.CA
Cubes, side lengths and centres
已知在$\mathbb{R}^n,n\geq 2$中，包含所有半径都在$[1/2,1]$中或所有可能中心都在$[0,1]^n$中的$n-1$球面的紧集具有全豪斯多夫维数。事实上，后一个集合具有正的勒贝格测度。在本文中，我们考虑了一个类似的问题，用分形立方体代替球体。半径集和中心集也被认为是分形集。此外，我们还讨论了一般大性下的例外集。最后，讨论了一个Furstenberg型的例子，它在某种程度上可以被认为是Furstenberg $\times 2$，$\times 3$集合猜想（现在的定理）在这里考虑的立方体/圆集合的设置.
2018-01-06 math.CA
Cube packings in Euclidean spaces
本文研究了一些立方体填充问题。特别是，我们感兴趣的是紧凑的子集$\mathbb{R}^n,n\geq 2$，其中包含边界的立方体与所有边长在$(0,1)$。我们在这里表明，这样的集合必须有较低的盒维数至少$n-0.5$，我们也将提供尖锐的例子。我们还表明，在这里，这样的集合必须是大的一般在一个精确的意义上，这也是本文介绍的。
2018-01-06 math.CA
Packing dimension and Ahlfors regularity of porous sets in metric spaces
设$X$是一个度量测度空间，它具有$s$ -正则测度$μ$ .我们证明了如果$A\subset X$是$\varrho$ -多孔的，则有$\dim_{\mathrm{p}}(A)\le s-c\varrho^s$，其中$\dim_{\mathrm{p}}$是堆积维数，$c$是一个正的常数，它依赖于$s$和$μ$的结构常数.这是一个模拟的一个众所周知的渐近尖锐的结果在欧几里德空间。通过一个例子说明，当$μ$是一个加倍测度时，相应的结果是不成立的。然而，在加倍的情况下，我们发现一个固定的$N\subset X$与$μ(N)=0$，使得$\dim_{\mathrm{p}}(A)\le\dim_{\mathrm{p}}(X)-c(\log\tfrac 1\varrho)^{-1}\varrho^t$对于所有的$\varrho$ -多孔集$A\subset X\setminus N$。这里，$c$和$t$是取决于$μ$的结构常数的常数。最后，我们用正则集刻画了完备$s$ -正则度量空间中的一致多孔集，证明了$A$是一致多孔的当且仅当存在$t<s$和$t$ -正则集$F$使得$A\subset F$ .
2017-01-30 math.CA
Bounds For Multilinear Sublevel Sets Via Szemeredi's Theorem
2005年，Li，Tao，Thiele和作者提出了一类多线性振荡积分算子上界的一般性问题，并在少数情况下建立了上界.大多数案件仍在审理中。本文研究子水平集的界，如果子水平集的界成立，它将是振荡积分界的一个推论。这些子水平集的界限在这里建立在一个弱的形式，但在几乎完全的一般性，仅受合理性假设。这个证明依赖于Furstenberg和Katznelson对Szemeredi定理的扩展。
2011-07-12 math.CA
On the Hausdorff dimension of pinned distance sets
我们证明了，如果$A$是一个博雷尔集在平面上的相等Hausdorff和包装尺寸$s>1$，那么一组固定的距离$\{ |x-y|:y\in A\}$有充分的豪斯多夫维数的所有$x$以外的一组豪斯多夫维数$1$（特别是，对于许多$x\in A$）。这验证了一个强大的变体法尔科纳的距离集猜想套相等的豪斯多夫和包装尺寸，端点$s=1$之外。
2018-01-26 math.CA math.CO math.MG
Fourier analysis, linear programming, and densities of distance avoiding sets in R^n
本文给出了R^n中可测集的密度的新的上界，它避免了给定距离的有限集。新的界限来自于一个线性规划问题的解。我们应用这种方法得到了可测集的新的上界，它避免了2，.维中的单位距离，24.这给出了3维中可测色数的新下界，.，24.我们应用它得到一个新的，简短的证明的一个变种最近的结果布赫这反过来又推广定理Furstenberg，Katznelson，Weiss和Bourgain和Falconer关于避免许多距离。
2008-12-02 math.CA math.CO math.MG
On packing measures and a theorem of Besicovitch
贝西科维奇表明，如果一组是空的豪斯多夫措施相关联的一个给定的维度功能，那么它仍然是空的豪斯多夫措施对应的一个较小的维度功能。我们证明，这是不正确的包装措施。此外，我们还考虑了非$σ$ -有限填充测度集和用预填充测度代替填充测度的相应问题。
2012-05-28 math.CA
Measurable sets with excluded distances
对于一组距离D={d_1，...，d_k}一个集合A称为D-回避的，如果对于某个i，A中没有一对点在距离d_i处.我们证明了A的密度在k中是指数小的，只要d_1/d_2，d_2/d_3，. d_{k-1} /d_k都足够小。这解决了Szekely的一个问题，并推广了Furstenberg-Katznelson-Weiss，Falconer-Marstrand和Bourgain的一个定理。给出了关于D-避免集的几个结果。
2008-02-24 math.CA math.CO
Exact Hausdorff and packing measures of linear Cantor sets with overlaps
设$K$是线性迭代函数系统（IFS）$S_j(x)=ρ_jx+b_j,$ $j=1,\cdots,m$的吸引子，它在实数线上满足广义有限型条件（其不变开集$\mathcal{O}$为区间），且具有不可约的加权关联矩阵.这个条件是Lau \& Ngai最近引入的，作为开集条件的自然推广，允许我们包括许多重要的重叠情况。他们表明$K$的Hausdorff维数和填充维数是一致的，并且可以根据加权关联矩阵的谱半径来计算。令$α$为$K$的维数。本文证明了对所有区间$J\subset\overline{\mathcal{O}}$有\begin{equation*} \mathcal{H}^α(K\cap J)\leq |J|^α\end{equation*}，对所有区间$J\subset\overline{\mathcal{O}}$有\begin{equation*} \mathcal{P}^α(K\cap J)\geq |J|^α\end{equation*}，其中$\mathcal{H}^α$表示$α$维Hausdorff测度，$\mathcal{P}^α$表示$α$维Packing测度.这一结果扩展了Olsen最近的工作，其中需要开集条件。我们利用这些不等式得到了$K$的Hausdorff和packing测度的一些精确的密度定理。此外，使用这些密度定理，我们描述了一个计划计算$\mat…
2013-08-19 math.CA
On Furstenberg's intersection conjecture, self-similar measures, and the $L^q$ norms of convolutions
研究了实直线上一类具有自相似结构的测度，我们称之为动态驱动的自相似测度，并将Bernoulli卷积等自相似测度作为其特例.我们的主要结果给出了一个表达式的$L^q$维的动态驱动的自相似措施，在一定的条件下。作为应用，我们解决了Furstenberg关于$\times p$和$\times q$ -不变集的交集维数的猜想.在其他几个应用程序中，我们还表明，伯努利卷积有一个$L^q$密度为所有有限的$q$，一个零维集的例外。主要结果的证明受M. Hochman对自相似测度维数的处理方法和熵的逆定理。我们的方法可以被看作是一个扩展的Hochman的理论从熵$L^q$规范，同样依赖于逆定理的衰减$L^q$规范的离散措施卷积。我们的方法的这一核心部分可能是独立的兴趣，并且是众所周知的方法和结果在加法组合学中的应用：由于Tao-Vu的Balog-Szemerédi-Gowers定理的不对称版本，以及Bourgain的一些构造。
2018-11-21 math.CA math.CO math.DS
Packing dimension of mean porous measures
证明了$\mathbb R^d$上任意平均孔隙度Radon测度的堆积维数都可以由一个依赖于平均孔隙度的函数来估计。当平均孔隙度趋于其最大值时，上界趋于$d-1$。这个结果在\cite{BS}中陈述过，在\cite{JJ1}中以较弱的形式陈述过，但是证明是不正确的。相当令人惊讶的是，原来平均多孔措施不一定是近似的平均多孔集。我们通过构建一个平均多孔措施$μ$ $\mathbb R$的例子，使$μ(A)=0$的所有平均多孔集$A\subset\mathbb R$验证这一点。
2009-05-25 math.CA
Packing-Dimension Profiles and Fractional Brownian Motion
为了计算正交投影的填充维数，Falconer和Howroyd（1997）引入了一族填充维数分布图${\rm Dim}_s$，它们由实数$s>0$参数化。随后，Howroyd（2001）引入了另一种$s$维填充维数分布$\hbox{$ { \rm P} $-$ \dim $}_s$，并证明了，除其他事项外，对于所有整数$s>0$和所有解析集$E\subseteq\R^N$，$\hbox{$ { \rm P} $-$ \dim $}_s E={\rm Dim}_s E$。本文的目的是证明$\hbox{$ { \rm P} $-$ \dim $}_s E={\rm Dim}_s E$对所有实数$s>0$和解析集$E\subseteq\R^N$ .这回答了Howroyd（2001，p.159）的一个问题。我们的证明依赖于分数布朗运动的一个新性质。
2007-05-01 math.CA math.PR
Packing sets in Euclidean space by affine transformations
本文研究欧氏空间中 Borel 集在刚体运动、膨胀平移及相似变换下的并集的测度与 Hausdorff 维数，给出了精确的维数阈值，推广了针对光滑对象的已有结果。
2024-05-06 math.CA
Incidence estimates for quasi-product sets and applications
本文基于 Furstenberg 集理论，推导了 δ-离散结构的 incidence 结果，并应用于分形测度的能量估计和傅里叶衰减等问题。
2025-11-19 math.CA math.CO
Bounding the Dimension of Points on a Line
我们使用Kolmogorov复杂性方法来给出点（x，ax+b）的有效Hausdorff维数的下界，给定实数a，b和x。我们应用我们的主要定理在分形几何中的一个问题，给出了一个改进的下界的（经典）Hausdorff维数的广义集的Furstenberg型。
2017-04-06 cs.CC math.CA
